矢量场的散度是标量
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如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为： u ( x, y , z )、 F (x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为： u ( x, y, z, t) 、 F ( x, y, z, t)
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
方向导数与选取的考察方向有关。
第一章 矢量分析
方向导数的计算
u u cos u cos u cos
l x
y
z
式中： 、 、 分别为 l与x,y,z坐标轴的夹角。 c o s 、 c o s 、 c o s —— 的l 方向余弦。
方向导数物理意义：
u 0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向增加率；
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
A A(ex cos ey cos ez cos ) eA ex cos ey cos ez cos
第一章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evy
By
evz
Bz
矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影
第一章 矢量分析
梯度的运算
直角坐标系：
grad
u
u x
r ex
u y
r ey
u z
r ez
哈密顿算符
( x
r ex
y
r ey
z
r ez
)u
u
柱面坐标系：
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
rr r r
F E Hv 矢r量可表示为：A
B evA
r vD A 其中
eA
A A
A为模值，表征矢量的大小；
第一章 矢量分析
标量场（）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场
以箭头表示的矢量场A
第一章 矢量分析
1.1 标量场的梯度
• 标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
Bx
)
evy
( Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
AB
B
Байду номын сангаас
B
A
AB
B
A
第一章 矢量分析
矢量的乘法
➢ 矢量与标量相乘
v kA
evx
u
0 l M0
，标量场
u在
M
处沿
0
l
方向减小率；
u
0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
第一章 矢量分析
1.1.3 标量场的梯度
梯度的定义
gradu(x, y,
式中：erl 为场量 u
r z) el
u l
max
最大变化率的方向上的单位矢量。
梯度的性质
标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
v vv v vv v vv A• (B C) B • (C A) C • (A B) v v v vv v vv v A(BC) B(A•C) C(A• B)
式中：C为常数； u , v为坐标变量函数；
第一章 矢量分析
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
evA为单位矢量，表征矢量的方向；
矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
A
矢量的几何表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D。教材
上的矢量符号即采用印刷体。
第一章 矢量分析
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az Ax A cos Ay A cos Az A cos
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。
即若标量函数为 u u(x, y, z) ，则等值面方程为：
u(x, y, z) c const
1.1.2 方向导数
方向导数定义：
u lim u(M ) u(M0 )
l l0 M0
l
u(rv)
l
M
M0
l
方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。
2、两个矢量的点积为标量
第一章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz )
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
➢ 矢量的标积（点积）
r r rr
v
A • B A B cosAB
B v
Ax Bx Ay By Az Bz
AB
A
说明：
1、矢量的点积符合交换律和分配律：
vv vv v v v vv vv A• B B • A A•(B C) A• B A•C
x
表示对 x, y, z 运算
第一章 矢量分析
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
(evr
r
ev
1 r
evz
) z
u
u r
r er
1 r
u
r e
u z
r ez
球面坐标系：
(evr
r
ev
1 r
ev
(
r
1
sin
)
)
u
u r
evr
1 u
r
ev
1
r sin
u
ev
第一章 矢量分析
梯度运算相关公式
C 0
((Cu u)v)
Cu u
v
(uv) uv vu
f (u) f (u)u
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为： u ( x, y , z )、 F (x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为： u ( x, y, z, t) 、 F ( x, y, z, t)
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
方向导数与选取的考察方向有关。
第一章 矢量分析
方向导数的计算
u u cos u cos u cos
l x
y
z
式中： 、 、 分别为 l与x,y,z坐标轴的夹角。 c o s 、 c o s 、 c o s —— 的l 方向余弦。
方向导数物理意义：
u 0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向增加率；
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
A A(ex cos ey cos ez cos ) eA ex cos ey cos ez cos
第一章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evy
By
evz
Bz
矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影
第一章 矢量分析
梯度的运算
直角坐标系：
grad
u
u x
r ex
u y
r ey
u z
r ez
哈密顿算符
( x
r ex
y
r ey
z
r ez
)u
u
柱面坐标系：
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
rr r r
F E Hv 矢r量可表示为：A
B evA
r vD A 其中
eA
A A
A为模值，表征矢量的大小；
第一章 矢量分析
标量场（）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场
以箭头表示的矢量场A
第一章 矢量分析
1.1 标量场的梯度
• 标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
Bx
)
evy
( Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
AB
B
Байду номын сангаас
B
A
AB
B
A
第一章 矢量分析
矢量的乘法
➢ 矢量与标量相乘
v kA
evx
u
0 l M0
，标量场
u在
M
处沿
0
l
方向减小率；
u
0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
第一章 矢量分析
1.1.3 标量场的梯度
梯度的定义
gradu(x, y,
式中：erl 为场量 u
r z) el
u l
max
最大变化率的方向上的单位矢量。
梯度的性质
标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
v vv v vv v vv A• (B C) B • (C A) C • (A B) v v v vv v vv v A(BC) B(A•C) C(A• B)
式中：C为常数； u , v为坐标变量函数；
第一章 矢量分析
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
evA为单位矢量，表征矢量的方向；
矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
A
矢量的几何表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D。教材
上的矢量符号即采用印刷体。
第一章 矢量分析
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az Ax A cos Ay A cos Az A cos
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。
即若标量函数为 u u(x, y, z) ，则等值面方程为：
u(x, y, z) c const
1.1.2 方向导数
方向导数定义：
u lim u(M ) u(M0 )
l l0 M0
l
u(rv)
l
M
M0
l
方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。
2、两个矢量的点积为标量
第一章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz )
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
➢ 矢量的标积（点积）
r r rr
v
A • B A B cosAB
B v
Ax Bx Ay By Az Bz
AB
A
说明：
1、矢量的点积符合交换律和分配律：
vv vv v v v vv vv A• B B • A A•(B C) A• B A•C
x
表示对 x, y, z 运算
第一章 矢量分析
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
(evr
r
ev
1 r
evz
) z
u
u r
r er
1 r
u
r e
u z
r ez
球面坐标系：
(evr
r
ev
1 r
ev
(
r
1
sin
)
)
u
u r
evr
1 u
r
ev
1
r sin
u
ev
第一章 矢量分析
梯度运算相关公式
C 0
((Cu u)v)
Cu u
v
(uv) uv vu
f (u) f (u)u