电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度

蜒 ? v v
vv
vv
vr
vr
F dS
S1
F dS
S2
S F dS • F (r1)ΔV1 • F (r2 )ΔV2
1.4 矢量场的通量和散度
蜒 ? v v
vv
vv
F dS F dS +L + F dS
v v S1
S2
Sn
ÑS
F v
dS r
vr
vr
• F (r1)ΔV1 • F (r2 )ΔV2 +L • F (rn )ΔVn
解：
v D
q
4
evx x evy y evz z (x2 y2 z2 )3/2
evx Dx
evy Dy
evz Dz
Dx x
q
4
x
(
x
2
x
y2
z2
)3/ 2
q
1
3x2
4
(
x
2
y2
z2 )3/2
(x2
y2
z
2
)5
/
2
q
4
r2
3x2 r5
1.4 矢量场的通量和散度
同理
Dy y
q
v
V • FdV
vv
v
ÑS F dS V FdV
1.4 矢量场的通量和散度
例1 .8 点电荷 q在离其 rv处产生的电通量密度为
v D
q
4 r3
rv,
rv evx x evy y evz z,
r (x2 y2 x2 )1/2
求任意点处电通量密度的散度 Dv，并求穿出r为半径的球面的电通量。
v F
evn
r F
1.5 矢量场的环流与旋度
旋度的表达式：
r h1eu1
v1 F
h1h2h3 u1
h1Fu1
r h2eu2
u2 h2 Fu2
r h3eu3
u3 h3 Fu3
直角坐标系 erx ery erz 圆柱坐标系
er
v F
x y z
v F
1
Fx Fy Fz
F
球坐标系
err rer r sin er
rr rr rr rr rr
Ñ F dl F dl F dl F dl F dl
C
l1
l2
l3
l4
Fy1Δy Fz2Δz Fy3 (Δy) Fz4 (Δz)
z
4 z M o x
计算
3C 2
y 1 y
的示意图
而
Fy1 Fy (M )
Fz 2
Fz (xM , yM
y, zM )
➢ 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布
状态。 ➢ 矢量线方程：
v F ( x,
y,
z)
//drr
v F(x, y, z)
r dr
0
dx dy dz Fx (x, y, z) Fy (x, y, z) Fz (x, y, z)
1.4 矢量场的通量和散度
1.4.2 矢量场的通量
？问题：如何定量描述矢量场的大小？
Fz (M )
Fz y
M
y
Fy3=Fy (xM , yM , zM
z)
Fy
(M
)
Fy z
M
z
Fz4 Fz (M )
于是
ÑC
r F
r dl
Fz y
Fy z
zΔy
1.5 矢量场的环流与旋度 旋度
故得
Ñ rot x
v F
lim
S 0
1 S
C
vv F dl
Fz y
Fy z
同理可得
所以有
lim
ÑS F dS
v •F
ΔV 0 ΔV
ΔV 足够小
vv
v
ÑS F dS • FΔV
蜒 ΔV比较小
vv
vv
vr
vr
F dS
S1
S2 F dS • F (r1)ΔV1 • F (r2 )ΔV2
v
v
公共面： S1公共面 F en1dS + S 2公共面 F (en1dS ) 0
电磁场与电磁波
Electromagnetic Field and Wave
第4讲 矢量场的通量和散度
1.4 矢量场的通量和散度
➢ 矢量场的矢量线 ➢ 矢量场的通量 ➢ 矢量场的散度 ➢ 散度定理
1.4 矢量场的通量和散度
1.4.1 矢量场的矢量线
vr 矢量场 F (r )
v F ( x,
y,
z)
v
通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场F
v
在该点的散度，以 div F 表示，即 v v
v div F
lim
ÑS F dS
ΔV 0 ΔV
式中ΔV为封闭面S所包围的体积。
矢量
v F
的散度是标量,
是
v F
通过某
点处单位体积的通量(即通量体密度)。
r div F 0
r div F 0
rot
y
v F
Fx z
Fz x
rot z
v F
Fx y
Fy x
rot
r F
r ex
Fz y
Fy z
r ey
Fx z
Fz x
r ez
Fy x
Fx y
erx ery erz
x y z
r
r
rot F F
物理意义：旋涡源密度矢量。
Fx Fy Fz
定义：
rotn
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量
与曲面内产生矢量场的源的关系。
1.4 矢量场的通量和散度
1.4.3 矢量场的散度
为了定量研究场域内每一点场与源之间的关系，需建立场空间任
意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。
v
利用极限方法得到这一关系：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 F
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r
(r2Fr )
1
r sin
(sin F )
1
r sin
F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的有关公式：
v
v
Cv 0;
(Cf )
v
(kF )
v
(
fF v
)
v
C 为常矢量
vv C f ; C 为常矢量
v k F;
vv f F F f ;
vv
(F G) F G;
1.4 矢量场的通量和散度
引入通量的概念。
evn v F
通量的概念
面元矢量：dsv evndS
其中，dS 为面元矢量大小
evn 为面元的法线方向单位矢量
右手螺旋的姆指方向
开曲面上的面元
vv
矢量与面元矢量的点积： d F dS
d 表示 Fv穿过面元
v dS的通量(穿越能力）。
1.4 矢量场的通量和散度
开曲面通量：
将曲面S各面元上的
Ñ v v
F dS
Fx
xyz
Fy
xyz
Fz
xyz
S
x
y
z
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
vv
Ñ v
div F lim
S F dS Fx Fy Fz
ΔV 0 ΔV
x y z
因此散度可用哈密尔顿算符 表示为
div
v F
evx
x
evy
y
evz
z
evx
Fx
evy Fy
