2013电磁场与电磁波1(散度旋度)
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“电磁场与电磁波”课程教学探讨
“电磁场与电磁波”课程教学探讨作者：刘鑫赵志信来源：《中国电力教育》2013年第14期摘要：“电磁场与电磁波”是通信工程专业的重要基础课程。
在分析课程特点的基础上，从围绕一条线展开教学、教学中结合实际应用、多媒体与板书相结合、健全考核机制等方面对“电磁场与电磁波课程”教学进行讨论，通过实践证明这些方法可以有效地提高教学质量。
关键词：电磁场与电磁波；教学内容；教学方法作者简介：刘鑫（1980-），女，黑龙江佳木斯人，黑龙江科技大学电气与信息工程学院，讲师；赵志信（1979-），男，黑龙江哈尔滨人，黑龙江科技大学电气与信息工程学院，讲师，哈尔滨工业大学电子与信息工程学院博士研究生。
基金项目：本文系黑龙江省教育厅“十二五”规划课题“EIP-CDIO在电磁场与微波技术类课程教学中的应用”（课题编号：GBD1212069）、黑龙江省高教学会十二五规划课题“EIP-CDIO 模式下电磁场与微波技术类课程教学改革探讨”（课题编号：HGJXH C110902）、黑龙江科技大学教研项目的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）14-0073-02“电磁场与电磁波”课程是通信工程专业的一门专业基础课。
它是在“大学物理”（电磁学）课程的基础上进一步研究电磁场与电磁波的基本属性、描述方法、运动规律、与物质的相互作用及其应用。
“电磁场与电磁波”是“微波技术”、“移动通信”、“光纤通信”等相关课程的前续课程，可见该课程在通信工程专业课程体系中的重要性。
学生在学习本门课程时普遍反映难度很大。
以下针对本课程的特点，就教学内容和方法进行探讨。
一、“电磁场与电磁波”课程特点1.所需基础知识面广“电磁场与电磁波”课程是以高等数学、大学物理、复变函数等课程为基础，所涉及的内容很广。
因此要想学好这门课，必须有很好的数学和物理基础。
2.推导多、计算难“电磁场与电磁波”课程中所涉及的公式和推导很多且计算难度大，许多结论是由推导总结而得到的。
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
静电场的散度与旋度 恒定磁场及其散度与旋度
S
S
1 E ( r ) dS
0
(r ) E (r ) 0
F ( x, y, z ) dl
C
无
0
0
V
( r )dV
S
n
S
F
M
0
高斯定理表明：
C
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
第一课
2013/3/25
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
2.2.2 静电场的散度与旋度 1. 静电场散度与高斯定理 回顾1.1 矢量场通量的概念
F ( x, y, z )
1.2 通量的物理意义
en
dS
面积元矢量
dS en dS ——
en ——
d F en dS ——
R (r ) 3 dV R
(r ) R
R3
1 E (r )
0
V
(r ) R dV
V
V
1 dV 4 π 0
V
1 1 2.2.10) p43 (r ) dV 4 π 0 V R 1 1 E (r ) (r ) 2 dV 4π 0 V R 2 1 4 π R R 1 E (r ) (r ) R dV 2.2.11) p43
( R r r )
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
电磁场与电磁波1-4(静电场的无旋性发散性)
S
} ↔ ↔
↔
∫ D⋅ d S = ∫∇ ⋅ D dV
S
q = ∫ ρdV
⇒
z 写成微分的形式为
↔
∇⋅D= ρ
一、静电场发散性
{ 静电场发散性：
z 根据微分形式
↔
∇⋅D= ρ
↔
↔
= ∇ ⋅ ε E = ε∇ ⋅ E
↔
展开 ∇ ⋅ D
e e e e e e =
↔
x
∂ ∂x
+
↔
y
∂ ∂y
+
↔
z
∂ ∂z
第一章 静电场
{ 第一节 矢量分析 { 第二节 库仑、高斯定律 { 第三节 电位、电位梯度 { 第四节 静电场的无旋性、发散性（基本方
程） { 第五节 静电场的能量和力 { 第六节 边界条件
一、静电场发散性
{ 静电场发散性：积分形式、微分形式
z 根据第二节高斯定律，有积分形式
↔↔
∫ D⋅ d S = q
↔
↔
E = −∇ϕ ⇒∇ × E = −∇ × (∇ϕ) = 0
二、静电场无旋性
{ 静电场无旋性：
↔
z 根据微分形式 ∇ × E = 0
↔
E 展开 ∇ × =
e e e e e e =
↔
x
∂ ∂x
+
↔
y
∂ ∂y
+
↔
z
∂ ∂z
×
↔
x Ex +
↔
y Ey +
↔
z
Ez
e e e =
↔
x
∂Ez ∂y
⋅
↔
x Dx +
} ↔ ↔
↔
∫ D⋅ d S = ∫∇ ⋅ D dV
S
q = ∫ ρdV
⇒
z 写成微分的形式为
↔
∇⋅D= ρ
一、静电场发散性
{ 静电场发散性：
z 根据微分形式
↔
∇⋅D= ρ
↔
↔
= ∇ ⋅ ε E = ε∇ ⋅ E
↔
展开 ∇ ⋅ D
e e e e e e =
↔
x
∂ ∂x
+
↔
y
∂ ∂y
+
↔
z
∂ ∂z
第一章 静电场
{ 第一节 矢量分析 { 第二节 库仑、高斯定律 { 第三节 电位、电位梯度 { 第四节 静电场的无旋性、发散性（基本方
程） { 第五节 静电场的能量和力 { 第六节 边界条件
一、静电场发散性
{ 静电场发散性：积分形式、微分形式
z 根据第二节高斯定律，有积分形式
↔↔
∫ D⋅ d S = q
↔
↔
E = −∇ϕ ⇒∇ × E = −∇ × (∇ϕ) = 0
二、静电场无旋性
{ 静电场无旋性：
↔
z 根据微分形式 ∇ × E = 0
