关于矢量与标量及运算规则的探讨
矢量和标量
b C
D
图 1：矢量及其运算在直角坐标系中的表示图 2：正弦定理的辅助圆 正弦定理，sinA/a = sinB/b = sinC/c，利用图 2 证明。 和角公式，sin(������ ± ������ ) = sin ������ cos ������ ± cos ������ sin ������ , cos ������ ± ������ = cos ������ cos ������ ∓ sin ������ sin ������ 。 余弦定理，a² + b² - 2abcosC = c²，利用正弦定理证明。 矢量在坐标系里的表示： 自由矢量，起始点并不重要的矢量，其特征是平行且长度相等的两个矢量相等。自由矢量的 计算可以把其起点放到同一坐标点下（通常是坐标原点） ，许多物理学矢量都被认为是自由 矢量，如不考虑力矩情况下的力； 固定矢量， 和自由矢量相对的矢量， 起点的位置固定， 一部分物理学矢量被认为是固定矢量， 如位矢。 自由矢量在直角坐标系中起点默认为坐标原点( 0 , 0 )， 故而表示一个矢量即用其终点坐标( x , y )表示。 自由矢量在坐标表示下的四则运算： ������ ± ������ = ������������ ± ������������ , ������������ ± ������������ ������ ∙ ������ = ������������ ������������ + ������������ ������������ 注意：矢量的点积得到的是一个数，也就是标量，如力和位移的点积是功。 矢量的叉乘，利用矩阵，得到的还是一个矢量，如力和矢径的叉积是力矩。
矢量和标量
矢量运算
矢量函数的积分 矢量函数的积分 如果矢量函数A(t)随时间变化,则它对时间的 随时间变化, 如果矢量函数 随时间变化 积分
B=
∫ = (∫ A
A ( t ) dt
x
dt i +
) (∫ A dt ) j + (∫ A dt )k
y z
= Bxi + B y j + Bzk
求矢量函数的积分实际上也是求它各个分量的 积分. 积分.
R
B
A
R = A+ B + C
加法满足 交换律: 交换律: 结合律: 结合律:
A + B = B + A A + (B + C ) = (A + B ) + C
两矢量相减 两矢量相减 其中 B 与
A B = A + ( B)
B
A A B B B
大小相等而方向相反
三,矢量的数乘
矢量与一实数相乘后仍是一矢量. 矢量与一实数相乘后仍是一矢量.
矢量的表示: 矢量的表示: 矢量的表示 1,作图表示:有指向的线段.线段的长 作图表示:有指向的线段. 度表示矢量的大小, 度表示矢量的大小,箭头所指的方向表示 矢量的方向. 矢量的方向. 书写表示: 2,书写表示:在字母的上加一箭头 矢量的大小:也叫矢量的模 矢量的大小:也叫矢量的模,表示为 矢量的大小 单位矢量:大小=1的矢量,用于表示 单位矢量:大小= 的矢量 的矢量, 单位矢量 矢量的方向. 矢量的方向. 因而有: 因而有:
λ A=C
大小 方向
C = λ A λ > 0 C 平行于 A λ < 0 C 平行于- A 平行于-
矢量的数乘满足 结合律: 结合律: 分配律: 分配律:
矢量运算法则
推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A
v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
•面元：
v dS1
h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面 以温度场为例：
第1章 矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
矢量和标量的区别是什么高中物理常见标量矢量
矢量和标量的区别是什么高中物理常见标量矢量标量是只有大小没有方向的量，矢量则刚好相反；矢量是既有大小又有方向的量。
扩展资料矢量和标量的区别1、概念的区别：一种是在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量；另一种是在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用一定的'方向才能说明性质，叫矢量。
2、运算法则区别：在中学物理中，长度、质量、时间、密度、功、能量、温度、电流强度等都是标量，标量运算服从代数运算法则。
