球面几何简介_
球面的性质与计算
球面的性质与计算球面是一个经典的几何体，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍球面的性质，包括球面的定义、特点以及相关的计算方法。
1. 球面的定义球面是由三维空间中的一条固定轴（即半径）围绕一个点旋转而形成的一个几何体。
它是由无数个等距离于中心的点所构成，其中每个点到中心的距离都相等，这个距离称为球面的半径。
2. 球面的特点（1）球面是一个封闭曲面，没有边界。
（2）球面上的所有点到球心的距离都相等。
（3）球面的表面积和体积都是基于球面半径的函数。
3. 球面的表面积计算球面的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 4πr²其中，S表示球面的表面积，r表示球面的半径，π为圆周率（取近似值3.14159）。
4. 球面的体积计算球面的体积可以通过以下公式进行计算：V = (4/3)πr³其中，V表示球面的体积，r表示球面的半径，π为圆周率（取近似值3.14159）。
5. 球面的投影球面的投影是指将球面上的点映射到平面上。
常见的球面投影包括等角投影（如墨卡托投影、高斯-克吕格投影）和等距投影（如正轴等距圆柱投影、正轴等距圆锥投影）等。
6. 球面的应用球面在现实生活中有着广泛的应用，如地理学中的地球模型、天文学中的星球、球体运动的物理分析等。
7. 球面的计算方法（1）球面上的两点之间的距离可以通过球面上两点的经纬度计算得出，这涉及到球面三角学的知识。
（2）根据球面的表面积和体积公式，可以计算球面的面积和体积。
（3）计算球面的投影可以借助相关的地图投影方法和算法进行。
总结：球面作为一个几何体具有独特的性质和广泛的应用。
通过深入了解球面的定义、特点，以及相关的计算方法，我们可以更好地理解和利用球面，探索其在各个领域的应用。
以上是对球面的性质与计算的简要介绍，希望能为您提供帮助。
如果您需要更深入的了解或有其他相关问题，请随时告知。
Spheric geometry球面几何
Spheric geometry（球面几何）是几何学的一门分科。
研究球面上图形的几何学。
是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起来的，其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角”。
球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。
在平面几何中，基本的观念是点和线。
在球面上，点的观念和定义依旧不变，但线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。
在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。
同样的，在球面几何中的角被定义在两个大圆之间。
结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。
例如：球面三角形的内角合大于180°。
对比于通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。
球面几何学在航海学和天文学都有实际且重要的用途。
球面几何学的重要关键在塑造真实投影平面，通过辨认在球面上获得正相反的对跖点(分列在边的两侧相对的点)。
在当地，投影平面具有球面几何所有的特性，但有不同的总体特性，特别是他是无定向的。
球面乃是空间中最完美匀称的曲面。
两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变换，由此可见本质性的球面几何可以归纳到单位半径的球面来研讨。
再者，在古典天文学的研讨中，观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两个方向之间的角度（亦即方向差）则相应于单位球面上两点之间的球面距离(spherical distance) 。
这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何学家对于球面三角学(spherical trigonometry)的投入程度要远远超过他们对于平面测量学的兴趣，因为「量天的学问」才是他们所致力去理解者；它的确比丈量土地、计量财产等更引人入胜。