↔
E 展开 ∇ × =
e e e e e e =
↔
x
∂ ∂x
+
↔
y
∂ ∂y
+
↔
z
∂ ∂z
×
↔
x Ex +
↔
y Ey +
↔
z
Ez
e e e =
↔
x
∂Ez ∂y
⋅
↔
x Dx +
《电磁场与电磁波》课后习题解答第一章
n(x2
y2
z2)
(x2 y2 z2)2 (x2 y2 z2)
(n 3)rn
【习题 1.20 解】
1
已知 r (x2 y2 z2 )2
r xex yey zez
所以
(1)
r
(ex
x
ey
y
ez
z
)
(
xex
yey
zez )
ex ey ez
xyz
Bx ex By ey Bz ez
取一线元： dl exdx eydy ezdz
则有
B dl
ex ey ez Bx By Bz 0 dx dy dz
则矢量线所满足的微分方程为
dx dy dz Bx By Bz
或写成
dx dy dz ＝k(常数) a2 z a3 y a3x a1z a1 y a2x
对（3）（4）分别求和
（4）
d (a1x) d (a2 y) d (a3 z) 0 xdx ydy zdz 0
d (a1x a2 y a3 z) 0 d(x2 y2 z2) 0
所以矢量线方程为
a1x a2 y a3 z k1
x2 y2 z2 k2
【习题 1.6 解】
ex ey ez A B (ex 9ey ez ) (2ex 4ey 3ez ) 1 9 1
2 4 3
31ex 5ey 14ez
【习题 1.3 解】
已知 A ex bey cez , B ex 3ey 8ez ,
（1）要使 A B ，则须散度 A B 0
所以从 A B 1 3b 8c 0 可得： 3b 8c 1
即 12ex 9ey ez • aex bey 12a 9b 0 ⑴
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u u u grad u =u a x ay az x y z
l
u grad u al l
l
M (x0 +x,y0 + y,z0 + z)
du grad u dl
M0 (x0,y0,z0)
* 标量场的梯度是一个矢量场； * 当al的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。 * 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数， 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
矢量上任一点的切向矢量线元与矢量场之间的关系？ 方向平行
F dl 0
dl axdx aydy azdz
ax ay az A B Ax Ay Az Bx By Bz
F ax Fx ay Fy az Fz
矢量A Ax a x Ay a y Az a z 矢量B Bx a x By a y Bz a z
柱坐标系
divA A 1 ar a az ar Ar a A az Az r z r 1 1 A Az rAr r r r z
其中利用
a ar a , ar
ax F dl Fx
ay Fy
az Fz 0
dx dy dz Fx Fy Fz
求出该微分方程的 通解可绘出矢量线
dx dy dz
例：设点电荷q位于坐标原点.它在周围空间任一点M(x, y, z)所产生的 q 电场强度矢量为:
E
4 0 r
3
r
式中,q和0都是常数;r=axx+ayy+azz 是M点的位置矢径,求E的矢 量线方程的通解并画出矢量线图. 解: E
y
同理 左右
Ay Ay y x z Ay x z y Ay xy z y
z
Ay
Ay y Ay y
o
x
y
上下
Az Az z xy Az xy z Az x y z z
旋度
旋度是反映漩涡源的一个矢量， 方向：使得环量密度最大时面元的法向 大小：该点最大的环量面密度。
dS n
A dl rotA max lim c n n S 0 S
环量面密度等于旋度在面元法线方向的投影
rotA n lim
A ax Ax a y Ay az Az
则A沿闭合路径1234的环量为
c
A dl A a y dy A a z dz
1 2
A a y dy A a z dz
1 2
A Ay y Az z y z y Ay Ay z y Az z z Az Ay y z z y
ar a ar a 0 0 z z r r
球坐标系 divA A 1 2 1 1 A 2 r Ar sin A r r r sin r sin
散度基本运算公式
C 0
(CA) C A
( A B) A B
(uA) u A A u
例：原点处点电荷q产生的电位移矢量 D
试求原点以外的空间点上电位移矢量D的散度。
q q a r 2 r 3 4 r 4 r
r xa x ya y za z
解： D
q x y z a a a 3 x 3 y 3 z 4 r r r qx qy qz , Dy , Dz Dx 3 3 4 r 4 r 4 r 3 Dx q r 2 3 x 2 Dy q r 2 3 y 2 Dz q r 2 3z 2 , , 5 5 r 4 r 4 r5 x 4 y z Dx Dy Dz divD D x y z q 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0 5 4 r
z
Az A z z z
所以总净通量为
o x
前后
Az
y
A d S
S
左 右 上 下 V
A x A y Az y z x
令 V 0 ，则
V 0
lim
S
A a x Ax a y Ay a z Az
从前后一对表面
z
Ax
x , x x 穿出的净通量
Ax
前后
Ax Ax x y z Ax y z x Ax xy z x
o x
Ax x x
含义：散度为0通量源的密度为0 ??