力、位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感应强度等都是矢量，矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则。
矢量常用带有箭头的直线段表示。
线段的长度代表矢量大小，箭头代表矢量的方向。
3、正负号区别：在中学物理中，无论是矢量，还是标量，都存在正负号问题。
但矢量正负号跟标量正负号有本质区别。
⑴矢量正负号：在选定一个正方向的前提下，矢量的正负号实质上表示矢量的方向。
若矢量为正，表示该矢量跟选定正方向相同；矢量为负表示跟选定正方向相反。
⑵标量正负号：虽然标量无方向，但有的标量也存在正、负号问题。
高中物理常见标量矢量路程是标量，只有大小没有方向。
位移是矢量，既有大小又有方向。
速度是矢量，既有大小又有方向。
瞬时速度也是矢量，既有大小又有方向。
平均速度也是矢量，既有大小又有方向。
平均速率是标量，只有大小没有方向。
瞬时速率也是标量，只有大小没有方向。
加速度是矢量，既有大小又有方向。
力是矢量，既有大小又有方向。
时间是标量，只有大小没有方向。
标量：长度，质量，时间，路程温度，能量，路程，平均速率，瞬时速率。
矢量：位移，力，速度，加速度，速度，瞬时速度，平均速度。
矢量场与标量场以及计算方法资料
图 1-5 矢量管
矢量管：
通过场域某一曲面s上的所有点的矢量 线的全体构成的管状区域。
0.2 标量场的梯度
Gradient of Scalar Field
1.方向导数：设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 l 的变化率称
为方向导数，即
l
（
x
ex
y
ey
(x2 y2 z2 )3/2
40 r 40r2
0.3 矢量场的通量与散度
Flux and Divergence of Vector 1 通量 ( Flux )
矢量E 沿有向曲面 S 的面积分
Φ S AndS = S A dS
若 S 为闭合曲面Φ S A dS
图0.3.1 矢量场的通量
（设曲面S的单位法向矢量en），An为A在en上的投影
l A dl S ( A) dS
矢量函数的线积分与面积分的相互转化。
在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是 两个非常重要的公式。
例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1) 处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
lim
V 0
1 V
A dS lim = d =divA
V 0 V dV
根据奥式公式
蜒 S
A dS
S
( Axdydz
Aydzdx
Azdxdy)
V
( Ax x
Ay y
Az )dV z
通量可看成V内各点处的发散强度的体积分
divA
A
Ax x
矢量和标量标量和矢量的区别和运算法则
矢量和标量标量和矢量的区别和运算法则矢量和标量是物理学中常见的两个概念，它们在运算法则和性质上有着明显的区别。
本文将从定义、区别和运算法则三个方面详细讨论矢量和标量的特点。
一、定义矢量是具有大小和方向的物理量，如速度、力、位移等。
通常用箭头来表示，箭头的长度表示大小，箭头的方向表示方向。
例如，一个速度为10 m/s向东的矢量可以表示为10 m/s➞。
矢量在运算中保留了大小和方向的信息。
标量是只有大小而没有方向的物理量，如质量、时间、温度等。
标量可以用一个数值来表示，没有箭头或其他符号。
例如，一个质量为5 kg的标量可以简单表示为5 kg。
标量在运算中只关注大小，不考虑方向。
二、区别1. 大小和方向：矢量有大小和方向，标量只有大小。
例如，一个力的矢量可以表示为10 N向上，而标量只能表示为10 N。
2. 符号表示：矢量通常用箭头表示，标量直接用数值表示。
3. 运算法则：矢量有特定的运算法则，如矢量的加法、减法、数量积和向量积等。
而标量的运算法则和普通数学运算相同，只是考虑了单位的换算。
4. 变换规律：矢量在空间中保持不变，具有平移、旋转和镜像等变换规律。
而标量在空间中的变换规律与具体物理量无关。
三、运算法则1. 矢量的加法：根据平行四边形法则，两个矢量相加的结果是以它们为邻边构成的平行四边形的对角线。
例如，矢量a➞和矢量b➞相加的结果为矢量c➞，即a➞ + b➞ = c➞。
2. 矢量的减法：矢量的减法可以理解为加上它的负矢量，即a➞ -b➞ = a➞ + (-b➞)。
3. 数量积：数量积又称点积，表示两个矢量的数量上的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积的结果是一个标量。