从现代的观点来看，球面几何乃是空间几何中蕴含在正交子群的部分，而向量几何则是空间几何中蕴含在平移子群的部分，而且两者又密切相关、相辅相成，例如向量运算都是正交协变的(orthogonal covariant)，所以向量代数又是研讨球面几何的简明有力的利器。
球面几何与立体几何详细解析与应用
球面几何与立体几何详细解析与应用球面几何与立体几何是数学中重要的分支，研究了球面和立体的性质、关系以及应用。
本文将详细解析球面几何与立体几何的知识，并探讨其在实际应用中的具体应用。
一、球面几何球面几何是研究球体表面上的点、直线、角度和距离等性质的一门数学学科。
球面是一个几何图形，具有独特的性质和特点，与平面几何有所不同。
1. 球面的定义与性质球面是由一个半径固定的圆在三维空间中绕着圆心旋转一周所形成的几何体。
球面上的每个点到圆心的距离都相等，这一性质被称为球面的半径。
2. 球面上的直线在球面上，直线是由球面上两点之间的最短路径组成的。
从球面的两个点出发，通过球面上的点绘制出的曲线即为球面上的直线。
3. 球面上的角度球面上的角度与平面几何中的角度有所不同。
球面上的角度是通过将球面上的两条弧用球心处的线段连接而形成的。
球面上的角度可以用弧度或角度来衡量。
二、立体几何立体几何是研究三维空间中立体图形的性质与关系的学科。
立体几何包括了点、线、面、体等元素的研究，对于我们理解和应用三维空间起着重要的作用。
1. 立体图形的分类与性质立体图形包括了诸如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等各种图形。
每种立体图形都具有特定的性质，比如正方体的六个面是相等的正方形，圆柱体的两个底面是圆等等。
2. 立体图形的表面积与体积对于立体图形而言，表面积和体积是两个重要的量。
表面积是指立体图形表面覆盖的总面积，而体积则表示立体图形所包含的三维空间的大小。
三、球面几何与立体几何的应用球面几何和立体几何在实际应用中有着广泛的应用，以下举几个实例：1. 地球上的测量与导航地球可以看作是一个近似球体，因此球面几何在地理测量和导航中具有重要的应用价值。
利用球面几何的原理，我们可以测定两个地点之间的距离、方位角以及最短路径等信息，为导航系统的开发提供了理论基础。
2. 建筑与工程设计在建筑与工程设计中，立体几何的知识被广泛应用。
比如，在房屋设计中，需要考虑各个部分的连接与布局，利用立体几何的原理，可以确保设计的合理性和空间利用率。
球面几何的基本概念与性质
球面几何的基本概念与性质球面几何是数学中的一个重要分支，研究的对象是球面及其上的几何性质。
本文将介绍球面几何的基本概念和性质，包括球体、球面上的点、线和角等概念的定义和性质。
一、球体的定义与性质球体是一个由球面内部所有点构成的几何体，由一个中心点和到该中心点距离相等的所有点组成。
球体是三维空间中的一个几何体，具有以下性质：1. 球体的表面是一个球面，球面是球体的外围边界，球体的内部是空洞；2. 球体的表面积是其半径的平方乘以4π，即S = 4πr²；3. 球体的体积是其半径的立方乘以4π除以3，即V = (4/3)πr³。
二、球面上的点的定义与性质球面是球体的表面，球面上的点具有以下性质：1. 球面上的任意两点之间的最短距离是它们所在的大圆弧的长度；2. 球面上存在无数个相等长度的大圆弧，其中大圆是球面上的一种特殊的圆；3. 球面上的点可以用经度和纬度来确定，经度表示点在圆心的投影与一定经度的交点的距离，纬度表示点与赤道的夹角；4. 球面上的点可以用坐标来表示，常用的球面坐标系是极坐标系，其中极轴是球体的半径，极点是球心所在的点。
三、球面上的线的定义与性质球面上的线是连接两点之间的最短弧，具有以下性质：1. 球面上的线是大圆弧的一部分，大圆是球面上与球心距离相等的点的集合；2. 球面上的任意两点之间唯一存在一条大圆弧，且该大圆弧是最短的路径；3. 球面上的线分为大圆弧和小圆弧，大圆弧的长度等于球面的半周长，小圆弧的长度小于半周长。
四、球面上的角的定义与性质球面上的角是由三个点所确定的两条大圆弧的交角，具有以下性质：1. 球面上的角的大小是由所确定的两条大圆弧的夹角决定；2. 球面上的任意两点之间存在唯一的一条大圆弧，表示两个角的夹角；3. 球面上的角可以分为锐角、直角和钝角等。
