标量位与矢量位
1.2.1 标量和矢量
解： a b a b cos
5 4 cos120
1 5 4 ( ) 10 2
变式一
| a | 4，b | 4， b 8 2， | a
求a与b的夹角
8 2 2 解：由cos 2 | a || b | 4 4 可得＝45
2 解： b (a b) a
2 2 a 2a b b
62 2 6 4 cos 60 42
76 2 19
同理可得 a b 2 7
例4已知 | a | 3,| b | 4, 当且仅当k为何值时， . 向量a kb 与a kb 互相垂直？
F
θ
O 位移S A
问:
一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那 么力F 所做的功应当怎样计算？
力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角。
二、两个向量的夹角
则 AOB
两个非零向量 a 和 b ，作 OA a, OB b，
(0 180 )
c＋b· (分配律) c (3) (a＋b) · = a· c
矢量的矢积或叉乘（Vector product）
A B C
A B C AB sin
两个矢量的矢积是一个矢量，其大小是第一个矢量的 大小与第二个矢量的大小以及两矢量夹角的正弦值， 这三者的乘积，方向按右手螺旋法则确定。 C 矢量与 A 、B 矢量构成的 C 平面永远垂直！它的意义 是A、 矢量构成的平行四 B 边形的有向面积。 B
ik j jk i k k 0
4.3矢量磁位和标量磁位
'
0 Ia a cos ' x sin ')d ' A ( 1 sin cos ')( y 4r 0 r
x
0 Ia 2 sin A 4r 2
ˆ
A
0 Ia 2 sin ˆ A 2 4r
小电流环也称为磁偶极子
r
大小和方向用磁偶极矩表示
Thinking ！
矢量合成后，得
A
4π
V
JdV R
因此，线电流元引起的磁矢位为
Id l I d l A l 4π R 4π l R
这里事实是给了一种计算磁场的积分方法，先求矢量磁位关于电流的积 分，再对磁位 A 求旋度可得磁场 B 。
矢量磁位 A 、标量磁位 φm 与电位 φ 的比较
例1. 求半径为a电流为I的小电流环在远处(r>>a)的磁场. 0 J (r ' ) 解: 利用矢量磁位计算磁场 A(r ) 4 R dV ' V 对于线电流 JdV ' Idl '
z
取
ˆ' dl ' ad '
A(r ) 0 4
Idl ' R l
取场点
r
r
R
Hale Waihona Puke 源点到场点距离R2
'
I
a
y
ˆ' dl ' ad '
R
2
(r cos ) (r sin ) 2 a 2 2ar sin cos '
r 2 a 2 2ar sin cos '
《物理场论》标量位矢量位和波动方程
第3节 标量位、矢量位和波动方程
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
1. 矢量场的分类 2. 标量位 3. 矢量位 4. 波动方程
1、矢量场的分类
无源场：若
A
0
，则
A
为无源场，又称
无散场，涡旋场，如磁感应强度场。
无旋场：若
3、矢量位
矢量位：若场
B是无源场，
B
0
，则可找到
一个矢量场
(x,
y,
z,
t)
，使其满足
B
，称
为
场
B
的矢量位(矢位，矢势)。
散度是对源的精细描述，散度为0必定无源。
如果一个矢量场散度处处为零，即
A
0
，
则矢量场中的每条矢线都将闭合。
典型的例子是磁力线
矢量场
A
与势函数
v
的关系是
A
v
。
有势场是一个梯度场。
有势场的势函数有无穷多个，相互之间差一个
常数。
定理：矢量场
A
为有势场的充要条件是
A
为无
旋场。即
A 0。
有势场也称为保守场或无旋场。
(u) 0的物理意义是：对应有梯度的矢量场 必无旋。简言之：有势必无旋。
y,
z)，使其满足
A
，
称为
标量位（标位，标势）。 此为无旋场叫有位
（势）场的原因。
定义
：设有矢量场
物理中常见的矢量和标量
物理中常见的矢量和标量1.引言1.1 概述矢量和标量是物理学中常见的概念。
在物理学中，我们经常需要描述和测量物体的某些特性或属性，而这些特性或属性可以被分为两类：矢量和标量。
矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
例如，速度、力、位移和加速度等都是矢量量，它们除了有大小之外还有方向。
与此相反，标量是只有大小而没有方向的量。
标量只有数值大小，没有箭头来表示方向。
例如，时间、质量、温度和能量等都是标量量，它们只有一个数值大小而没有具体的方向。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
