电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
04第二章散度与旋度
s in 0
e
e cos cos
图解法证明例pp41图2-1
一、奥一高公式的简写
奥一高公式：
P Q R x y z v d
P dydz Q dzdx R dxdy
V
构造一个矢量函数:
五．高斯散度定理及其应用
Ad
v
v
A ds
面积分与体积分的相互转换 可以双向应用
电磁场与电磁波 —散度与旋度2
微波教研室
本节内容：旋 度
矢量函数的旋度
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式的简写 ：
Pdx Q dy Rdz
电磁场与电磁波第四讲 —散度与旋度
微波教研室
本节内容：散
度
矢量函数的散度 高斯散度定理
首先复习上节：导数和梯度
单位矢量对坐标变量的偏导数
用解析法证明（例）：
ex
e
c o s e s in
e e c o s .........(1 )
混合积:
A B C Bx Cx
Ax
Ay By Cy
Az Bz Cz
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式：
R Q Q R P P P dx Q dy R dz y z dydz z x dzdx x y dxdy S S
圆柱坐标系中 :
e 1 A
e
《电磁场与电磁波》矢量分析
梯度:增加最快的方向
l M0 g el
方向导数=梯度在该方向上的投影
小结 等值面:只能反映标量分布的总体趋势 梯度:场中每点变化最快的方向和最大的变化率
求场
解：
在点(0,0.5,1) 处的梯度。
矢量场的通量和散度
矢量线：描述矢量场的线 形象直观地描述矢量场
大小：疏密 方向：切线方向
矢量线的疏密可定性表征矢量场的大小 实际需定量描述，故引入通量
A dS
V 0 V S
对散度作体积分，就得到通量
高斯公式 通量=散度的体积积分 矢量函数的面积分与体积分的相互转换
S A dS 面
divA lim 1
A dS 点
V 0 V S
体
实现了“面-点-体 ”的转化
矢量场的环量和旋度
通量: 有向曲面上的面积分值，表示体积内 的通量源,分布强度用散度来描述
A B AB cos =Ax Bx Ay By Az Bz
Bcosθ:B在A方向上的投影 B
A ex 2ey 3ez
B 4ex 5ey 6ez
A
B cos
A B 14 25 36 32
矢量标量积满足交换律和结合律
AB B A
kA pB kpA B AB+C A B AC
l M0 =0, 沿l方向不变
l M0
几个问题：
1）方向导数是标量？矢量？ 标量 2）不同方向的变化快慢是一样的？ 不是
l 方向改变，方向导数值也变 3）方向导数能反映哪方向的变化率最大？ 不能 4）标量能准确刻画标量场的空间变化率？不能
3 梯度
l M0 g el | g | cos(g, el )
场中的每一点只与一等值面/线对应 等值面的稀密程度反映场量的空间分布
2014电磁场与电磁波1(散度旋度亥姆霍兹定理)
( A B) A B
(uA) u A A u
试求原点以外的空间点上电位移矢量D的散度。
q q a r 例：原点处点电荷q产生的电位移矢量 D 2 r 3 4 r 4 r
r xa x ya y za z
q x y z 解： D 3 ax 3 a y 3 az 4 r r r qx qy qz , Dy , Dz Dx 3 3 4 r 4 r 4 r 3 Dx q r 2 3z 2 q r 2 3 x 2 Dy q r 2 3 y 2 Dz , , 5 5 r r r5 x 4 y z 4 4 Dx Dy Dz divD D x y z q 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0 5 r 4
矢量上任一点的切向矢量线元与矢量场之间的关系？ 方向平行
F dl 0
dl axdx aydy azdz
ax ay az A B Ax Ay Az Bx By Bz
F ax Fx ay Fy az Fz
矢量A Ax a x Ay a y Az a z 矢量B Bx a x By a y Bz a z
散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因此 又可称为通量源密度。
矢量的散度是一个标量。
在场中任意一点M处 若 div A 0 ，表明该点有发出通量线的正源。 若 div A 0 ，表明该点有吸收通量线的负源。 若 div A 0 ，表明该点无源。
div A 0
柱坐标系
divA A 1 ar a az ar Ar a A az Az z r r 1 1 A Az rAr r r r z
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析.