结论综上所述，球面几何是研究球面及其上的几何性质的数学分支，通过对球体、球面上的点、线和角等基本概念和性质的定义和描述，我们可以深入了解球面几何的基本原理和性质。
数学中的球面几何学
数学中的球面几何学在数学中，球面几何学是一门研究球面及其相关性质的分支学科。
球面几何学广泛应用于物理学、天文学、地理学等领域，也是许多数学问题的基础。
本文将介绍球面几何学的基本概念和一些重要的定理。
一、球面的定义和基本概念球面可以看作是一个由无数个点组成的集合，这些点到中心的距离都相等。
中心是球面的一个重要属性，通常表示为O。
与球面相切的直线称为切线，它在切点处与球面相切。
球面上的一条线段称为弧，两个点之间的最短路径即为弧。
球面上还有一个重要概念是球面上的两个点之间的最短距离称为球面上的距离。
球面上的距离与平面上的距离不同，因为球面具有曲率。
二、球面的坐标系统为了描述球面上的点，我们可以使用球面坐标系统。
在球面上，我们选择以球心为原点建立坐标系。
对于任意一点P，我们可以用两个角度来确定其位置：极角和方位角。
极角表示P点与球心连线与正北方向的夹角，方位角表示P点在与极角垂直的平面上与正北方向的夹角。
球面上的距离也可以通过坐标系来计算。
给定两个点P和Q，它们的坐标分别为(θ₁, φ₁)和(θ₂, φ₂)，则它们之间的距离可以通过以下公式计算：cosδ = sinθ₁sinθ₂cos(φ₁-φ₂) + cosθ₁cosθ₂其中δ表示P点和Q点之间的距离。
三、球面的面积和体积球面的面积和体积是球面几何学中的重要量度。
球面的面积公式如下：S = 4πR²其中S表示球面的面积，R表示球的半径。
球面的体积公式如下：V = (4/3)πR³其中V表示球面的体积。
四、球面几何学中的重要定理1. 定理一：球面上的内切正多边形的顶点数必为4的倍数。
2. 定理二：球面上的内切正多边形的边数受限于球的半径和所需正多边形的边数。
3. 定理三：球的表面积最小，对应于球的体积最大。
四、应用球面几何学在现实生活中具有广泛应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 天文学：天文学家使用球面几何学来计算天体之间的距离和位置。
球面几何的书籍
球面几何的书籍
（原创版）
目录
1.球面几何的定义与历史
2.球面几何的重要概念和公式
3.球面几何在科学和工程领域的应用
4.学习球面几何的书籍推荐
正文
球面几何是一种研究球体表面上几何性质的数学分支。
球面几何的历史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家已经开始研究球体的性质。
随着时间的推移，球面几何逐渐发展壮大，并成为现代数学的一个重要领域。
球面几何在许多科学和工程领域都有广泛的应用，如天文学、航海学、地球物理学等。
在球面几何中，有许多重要的概念和公式。
例如，球面上任意两点之间的距离可以通过球面三角公式来计算。
球面几何中的重要概念还包括球面坐标系、球面方程、球面映射等。
这些概念和公式为研究球面几何提供了丰富的理论基础。
球面几何在科学和工程领域有着广泛的应用。
在天文学中，球面几何被用来研究天体的运动轨迹；在航海学中，球面几何被用来确定船舶的位置和航线；在地球物理学中，球面几何被用来研究地球的形状和地球内部的构造。
此外，球面几何还被应用于计算机图形学、虚拟现实技术等领域。
对于想要学习和深入了解球面几何的人来说，阅读一些优秀的书籍是非常有帮助的。
这里向大家推荐几本学习球面几何的书籍：《球面几何引论》、《球面几何及其应用》、《球面几何与拓扑学》等。
这些书籍涵盖了球面几何的基本概念、公式和应用，对于学习和研究球面几何都有很大的帮助。
总之，球面几何是一种重要的几何分支，在科学和工程领域有着广泛的应用。
学习球面几何不仅可以提高我们的数学素养，还可以为我们在实际工作和研究中提供有力的理论支持。
球面几何
•
弧度： BNC 116.3 106.5 9.8 0.17
NB
50.1 R 0.87 R 5.6 103 km 180
NC
60.5 R 1.06 R 6.8 103 km 180
解球面三角形NBC，利用边的余弦定理