例如，矢量a➞和矢量b➞的数量积为a➞·b➞ = |a➞| |b➞| cosθ，其中θ为两个矢量夹角的大小。
4. 向量积：向量积又称叉积，表示两个矢量的数量上的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，并且结果是一个新的矢量，垂直于原来两个矢量所在的平面。
动力学中的矢量与标量的区别
动力学中的矢量与标量的区别动力学是研究物体运动规律的学科，而矢量和标量是描述物理量的两种不同方式。
在动力学中，矢量和标量有着重要的区别和应用。
本文将从定义、性质和应用等方面介绍动力学中矢量与标量的区别。
一、矢量的定义和性质矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示。
在运动学和动力学中，矢量用来描述物体的速度、加速度、力等。
矢量的定义包括以下几个要素：大小、方向和作用点。
首先，大小指的是矢量的数量，有时也被称为模或大小。
例如，如果我们用矢量表示物体的速度，那么它的大小就代表了物体运动的快慢。
其次，方向指的是矢量的指向或朝向。
在物理中，我们常使用方位角或坐标系来表示矢量的方向。
对于速度矢量来说，方向可以表示物体的运动方向。
最后，作用点是指矢量所指向的位置。
例如，如果我们用矢量表示力，那么作用点就代表了力的施加位置。
矢量具有以下几个性质：1. 矢量之间可以进行加法和减法运算。
当两个矢量的方向相同时，则它们相加时大小为向量和。
当两个矢量的方向相反时，则它们相减时大小为两个向量之差。
2. 矢量和标量之间可以进行乘法运算。
矢量与标量相乘时，矢量的大小会按照标量的大小进行缩放，而方向保持不变。
3. 矢量可以进行正负号的运算。
正负号的改变只会改变矢量的方向，而不会改变矢量的大小。
二、标量的定义和性质标量是只有大小而没有方向的物理量，可以用实数表示。
在动力学中，标量常用来描述物体的质量、体积、时间等。
标量的定义只包括大小，不包括方向。
标量具有以下几个性质：1. 标量之间可以进行加法和减法运算。
当两个标量相加或相减时，结果仍然是一个标量。
2. 标量可以与矢量进行乘法运算。
标量与矢量相乘时，矢量的大小会按照标量的大小进行缩放，而方向保持不变。
3. 标量可以进行正负号的运算。
正负号的改变只会改变标量的值，而不会改变标量的性质。
三、矢量和标量的应用在动力学中，矢量和标量有着不同的应用。
1. 矢量的应用：矢量可以用来描述物体的速度、加速度和力等。
矢量和标量的区别(一)
矢量和标量的区别（一）引言概述：矢量和标量是物理学和数学中两个重要的概念。
它们在描述物理量时有着不同的特点和应用。
本文将详细探讨矢量和标量的区别，通过对矢量和标量的定义、表示、运算规则以及应用示例的讨论，旨在帮助读者更好地理解这两个概念。
正文：一、定义1.1 矢量的定义：矢量是具有大小和方向的物理量。
它可以用箭头来表示，箭头的长度代表矢量的大小，箭头的方向代表矢量的方向。
1.2 标量的定义：标量是只有大小而没有方向的物理量。
它可以用一个实数或者一个数字来表示，而没有其他附加信息。
二、表示2.1 矢量的表示：矢量可以使用加粗的字母（如a、b）表示，或者使用小写字母上方有箭头（→）的符号（如→a、→b）表示。
2.2 标量的表示：标量可以使用普通的字母（如c、d）表示，或者使用斜体字母（如、）表示。
三、运算规则3.1 矢量的运算规则：矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法。
在矢量的加法和减法中，矢量的大小和方向都会参与运算。
3.2 标量的运算规则：标量之间可以进行加法、减法、乘法和除法。
在标量的运算中，只有数值才会参与运算，而没有方向。
四、应用示例4.1 矢量的应用示例：矢量在物理学中有广泛的应用，如描述物体的位移、速度、加速度等。
而且，在工程学、航空航天等领域也有着重要的应用。
4.2 标量的应用示例：标量在数学中有广泛的应用，如描述温度、时间、质量等。
此外，标量也在计量学、经济学等领域中起着重要的作用。
总结：通过对矢量和标量的定义、表示、运算规则以及应用示例的讨论，我们可以看出矢量和标量在物理学和数学中的不同之处。
矢量具有大小和方向，可以进行矢量的加法、减法和数量乘法运算，适用于描述物体的位移、速度等；而标量只有大小，可以进行加法、减法、乘法和除法运算，适用于描述温度、时间等。
通过深入理解和应用这两个概念，我们能够更好地解决实际问题和推进科学发展。
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关于矢量与标量及运算规则的探讨
初教13301班02号，肖文倩
摘要；论述了矢量与标量的重要方向的差异，介绍标量与矢量的重要辨别方法。
