关于核辐射的数学建模论文

核反应堆屏蔽层设计

摘要

核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅,把反应堆四周包围起来，用以阻档或减弱反应堆发出的各种射线。在各种射线中，中子对人体伤害极大，因此，屏蔽设计，主要是了解中子穿透屏蔽的百分比(或概率)，这对反应堆的安全运行是至关重要的。

对于问题一：我们用到了模特卡罗模拟，其中用到的基本思想，就是把随机事件的概率特征与数学分析的解联系起来。大数定理即在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有稳定性。那么我们求得的中子穿透屏蔽层的百分比是符合大数定理的，首先进行数学分析，然后在用matlab 编程（代码见附录）对分析过程进行模拟。最后经过多组实验进行比较得出：当d D 3=时穿透屏蔽层的百分比为12.15%。

对于问题二：我们用到了分析法和计算机搜索法。首先我们假设屏蔽层的厚度x m D =，令D W 是中子穿过厚度为D 屏蔽层的概率，再令()610-

问题一求的得数据0.121D W =，则6(0.1215)10m -<，两边取对数

6

10lg 6

6.5545lg 0.12150.9154m -≥==，19.66320x d d =≈（x 为符合概率级数小于610-的

屏蔽层厚度），让后用计算机搜索法对以上求得的结果进行验证，利用matlab 计算出当3,4,5,6,7,...,D d d d d d nd =时的穿透率，直到找到符合条件的值为止，找到的符合条件的20D d =，与求得的结果相符。

对于问题三：尝试为日本福岛核泄漏事件的核危机善后工作提出的建议，这 不仅要结合一二问的解答，也考察我们的综合能力，这需要我们对日本福岛核泄漏事件的核危机的充分认识以及对此做出的反省。

关键词： 大数定理 计算机搜索法 蒙特卡罗模拟 数学分析法

一、问题重述

核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅，把反应堆四周包围起来，用以阻档或减弱反应堆发出的各种射线。在各种射线中，中子对人体伤害极大，因此，屏蔽设计，主要是了解中子穿透屏蔽的百分比(或概率)，这对反应堆的安全运行是至关重要的。首先考虑一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程：假定屏蔽层是理想的均匀铅质平板，中子以初速度0v 和方向角α射入屏蔽层内，如图一所示，运动一

段距离后，在0x 处与铅核碰撞之后，中子获得新的速度及方向),(11θv ，再运动一段距离后，与铅核第二次碰撞，并获得新的状态),(22θv 等等，经若干次碰撞

后，发生以下情况之一则终止运动过程：(1)弹回反应堆；(2)穿透屏蔽层；(3)第i 次碰撞后，中子被屏蔽层吸收。

假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布，d 为两次碰撞之间中子的平均游动距离，每次碰撞后中子因损失一部分能量而速度下降，假设在第10次碰撞后，中子速度下降到某一很小的数值而终止运动(被吸收)。 请根据下列问题，建立数学模型并作答：

1）假设屏蔽层D=3d ，在大数定理的意义下，中子穿透屏蔽层的百分比多少？

2）在实际应用中，要求中子穿诱屏蔽层的概率极小，一般数量级为10610~10--，即穿入屏蔽层的中子若为几百万个，也只能有几个中子穿过屏蔽层。问题是多厚的屏蔽层才能使它被穿的概率小于610-?

3）根据上述估计，并查阅相关文献，尝试为日本福岛核泄漏事件的核危机善后工作提出约2000字的建议。

图一

二、基本假设与符号说明

1、基本假设：

①假设中子经碰撞后的弹射角θ~(0,2)

Uπ；

②假设中子在屏蔽层内与铅核的碰撞是随机的；

③假设中子在屏蔽层内与铅核经若干次碰撞后，不会再发生第四种情况；

④假设题中所给的假定都是合理的；

⑤假设反应堆发出的各种射线中只需考虑中子的辐射

三、问题分析

问题一已经告诉我们屏蔽板的厚度3

=，因为中子在屏蔽板内游动的轨

D d

迹是随机的，但最终运动的结果有三种情况，第一种是中子被返回核反应堆，第二种是中子被屏蔽层吸收，第三种是中子穿透屏蔽层。在满足以上假设下，大量的中子最终分别发生的三种情况的概率会趋向某个值，即在大数定理的意义下，我们可以建立模型来求得这个值，也就可以求出中子穿透屏蔽层的百分比。