在运动学中，我们可以使用矢量来描述物体的运动状态，例如速度矢量可以告诉我们物体的速度和方向。
在力学中，矢量可以用来描述物体所受的力和力的作用方向。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量来描述。
总结起来，物理学中常见的矢量和标量分别指的是有大小和方向的量以及只有大小而没有方向的量。
它们在描述和测量物理现象中起着关键的作用。
在接下来的文章中，我们将详细讨论矢量和标量的定义、特点以及它们在物理学中的应用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍物理中常见的矢量和标量：第二部分将详细介绍矢量的定义和特点。
我们将从矢量的基本概念开始，解释什么是矢量以及它们的特点。
我们将探讨矢量的大小和方向，以及如何表示和运算矢量。
接着，第二部分将转向标量的定义和特点。
我们将解释什么是标量以及它们与矢量的区别。
我们将讨论标量的大小但没有方向的特点，并介绍一些常见的标量物理量。
第三部分将探讨矢量和标量在物理中的应用。
我们将以实际的例子来说明矢量和标量在物理学中的重要性和用途。
我们将讨论矢量和标量在运动学、力学和其他物理学领域中的应用，并解释它们如何帮助我们理解和描述物理现象。
最后，我们将在第三部分总结本文的主要内容和观点。
我们将强调矢量和标量在物理学中的作用，以及它们在解决物理问题时的重要性。
达朗贝尔方程及其解
由上可见，已知电流分布，即可求出矢量位 A 。已知电荷分布，由
即可求出标量位ψm 。求出 A 及 ψm 以后，即可求出电场与磁场。麦克斯
韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了简化。
因为原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中 需要求解六个坐标分量，
2 E 2 E J 1
标量位与矢量位
设媒质是线性均匀且各向同性的，那么对微分形式的麦克斯韦方
程 中 全 电 流 定 律 H J D 两 边 取 旋 度 ， 再 将 电 磁 感 应 定 律 t
E B 代入，整理后得 t
H 2H J
t 2
若对电磁感应定律两边取旋度，再将全电流定律代入，整理后得
特点，即场量仅为变量 r 的函数，与球坐标变量 及 无关。那么，在
除坐标原点以外整个空间，位函数满足的方程式为
2( ψm r 2
r
)
1 v2
2( ψm t 2
r
)
0
式中 v 1
0r
2019/11/19
7
上式为函数（ψmr）的齐次波动方程，其通解为
ψm
r
f1
2019/11/19
6
位函数方程的求解
函数方程的直接求解需要较多的数学知识，我们根据静态场的结果， 采用类比的方法，推出其解。
首先求解标量位函数方程。为此设场源是位于坐标原点的时变点电 荷，求出其解后，采用叠加原理推出任意分布的时变体电荷的解。
当场源是位于坐标原点的时变点电荷时，其场分布一定具有球对称
求得
A
μ
J
高中物理常见的矢量和标量
高中物理常见的矢量和标量高中物理常见的矢量和标量物理学是一门研究物质运动和相互作用的科学，而矢量和标量是物理学中常见的两种量。
它们在描述物理现象和计算物理量时起着重要的作用。
本文将介绍高中物理中常见的矢量和标量，并探讨它们的特点和应用。
一、矢量矢量是具有大小和方向的物理量。
在物理学中，常用箭头表示矢量，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
矢量的大小称为矢量的模，用数值表示。
矢量的方向可以用角度或者方向余弦表示。
高中物理中常见的矢量有位移、速度、加速度、力等。
以位移为例，位移是物体从一个位置到另一个位置的位移量，它既有大小又有方向。
当物体沿直线运动时，位移的大小等于物体的位移量，方向由起点指向终点。
当物体沿曲线运动时，位移的大小等于物体的位移量的代数和，方向由起点指向终点的切线方向。
矢量的运算有加法和减法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小之和，方向由两个矢量的方向决定。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小之差，方向由两个矢量的方向决定。
二、标量标量是只有大小而没有方向的物理量。
在物理学中，标量用普通字母表示，如时间、质量、温度等。
标量的大小用数值表示，没有方向。
高中物理中常见的标量有时间、质量、温度、功等。
以时间为例，时间是物体运动所经历的时间间隔，它只有大小没有方向。
时间的单位有秒、分钟、小时等。
标量的运算有加法、减法、乘法和除法。