cos BC cos 0.87 cos1.06 sin 0.87 sin1.06 cos 0.17 R
• 平面直线：直线没有端点，像两个方向无限延伸。 • 球面直线：过球面上两点的大圆叫做过这两点的 球面直线。大圆是封闭的，有限的。
• 平面上的线段：直线上两点以及这两点之间的部 分。 • 球面上的线段：过球面上两点的大圆的劣弧叫做 连接这两点的线段。
• 平面角：过平面上一点的两条射线形成的图形叫做角。 • 球面角：从球面上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图 形叫做球面角
通过类比认识球面几何
• 概念的类比
• 性质的类比
概念的类比
• 平面上两点的距离：过这两点之间的线段长度。
• 球面上两点的距离：通过两点的大圆上以两点为 端点的劣弧的长度。对球面上的任意两点，在数 学上可以严格证明过这两点的大圆的劣弧长度是 最短的。应该把大圆上这段劣弧的长度看做是这 两点的距离。
.球面三角形边的余弦定理
cosb cosccosa sincsinasinasinbco sC
cos A cos Bcos C sinBsinCcoa
.球面三角形角的余弦定理
cos B cos Ccos A sinCsinAcob cos C cos Acos B sinAsin Bcoc
BC 0.24R 1.5 103 km
高中数学中的解析几何中的球面
高中数学中的解析几何中的球面解析几何是数学中的一个重要分支，其中的球面是一个常见的几何图形。
本文将就高中数学中的解析几何中的球面进行探讨。
一、球面的定义和性质球面是以一个定点为球心，一个定数为半径所确定的空间图形。
球面上的每一个点到球心的距离都等于半径，这是球面的基本性质。
二、球面的方程和参数方程球面的方程可以用一元二次方程表示，其一般方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a, b, c)为球心的坐标，r为半径。
这是球面的一般方程。
另外，球面还可以用参数方程来表示。
常见的参数方程有：x = a + r*sinθ*cosφy = b + r*sinθ*sinφz = c + r*cosθ其中，θ和φ分别是球面上的两个参数。
三、球面与其它几何图形的关系球面与直线的关系：若一条直线与球面相交，那么直线的方程必须满足球面方程。
球面与平面的关系：一个平面与一个球面相交得到的曲线被称为截折线，当平面与球面相切时，截折线就是一个点。
球面与球面的关系：两个球面的位置关系可以分为四种情况：相离、相切、相交和同心球。
四、球面的应用球面在现实生活中有着广泛的应用。
以下是球面在几个领域的具体应用：1. 天文学：地球可以近似看作一个球面，球面的性质和方程可以帮助我们研究地球的地理和气象现象。
2. 地图制作：地球的表面被投影到一个平面上来绘制地图，这就涉及到了球面与平面的关系，球面的几何性质也被用来进行地图的测量和计算。
3. 球体的表面积和体积：球面的性质可以帮助我们计算球体的表面积和体积，这在工程学和物理学中有着重要的应用。
4. 计算机图形学：计算机图形学中的三维建模和渲染需要用到球面的方程和参数方程，以及球面与其他几何图形的相交关系。
五、总结解析几何中的球面是一个重要的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
通过学习球面的方程和参数方程，以及与其他几何图形的关系，可以加深对解析几何的理解。
初中数学球面几何知识点总结
初中数学球面几何知识点总结球面几何是数学中的一个重要分支，它研究的对象是三维空间中的球面及其上的各种几何性质。
在初中数学中，我们学习了一些球面几何的基本知识和定理。
本文将对初中数学中的球面几何知识点进行总结和归纳，以便于复习和记忆。
1. 球的定义和要素球可以由一个固定点（球心）和到该点距离为常数的点（球面）组成。
球面上的所有点到球心的距离都相等，这个距离称为球的半径。
球的半径用字母r表示。
2. 球面上的点与球心的关系球面上的任意一点到球心的距离等于球的半径。
这一性质决定了球面上的所有点到球心的距离相等。
应用：具体的例子是就地铁站的“最短距离”来观察，地铁站相当于球心，路面相当于球面，球形区域的边缘线上的所有点到地铁站的最短距离都是相等的。
3. 子午线和纬线球的任意一条通过球心的线段叫做子午线。