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有： 。 的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中 某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变 的位移电流之和。 的边界条件：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的 散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。 的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒 定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密 度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。 的边界条件：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢 量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强 度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度 和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助 于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向 的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁 化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量 的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于 闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不 随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从 而得到：。 的旋度：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为 的边界条件：
电磁场与电磁波复习资料
一、名词解释1.通量、散度、高斯散度定理通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。
（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负）散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。
高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。
2.环量、旋度、斯托克斯定理环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。
其物理意义随A 所代表的场而定，当 A 为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。
旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。
斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。
3.亥姆霍兹定理在有限区域 V 内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域 V 的闭合面S 上矢量场的分布）唯一的确定。
说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场力：电场对电荷的作用称为电力。
磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。
洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。
5.电偶极子、磁偶极子电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。
磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。
6.传导电流、位移电流传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。
位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。
7.全电流定律、电流连续性方程全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。
电流连续性方程：8.电介质的极化、极化矢量电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为电介质的极化。
电磁场与电磁波复习重点
梯度: 高斯定理:A d S ，电磁场与电磁波知识点要求第一章矢量分析和场论基础1理解标量场与矢量场的概念；场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。
2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公 式和方法(限直角坐标系)。
:u；u；u e xe ye z ，-X；y: z物理意义：梯度的方向是标量u 随空间坐标变化最快的方向;梯度的大小：表示标量 u 的空间变化率的最大值。
散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度,旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值， 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向。
斯托克斯定理：■ ■(S?AdS|L )A d l数学恒等式：' Cu )=o ,「c A )=o3、理解亥姆霍兹定理的重要意义：a时，n =3600/ a , n为整数，则需镜像电荷XY平面, r r r.S(—x,y ,z)-q ■严S(-x , -y ,z)S(x F q R 1qS(x；-y ,z )P(x,y,z)若矢量场A在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。
A八F u第二、三、四章电磁场基本理论Q1、理解静电场与电位的关系，u= .E d l，E(r)=-V u(r)P2、理解静电场的通量和散度的意义，「s D d S「V "v dV \ D=，VE d l 二0 ' ' E= 0静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。
3、理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题;唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯一地确定的镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。
关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷，使求解区域内的实际电荷与虚拟电荷共同产生的场满足实际边界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能满足求解区域内的微分方程。
电磁场与电磁波散度旋度
第一章矢量分析矢量场和标量场三种常用的坐标系矢量的基本运算标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度亥姆霍兹定理* 标量场的梯度是一个矢量场；* 当a l的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。