Fx (x0 x , y0 , z0 ) Fx (x0 , y0 , z0 ) x Fx
2
2 x P
由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为
[Fx
( x0
x 2
,
y0 ,
Hale Waihona Puke Baidu
z0 )
Fx
( x0
x 2
,
y0 ,
z0 )]yz
Fx x
xyz
1.4 矢量场的通量和散度
同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出 该六面体的净通量为
v F
dSv相加,
它表示
v F
穿过整个曲面S的通量,
也称为
v F
在曲面S上的面积v分:
v
s d s F dS
s evxFx evy Fy evz Fz evxdSx evydSy evzdSz
s FxdSx FydSy FzdSz
闭曲面通量：
如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1
( F )
1
F
Fz z
球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
1.5 矢量场的环流与旋度 旋度
1.5.2 矢量场旋度
v
沿方矢向量er场n 的在分M点量处等的于旋矢度量为场一Fv矢在量点，M以处符沿号方向roterFn
表示，它在点M处 的环流面密度即：
r
v
v
en • rot F rot Fn
矢量 Fv的旋度是一个矢量, 大小是矢量 Fv在给定点处的最大环量面
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
v F
evn
dS
前
+ 后
左
右
上
下
v F
v dS
前
v F
evxdSx
后
v F
evxdSx
右
v F
evydS y
左
v F
密度, 其方向就是面元矢量的方向。
vv
Ñ rot
v F
r enm
lim
S 0
F dl
C
S
max
r rot F v rotn F
1.5 矢量场的环流与旋度 旋度
矢量场的旋度的计算
v
v
v
直角坐标系中 rot x F 、rot y F 、rot z F 的表达式
v
推导 rot x F 的示意图如图所示。
v F
r2
1
sin
r
Fr rF r sin F
旋度计算公式
er
r ez
z
F Fz
1.5 矢量场的环流与旋度 旋度计算公式
3. 斯托克斯定理
从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等 于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
vv
vv
ÑC F dl S F dS
斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面 积分之间的一个变换关系式，也在电磁理 论中有广泛的应用。
evydS y
L
上
v F
evz dS z
下
v F
evz
dS
z
1.4 矢量场的通量和散度
前
v F
evx dS x
后
v F
evx
dS
x
Fx (x
x 2
,
y,
z)yz
Fx (x
x 2
,
y,
z)yz
Fx (x0 x , y0 , z0 ) Fx (x0 , y0 , z0 ) x Fx
2
2 x P
4
r2
3y2 r5
,
Dz z
q
4
r2
3z2 r5
v D
Dx x
Dy y
Dz z
q
4
3r 2 3(x2 r5
y2 z2)
0
可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。
蜒 ? D
s
v D
v dS
q
4 r3
s
rv evrdS
q
4 r2
s
dS
q
4 r2
4 r2
q
这证明在此球面上所穿过的电通量D 的源正是点电荷q。
环流面密度
过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线
方向evn与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限
Ñ rot
n
v F
lim
S 0
1 S
vv F dl
C
称为矢量场在点M 处沿方向 evn的环流面密度。
由于面元是有方向的, 它与封闭曲线C的绕行方向成右手螺旋
关系。上述极限值对于不同的面元是不同的。
定义为
Fv沿该曲线的环流(或旋涡量、
环量), 记为
vv
ÑC F dl
可见，若在闭合有向曲线
C上，矢量场
v F
的方向处处与线元
dlv的方
向保持一致，则环量 > 0；若处处相反，则 < 0 。可见，环量可以
用来描述矢量场的涡旋特性。
1.5 矢量场的环流与旋度 环流面密度
矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联 系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。
=evx
Fx
(
x,
y,
z)
evy
Fy
(
x,
y,
z)
evz
Fz
(x,
y,
z)
v
F(,,
z)
=ev
F
(,,
z)
ev
F
(,,
z)
evz
Fz
(,,
z)
v
F (r,
,)
=evr
Fr
(r,
,)
ev
F
(r, , )
ev
F
(r,
,)
矢量线
静电场
恒定磁场
1.4 矢量场的通量和散度
➢ 矢量线定义：矢量线是这样的曲线，其上每 一 点的切线方向代表了该点矢量场的方向， 用矢量线的疏密程度表示各处矢量的大小。
向外，矢量场对闭合曲面的通量是
蜒S Fv
v dS
S
v F
evn
dS
1.4 矢量场的通量和散度
通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
0
0
0
进入与穿出闭合曲面 的矢量线相等，没有 “源”和“洞”
通过闭合曲面有
净的矢量线穿出， 这说明S内必定有 矢量场的源
有净的矢量线进
入，说明S内有洞 (负的源)。
1.4 矢量场的通量和散度
1.4 小结
➢ 矢量场的矢量线 ➢ 矢量场的通量
➢矢量场的散度
vv
ÑS F dS
vv
v div F
lim
ÑS F dS
ΔV 0 ΔV
➢散度定理
vv
v
ÑS F dS V FdV
1.5 矢量场的环流与旋度 环流
1.5.1 环流
矢量
v F
沿某封闭曲线的线积分,
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为