问题二实际上是与问题一相反的问题，在实际应用中，要求中子穿诱屏蔽

层的概率极小，一般数量级为610

--，即穿入屏蔽层的中子若为几百万个，

10~10

也只能有几个中子穿过屏蔽层。要使中子的穿透率的数量级小于6

10-，我们可以结合问题一所求得数据，建立数学模型返回去求出满足题意的屏蔽板的厚度。

问题三是根据上述估计，并查阅相关文献，尝试为日本福岛核泄漏事件的核危机善后工作提出约2000字的建议。问题三是想让我们把一、二问与实际相结合，考察我们的综合能力。

四、模型建立与解答

1、问题一的模型建立与求解：

对于问题一，我们知道中子在屏蔽层中是随机游动的，根据题意我们知道，中子的运动最终有三种情况：一种是返回核反应堆，第二种是穿透铅屏蔽层，第三种是被铅屏蔽层吸收。（如图二所示）

在大数定理的意义下，当中子足够多得时候这三种情况的概率接近一个稳定值，符合大数定理（大数定律：在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值）。中子在屏蔽层里随机游动，第i次碰撞以后，按照它坐标

x，根据三种情况来规定i x的值（见图三）：

i

图三

（1）中子返回核反应堆，0

（2）中子穿透铅屏蔽层，D x i >；

（3）中子在屏蔽层内继续运动，

10

经过第i 次碰撞，中子在屏蔽层的位置是：

,10,...,2,1,cos 1=+=-i R x x i i i i θ

下面来模拟过程：

（1）产生RND 随机数对()i i u r ,；

（2）将()i i u r ,带入公式计算???=-=,2,ln i i i i u r d R πθ ()10,...,3,2,1=i

（3）将()i i R θ,代入公式

10,...,2,1,cos 1=+=-i R x x i i i i θ

计算出第i 次碰撞中子与内壁的距离i x 。

（4）判断中子是否穿透屏蔽层。

所以经过检验当d D 3=时穿透屏蔽层的百分比大概在12.15%。（见图四）

图五

2、问题二的模型建立与求解：

方法一：对于问题二，我们认为，当这个铅隔离层的厚度D 大时，中子所能够穿越的可能性就越小。所以我们假设当mD x =的时候恰好满足条件，也就是个临界点。（如图六所示）

。。。。。。 1 2 m

图六

由于碰撞的能量损失，中子穿过屏蔽层的平均速度会逐渐下降。

D W 是中子穿过厚度为D 屏蔽层的概率，则穿过整个屏蔽层的概率W 满足m D W W <

利用模拟结果：当d D 3=时，得到以下数据，

令()610-

， 6

lg 106

6.5545lg 0.12150.9154m -≥==

最后计算的 6.5535m = ； 19.663520x d d =≈

方法二：我们可以利用matlab 计算出当3,4,5,6,7,...,D d d d d d nd =时的穿透率，

直到找到符合条件的值为止。结果如下表（图七）所示：

图七

图八

由数据和图八及图九（见下面）看出，当d D 20=时候符合条件。与方法一相吻合。所以得出答案当d D 20=时穿透率小于10-6。

D 值/d 返回率 穿透率 吸收率

3 0.815800 0.121500 0.062700

4 0.822800 0.076000 0.102000

5 0.823700 0.044800 0.131500

6 0.823900 0.025100 0.151100

7 0.823900 0.013700 0.162400

8 0.823800 0.007200 0.164800

9 0.824300 0.001900 0.172000

10 0.823700 0.000800 0.174400

11 0.823500 0.000400 0.175700

12 0.823900 0.000222 0.175600

13 0.824200 0.000100 0.175700

14 0.823900 0.000410 0.176000

15 0.824100 0.000022 0.175800

16 0.823800 0.000050 0.176400

17 0.823700 0.000013 0.176300

18 0.823500 0.000006 0.176500

19 0.824000 0.000002 0.176000

20 0.824373 0．000000 0.175627

3、问题三的求解：

针对日本福岛核泄漏危机善后工作的建议

2011年3月11日，日本东北部发生历史罕见的9.0级强地震，引发大规模海啸，多处城市和村庄被淹没。随后，福岛核电站因冷却系统问题处理不善，引发核泄露，一时全球震惊！面对此情此景，我们在此单就核泄漏危机善后工作提出自己的一些拙见！

一．日本政府和东京电力公司必须先端正态度！

我们注意到，在日本官方正式把福岛核电站事故提高到7级之前，日本一直坚持把核事故定为5级，认为是一场辐射物泄漏有限的危机，并与国际社会争执了近一个月，日本国民也坚信政府的说法，并质疑其他国家的说法“虚张声势”。现在，日本官方态度的突转让国内一片哗然，有议员指责政府向全世界说谎，甚至有民众声称这是一场“国家犯罪”。官方的应对方式是典型日本式的———首相和官方长官出面致歉，但再次强调日本核泄漏与切尔诺贝利“不一样”。

