矢量场的通量及散度
矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
第7讲矢量场的通量及散度1
且 ( xi , yi , zi ) 是在 li 内的一点。
2.（弧长）曲线积分（介绍） 如果（1）式的极限存在，则称该极限为数量场
u ( x, y, z ) 在曲线 L 上对弧长的曲线积分，记作
线积分。
L
u ( x, y, z )dl
式中L为积分的曲线路径；通常称其为第Ι型曲
2. 曲线积分
3. 曲面积分
4. 通量和源 5. 散度的定义 以上内容基本上是高等数学的复习！ 教材：第2章，第3节
4.通量和源：通量 定义：设有矢量场
一侧的曲面积分： An dS A dS
S S
A(M )，沿其中有向曲面 S
某
为矢量场 A(M ) 向积分所沿一侧穿过曲面
上式表明，通量是可以叠加的。
4.通量和源：通量 在直角坐标系中： 又： dS ndS
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dS cos(n, x)i dS cos(n, y) j dS cos(n, z)k
z
S i
S
y
x
o
D
( xk , yk , zk )
( k ) x y
一般的曲面方程为：F ( x, y, z ) 0
曲面方程可以改写为：
F F F 法线方程为： n i j k x y z
z f ( x, y) 或 f ( x, y) z 0 z z 法线方程为： n ( )i ( ) j k x y
一个圆锥面 x2 y 2 z 2及平面 z H (H 0)所围成的封闭
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
矢量场散度的定义与计算
1.6 矢量场的散度1. 矢量场的矢线（场线）2. 矢量场的通量3. 散度的定义4.散度的计算5.散度定理1. 矢量场的矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每+-一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。
定义：如果在该矢量场中取一曲面S ，通过该曲面的矢线量称为通量。
表达式：d Sv Sψ=⋅⎰若曲面为闭合曲面：d Sv Sψ=⋅⎰2. 通量：讨论：a.如果闭合曲面上的总通量0>ψ说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。
b.如果闭合曲面上的总通量0<ψ说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c.如果闭合曲面上的总通量=ψ说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
表达式：d div limSV F S F V∆→⋅=∆⎰3. 散度的定义：4.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
123456123456d d d d d d d SS S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
矢量场表示为：ˆˆˆx x y y z z F F aF a F a =++1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 123456123456d d d d d d d SS S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1ˆd d d ()x S y z a=-zy x F x ∆∆-=)(1在x 方向上：计算穿过和面的通量2S 1S 1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 111ˆˆd ()()x x x S F S F x ay z a ⋅=⋅∆∆-⎰2ˆd d d x S y za=1()x F x x y z∆∆∆=+222ˆˆd ()x x x S F S F x ay za ⋅=⋅∆∆⎰21x x x=+∆其中：ˆˆˆx x y y z z F F a F a F a =++11()()xx x F F x x F x xx∂+∆=+∆∂因为：221d ()xx S F F S F x y z x y z x∂⋅=∆∆+∆∆∆∂⎰则：在x 方向上的总通量：1212d d x S S F F S F S x y z x∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 111d ()x SF S F x y z ⋅=-∆∆⎰已知：在z 方向上,穿过和面的总通量：5S 6S 5656d d ZS S F F S F S x y zz ∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰整个封闭曲面的总通量：d y x z S F F F F S x y z xy z ∂⎡⎤∂∂⋅=++∆∆∆⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰3434d d y S S F F S F S x y zy∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰同理：在y 方向上,穿过和面的总通量3S 4S 1S zyx6S 5S 4S 3S 2S该闭合曲面所包围的体积：z y x V ∆∆∆=∆0d div limSV F S F V∆→⋅=∆⎰zF y F x F z y x ∂∂+∂∂+∂∂=通常散度表示为：div F F=∇⋅散度： 5.散度定理：d d SVF S F V⋅=∇⋅⎰⎰物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
2.3 散度
求在单位时间内流向S 正面的流量 .
v
n
n
用元素法 .
ds
在单位时间内流经面积元素 dS 的流量元素 0 d (v n ) d S v dS
0 其中 dS n d S 为有向面积元素 .
v dS
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
Flux and Divergence of Vector Field
主要内容
1. 通量 2. 散度 教材：第2章 第3节
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
1
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
一、通量
不可压缩流体流速为 v (不变) ,
平面 上有洞面积为 s ,
> 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系, 用来描 述空间某一范围内场的发散或会聚具有局域性质，不 能反映空间一点的情况.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
7
《场论初步》
例1 已知矢量场 r xi yj zk ，求由内向外穿过
单位法向量为 n (指向正侧 ) .
