电磁场与电磁波-1 电磁模型
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《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理
A ( B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
电磁场与电磁波第一章 ppt课件
电磁学的建立，根源于人类对早期发现的一 些电磁现象进行的物理解释，如静电吸物、摩擦 生电、磁石相吸、库仑实验等。
电磁场理论的发展经历三个阶段：
• （一） 静电学、静磁学的建立阶段（19世纪前）
这一阶段，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分 别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的 研究为电磁学理论的建立奠定了基础。
o 2
坐标单位矢量 e,e,ez
z
e e ez
位置矢量
reezz
微分单元关系
线元矢量
d r e d e d e z d z
圆柱坐标系
面元矢量 体积元
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezd积元
赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯 韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观 电磁场理论的奠基人。
三、电磁场理论的主要研究与应用领域
电磁 场理 论的 主要 研究
领域
作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。
作为电子信息技术的理论 基础，集中于三大类应用 问题的研究。
• 信息类专业与电有关的两大核心知识基础：
电路理论
电磁场理论
• 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基 础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点 对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有 关专业课程奠定必要的理论基础。
二、电磁场理论的发展简史
电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用 的现象、规律和应用的学科。
体积元
dVdxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o
电磁场理论的发展经历三个阶段：
• （一） 静电学、静磁学的建立阶段（19世纪前）
这一阶段，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分 别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的 研究为电磁学理论的建立奠定了基础。
o 2
坐标单位矢量 e,e,ez
z
e e ez
位置矢量
reezz
微分单元关系
线元矢量
d r e d e d e z d z
圆柱坐标系
面元矢量 体积元
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezd积元
赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯 韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观 电磁场理论的奠基人。
三、电磁场理论的主要研究与应用领域
电磁 场理 论的 主要 研究
领域
作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。
作为电子信息技术的理论 基础，集中于三大类应用 问题的研究。
• 信息类专业与电有关的两大核心知识基础：
电路理论
电磁场理论
• 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基 础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点 对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有 关专业课程奠定必要的理论基础。
二、电磁场理论的发展简史
电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用 的现象、规律和应用的学科。
体积元
dVdxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o
电磁场与电磁波(第7章)1
Ex
ez Ex H x H y H z e y z (ex t e y t ez t ) z 0
由此可得
H x H z t t 0
H
x
H y Ex z t 和 H 均与时间无关，因此它们不是波动的部分，故可取
定义
无损耗介质是一种理想情况，在这里指电导率
0
平面波中的电场复数表示形式
E ex Ex ex E0 exp[i(t kz)]＝ex E0 exp[i(t kz / )]
理解
电场矢量的方向是 x 方向，电磁波则是沿 z 方向传播
波速为
v / k 1/ k / v
0
及
Jc 0
H E B t t B 0或 H 0 H E t
一般媒质中的麦克斯韦方程组变为： D 0
( H ) ( D) ( E ) t t
7.3 平面电磁波在有损耗介质中的传播
定义
实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在有损耗介质中的传 播具有实际意义。有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电 导率 0 ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。 有损耗介质中出现的传导 电流会使在其中传播的电 磁波发生能量损耗，从而 导致波的幅值随着传播距 离的增大而下降。研究表 明，传播过程中幅值下降 的同时，波的相位也会发 生变化，致使整个传输波 的形状发生畸变，如图所 示 平面波在有耗介质中的传播
1. 等效介电系数
对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有
E i H H Jc i E E i E
ez Ex H x H y H z e y z (ex t e y t ez t ) z 0
由此可得
H x H z t t 0
H
x
H y Ex z t 和 H 均与时间无关，因此它们不是波动的部分，故可取
定义
无损耗介质是一种理想情况，在这里指电导率
0
平面波中的电场复数表示形式
E ex Ex ex E0 exp[i(t kz)]＝ex E0 exp[i(t kz / )]
理解
电场矢量的方向是 x 方向，电磁波则是沿 z 方向传播
波速为
v / k 1/ k / v
0
及
Jc 0
H E B t t B 0或 H 0 H E t
一般媒质中的麦克斯韦方程组变为： D 0
( H ) ( D) ( E ) t t
