矢量场的散度和旋度
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解教学内容
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
散度,旋度,梯度
《散度,旋度,梯度》1、散度：可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。
2、旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。
旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。
旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。
3、梯度：是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值。
对散度的理解梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)纯量值最小处指向周围纯量值最大处.而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度"举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示,纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡.散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量散度的作用对像是向量场,如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.一样,举例子:因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象,这次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动,是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量,假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点,就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动.对啦…这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度…冷…),大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大.旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲:如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开,这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状?不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道屁到底是来自哪个方向的.而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动),而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看)旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,散度对应的其实就是径向移动的情况.而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切向的移动,但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,因此,在这情况下,旋度仍然是零.也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度…而甚么时候是有旋度的呢?如果这时候音乐一放,大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦)这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外)以上这三个,有一点一定要记得的.不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量为例,而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点,纳须弥于芥子,这就请自行想象吧。
散度、旋度、梯度释义
散度、旋度、梯度释义散度、旋度、梯度是矢量分析中的重要概念，通常用于描述矢量场的特性。
1. 散度（Divergence）散度是指矢量场在某一点上的流出量与流入量之差，也就是说，它描述了矢量场的源和汇在该点的情况。
如果某一点的散度为正，表示该点是矢量场的源，矢量场从该点向外扩散；如果散度为负，表示该点是矢量场的汇，矢量场汇聚于该点；如果散度为零，则表示该点是矢量场的旋转中心。
数学上，散度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的散度算子作用于该点处的矢量的结果。
散度算子用符号“∇·”表示，因此，该点的散度可以用以下公式来计算：div F = ∇·F其中，F表示矢量场，div F表示该点的散度。
2. 旋度（Curl）旋度是指矢量场在某一点上的旋转程度，也就是说，它描述了矢量场在该点处的旋转方向和强度。
如果某一点的旋度为正，表示该点周围的矢量场是顺时针旋转的；如果旋度为负，表示该点周围的矢量场是逆时针旋转的；如果旋度为零，则表示该点周围的矢量场没有旋转。
数学上，旋度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的旋度算子作用于该点处的矢量的结果。
旋度算子用符号“∇×”表示，因此，该点的旋度可以用以下公式来计算：curl F = ∇×F其中，F表示矢量场，curl F表示该点的旋度。
