§1.3 矢量场的通量及散度
矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
通量与散度(中文)
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
矢量场的通量及散度
f ) z
f
( Fx x
Fy y
Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y
Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
则
(
பைடு நூலகம்
f
F)
( x
ex
y
ey
z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey
fFz
ez )
x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )
(
f
Fx x
Fx
f ) ( x
f
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
矢量场的通量和散度
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
矢量场的通量 散度
divA(r ) Ax Ay Az x y z
(ex
x
ey
y
ez
) z
(ex
Ax
ey
Ay
ez
Az )
A(r )
式中：
(ex
x
ey
y
ez
) z
圆柱坐标系下：
1
(er
r
e
r
ez
) zBiblioteka 哈密顿算符A(r ) 1 (rAr ) 1 A Az
r r r z
球面坐标系下：
(er
散度定理的证明
散度定理的证明
从散度定义有：
A(r ) lim s A(r ) dS lim d
V 0 V
V 0 V dV
则在一定体积V内的总的通量为：
V A(r )dV s A(r ) dS
得证！
散度的定义
在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA(r ) lim s A(r ) dS
V 0
V
散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数
矢量场的通量 散度
一、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向
二、矢量场的散度 若矢量场A(r ) 分布于空间中，在
空间中取任意曲面S，定义：
A(r ) dS S
为矢量A(r )沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
s A(r ) dS
矢量场的通量
r
e
1 r
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
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§1.3 矢量场的通量及散度
1、矢量场定义及图示
对于空间区域V 内的任意一点r ，若有一个矢量F (r )与之对应，我们就称这个矢量函数F (r )是定义于V 的矢量场。
恒稳矢量场F (r ) ，时变矢量场F (r ,t )。
矢量场图--矢量线0
l F =⨯d 其方程为
矢量线的示意图
F 线
F
d l
矢量线
F (x,y,z )=F x (x,y,z ) e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z
(F y d z -F z d y )e x +(F z d x -F x d z )e y +(F x d y -F y d x )e z =0F y d z -F z d y =0F z d x -F x d z =0
F x d y -F y d x =0
或
得直角坐标式的矢量线方程
z
y x F z F y F x d d d ==矢量场的直角坐标式为
l F =⨯d
矢量F 沿有向曲面S 的面积分
S
F d ⋅⎰=S Ψ2、通量
矢量F 在面元d S 的面积分为d ψ= F n d s =F cos θd S =F ‧d S 矢量场的通量
若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:
⎰⋅
=
s
Ψs
F d
ψ> 0(有正源)
ψ< 0(有负源)ψ= 0(无源)
矢量场的闭合面通量
在直角坐标系中，设
F (x,y,z ) =F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z d s =d y d z e x + d x d z e y + d x d y e z
则通量可写成
⎰
⎰++=⋅=s
z y x s
y
x F z x F z y F Ψd d d d d d d s F
如果包围点P 的闭合面∆S 所围区域∆V 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在,我们就将它定义为P 点处F (r )
的散度（divergence ），记作
V
s V ∆⋅⎰→∆s F lim d 03 散度
V
div s
V ∆⋅=
⎰→∆s F F d lim
z
z z z y
y y y x
x x x z z
x,y,z F x,y,z F z x,y,z y y x,y,z F x,y,z F y,z x,y x x x,y,z F x,y,z F x,y,z x e F e F e F ])
()([)(])
()([)(])
()([)Δ(∆∂∂+≈∆+∆∂∂+≈∆+∆∂∂+≈+求边长分别为∆x 、∆y 、∆z 的小平行六面体的通量，其体积∆V =∆x ∆y ∆z 。
根据泰勒极数可知
a c
b
F x (x+∆x,y,z )
F y (x,y+∆y,z )
F z (x,y,z+∆z )x
y
z
o
∆x
∆y
∆z (x,y,z )F x (x,y,z )
F y (x,y,z )
F z (x,y,z )
直角坐标的微分体积
V z
F y F x F y x F y x z z F F z x F z x y y F F z y F z y x x F F z y x z z
z y y y x x
x ∆∂∂+∂∂+∂∂=∆∆-∆∆∆∂∂++∆∆-∆∆∆∂∂++∆∆-∆∆∆∂∂+⋅≈⎰
)()]
)[()]
)[()])[(d s
s F z
F y F x F V
div z
y x s
V ∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=
⎰→∆s F F d lim
z
F y F x F z
y x ∂∂+
∂∂+∂∂=⋅∇F 或写成
即得
a c
b
F x (x+∆x,y,z )
F y (x,y+∆y,z )
F z (x,y,z+∆z )x
y
z
o
∆x ∆y
∆z (x,y,z )F x (x,y,z )
F y (x,y,z )
F z (x,y,z )
直角坐标的微分体积
4、散度的物理意义
•
散度代表矢量场的通量源的分布特性∇• F= 0(无源
）
∇• F= -ρ<0(负源
)
∇• F= ρ>0(正源)•矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
5、散度运算的几个基本关系式
•相对坐标矢量函数)
(r r F '-F
F ⋅∇'-=⋅∇)
(r r R '-•相对位置矢量
3
=⋅∇R •标量场 f (r ) 和矢量场F (r ) 之积f F
F
F F ⋅∇+⋅∇=⋅∇f f f )(•R 及其模R
03=⋅∇R
R 0
≠R
F
F F ⋅∇+⋅∇=⋅∇f f f )(证明：设
f (r )=f (x ,y ,z )，
F (x,y,z )=F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z
则
)
()()(z z y y x x z y x fF fF fF z y x f e e e e e e F ++⋅∂∂
+∂∂+∂∂=⋅∇)()()(z y x F f z
F f y F f x ∂∂
+∂∂+∂∂=)
()()(z f
F z F f y f F y F f x f F x F f z z y y x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)
()(z
f F y f F x f F z F y F x F f z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=F
F ⋅∇+⋅∇=f f
03=⋅∇R
R R
F =3
1R f =
证明：设：
f
f f ∇⋅+⋅∇=⋅∇F F F )(3311R
R ∇⋅+⋅∇=R R R R R ∇'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+=3313R 03343=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=R
R R R R
x y a
z b S 1
o
S 5S 4S 3S 2
例3
已知F (x,y,z ) =yz e x +xz e y +xyz e z ，试求它穿过闭合面的部
分圆柱面S 1的通量。
x = a cos α，y =a sin α
S 1上的F 写成F =az sin αe x + az cos αe y + a 2z sin αcos α
e z
因d s 1=a d αd z e n
则
F ‧d s 1=[a 2z sin α（e x ‧e n ）+a 2z cos α（e y ‧e n ）
+ a 3z sin αcos α（e z ‧e n ）]d αd z =2a 2z sin αcos αd αd z
2
sin 2
d cos sin )]d d 2(cos sin [d 2
2/2
/2
22
22
2b
2
/2
11
b a b
a b
a z z a s =
===⋅⎰
⎰⎰⎰
πππα
αααα
ααs F 所以
解
在S 1面上有圆的参数方程：
d α
d z
αx
y e n d s
z
b
S 1a d αo π/2S 5
S 4
S 3
S 2。