当然，此次事件本身就有很多不确定因素，再加上日本政府发布关键信息时含糊其辞，对核泄漏事件的严重性估计不足，因此，使得日本民众对核泄漏事故带来的消极心理反应剧增，反而大于地震、海啸灾难的心理反应，并且有逐步升级趋势。作为一个灾害频发的发达国家，日本政府有丰富的抗灾经验和先进的救灾技术，但这次应对核泄漏及其引发的次生灾难却表现不是很好。日本福岛灾难现场很难看到日本政府官员出现，主要靠电力公司在运作。在军队救援方面，日本自卫队由于其公务员体制，行动较为迟缓。

此外，在救援过程中，突发性地震伴随着降雪天气和余震，尽管其困难前所未有，但灾区出现了几十万人的饮食供应短缺局面，让人难以理解。作为发达国家，日本不应该缺乏直升飞机和物资，可能最重要的是信息沟通和灾难救援系统出现了问题。日本菅直人政府新近上任，还处在磨合期间，此前的几任领导人上台执政时间均不长，可能也存在应对经验不足的问题，也可能是日本现有的管理体制本身带来的局限。

而在地震爆发的第一时间，福岛核电站的东家—东京电力公司(以下简称东

电公司)在处理危机中也有诸多处置不当之处。11日下午日本经济产业省下设的核安全保安院从东电公司收集的信息显示，“北海道、东北、关东、中部地区的核电站及相关设施共29个，在本次地震中未发现较大的故障”，当这份“让人安心”的报告送至政府手中时，无疑影响了决策部门对事故严重性的判断。而事后也有国际媒体指责东电公司为了公司的经济利益，过多担心发电机组今后是否能继续使用，为小利舍大义，贻误了处置危机的重要时机。

对信息的隐瞒，对形势的判断失误，看似是东电公司在危机处理中的“不当之处”，实则包含了东电公司的“惯性思维”!福岛第一和第二核电站此前也多次发生事故。其中福岛第一核电站1978年曾经发生临界事故，但是事故一直被隐瞒至2007年才公之于众。除了隐瞒，还有违假。2003年“东京电力伪造检查记录的调查审查委员会”对东电公司的调查显示，东电公司至少有16起追假事件，其中包括：不符合法规和技术标准的6件、不顾管理当局要求隐瞒和伪造报告的5件、业主采取不适当的自主检查方法的5件。此外l号机组炉龄已经40年，本该在震前退休，然而为了更大的经济利益，东电公司几年前早已经打定“让炉子用上60年”的主意，而且竟然已经得到了日本核安全保安院的同意。

当东电公司基层员工死守第一线的人性光辉让全世界为之动容时，东电公司管理层以及有关监管层的失责却让人们扼腕，并引发人们对核电安全的思考：日本是多地震国家，但此次事件却显示东电公司等对极端自然灾害的认识、应急预案仍存在不足。事件还充分显示东电公司没有高度重视质量安全问题，在利益与责任的天平上出现偏颇；一系列瞒报、修改数据的事件也暴露出监管层对一些问题未能及时监督和制止。

对核电的安全管理应成为人类的目标。让我们都放弃本国核电企业“完全不会出事”的侥幸，让我们假设新的核事故可能发生在不远的将来。为此我们建议日本政府和东京电力公司必须先端正态度，以此次日本核泄漏事故为警钟，加强安全意识，完善管理体制，确保在可能出现的极端情况下，切实保障核电运行绝对安全。要加强核电站场内、场外的协调对接与协同保障，形成完整体系，确保核电安全万无一失。同时，要提高核电安全运行的透明度，加强核电知识宣传普及，提高公众对核电的科学认知能力。要形成应急机制并不断演练，确保危机发生时人们不会惊慌失措。

二．工作中应做好“重视环保，珍视生命”的宣传和落实！

我们都知道从4月4日开始，日本福岛第一核电站主动向太平洋中排放总量1.15万吨的“低放射性污水”，以便为更多“高放射性污水”腾出宝贵的储藏空间。与此同时，日本救援人员对2号反应堆所属设备井裂缝的堵漏工作再度失败，超过法定安全标准1万倍的放射性污水正在以每小时7吨的流量进入太平洋。泄漏到太平洋的放射性污水可能对海洋生物链产生不可挽救的严重影响。更为可怕的是，不排除释放铯、钌、碲、钴等微量元素的可能性；

我们还知道日本东部及东北部因地震及其引发的海啸造成的死亡人数已超过1万，有13346人失踪。福岛核电站1、2、3、4号机组泄漏事故截止11日，已至少造成117人死亡，500多人失踪，预计受害人数将继续上升！