n
v
s
在单位时间内从 s 中流过的流体的体积 (流量)
s v cos v n s
(1)
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
2
《场论初步》
§2.3
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f ) z
f
( Fx x
Fy y
Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y
Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
则
(
பைடு நூலகம்
f
F)
( x
ex
y
ey
z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey
fFz
ez )
x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )
(
f
Fx x
Fx
f ) ( x
f
Fy y
Fy
f ) ( f y
Fz z
Fz
4、散度的物理意义
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性
• F= 0 (无源）
• F= 0 (正源)
• F= 0 (负源)
5、散度运算的几个基本关系式
• 相对坐标矢量函数 F(r r)
F F
• 相对位置矢 R(r r)
Fx dy Fy dx = 0
得直角坐标的矢量线方程
dx dy dz
Fx Fy Fz
矢量线
2、通量 矢量 F 在面元dS 的面积分为
d = Fnds =Fcos dS = F‧dS
矢量 F沿有向曲面S 的面积分
Ψ S Fd S
en F
dS
矢量场的通量
若S 为闭合曲面 Ψ F d s ，可以根据净通量的大小判 s
矢量场的直角坐标式为
F(x,y,z) = Fx (x,y,z) ex + Fy (x,y,z) ey + Fz (x,y,z) ez
(Fy dz Fz dy) ex + (Fz dx Fx d ) ey + (Fx dy Fy dx) ez = 0
或
Fy dz Fz dy = 0
Fz dx Fx dz = 0
[(Fx
Fx x
x)yz
Fxyz)] [(Fy
Fy y
y)xz
Fy xz )]
[(Fz
Fz z
z)xy
Fz xy)]
( Fx Fy Fz )V x y z
即得
div F lim
Fd s
s
Fx
Fy
)
[Fx
( x,y,z
)
Fx
(x,y,z x
)
x]e
x
Fx(x+x,y,z) y
直角坐标的微分体积
Fy
(
x,y
y,z
)
[Fy
(
x,y,z
)
Fy
(x,y,z y
)
y]
e
y
Fz
( x,y,z
z)
[Fz
(x,y,z
)
Fz
(x,y,z z
)
z ] e z
Fds s
量
R 3
• 标量场 f (r) 和矢量场 F(r) 之积 f F
( f F) f F f F
• R 及其模R
R 0 R3
R0
( f F) f F f F
证明： 设 f (r) =f (x,y,z) ，
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z ) ex+ Fy ( x,y,z ) ey+ Fz ( x,y,z ) ez
§1.3 矢量场的通量及散度
1、矢量场定义及图示 对于空间区域V内的任意一点r，若有一个矢量F(r)与之对
应，我们就称这个矢量函数F(r)是定义于V 的矢量场。
恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。 矢量场图 -- 矢量线
其方程为
F dl 0
F线
F dl
矢量线的示意图
Fdl 0
c y
记作
x
Fd s
div F lim s V 0 V
Fz(x,y,z)
z z (x,y,z) Fy(x,y,z)
b
求边长分别为x、y、z 的小平行六面
a Fx(x,y,z)
Fy(x,y+y,z)
体的通量，其体积V=xyz 。 根据泰勒极数可知
o x
Fx
(x
Δx,y,z
S1上的F 写成
F= azsinex+ azcos ey+ a2zsincos ez
yy
S1S1 SS4 4
dz oo ad
/2 a
d
SS22
en ds xx
bb
因
ds1=addz en
zz
SS33
SS5 5
则 F‧ds1=[ a2zsin（ex‧en）+a2zcos（ey‧en）
R3
R3
3 R3
R
1 R3
R
3 R3
R
3 R4
R R
0
例3 已知 F( x,y,z ) =yzex+xz ey+xyz ez ，式求它穿过闭合
面的部分圆柱面S1的通量。
解 在S1面上有圆的参数方程： x = acos ， y = asin
断闭合面中源的性质:
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
矢量场的闭合面通量
在直角坐标系中，设
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez ds = dydz ex+ dxdz ey+ dxdy ez 则通量可写成
Fz
V 0 V
x y z
Fz(x,y,z+z) c y x
或写成
F Fx Fy Fz x y z
Fz(x,y,z)
z z (x,y,z) Fy(x,y,z)
a Fx(x,y,z)
b Fy(x,y+y,z)
Fx(x+x,y,z)
o
y
x
直角坐标的微分体积