关键词；矢量，标量
引言；
在物理学中常常会遇到这两种性质不同的量，矢量与标量，将具有一定大小与方向且遵从平行四边形定则的量称为矢量。
标量只有大小没有方向。
如位移，加速度，角动量，角速度，电场强度等均为矢量，如长度，质量，路程等均为标量。
正文；
在实际中会遇到这样的问题，使用同样大小的力，作用于同一个物体上，所产生的效果却不相同。
若由大小为500牛顿的力F竖直作用于一物体，刚好能把该物体从地面上提起来。
而用大小同为500牛顿的力去斜拉此物体时，却只可能使其在地面上移动。
因此，要反映作用在物体上的力，不仅要指明它的大小，而且还必须指明它的方向。
又如，使用两个大小均为250牛顿的力F`作用于上述物体，在这样的情况下，这两个力的作用效果和一个方向与它们相同，大小为500牛顿的力的作用的效果相同。
同样可以把物体提起。
但是力倾斜时，这两个力却不能提起此物体。
这说明，在计算两个合力时，不能用简单的代数加法，而必须运用新的运算法则，像力这样的物理量，不仅有大小，而且有方向，相加时还必须符合一定的运算规则（平行四边形法则），这种物理量叫做矢量，位移，速度，加速度等都是矢量。
此外，还有一些物理量，只有数值大小，没有方向，而且相加时服从代数法则。
这种物理量叫做标量，如质量，时间等都是标量。
矢量通常用带有箭头的字母A或黑体字母A表示，在作图时，常用带箭头的线段来表示。
线段的长短按一定比例表示矢量的大小，箭头的指向表示矢量的方向，例如，一列高速火车以40米/秒的速度向东行驶，则其速度矢量V可用有向线段表示。
矢量的大小叫做矢量的模，矢量A的模常用符号 A
或A表示。
矢量的加法
矢量的运算不同于标量的运算。
例如，一物体同时受到几个力的作用，AB是一弹簧，A端固定，B端连接两根细线，分别通过定滑轮挂上0.3千克和0.4千克的砝码，两细线之间的夹角为90度。
当弹簧的B端静止在O点时，两根细线对B端的作用力F1和F2的大小分别为2.94牛顿和3.92牛顿。
如采用1-3B所示的装置，在B端连接一根细线，通过定滑轮后，挂上砝码，则当所加砝码为0.5千克时，弹簧的B端恰好静止于O点，此时，细线对B 端的作用力F的大小为4.9牛顿。
实验表明，力F使弹簧伸长的效果与F1和F2两个力共同
作用时的效果相同，我们把F 叫做F1和F2两个力的合力。
根据上述实验所表示的合力F 与F1和F2之间的关系，我们按一定的比例用线段BC 和BD 分别表示F1和F2的大小，并以它们为邻边作平行四边形，，用相同比例量出此平行四边形的对角线BE ，就等于合力F 的大小，对角线与某一邻边的夹角给出了合力F 的方向。
由此我们可以得到矢量合成的平行四边形法则；两矢量A 和B 相加的合矢量是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线矢量C 写成A+B=C 。
两矢量合成的平行四边形法则可以简化为三角形法则。
自矢量a 的末端起画出矢量b ，则自矢量a 的始端到矢量b 的末端画出的矢量c ，就是a 与b 的矢量和。
对于多矢量的合成，原则上可以逐次采用三角形发则，先求出其中两个的和，再将和矢量与第三个矢量相加……，
矢量的减法
=b 的大小相等而指向相反的另一矢量。
所以，矢量a 与b 之差可以看成是矢量a 与矢量-b 之和，同样可以采用平行四边形定则。
自b 末端向a 末端作一矢量，就是矢量a 与b 之差a-b
矢量合成的解析式
设矢量a 在平面直角坐标系xoy 上，a 与x 轴的夹角为α，其始端位于原点o 。
矢量a 的分量就是该矢量在x 轴和y 轴上的两个投影。
矢量在x 方向的分量Ax 和在y 方向分量Ay 分Ax=Acos α
Ay=Asin α
显然，矢量a 的模与分量Ax ，Ay 之间的关系是A 的绝对值等于()()A A 2
Y
2x A +=当a 与x 轴的夹角α=0时，Ax=A ；当α=180度时，Ax=-A 。
在讨论直线运动时要用到这个结论。
小结
矢量的概念是具有大小，方向的物理量，标量是只有数值大小，运算时遵从代数运算法则，矢量可以用一带箭头的有向线段来表示，矢量a 的大小与它的分量Ax ，Ay 间的关系为()()A A 2
Y
2x A +=矢量a 与x 轴的夹角α和分量Ax ，Ay 间的关系为α=arctg （Ay ）/（Ax ） 矢量的合成两个或两个以上的矢量合成时，得到的还是一个矢量。
A 与B 相加的合矢量，是以两矢量为邻边的平行四边形的对角线矢量C ，可写为A+B=C ，按照正交分解，和矢量C 在平面直角坐标系中的分量是Cx=Ax+Bx ；Cy=Ay+By 。
所以和矢量C 的大小是c c x y c 22+=;和矢量c 与x 轴的夹角为β=arctg （Cy ）/（Cx ）。