【Gauss散度定理】
设S是矢量场A 空间内的一个闭合面，V是闭合面S所围的 体积，则有
意义：
V
AdV AdS
S
单位体积的通量的体积分是V内的总通量源，矢量在闭合 面上的面积分也是V内的总通量源，两种算法结果一样。
A dV
散度(divergence)
描述每一点场与源的关系 定义：设有矢量场A ，在场中任意一点M处作一个包 含M点在内的任一闭合曲面S，S所限定的体积为 V ， 当体积 V 以任意方式缩向M点时，取极限，若该极 限存在，则定义为散度。
divA lim
散度的物理意义
•
S
A dS V
V 0
矢量场的旋度
矢量场在闭合路径的环量 矢量场的旋度 旋度的基本运算公式 斯托克斯定理
矢量的环量
环量:矢量A沿闭合路径的线积分。
c
A dl
c
A cos d l
• 环量表达的是旋涡特性，环量越大，旋转的趋势越强 • 与矢量及路径有关 • 描述的是旋涡特性的总量
V
A dS
S
V
AdV A dS
S
证明：对于任意一个小体积元△Vi，有
A lim
在△Vi→0，有
Vi 0
Si
A d S
Vi 0
Vi
lim AVi A dS
Si
对所有△Vi叠加，有
lim AV
矢量场的通量
将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS，即dS= n dS ,n 是面元法线方向的单位矢量。 面元通量 d A ds Ads cos 反映矢量通过面元的量（如：水量） 对于开表面, n与表面的闭合曲线构成 右手螺旋关系。 对于闭合表面, n为外法向单位矢。 矢量与 n成锐角，通量为正
矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因 此又可称为通量源密度。
在场中任意一点M处 若 div A 0 ，表明该点有发出通量线的正源。 若 div A 0 ，表明该点有吸收通量线的负源。 若 div A 0 ，表明该点无源。
div A 0
div A 0
div A 0
散度运算能起到验源的作用。
散度在三个坐标系中的计算公式
直角坐标系
以点M(x,y,z)为顶点做一个平行六面体，三个边长 x , y , z， 六个面 x , x x , y , y y , z , z z 分别与三个坐标面平 行，体积为 V x y z 。 设点M处的矢量
i 1 Vi 0 i i 1
k
k
Si
A dS
公共面上
nin n jn
A dSi A dS j
i 1
k
Si
A dS A dS
S
则
V
AdV A dS
S
得证。
Guass定理把通量源的体积分变换为S面上场的面积分。
第一章 矢量分析
矢量场和标量场 三种常用的坐标系 矢量的基本运算 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 亥姆霍兹定理
内容回顾---方向导数和梯度
u ( M ) u ( M 0 ) u u u u lim cos cos cos 0 l l l x y z
S 0
c
A dl S
对比方向导数和梯度的概念！！
旋度为0，该点无漩涡 旋度不为0，该点有漩涡 如果矢量场处处旋度为0，则该矢量场为无旋场
旋度在三个坐标系中的计算公式
直角坐标系 以点M(x,y,z)为顶点在平行于 yoz平面上，取矩形面元 设点M处的面元矢量为
S x a x y z
A dS V
Ax A y Az x y z
故A的散度为
Ax A y Az div A x y z ax ay az a x Ax a y A y a z A z y z x A
q 4 0 r
3
(a x x a y y a z z ) a x E x a y E y a z E z
y C1 x z C2 y
dx dy dz x y z
式中,C1和C2为任意常数，可以看出， 电力线是一簇从点电荷所在点向空间 发散的径向辐射线，这一簇矢量线形 象地描绘出点电荷的电场分布状况。
环量面密度：
在场矢量A空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边 界曲线为c，面元法线方向为n，当面元面积无限缩小 时,A在点M处沿n方向的环量面密度可定义为：