标量的加法是指将两个标量相加得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之和。
标量的减法是指将一个标量减去另一个标量得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之差。
标量的乘法是指将两个标量相乘得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之积。
标量的除法是指将一个标量除以另一个标量得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之商。
三、矢量和标量的应用矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
矢量和标量标量和矢量的区别和运算法则
矢量和标量标量和矢量的区别和运算法则矢量和标量是物理学中常见的两个概念，它们在运算法则和性质上有着明显的区别。
本文将从定义、区别和运算法则三个方面详细讨论矢量和标量的特点。
一、定义矢量是具有大小和方向的物理量，如速度、力、位移等。
通常用箭头来表示，箭头的长度表示大小，箭头的方向表示方向。
例如，一个速度为10 m/s向东的矢量可以表示为10 m/s➞。
矢量在运算中保留了大小和方向的信息。
标量是只有大小而没有方向的物理量，如质量、时间、温度等。
标量可以用一个数值来表示，没有箭头或其他符号。
例如，一个质量为5 kg的标量可以简单表示为5 kg。
标量在运算中只关注大小，不考虑方向。
二、区别1. 大小和方向：矢量有大小和方向，标量只有大小。
例如，一个力的矢量可以表示为10 N向上，而标量只能表示为10 N。
2. 符号表示：矢量通常用箭头表示，标量直接用数值表示。
3. 运算法则：矢量有特定的运算法则，如矢量的加法、减法、数量积和向量积等。
而标量的运算法则和普通数学运算相同，只是考虑了单位的换算。
4. 变换规律：矢量在空间中保持不变，具有平移、旋转和镜像等变换规律。
而标量在空间中的变换规律与具体物理量无关。
三、运算法则1. 矢量的加法：根据平行四边形法则，两个矢量相加的结果是以它们为邻边构成的平行四边形的对角线。
例如，矢量a➞和矢量b➞相加的结果为矢量c➞，即a➞ + b➞ = c➞。
2. 矢量的减法：矢量的减法可以理解为加上它的负矢量，即a➞ -b➞ = a➞ + (-b➞)。
3. 数量积：数量积又称点积，表示两个矢量的数量上的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积的结果是一个标量。
例如，矢量a➞和矢量b➞的数量积为a➞·b➞ = |a➞| |b➞| cosθ，其中θ为两个矢量夹角的大小。
4. 向量积：向量积又称叉积，表示两个矢量的数量上的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，并且结果是一个新的矢量，垂直于原来两个矢量所在的平面。
动力学中的矢量与标量的区别
动力学中的矢量与标量的区别动力学是研究物体运动规律的学科，而矢量和标量是描述物理量的两种不同方式。
在动力学中，矢量和标量有着重要的区别和应用。
本文将从定义、性质和应用等方面介绍动力学中矢量与标量的区别。
一、矢量的定义和性质矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示。
在运动学和动力学中，矢量用来描述物体的速度、加速度、力等。
矢量的定义包括以下几个要素：大小、方向和作用点。
首先，大小指的是矢量的数量，有时也被称为模或大小。
例如，如果我们用矢量表示物体的速度，那么它的大小就代表了物体运动的快慢。
其次，方向指的是矢量的指向或朝向。
在物理中，我们常使用方位角或坐标系来表示矢量的方向。
对于速度矢量来说，方向可以表示物体的运动方向。
最后，作用点是指矢量所指向的位置。
例如，如果我们用矢量表示力，那么作用点就代表了力的施加位置。
矢量具有以下几个性质：1. 矢量之间可以进行加法和减法运算。
当两个矢量的方向相同时，则它们相加时大小为向量和。
当两个矢量的方向相反时，则它们相减时大小为两个向量之差。
2. 矢量和标量之间可以进行乘法运算。
矢量与标量相乘时，矢量的大小会按照标量的大小进行缩放，而方向保持不变。
3. 矢量可以进行正负号的运算。
正负号的改变只会改变矢量的方向，而不会改变矢量的大小。
二、标量的定义和性质标量是只有大小而没有方向的物理量，可以用实数表示。
在动力学中，标量常用来描述物体的质量、体积、时间等。
标量的定义只包括大小，不包括方向。
标量具有以下几个性质：1. 标量之间可以进行加法和减法运算。
当两个标量相加或相减时，结果仍然是一个标量。
2. 标量可以与矢量进行乘法运算。
标量与矢量相乘时，矢量的大小会按照标量的大小进行缩放，而方向保持不变。
