南京邮电大学电磁场与电磁波考试必背公式

电磁场与电磁波复习第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系微分线元：dz a dy a dx a R d z y x →→→→++= 面积元：⎪⎩⎪⎨⎧===dxdy dS dxdz dS dydzdS zyx，体积元：dxdydz d =τ（2）柱坐标系长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===dz dl rd dl drdl z r ϕϕ，面积元⎪⎩⎪⎨⎧======rdrdz dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z zz r z r ϕϕϕϕ，体积元：dz rdrd d ϕτ=（3）球坐标系长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθθϕθd r dl rd dl dr dl r sin ，面积元：⎪⎩⎪⎨⎧======θϕθϕθθθϕϕθθϕrdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：ϕθθτd drd r d sin 2=2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=⎪⎩⎪⎨⎧===z z x y yx r z z r y r x arctan,sin cos 22ϕϕϕ （2）直角坐标系与球坐标系的关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧===z yz y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 222222ϕθθϕθϕθ （3）柱坐标系与球坐标系的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕθθϕϕθ22'22''arccos ,cos sin z r z zr r r z r r 3、梯度（1）直角坐标系中：za y a x a grad z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→μμμμμ（2）柱坐标系中：za r a r a grad z r ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→μϕμμμμϕ1（3）球坐标系中：ϕμθθμμμμϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→sin 11r a r a r a grad r4.散度（1）直角坐标系中：zA y A x A A div zy X ∂∂+∂∂+∂∂=→（2）柱坐标系中：zA A r rA r r A div zr ∂∂+∂∂+∂∂=→ϕϕ1)(1 （3）球坐标系中：ϕθθθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=→A r A r A r rr A div r sin 1)(sin sin 1)(1225、高斯散度定理：⎰⎰⎰→→→→=⋅∇=⋅ττττd A div d A S d A S，意义为：任意矢量场→A 的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场→A 在限定该体积的闭合面上的通量。

6，旋度（1） 直角坐标系中：zyxz y xA A A z y x a a a A ∂∂∂∂∂∂=⨯∇→→→→ （2） 柱坐标系中：zr z rA rA A z r a ra a r A ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂=⨯∇→→→→1 （3） 球坐标系中：ϕθϕθθϕθθθA r rA A ra r a r a r A r rsin sin sin 12∂∂∂∂∂∂=⨯∇→→→→两个重要性质：①矢量场旋度的散度恒为零，0=⨯∇⋅∇→A ②标量场梯度的旋度恒为零，0=∇⨯∇μ7、斯托克斯公式：⎰⎰→→→→⋅⨯∇=⋅SCS d A l d A第二章 静电场和恒定电场1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。

描述静电场的基本变量是电场强度→E 、电位移矢量→D 和电位ϕ。

电场强度与电位的关系为：ϕ-∇=→E。

m F /10854.8120-⨯≈ε2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。

其电场强度和电位的计算公式如下： （1）点电荷分布C R q R q R R q E Nk kkNk k kNk k k k +=∇-==∑∑∑===→→10113041,)1(4141πεϕπεπε （2）体电荷分布C rr dv r rr dv r r r E vv+-=--=⎰⎰→→→→→→→'''03'''')(41,))((41ρπεϕρπε（3）面电荷分布 C rr dS r rr dS r r r E SS SS +-=--=⎰⎰→→→→→→→'''03'''')(41,))((41ρπεϕρπε（4） 线电荷分布C rr dl r rr dl r r r E ll ll +-=--=⎰⎰→→→→→→→'''03'''')(41,))((41ρπεϕρπε3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−→−=⋅∇=⋅→→→⎰）面内的总极化电荷之和面内的总源电荷和为介质中的高斯定理（（微分形式）积分形式表示意义S S q r D q S d D S )()(,ρ场，也是保守场。

说明静电场是一种发散安培环路定理（微分形式）积分形式表示意义,0)(,0⎪⎩⎪⎨⎧−−−→−=⨯∇=⋅→→→⎰E l d E C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−→−=⋅∇=⋅→=→→∑⎰真空中的高斯定理为体电荷密度）（微分形式，积分形式表示意义ρερε010).(1E q S d E n i i S 在线性、各向同性介质中，本构方程为：→→→→→==+=E E P E D r εεεε00 4、电介质的极化（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：)(极化强度矢量→→⋅-∇=P P p ρ。