7.3 平面电磁波在有损耗介质中的传播
定义
实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在有损耗介质中的传 播具有实际意义。有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电 导率 0 ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。 有损耗介质中出现的传导 电流会使在其中传播的电 磁波发生能量损耗，从而 导致波的幅值随着传播距 离的增大而下降。研究表 明，传播过程中幅值下降 的同时，波的相位也会发 生变化，致使整个传输波 的形状发生畸变，如图所 示 平面波在有耗介质中的传播
1. 等效介电系数
对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有
E i H H Jc i E E i E
电磁场与电磁波--电磁感应定律及位移电流
2.5 电磁感应定律和位移电流
• 电磁感应定律 —— 揭示时变磁场产生电场。 • 位移电流 —— 揭示时变电场产生磁场。 • 重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一
的电磁场。
2.5 电磁感应定律和位移电流
法拉第电磁感应定律
in
d
dt
rr
S B dS
in
d dt
rr B dS
rr r
rr
r Ec ,
则总电场
r E
应为
r Ein与
r Ec 之和，
Ñ 即 E Ein Ec 。由于 C Ec dl 0 ，故有
r
ÑC E
r dl
d dt
S
rr B dS
静止回路 法拉第电
这就是麦克斯韦推广的法拉第电磁感应定律。
磁感应定
引起回路中磁通变化的几种情况
律积分形 式（麦克
(1) 回路不变，磁场随时间变化 磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
r E
r ex
Em
cost
则位移电流密度为
r Jd
r D t
erx0r Em
sin(t)
其振幅值为
Jdm 0r Em 4.5103 Em
传导电流的振幅值为
Jcm Em 4Em
故
Jdm 1.125103 J cm
2.5 电磁感应定律和位移电流
例 2.5.4 自由空间的磁场强度为
r （2）线圈绕 x 轴旋转时，en的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种
方法计算。
利用式 in
d dt
rr B dS
S
计算
假定 t 0 时 0 ，则在时刻 t 时，ern 与y 轴的夹角 t ，故
• 电磁感应定律 —— 揭示时变磁场产生电场。 • 位移电流 —— 揭示时变电场产生磁场。 • 重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一
的电磁场。
2.5 电磁感应定律和位移电流
法拉第电磁感应定律
in
d
dt
rr
S B dS
in
d dt
rr B dS
rr r
rr
r Ec ,
则总电场
r E
应为
r Ein与
r Ec 之和，
Ñ 即 E Ein Ec 。由于 C Ec dl 0 ，故有
r
ÑC E
r dl
d dt
S
rr B dS
静止回路 法拉第电
这就是麦克斯韦推广的法拉第电磁感应定律。
磁感应定
引起回路中磁通变化的几种情况
律积分形 式（麦克
(1) 回路不变，磁场随时间变化 磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
r E
r ex
Em
cost
则位移电流密度为
r Jd
r D t
erx0r Em
sin(t)
其振幅值为
Jdm 0r Em 4.5103 Em
传导电流的振幅值为
Jcm Em 4Em
故
Jdm 1.125103 J cm
2.5 电磁感应定律和位移电流
例 2.5.4 自由空间的磁场强度为
r （2）线圈绕 x 轴旋转时，en的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种
方法计算。
利用式 in
d dt
rr B dS
S
计算
假定 t 0 时 0 ，则在时刻 t 时，ern 与y 轴的夹角 t ，故
电磁场与电磁波基础(第1章)
2013-7-17 电磁场与电磁波基础 6
●法国物理学家 查利· 奥古斯丁· 库仑
（Charles Augustin de Coulomb 1736～1806） 电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多 物理学巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利· 奥古斯 丁· 库仑就是其中影响力非常巨大的一员。 1785年，库仑用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库 仑定律。同年，他在给法国科学院的《电力定律》的论文中详 细地介绍了他的实验装置，测试经过和实验结果。
我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例 如自由落体现象，说明存在一个重力场；指南针在地 球磁场中的偏转，说明存在一个磁场；人们对冷暖的 感觉说明空间分布着一个温度场等等。 场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的 每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理 量来描述。 当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关 时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间 的分布就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的 分布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的 基本概念。
电磁场与电磁波基础 （第2版）
Fundamentals of Electromagnetic Fields and Waves
电子工业出版社
2013-7-17 电磁场与电磁波基础 1
前
言
电磁场与电磁波理论是近代自然科学中，理论相对最完整 、应用最广泛的支柱学科之一。电磁场与电磁波技术已遍及人 类的科学技术、政治、经济、军事、文化以及日常生活的各个 领域。 人类对电磁现象的认识源远流长，但其知识与应用开始形 成系统化和理论化则始于18世纪，伽伐尼、伏打、高斯、富兰 克林、卡文迪什、库仑等著名科学家对电磁现象所作的卓有成 效的研究启动了电磁世界这一巨轮的运转。 19世纪是电磁研究蓬勃开展的时代，法拉第、欧姆、傅立 叶、基尔霍夫、奥斯特、安培、毕奥、萨伐尔、麦克斯韦、斯 托克斯、汤姆森、赫兹、楞次、雅可比、西门，单单从这些名 字和科学家的阵容，你就可以感受到这一时期的电磁科学取得 了多么辉煌的成就。
●法国物理学家 查利· 奥古斯丁· 库仑