3. 标量可以进行正负号的运算。
正负号的改变只会改变标量的值，而不会改变标量的性质。
三、矢量和标量的应用在动力学中，矢量和标量有着不同的应用。
1. 矢量的应用：矢量可以用来描述物体的速度、加速度和力等。
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2
A
(
A)
2 A t 2
t
J
2 ( A)
t
已定义了矢量场 A 的旋度， A B ， 必须再规定其散度。
为了简化计算，令
A Φ
t
洛伦兹条件
则前两式可以简化为
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ
t 2
仅与电流 J 有 关
仅与电荷 有关
原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。
Jr,t r r
A(r,t)
v dV
4π V
r r
式中， V ' 为电流 J 的分布区域。
r2 v2 t2 0
式中 v 1
0 r
上式为函数 ( r) 的齐次波动方程，其通解为
r
f 1t
r v
f
2 t
r v
式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍
去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电
位为
Φ(r,t)
f 1t
r v
r
已知位于原点的静止点电荷 q 产dV生的电位为
4. 标量位与矢量位 设介质是线性均匀且各向同性的，那么由麦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
克斯韦方程可得
E 2 E J
t 2
t
H 2H J
t 2
利用矢量恒等式 A ，同 A时考2虑A 到
及 ，那 么B 上 0述两式 D变为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
原来电磁场的矢量方程为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
t 2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量
。 位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ t 2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。
在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程 。
5. 位函数方程的求解 根据静态场结果，采用类比方法推出其解。
先求解时变点电荷的矢量位，再利用叠加原
理导出分布的时变体电荷的矢量位。
z
(r, t) r
当时变点电荷位于坐标原点
时，其场分布与 及 无关。那
么，在除坐标原点以外整个无源
O
y 空间，位函数 满足的方程式为
x
2 ( r) 1 2 ( r)
可见函数 f1 为
(r) dV 4π r
f1 t
r v
t
r v
4π
dV
因此位于原点的时变点电荷的标量位为
d
(r,
t)
t
r v
dV
4π r
式中 r 为体元 dV 至场点的距离。
z
r,t r r
v
位于 V 中的体电荷 在 r 处产生的电位为
r'
dV'
V' r
r' - r
(r, t) 1 (r, t) 4π
V
��r ,t r r
v
� r r
� � � V
d
O
y
x
将矢量位方程在直角坐标系中展开，则矢量位
A 各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式
即，
2 A
2 Ax
x
t 2
Jx
2 Ay
2 Ay t 2
J y
2 Az
z2 A
t 2
J
z
每个分量的解结构同前。三个分量合成后，矢
量位 A 的解为
为一个标量场
的A梯t 度，为示即无旋场。因此可以表
E A
t
式中 称为标量位。求得
E A
t
当 A 与时间无关时
E
B A
因此，标量位 – 标量电位；矢量位 A – 矢量磁位。
将位函数代入麦克斯韦方程，求得
A
J
2 A t 2
t
At
再利用矢量恒等式 A ，上 A两式2又A可表 示为
t 2
场与源的关系比较复杂。
引入标量位与矢量位作为两个辅助函数 , 可以简 化时变电磁场的求解。
已知 B 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度。
即
B A
式中， A 称为矢量位。
将上式代入式 E B 中，
得
t
E ( A)
t
上式又可改写为
E
A t
0
可见，矢量场 E