3. 梯度（Gradient）梯度是指矢量场在某一点上的变化率，也就是说，它描述了矢量场在该点处的变化方向和强度。
如果某一点的梯度为正，表示该点处的矢量场在该方向上增强；如果梯度为负，表示该点处的矢量场在该方向上减弱；如果梯度为零，则表示该点处的矢量场没有变化。
数学上，梯度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的梯度算子作用于该点处的标量函数的结果。
梯度算子用符号“∇”表示，因此，该点的梯度可以用以下公式来计算：grad f = ∇f其中，f表示标量函数，grad f表示该点的梯度。
散度和旋度物理意义
散度和旋度物理意义散度的物理意义嘿，朋友！今天咱们来聊聊散度这个有趣的概念。
你知道吗？散度就像是一个小侦探，专门负责探寻矢量场中“源”和“汇”的情况。
想象一下，矢量场就像是一群忙碌的小蜜蜂在空间中飞来飞去。
散度呢，就是看看这些小蜜蜂是在某个地方聚集得越来越多（汇），还是从某个地方源源不断地飞出去（源）。
比如说，在电场中，如果散度大于零，那就意味着这个地方有正电荷，是个“源”，电荷在往外发散；要是散度小于零，那就是有负电荷，是个“汇”，电荷在往里聚拢。
散度还能帮我们理解流体的流动呢。
如果流体在某个区域的散度是正的，那就说明流体在这个地方是在往外扩散；反过来，散度是负的，就是在往内收缩。
呀，散度让我们能搞清楚矢量场中那些神秘的“源头”和“归宿”，是不是很神奇呢？再想想，生活中也有类似散度的情况哟。
比如说，人群在广场上的分布，有时候会在某个地方聚集很多人，这就有点像散度大；有时候又会从某个热闹的地方散开，这就像散度小。
哈哈，是不是觉得物理和生活还挺贴近的？旋度的物理意义嗨呀，亲爱的！今天咱们来唠唠旋度的那些事儿。
旋度呢，就像是个小陀螺，专门衡量矢量场的旋转情况。
你可以把矢量场想象成一个大漩涡，旋度就是来告诉我们这个漩涡转得有多厉害。
比如说在磁场中，旋度能告诉我们磁力线是怎么绕圈圈的。
如果旋度不为零，那就说明有磁场在旋转，而且旋度越大，旋转得就越猛烈。
在流体力学里，旋度也很重要哦。
它能告诉我们水流或者气流是不是在打转转。
要是旋度很大，那可能就是个强烈的漩涡，像龙卷风一样；要是旋度小，可能就是些轻微的旋转。
你看，旋度就像是个小魔法，让我们能看到那些看不见的旋转力量。
而且哦，旋度在生活中也有影子呢。
比如跳舞的时候，舞者旋转的速度和力度，也可以用类似旋度的概念来感受一下。
还有骑自行车时车轮的转动，也有旋度的感觉哟。
怎么样，旋度是不是很有趣呀？。
矢量场散度和旋度的物理意义
矢量场散度和旋度的物理意义1993年第1期击安矿业学院学孩JOURNALOFXl，ANMININGINSTITUTE矢量场散度和旋度的物理意义黄国良王瑞平(基础部)舒秦摘要本文首先从流速场矿(二，，，:)出发，详细地说明了任一矢量场育(二，，，:) 散度和旋度的物理意义。
以电学和力学中的简单例子，说明了散度和旋度的计算方法。
关键词矢量场，散度，旋度在一定的条件下，利用磁力仪能够发现埋藏在地下几百米深的磁性盲矿体。
这是因为在矿体周围存在着磁场。
物探工作者经常要测定、分析各种场(如电场、磁场等)的分布、变化规律，从而找到场源(如带电体、磁性体等)。
矢量场的散度和旋度是研究各种场时必须的数学工具。
本文着重说明它们的物理意义。
矢量场的散度矢量函数A=A(x，百，之)所确定的场称为矢量场。
如电场E(x，，，幼和流速场V(x，万，幻都是矢量场。
通t以不可压缩流体的稳定流速场V(x，百，幻为例，来说明任一矢量场通量的物理意义”’。
如图1所示。
S为流速场V(x，刀，幻中的任意曲面，在面积元dS内的流速场可以看成均匀流速场。
因此，在1秒钟内通过ds的流体的流量，即体积流量dQ二V韶eo:8=V·ds通过曲面S哟体积流量。
=J:节.d亨二J:vdscoso可见，通过任意曲面s\的体积流量口在数值上等于通过曲面s的流线的数量。
本文1991年3月23日收到西安矿业学院学报1993年由特殊到一般，任一矢量场A(x，y，z)通过任意曲面S的场线的数量，称为该矢量场通过曲面S的通量，用价A表示，即，仁牙·。
犷·{。
，ascos“J舀沙。
如图2所示。
若S为封闭曲面，则矢量场A通过封闭曲面的通量图1体积流量的计算卜少:分·d亨=J::因为在S:面上，0总是大于90“，在污万·d犷+JsZ万·d言面上，8总是小于90所以通过S:的通量为负，通过S:的通量为正。
2通.是矢t场在空间△丫内玻散性的皿度由上可知，流逮场节(二，，，:)通过封闭曲面s钓体积流量价、有下列三种情况:1)，一弧六一d八b从S内有流量价、发散出来，的发散源，如泉源。
散度和旋度的计算公式高数
散度和旋度的计算公式高数在高等数学中，散度和旋度是矢量场的两个重要性质，它们可以帮助我们理解矢量场的性质和变化规律。
本文将介绍散度和旋度的定义及计算公式。
1. 散度（Divergence）散度是矢量场在单位体积内，每单位体积所包含矢量的增量随体积元体积趋于零时的极限值。
用数学符号表示为：$$ \ abla \\cdot F = \\lim_{\\Delta V\\to 0} \\frac{\\iint_{S} F \\cdot ndS}{\\Delta V} $$其中，F为矢量场，S为封闭曲面，n为曲面的法向量。
矢量场F的散度计算公式为：$$ \ abla \\cdot F = \\frac{\\partial P}{\\partial x} + \\frac{\\partialQ}{\\partial y} + \\frac{\\partial R}{\\partial z} $$其中，$F = \\langle P, Q, R \\rangle$是矢量场F的三个分量。
2. 旋度（Curl）旋度是矢量场在单位面积内，每单位面积所包含矢量的增量随面积元趋于零时的极限值。
用数学符号表示为：$$ \ abla \\times F = \\lim_{\\Delta S\\to 0} \\frac{\\oint_{C} F \\cdotdr}{\\Delta S} $$其中，F为矢量场，C为封闭曲线，dr表示曲线的微元位移向量。
