电磁场与电磁波习题答案

第二章2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。

解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''=21。

那么，由1222022101244r r r q q r q q =⇒'='πεπε，同时考虑到d r r =+21，求得d r d r 32 ,3121==可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距d 31。

2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：)0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。

解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。

利用点电荷的场强公式r e E 204r q πε=，其中r e 为点电荷q 指向场点P 的单位矢量。

那么，1q 在P 点的场强大小为021011814πεπε==r q E ，方向为()z yr e ee +-=211。

2q 在P 点的场强大小为0220221214πεπε==r q E ，方向为()z y xr e e ee ++-=312。

3q 在P 点的场强大小为023033414πεπε==r q E ，方向为y r e e -=3则P 点的合成电场强度为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。

解 令点电荷q -位于坐标原点，r 为点电荷q -至场点P 的距离。

再令点电荷q +位于+z 坐标轴上，1r 为点电荷q +至场点P 的距离。

两个点电荷相距为l ，场点P 的坐标为（r,θ,）。

根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=311304r rq r rE πε 考虑到r >> l ，1r e = e r ，θcos 1l r r -=，那么上式变为r rr r r r r r qr r r r q e e E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121102122210))((44πεπε式中 ()2122212211cos 211cos 2---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=θθr lr l r rl l r r以rl为变量，并将2122cos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+θr l r l 在零点作泰勒展开。

由于r l <<，略去高阶项后，得θθcos 1cos 11211rl r r l r r +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为θr e e E 3030204sin 2cos 1cos 14r ql r ql r r l r q πεθπεθθπε+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-=2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-⨯C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。

试求：①P 点的电位；②将电量为6102-⨯C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。

解 根据叠加原理，P 点的合成电位为()V 105.24260⨯=⨯=rq πεϕ因此，将电量为C 1026-⨯的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ϕ2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。

习题图2-4解 建立圆柱坐标系。

令先电 荷沿z 轴放置，由于结构以z 轴对称，场强与φ无关。

为了简单起见，令场点位于yz 平面。

设线电荷的长度为L ，密度为l ρ，线电荷的中点位于坐标原点，场点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛z r ,2,π。

利用电位叠加原理，求得场点P 的电位为⎰-=22d 4L L lr l περϕ 式中()220r l z r +-=。

故()2222222202222ln 4 ln 4r L z L z r L z L z r l z l z lL Ll+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=-περπερϕ因ϕ-∇=E ，可知电场强度的z 分量为222202222ln 4r L z L z r L z L z zz E l z +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∂∂-=∂∂-=περϕy习题图2-5⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222021214r L z r L z l περ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=2202112114r L z r L z r l περ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-++-=22220224L z r r L z r r r l περ ()120sin sin 4θθπερ-=rl电场强度的r 分量为222202222ln 4r L z L z r L z L z rr E l r +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∂∂-=∂∂-=περϕ()()⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-=222202224r L z L z r L z rl περ()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-2222222r L z L z r L z r- ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=2202122114r L z rL z r L z rl περ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22212211r L z r L z r L z⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-=121120tan 11tan 1tan 1114θθθπερr l⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++22222tan 11tan 1tan 111θθθ ()()()210cos 1cos 14θθπερ----=rl()210cos cos 4θθπερ-=rl式中2tanarc ,2tanarc 21Lz r L z r -=+=θθ，那么，合成电强为()()[]r z lre e E 12120cos cos sin sin 4θθθθπερ---=当L时，πθθ→→ ,021，则合成电场强度为r lre E 02περ=可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。

2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。

解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。

那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。

由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即φπερsin 4d d d 20a lE E l y ==考虑到φρρφsin ,d d 0==l a l ，代入上式求得合成电场强度为y y aa e e E 0002008d sin 4ερφφπερπ==⎰2-7 已知真空中半径为a 的圆环上均匀地分布的线电荷密度为l ρ，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。

习题图2-6习题图2-7y解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。

那么，点电荷l l d ρ在z 轴上P 点产生的电位为rll 04d περϕ=根据叠加原理，圆环线电荷在P 点产生的合成电位为()220200202d 4d 41za al r l rz l a l al+===⎰⎰ερπερρπεϕππ 因电场强度ϕ-∇=E ，则圆环线电荷在P 点产生的电场强度为()()232202z a az z z l zz+=∂∂-=ερϕe e E 2-8 设宽度为W ，面密度为S ρ的带状电荷位于真空中， 试求空间任一点的电场强度。

解 建立直角坐标，且令带状电荷位于xz 平面内，如习题图2-8所示。

带状电荷可划分为很多条宽度为x 'd 的无限长线电荷，其线密度为x s 'd ρ。

那么，该无限长线电荷习题图2-8yy(a)(b))产生的电场强度与坐标变量z 无关，即r e E rx s 02d d περ'=式中()22y x x r +'-=()[]y x x rr y r x x y x y xr e e e e e +'-=+'-=1得()[]()[]y x x yx x x s yxe e E +'-+'-'=2202d d περ那么()[]()[]y x x yx x x s w w yxe e E +'-+'-'=⎰-220222d περ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y w x y w x yw x yw x s s 2arctan 2arctan 222ln 4022220περπερy x e e2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a ，面电荷密度 为S ρ，位于z = 0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘 轴线上任一点电场强度E 。

解 如图 2-9所示，在圆盘上取一半径为r ，宽度为r d 的圆环，该圆环具有的电荷量为s r r q ρπd 2d =。

由于对称性，该圆环电荷在z 轴上任一点P 产生的电场强度仅的r 有z 分量。

根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P习题图2-9y产生的电场强度的z 分量为()232202d d zr rzr E s z +=ερ那么，整个圆盘电荷在P 产生的电场强度为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=⎰22023222d 2a z zz z r zrzr s zas zερερe e E 2-10 已知电荷密度为S ρ及S ρ-的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求10 ,1<<>x x 及0<x 区域中的电场强度。

解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。

因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷S ρ，在x < 0区域中产生的电场强度11E x e E -=-，在x > 0区域中产生的电场强度11E x e E =+。

位于x = 1平面内的无限大面电荷S ρ-，在x < 1区域中产生的电场强度22E x e E =+，在x > 1区域中产生的电场强度22E x e E -=-。