* 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
矢量场的散度✧闭合面的通量✧散度的定义✧散度的性质✧高斯散度定理矢量场的矢量线为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概念。
矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。
线的疏密代表场的大小。
一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。
电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线的例子。
x y z d F F F dx dy dzF l 求出该微分方程的通解可绘出矢量线zy x F F F式中,C1和C2为任意常数，可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点向空间发散的径向辐射线，这一簇矢量线形象地描绘出点电荷的电场分布状况。
矢量场的通量面元通量 反映矢量通过面元的量（如：水量） 对于开表面, n 与表面的闭合曲线构成右手螺旋关系。
对于闭合表面, n 为外法向单位矢。
矢量与n 成锐角，通量为正cos d d AdsA s 将曲面的一个面元用矢量d S 来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为d S ，即d S =n dS ,n是面元法线方向的单位矢量。
矢量场的通量矢量的通量ΦS S d dSA S A n 通量的意义：通过曲面S 的量（对于流速场：水流量） 通量是个标量。
矢量场的通量闭合面通量Φ的物理意义对于封闭曲面S ，如果 >0，表示净通量线从曲面S 的内部穿出曲面，因为通量线一定是通量正源发出的，所以根据能量守恒原理，可以判断曲面S 内必然包含发出通量线的正源。
反之，如果 <0，则曲面内必然包含吸收通量线的负源。
如果 ＝0，则曲面内不包含净源。
因此，通量可以是封闭曲面内通量源的判据。
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evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
v F
evn
dS
前
+ 后
左
右
上
下
v F
v dS
前
v F
evxdSx
后
v F
evxdSx
右
v F
evydS y
左
v F
4
r2
3y2 r5
,
Dz z
q
4
r2
3z2 r5
v D
Dx x
Dy y
Dz z
q
4
3r 2 3(x2 r5
y2 z2)
0
可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。
蜒 ? D
s
v D
v dS
q
4 r3
s
rv evrdS
q
4 r2
s
dS
q
4 r2
4 r2
q
这证明在此球面上所穿过的电通量D 的源正是点电荷q。
解：
v D
q
4
evx x evy y evz z (x2 y2 z2 )3/2
evx Dx
evy Dy
evz Dz
Dx x
q
4
x
(
x
2
x
y2
z2
)3/ 2
q
1
3x2
4
(
x
2
y2
z2 )3/2
(x2
y2
z
2
)5
/
2
q
4
r2
3x2 r5
1.4 矢量场的通量和散度
同理
Dy y
q
蜒 ? v v
vv
vv
vr
vr
F dS
S1
F dS
S2
S F dS • F (r1)ΔV1 • F (r2 )ΔV2
1.4 矢量场的通量和散度
蜒 ? v v
vv
vv
F dS F dS +L + F dS
v v S1
S2
Sn
ÑS
F v
dS r
vr
vr
• F (r1)ΔV1 • F (r2 )ΔV2 +L • F (rn )ΔVn
1.5 矢量场的环流与旋度 旋度
1.5.2 矢量场旋度
v
沿方矢向量er场n 的在分M点量处等的于旋矢度量为场一Fv矢在量点，M以处符沿号方向roterFn
表示，它在点M处 的环流面密度即：
r
v
v
en • rot F rot Fn
矢量 Fv的旋度是一个矢量, 大小是矢量 Fv在给定点处的最大环量面
v
通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场F
v
在该点的散度，以 div F 表示，即 v v
v div F
lim
ÑS F dS
ΔV 0 ΔV
式中ΔV为封闭面S所包围的体积。
矢量
v F
的散度是标量,
是
v F
通过某
点处单位体积的通量(即通量体密度)。
r div F 0
r div F 0
v F
evn
r F
1.5 矢量场的环流与旋度
旋度的表达式：
r h1eu1
v1 F
h1h2h3 u1
h1Fu1
r h2eu2
u2 h2 Fu2
r h3eu3
u3 h3 Fu3
直角坐标系 erx ery erz 圆柱坐标系
er
v F
x y z
v F
1
Fx Fy Fz
F
球坐标系
err rer r sin er
定义为
Fv沿该曲线的环流(或旋涡量、
环量), 记为
vv
ÑC F dl
可见，若在闭合有向曲线
C上，矢量场
v F
的方向处处与线元
dlv的方
向保持一致，则环量 > 0；若处处相反，则 < 0 。可见，环量可以
用来描述矢量场的涡旋特性。
1.5 矢量场的环流与旋度 环流面密度
矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联 系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。
v F
dSv相加,
它表示
v F
穿过整个曲面S的通量,
也称为
v F
在曲面S上的面积v分:
v
s d s F dS
s evxFx evy Fy evz Fz evxdSx evydSy evzdSz
s FxdSx FydSy FzdSz
闭曲面通量：
如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指
Ñ v v
F dS
Fx
xyz
Fy
xyz
Fz
xyz
S
x
y
z
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
vv
Ñ v
div F lim
S F dS Fx Fy Fz
ΔV 0 ΔV
x y z
因此散度可用哈密尔顿算符 表示为
div
v F
evx
x
evy
y
evz
z
evx
Fx
evy Fy
rot
y
v F
Fx z
Fz x
rot z
v F
Fx y
Fy x
rot
r F
r ex
Fz y
Fy z
r ey
Fx z
Fz x
r ez
Fy x
Fx y
erx ery erz
x y z
r
r
rot F F
物理意义：旋涡源密度矢量。
Fx Fy Fz
定义：
rotn
evydS y
L
上
v F
evz dS z
下
v F
evz
dS
z
1.4 矢量场的通量和散度
前
v F
evx dS x
后
v F
evx
dS
x
Fx (x
x 2
,
y,
z)yz
Fx (x
x 2
,
y,
z)yz
Fx (x0 x , y0 , z0 ) Fx (x0 , y0 , z0 ) x Fx
2
2 x P
密度, 其方向就是面元矢量的方向。
vv
Ñ rot
v F
r enm
lim
S 0
F dl
C
S
max
r rot F v rotn F
1.5 矢量场的环流与旋度 旋度
矢量场的旋度的计算
v
v
v
直角坐标系中 rot x F 、rot y F 、rot z F 的表达式
v
推导 rot x F 的示意图如图所示。
rr rr rr rr rr
Ñ F dl F dl F dl F dl F dl
C
l1
l2
l3
l4
Fy1Δy Fz2Δz Fy3 (Δy) Fz4 (Δz)
z
4 z M o x
计算
3C 2
y 1 y
的示意图
而
Fy1 Fy (M )
Fz 2
Fz (xM , yM
y, zM )
=evx
Fx
(
x,
y,
z)
evy
Fy
(
x,
y,
z)
evz
Fz
(x,
y,
z)
v
F(,,
z)
=ev
F
(,,
z)
ev
F
(,,
z)
evz
Fz
(,,
z)
v
F (r,