矢量场F的旋度计算公式为：$$ \ abla \\times F = \\left( \\frac{\\partial R}{\\partial y} - \\frac{\\partial Q}{\\partial z} \\right) \\mathbf{i} + \\left( \\frac{\\partial P}{\\partial z} -\\frac{\\partial R}{\\partial x} \\right) \\mathbf{j} + \\left( \\frac{\\partialQ}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y} \\right) \\mathbf{k} $$ 其中，$F = \\langle P, Q, R \\rangle$是矢量场F的三个分量。
矢量分析：旋度、散度、梯度
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
例：
给定两矢量 A 2xˆ 3yˆ 4zˆ 和 B 6xˆ 4yˆ 1zˆ ，求 A B 在 C xˆ yˆ zˆ 上的分量。
s
q
4 r2
s
ds
q
4 r2
4 r 2
q
这证明在此球面上所穿过的电通量 e 的源正是点电荷q。
例：
球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
试利用散度定理计算 r ds
解：
S
r x y z 3 x y z
r ds rdv 3 dv 3 4 r3 4 r3
Curl
[ A nˆ lim
l A dl ]max
S 0
S
2、旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
该面元矢量的方向 nˆ 。
2) 它描述A在该点处的旋涡源强度。
3) 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
无源场f可以表示为另一个矢量场的旋度即202161075可将矢量场f表示为一个无源场fs和无旋场f因而可定义一个标量位函数u和矢量位函数a使得202161076常用的矢量恒等式202161077202161078矢量分析小结基本内容矢量场的表示方法和代数运算和乘积运算亥姆霍兹方程202161079基本要求了解矢量场散度的定义掌握其计算方法和物理意义
矢量分析：旋度、散度、梯度(1)
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模
值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺
旋关系, 为 ˆ A , B所在平面的右手法向 n :
ˆ A B sin aAB A B n
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis §1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理
§1.3 环量与旋度,斯托克斯定理
§1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌 握散度定理的内容，并能熟练运用。
1 .3 .1 环量 Curl of a vector field
矢量A沿某封闭曲线的线 积分, 定义为A沿该曲线的环 量(或旋涡量), 记为
l
A dl
1 .3 .2 旋度的定义和运算
1、定义：
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的 面积ΔS趋近于零, 取极限 A dl l lim S 0 S
物理量的表示 • 矢量：大写黑体斜体字母
A 大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u ˆ x • 单位矢量：小写上加倒勾
ex
ex
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知 , 这 个矢量就确定了。 例如在直角
空间向量场的散度与旋度
空间向量场的散度与旋度空间向量场既是研究物理现象的重要工具，也是数学中的一个重要概念。
在物理学中，许多物理量可以用向量场来描述，例如速度场、力场等；而在数学中，向量场被广泛研究，以解决一些微分方程的问题。
空间向量场的散度与旋度是描述向量场性质的两个重要概念。
1. 空间向量场的散度散度是一种描述向量场离散程度的量度。
在三维空间中，设向量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P(x, y, z)，Q(x, y, z)，R(x, y, z)分别表示向量F在x, y, z方向上的分量函数。
则向量场F的散度定义为：div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z其中∇表示梯度运算符，∂表示偏导数。
可以看出，散度div F是一个标量函数，表示向量场在单位体积内流出的平均流量。
当div F > 0时，向量场是发散的，表示向外流动的趋势；当div F < 0时，向量场是收敛的，表示向内流动的趋势；当div F = 0时，向量场是无源的，或者说是闭合的，流量在体积内既不流入也不流出。
2. 空间向量场的旋度旋度是一种描述向量场旋转程度的量度。
仍然考虑三维空间中的向量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P(x, y, z)，Q(x, y, z)，R(x, y, z)分别表示向量F在x, y, z方向上的分量函数。
则向量场F 的旋度定义为：curl F = ∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)同样地，可以看出旋度curl F是一个向量函数，表示向量场的旋转情况。
若curl F = 0，即旋度为零，表示向量场无旋，或者说是无旋的。
若curl F ≠ 0，则表示向量场有旋，或者说是有旋的。
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—— 标量三重积 —— 矢量三重积
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：
A
eA A
eA
A
矢量的大小或模： A A
A