（2）介质表面的极化面电荷密度为：)(p 量为表面的单位法向量矢→→→⋅=n n P S ρ 5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即（无源区域），有源区域0)(22=∇-=∇ϕερϕ 6、介质分界面上的边界条件 （1）分界面上n D 的边界条件S S n n D D n D D ρρ=-⋅=-→→→)(2121或（S ρ为分界面上的自由电荷面密度），当分界面上没有 自由电荷时，则有：→→→→⋅=⋅=2121D n D n D D n n 即，它给出了→D 的法向分量在介质分界面两侧的关系：（I ） 如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧→D 的法向分量连续； （II ）如果介质分界面上分布电荷密度s ρ，→D 的法向分量从介质1跨过分界面进入介质2时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度s ρ。

用电位表示：)0(22112211=∂Φ∂=∂Φ∂=∂Φ∂+∂Φ∂-S S nn n n ρεερεε和 （2）分界面上t E 的边界条件（切向分量）→→→→→→=⨯=⨯t t E E E n E n 21或,电场强度的切向分量在不同的分界面上总是连续的。

由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量 有限，故在分界面上的电位函数连续，即21ϕϕ=。

电力线折射定律：2121tan tan εεθθ=。

7、静电场能量（1）静电荷系统的总能量①体电荷：⎰Φ=ττρd W e 21； ②面电荷：⎰Φ=S S e ds W ρ21；③线电荷：⎰Φ=ll e dl W ρ21。

（2）导体系统的总能量为：∑=kk k e q W ϕ21。

（3）能量密度静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。

场中任意一点的能量密度为：32/2121m J E E D e εω=⋅=→→在任何情况下，总静电能可由⎰=Ve d E W τε221来计算。

8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。

描述恒定电场特性的基本变量为电场强度→E 和电流密度→J ，且→→=E J σ。

σ为媒质的电导率。

（1）恒定电场的基本方程t 2分界面上t E 的边界条件分界面上n D 的边界条件电流连续性方程：⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+⋅∇∂∂=⋅∇∂∂-=⋅→→→→⎰0t -t J J tq S d J S ρρ或微分形式：积分形式： 恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。

场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减，即00=∂∂=∂∂tt q ρ和。

因此，电流连续性方程变为：00=⋅∇=⋅→→→⎰J S d J S 和，再加上00=⨯∇=⋅→→→⎰E l d E C和，这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。

（2）恒定电场的边界条件0)()2(,0)()1(21212121=-⨯==-⋅=→→→→→→→→t t t t n n E E n E E J J n J J 或或应用欧姆定律可得：22112211σσσσ→→==ttn n J J E E 和。

此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为2E p σ=，储能密度为221E e εω=。

第四章 恒定磁场1→→H 来描述，真空中磁感应强度的计算公式为：（1）线电流：⎰⎰→→→→→→→--⨯=⨯=ll R rr r r l Id R a l Id B 3'''02'0)(44πμπμ（2）面电流：⎰⎰→→→→→→→→--⨯=⨯=SS SR S dS rr r r J dS R a J B '3''0'2)(44πμπμ（3）体电流：⎰⎰→→→→→→→→--⨯=⨯=τττπμτπμ'3''0'20)(44d rr r r J d R a J B R2、恒定磁场的基本方程（1）真空中恒定磁场的基本方程为：A 、磁通连续性方程：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇=⋅→→→⎰00B S d B S 微分形式：积分形式：，B 、真空中安培环路定理：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅→→→→⎰JB I l d B l 00μμ微分形式：积分形式： （2）磁介质中恒定磁场的基本方程为：A 、磁通连续性方程仍然满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇=⋅→→→⎰00B S d B S 微分形式：积分形式：， B 、磁介质中安培环路定理：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅→→→→⎰JH I l d H l 微分形式：积分形式：C 、磁性媒质的本构方程：),(00为磁化强度矢量其中→→→→→→→-===M M B H H H B r μμμμ。

恒定磁场是一种漩涡场，因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述。

3、磁介质的磁化磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。

磁介质的磁化程度用磁化强度→M 表示。

（1）磁介质中的束缚体电流密度为：→→⨯∇=M J m ；（2）磁介质表面上的束缚面电流密度为：)(量为表面的单位法向量矢其中，→→→→⨯=n n M J mS 4、恒定磁场的矢量磁位为：→→⨯∇=A B ，矢量→A 为矢量磁位。