（Charles Augustin de Coulomb 1736～1806） 电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多 物理学巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利· 奥古斯 丁· 库仑就是其中影响力非常巨大的一员。 1785年，库仑用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库 仑定律。同年，他在给法国科学院的《电力定律》的论文中详 细地介绍了他的实验装置，测试经过和实验结果。
我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例 如自由落体现象，说明存在一个重力场；指南针在地 球磁场中的偏转，说明存在一个磁场；人们对冷暖的 感觉说明空间分布着一个温度场等等。 场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的 每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理 量来描述。 当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关 时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间 的分布就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的 分布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的 基本概念。
电磁场与电磁波基础 （第2版）
Fundamentals of Electromagnetic Fields and Waves
电子工业出版社
2013-7-17 电磁场与电磁波基础 1
前
言
电磁场与电磁波理论是近代自然科学中，理论相对最完整 、应用最广泛的支柱学科之一。电磁场与电磁波技术已遍及人 类的科学技术、政治、经济、军事、文化以及日常生活的各个 领域。 人类对电磁现象的认识源远流长，但其知识与应用开始形 成系统化和理论化则始于18世纪，伽伐尼、伏打、高斯、富兰 克林、卡文迪什、库仑等著名科学家对电磁现象所作的卓有成 效的研究启动了电磁世界这一巨轮的运转。 19世纪是电磁研究蓬勃开展的时代，法拉第、欧姆、傅立 叶、基尔霍夫、奥斯特、安培、毕奥、萨伐尔、麦克斯韦、斯 托克斯、汤姆森、赫兹、楞次、雅可比、西门，单单从这些名 字和科学家的阵容，你就可以感受到这一时期的电磁科学取得 了多么辉煌的成就。
电磁场与电磁波第一章矢量分析
(Cf ) C f
有关散度的公式：
(kF ) k F (k为常量)
( f F ) f F F f
(F G) F G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
26
4. 散度定理（高斯公式）
矢量场对于空间任意 闭合曲面的通量，等于矢 量场的散度在该闭合曲面 所包围体积中的体积分。
4. 各坐标系单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos
0
ez 0 0
1
直角坐标与 球坐标系
er
ex
sin cos
e cosθ cos
e sin
ey
ez
sin sin cos
cos sin sin
cos
0
15
zy e
eeyz
eer
度规系数 hr 1, h r, h r sin
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
面元矢量
dSr
er dl dl
er r 2sin dd
dS
e dlrdl
ez
rsin
drd
dS
e dlr dl
e rdrd
球坐标系中的线元、面元和体积元
体积元
dV r2sindrdd
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
如果表示“场”的物理量是标量，则称为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。 如果表示“场”的物理量是矢量，则称为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，“场”是定义在空间区域上的函数：
高中物理 第5章 初识电磁场与电磁波 第1节 磁场及其描述教案 必修第三册高二第三册物理教案
第5章初识电磁场与电磁波课标要求1.能列举磁现象在生产生活中的应用。
了解我国古代在磁现象方面的研究成果及其对人类文明的影响。
关注与磁相关的现代技术发展。
2.通过实验，认识磁场。
了解磁感应强度，会用磁感线描述磁场。
体会物理模型在探索自然规律中的作用。
3.知道磁通量。
通过实验，了解电磁感应现象，了解产生感应电流的条件。
知道电磁感应现象的应用及其对现代社会的影响。
4.通过实验，了解电磁波，知道电磁场的物质性。
了解电磁波的应用及其带来的影响。
5.知道光是一种电磁波。
知道光的能量是不连续的。
初步了解微观世界的量子化特征。
第1节磁场及其描述核心素养物理观念科学思维科学态度与责任1.通过实验，认识磁场2.了解磁感应强度3.会用磁感线描述磁场4.会判断通电直导线和通电线圈周围的磁场用磁感线描绘通电直导线和通电线圈周围的磁场，体会物理模型在探索自然规律中的作用。
1.能列举磁现象在生产生活中的应用。
2.了解我国古代磁现象的研究成果及其对人类文明的影响。
3.关注与磁相关的现代科技的发展。
[观图助学]1.磁场(1)磁体和电流周围的空间存在一种特殊的物质——磁场。
磁场能够对磁体产生力的作用。
(2)磁场有方向，人们把磁场中某点小磁针静止时北极的指向规定为该点磁场的方向。
(3)磁场还有强弱，在磁场中的不同位置，其强弱不尽相同。
磁极：磁体上磁性最强的区域。
①北极：自由转动的磁体，静止时指北的磁极，又叫N极。
②南极：自由转动的磁体，静止时指南的磁极，又叫S极。
③性质：同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引。
2.磁感应强度(1)电流元：在物理学中，把很短一段通电导线中的电流I与导线长度l的乘积Il叫做电流元。
(2)磁感应强度：将电流元Il垂直放入磁场，它受到的磁场力F与Il的比值叫做磁感应强度。
①定义式B＝FIl。
②磁感应强度的单位：在国际单位制中的单位是特斯拉，简称特，符号是T。
1 T＝1 NA·m。
(3)磁感应强度的方向小磁针静止时N极所指的方向规定为该点的磁感应强度的方向，简称磁场的方向。
2019_2020学年高考物理主题3电磁场与电磁波初步1磁现象和磁场课件(必修3)
图17
1234
课时对点练
选择题 考点一 磁场和磁感线 1.关于磁场的下述说法中，正确的是
√A.磁极之间相互作用是通过磁场发生的
B.看不见、摸不着的磁场不是客观存在的 C.只有磁体周围才存在磁场 D.地球周围不存在磁场
例2 关于磁感线，下列说法中正确的是 A.两条磁感线的空隙处一定不存在磁场 B.磁感线总是从N极到S极
√C.磁感线上每一点的切线方向都跟该点的磁场方向一致
D.两个磁场叠加的区域，磁感线就可能相交
解析 磁感线是为了形象描述磁场而假想的有方向的曲线，曲线上每一点的切 线方向表示磁场的方向，曲线的疏密表示磁场的强弱，所以C正确，A错误； 在磁体外部磁感线从N极到S极，内部从S极到N极，磁感线不相交，所以B、D 错误.