球的任意一条不通过球心的线段叫做纬线。
子午线和纬线的交点叫做球面上的点。
4. 球面上的角球面上的两条弧所对的圆心角叫做球面上的角。
球面上的角的度数叫做球面上的角度。
球面上的角度采用角度的单位。
5. 弧长和弧度制在同一个球面上，等角的两个弧（所对的球面上的角相等）对应的弧长是相等的。
6. 球面上的距离球面上任意两点之间的球面最短弧所对的球面上的角的度数叫做球面上的距离。
7. 球面上的相交线在同一个球面上，两条不相交的直线所对的两个球面上的角相等。
8. 孤立点和对踵点如果子午线和纬线的交点只有一个，那么这个交点叫做孤立点。
如果子午线和纬线的交点恰好在子午线和纬线的交点所在的高度角的两端，那么这两个交点叫做对踵点。
9. 对踵弧在同一个球面上，通过对踵点的两条纬线所对的两个弧叫做对踵弧。
10. 球面上的各种定理（1）球面上的两个对踵弧所对的圆心角是，球面上的两个对踵弧所对的弧长的一半。
（2）在同一个球面上，以直径划分的两个半圆所对的面积一样大，且等于球表面积的一半。
（3）在同一个球面上，以一条弧为切线，把球面分成两部分，两部分的球冠体积相等，且等于球冠的一半。
球面几何的曲率与曲面积分计算
球面曲率的计算
曲率半径
描述曲线或曲面 的弯曲程度
平均曲率
描述曲面整体几 何性质
法曲率
描述曲面在某点 法向的变化程度
高斯曲率
描述曲面局部几 何性质
曲面积分计算步骤
01 确定曲面参数化方程
将曲面用参数方程表示
02 计算法向量
确定曲面各点的法向量
03 确定面积微元
将曲面分解为面积微元
曲率与曲面积分关系
03
曲面积分的计算技巧
简化计算
在计算曲面积分时，可以 利用一些技巧简化计算过 程
变量替换
可以通过变量替换来简化 计算
积分换元
可以通过积分换元等方法 来简化计算
曲面积分的数值 计算
对于复杂的曲面积分， 可以通过数值计算来 求解。数值计算可以 利用数值积分方法来 逼近曲面积分的精确 值。通过数值计算， 可以得到曲面积分的 近似解，方便实际应 用中的计算需求
可以通过球面上的曲线进 行计算
推断曲率大小
通过曲线的弯曲程度来推 断曲率的大小
第二基本形式
球面曲率还可以通过球面 的第二基本形式进行计算
● 02
第2章 球面曲率的性质
球面曲率的性质
球面曲率是描述球面 几何特征的重要性质。 其中，高斯曲率可以 用来判断曲面的类型， 平均曲率则反映了曲 面的整体弯曲程度。 在球面上移动时，曲 率会发生变化，通过 曲率的转移我们可以 推断出球面上各点的 几何关系。切平面是 球面上某一点的切线 生成的平面，球面的
发展趋势与挑战
随着科学技术的发展， 对球面几何的研究需 求不断增加。未来发 展将面临更多挑战和 机遇，我们需要不断 深化研究，探索更多 新的球面几何理论和 方法，以适应时代发 展的需求。
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sin A = sin B = sin C = sin A sin B sin C sin a sin b sin c 2 其中 = P=
*
( 5 14 )
- cos P cos ( P - A ) cos( P - B) cos( P - C) ,
1 ( A + B + C) 。 2 证明 设球面三角形 A BC 的极三角形为 A B C , 那么由对偶定理 3 4 , 有 a * = - A , b * = - B, c * = - C, A
c ) = ( a a) ( b c) - ( a c) ( b a) ( 5 8)
利用球 面三 角形 边 之余 弦定 理 5 1 和 对 偶定 理 3 4 , 可得球 面三角形角之余弦定理。
2
。
2
由此可得
中学数学教学
2005 年第 4 期
sin a sin a sin b sin c = , sin A 2 同理可证 sin b = sin c = sin a sin b sin c 。 sin B sin C 2 利用球面三角形正弦定理 5 3 及球面三角形对偶 定理 3 4, 可得正弦定理的对偶定理。 定理 5 4 ( 正弦定理 ) 角形 A BC , 有 对球面 S 2 ( O , 1 ) 上的三
- C, A* =