矢量的单位矢量：
eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
注意：单位矢量不一定是常矢量。
坐标单位矢量
rrr e ,e ,ez
z
z （平面） 0
P(0,0, z0)
0
（圆柱面）
0（半平面）
圆柱坐标系
位置矢量
rr er erzz
线元矢量
r dl
r e
d
r e
d
r ezdz
面元矢量
r dS
er dl dlz
er ddz
r dS
r e dl dlz
r e
d
dz
r dSz
r ez dl dl
1. 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量
ex , ey , ez
z
z
z 0
（平面）
ez
P
ey
ex
点 P(x0,y0,z0)
o
y
y y 0 （平面）
x
x x 0 （平面）
直角坐标系
位置矢量
r
ex
x
ey
y
ez
z
线元矢量
r dl
erxdx
ery
dy
erzdz
面元矢量
r dSx
电磁场理论
课程性质
电磁场理论是高等学校理工科电子类或信息 类专业必修的一门专业基础理论课，其任 务是介绍宏观电磁场和电磁波的基本规律， 基本性质、基本分析方法和基本工程应用。
课程特点 1、基础知识广 2、课程系统性强 3、推导和计算难 4、概念多且抽象
课程学习目的
通过学习要求学生能完整地理解和掌握宏观 电磁场的基本性质和基本规律，对电子信 息工程中的电磁现象和电磁场问题能用场 的观点进行分析和计算。课程考核重要考 查学生是否掌握电磁场与电磁波的基础理 论、基本知识及简单的分析应用。
2、熟练掌握直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
3、矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析 中最基本的概念，应深刻理解；掌握散度、旋度 和梯度的计算公式和方法。
4、散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重 要定理，应熟练掌握和应用。
5、理解亥姆霍兹定理的重要意义。
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
边的平行四边形的对角线,如图所示。
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
A B
A
矢量的加法
A
B
ex
(
Ax
Bx
)
ey
(
Ay
By
)
ez
(
Az
Bz
)
矢量的加减符合交换律和结合律
交换律
rr rr AB B A
结合律
r rr rr r A (B C) (A B) C
B
A
AB
B
矢量的减法
A B B A
若
A
B
，则
A B AB
若
A //
B
，则
AB 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B 的叉积
（5）矢量的混合运算
( A B) C AC B C —— 分配律
( A B) C A C B C —— 分配律
A (B C) B (C A) C ( A B) A (B C) ( AC)B ( A B)C
er
e
e
e
sin cos
0
ey
sin cos
0
e
0 0 1
ez 0 0
1
ez
矢量的几何表示
z
矢量用坐标分量表示
ALeabharlann ex AxeyAy
ez
Az
Ax A cos Ay A cos
Az
A
Ay
Ax O
y
x
Az A cos
A
A(ex
cos
ey
cos
ez
cos
)
eA ex cos ey cos ez cos
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
B
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻
r ez
d
d
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
3. 球坐标系 坐标变量
r,,
（圆锥面） 0
r
（球面）
r0
P(r0,0,0 )
坐标单位矢量
rrr er , e , e
（半平面） 0
球坐标系
位置矢量
rr errr
线元矢量
r dl
r erdr
er rd
er rsin d
面元矢量
（2）标量乘矢量
kA
exkAx
eykAy
ez k Az
（3）矢量的标积（点积）
A B ABcos AxBx AyBy Az Bz
AB B A
——矢量的标积符合交换律
B
A
矢量
A与
B
的夹角
AB
A B 0 A// B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
学习基本要求
1、理解标量场与矢量场的概念；了解标量场的等值 面和矢量场的矢量线的概念。
ex ex ey ey ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积）
A
B
en
ABsin
遵循右手螺旋法则
用坐标分量表示为
A
B
ex
(
Ay
Bz
Az
By
)
ey
(
Az
Bx
Ax
Bz
)
ez
( Ax
By
Ay
Bx
)
写成行列式形式为
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
r dSr
err dl dl
errr2sindd
r dS
r e
dlr
dl
erzrsindrd
r dS
r edlrdl
errdrd
体积元
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
4. 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
圆柱坐标与 球坐标系
erxdlydlz
erxdydz
r dSy
r eydlxdlz
r eydxdz
r dSz
erzdlxdly
erzdxdy
z dSz ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
体积元
dV dxdydz
2. 圆柱坐标系 坐标变量
,, z