2.重做上面的实验，请观察当电流的方向改变时，小磁针N极的偏转方向是 否发生变化.观察到什么现象？这说明什么？
答案 观察到电流的方向改变时，小磁针N极的偏转方向发生改变，说明电 流的磁场方向也发生变化.
知识深化
1.电流的磁效应 (1)1820年，奥斯特发现：把一根导线平行地放在磁针的上方，给导线通电时， 磁针发生了偏转，说明电流也能产生磁场，这个现象称为电流的磁效应. (2)意义：电流磁效应的发现，用实验展示了电与磁的联系，说明电与磁之间 存在着相互作用，对电与磁研究的深入发展具有划时代的意义.
图3
(3)环形导线可以看成只有一匝的 螺线管 ，如图4所示. 图4
即学即用
判断下列说法的正误. (1)磁极之间的相互作用是通过磁场发生的，磁场和电场一样，也是一种客 观存在的特殊物质.( √ ) (2)磁感线可以形象地描述各磁场的强弱和方向，它每一点的切线方向都和 小磁针放在该点静止时N极所指的方向一致.( √ ) (3)磁感线总是从磁铁的N极出发，到S极终止的.( × ) (4)磁感线可以用细铁屑来显示，因而是真实存在的.( × )
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有
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• 电荷守恒定律同动量守恒定律一样，是一项基 本的物理定律。在任何时刻任何条件下都满足 电荷守恒定律。它可用连续性方程在数学上表 示出来。
• 电磁学中有四个基本矢量场量： 电场强 度E、电通密度（或电位移）D、磁通密 度B以及磁场强度H。
表1-1 电磁场的基本量
场量的符号 及单位
场量
符号
单位
电场
电场强度
电通量密度 (电位移)
E D B
V/m
C m2
T A/m
磁场
磁通量密度 磁场强度
H
1.3 国际单位制单位与普适常数
表1-2 基本的国际单位制单位 量 长度 质量 时间 电流 单位 米 千克 秒 安培 缩写 m kg s A
除了表1-1的场量外，电磁模型中还有3个普适常数。 这些常数与自由空间（真空）的性质有关。
电磁场与电磁波
Field and Wave Electromagnetics
第1章 电磁模型
(The Electromagnetic Model)
1.1 引言
• 电磁学可以简单地表述为研究静止电荷和运动电荷 效应的学科。 • 场是一个空间分布的量，可以是时间的函数也可以 不是。 • 电路概念是电磁概念的一个特例。当场源的频率非 常低以至于导体网络的尺寸比波长小很多时，应用 准静态条件，可以将电磁问题简化为电路问题。 • 一般来说，电路理论涉及集总参数系统——以电阻 、电感、电容集总参数为特征组成的电路系统。
1.2 电磁模型简介
• 研究一门科学学科有两种方法： 归纳法和演绎法。 • 建立理想化模型的理论包括三个基本步骤。 第一，要定义与所研究的学科密切相关的一些基本量 ； 第二，要说明这些量的运算规则（数学）； 第三 ，要假定一些基本关系。
电磁模型中的量可以粗略地划分为两类： 源量 和场量。电磁场的源总是静止或者运动电荷。
Hale Waihona Puke D = 0 E(在真空中)
（1-7）
1 H= B （在真空中） m0
（1-8） （1-10）
c=
1 (m/ s) e0m0
取值 3×108 4π×10-7
1 ´ 10- 9 36p
表1-3 国际单位制单位表示的普适常数
普适常数 符号 真空光速 c 真空的磁 μ0 导率 真空的介 ε0 电常数
单位 m/s H/m F/m