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a, 所以 ( 5 9) 式成立。 同理可证 ( 5 10 ) 、 ( 5 11 ) 两式成立。 球面三角形边之 余弦定 理 5 1 说明 : 球面 三角 形 的任一个内角可用 它的三 边来表 示 , 这 与欧氏 平面 上 三角形的结论是类似的。 球面三角形角之 余弦定 理 5 2 说明 : 球面 三角 形 的任一边可以用它的三个内角来表示。这与欧氏 平面 上三角形的结论是截然不同的 。 由球面三角形余弦定理可 证得球面三角形正弦定 理。 定理 5 3 ( 正弦定理 ) 对球面 S 2( O , 1 ) 上 的三 角形 A BC, 有 sin a sin b sin c sin a sin b sin c = = = ( 5 13) 2 sin A sin B sin C 其中 = sin p sin( p - a) sin( p - b) sin( p - c) , 1 p= ( a + b + c) ( 0 , ) 。 2 证明 由球面三角形边之 余弦定理 5 1, 有 sin2 b sin 2 c cos2 A = ( cos a - cos b cos c) 2 , 从而有 sin2 b sin2 c sin2 A = sin 2 b sin2 c ( 1- cos2 A ) = sin2 b sin 2 c - ( cos a - cos b cos c) 2 = ( sin b sin c + cos a - cos b cos c) ( sin b sin c - cos a + cos b cos c) = [ cos a - cos( b + c) ] [ cos ( b - c ) - cos a] a+ b + c b+ c - a a+ c- b = 4 sin sin sin 2 2 2 a+ b - c sin 2 = 4 sin p sin( p - a) sin( p - b) sin( p - c) = 4
2005 年第 4 期
中学数学教学
1
走进新 课 程
球面几何简介(
安徽教育学院 杨世国
)
对球 面 ( 5 9) ( 5 10)
( 邮编 : 230061)
( 续第 3 期 球面几何简介 ( ) ) 5 球面三角形正弦定理与余弦定理 在平面几何中 , 三角形全等各种 条件 ( sas, sss, asa, aas) 说明了三 角形 的唯 一性。到 了 平面 三角 学 , 我们 就要把这种唯一性定理提升到有效能算的边角函数关 系 , 其中最基本、 最重要的就是平面三角形正弦定理和 余弦定理。它们揭 示了平 面三角 形边 角之间 的关 系 , 它们是平面几何中通制 全局的 枢纽 , 它们是 用解 析法 研究几何的基 础 , 用它 们 可以 推出 全 部的 三角 公 式。 同样 , 球面三角形全等的 各种条 件 ( sas, sss, aaa, asa) 说 明了球面三角形的唯一 性 , 如 何把对 球面三 角形 的理 解也提升到有效能算的 边角函 数关系 , 和平 面几 何内 容一样 , 其中最基本、 最重要的就是球面三角形正弦定 理与余弦定理。 如图 5 1 所 示 , 对 球 面 S 2 ( O , 1 ) 上 的 三 角 形 A BC, 记 a = OA , b = OB, c = OC 。那么 a 是 b 与 c 间 夹角 ( 弧度 ) , 从而有 cos a = b c , sin a = | b 同理 , 有 cos b = a c , sin b= | a cos c = a b , sin c = | a c | ( 5 1) c | ( 5 2) b | ( 5 3)
定理 5 1 ( 球面三角形边之余 弦定理 ) 对球面 S 2( O , 1 ) 上的三角形 A BC, 有 cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A ( 5 4) cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C 证明 由图 5 1 所示可知 , 面 OA C 所成的内二面角 , 因此 b ( 平面 OA B 的内法向 量) 与 a 向量 ) 的夹角 , 从而有 (a b) ( a c )= | a ( 5 5) ( 5 6)
定理 5 2 ( 球面三角形 角之余弦定 理 ) S 2( O , 1) 上的三角形 A BC, 有 cos A = - cos B cos C + sin B sios C + sin A sin C cos b
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c ( 5 11) 证明 设球面三角形 A BC 的极三角形为 A * B * C * , 则由定理 5 1 有 cos a * = cos b* cos c * + sin b* sin c * cos A * 利用定理 3 4 , 有 a * = - A , b* = - B , c * = a 。将上面四式代入 ( 5 12) 式 , 得 ( 5 12) -
A 是平面 OA B 与平 A 也等于两向量 a c ( 平面 OA C 的外法 c | cos A ( 5 7)
b| | a
= sin c sin b cos A 利用 Lagr ange 恒等式 [ 6] , 有 (a b) ( a = cos a - cos b cos c 由 ( 5 7) 与 ( 5 8 ) 两式得 ( 5 4) 式。 同理可证 ( 5 5) 、 ( 5 6) 式成立。
A - 1, 2 cos( b + c) = cos b cos c - sin b sin c 。 将上面两式代入公式 ( 5 4) , 得 利用平面三角公式 cos A = 2cos2 A cos a - cos ( b + c ) = 。 2 2sin b sin c 由上式与平面三角中的和 差化积公式得 cos2 a + b+ c b + c- a sin 2 2 sin b sin c sin p sin ( p - a) = , sin b sin c 所以 ( 6 2) 中的第一式成立。 cos2 A = 2 sin 同理可证 ( 6 2) 中的其他两式也成立。 注 : 利用半角正弦与半角余弦公式 ( 6 1 ) 、 ( 6 2) 可 得半角正 切 公 式。利 用 半 角 正 弦 与 半 角 余 弦 公 式 ( 6 1) 、 ( 6 2 ) , 以及对 偶 定理 3 4, 可 得 球面 三 角形 半 边正弦与半边余弦公式。
2
sin
sin a ; sin c tan b tan a ( iii) cos A = ; ( iv ) tan A = 。 tan c sin b 证明 ( i) 由定理 5 1 中的 ( 5 6 ) 式便得。 ( i) cos c = cos a cos b; ( ii) 由定理 5 3 便得。 ( iii) 由定理 5 1 中 ( 5 4) 式及( i) , 得 cos a - cos b cos c cos a - cos2 b cos a = sin b sin c sin b sin c 2 cos a sin b cos a sin b cos c = = sin b sin c sin c cos a cos b sin b cos c tan b = = 。 cos b sin c tan c ( iv) 由 ( ii) 、 ( iii) 可 得 sin A sin a tan c tan A = = cos A sin c tan b sin a sin c cos b sin a tan a = = = 。 sin c cos c sin b cos a sin b sin b 6 三角公式 有了球面三角形正弦 定理和 余弦 定理 , 可以 说球 cos A = 面三角的内容大局已定 , 球面 三角形 的唯一 性已 完全 转化成有效能算的边角 函数关 系 , 也 就是说 我们 已经 登上了球面三角形的定 量层面 , 在这 一层面 上要 沿不 同方向继续开拓 , 发 掘出在实 用上和 计算上 更便 于应
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半角余弦公式 : cos cos ( 5 15 ) cos 证明 A = 2 B = 2 C = 2
=
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- a, B =
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