我们更知道日本派出50个人在核电站进行维修，可以说现在核电站是各大媒体关注的焦点，报道称辐射性非常强。这50人的生命安全有没有受到威胁？

在大自然的力量（比如地震，海啸，飓风，干旱、洪涝，低温冷冻和雪灾，山体滑坡和泥石流、森林和草原火灾、病虫害等各类灾害）面前,人类显得很渺

小.人类有能力破坏地球,但没能力逃离地球,现在,我们更需要有能力来保护地球！

在灾难一刻来临之前，那些逝去的同胞和你我一样享受着自己的生活，但就在死神降临的那一秒钟，有多少人的生命时钟就此停止，有多少人的一生从此改变，让我们不得不感叹生命的无常——倘若那样的天崩地裂就发生在你我自己脚下，结果又会如何？从这个意义上说，我们每个人都是这次灾难的幸存者。如果死里逃生的是我们自己，那么在我们眼中，这个世界将是怎样？从死神面前回到人间，空气可能变得格外清新，每天的阳光都更加灿烂，我们再也不会轻易浪费生命中的每一秒。

“重视环保，珍视生命”无疑是这次善后工作中不容忽视的一个大问题！我们建议日本政府在这次善后工作中一方面能做好宣传，让群众从真实的灾难中再一次深刻的认识到环保的重要性，让生者珍惜生命、活在当下，让逝者得到安息！另一方面，我们当然是希望日本政府能够在这次善后工作中切实做到“重视环保，珍视生命”，从长远角度思考问题，认真反思自己的核技术，并积极寻找和开发更加安全和环保的新能源,始终坚持以人为本！

三．要学习和学会应用心理援助法

日本多年来成功的灾害预防教育使得国民具有很强的心理素质。日本是一个岛国，灾害频发，资源匮乏，恶劣的自然环境和单一民族，造就了避免争斗、倡导忍耐、团队合作的社会价值观和行为风范。在地震和海啸发生的前一个时期，表现出惊人的冷静和忍耐精神。

天皇是日本的精神领袖，他的电视讲话除了表示对世界各国的救援感谢外，也希望日本人民坚定希望和信心。从应对灾害的心理学反应看，这很重要。灾难一旦发生，民族的信心很关键，需要有威信的人出来讲话。日本天皇讲话后，日本股市提升了几个百分点，这就是心理支持带来的积极效果。

不过，福岛核泄漏事故曝光之后，日本民众的心态就急转直下，恐慌情绪蔓延，政府官员信息发布的失策，也是促使日本民众出现动摇和恐慌心理的重要原因。

日本政府的决策应对方面出现了一些失误。这说明，日本没有将科学的应对策略纳入领导干部危机决策的培训体系，也没有建立应对非常规突发事件的示范型平台，特别是关注对关键领导岗位人员的系统培训，这不仅需要技术上、物质上的培训，更需要有决策和心理应对的培训。

因此，我们建议今后日本政府应该开始关注灾后的心理援助问题。灾难之后的民众不仅需要物质救援，更需要心理救援。灾难心理学研究表明：在灾难中后期更应该注意民众心理的疏导和调试问题。当灾害过去，灾民再次面对被海啸冲走的房子、伤亡甚至杳无音信的亲人等环境剧变时，更容易积压深层次恐慌。

四．要设计好核反应堆屏蔽层

根据我们在第一问和第二问中的计算，在实际应用中，要求中子穿透屏蔽层的概率极小，即穿入屏蔽层的中子若为几百万个，也只能有几个中子穿过屏蔽层的话，我们建议应该把核反应堆屏蔽层的厚度设计为大于20d(d为中子与铅核两次碰撞之间中子的平均游动距离)！

以上是我们对日本福岛核泄漏危机善后工作的三点拙见，我们真诚希望日本能早日摆脱灾难的阴影，也希望我们的建议能够帮上一点忙！

五、模型的评价

优点：在模型一中，我们用了蒙特卡罗模拟法，依靠matlab编程，进行计算机虚拟模仿，模仿中子与屏蔽层内铅核的碰撞，这不仅大大降低了计算带来的难度和问题本身的抽象度，同时也使得我们的计算结果误差减少；

在模型二中我们采用了两种思路。方法一是用数学分析法计算出来的，而方法二中我们受问题一的启发，采用计算机搜索法，最终锁定的值与方法一中的完全一致，正好验证了方法一，这不仅使我们的第二问更严密，也更具说服力；

在问题三中，我们通过大量查阅资料，并认真分析筛选，最终找到三条很有独特视角的建议，又紧密结合问题一和问题二的结果，总结出第四条建议！

缺点：由于计算机模拟带有一定的随机性，以致得到模型的三个指标不是很让人满意。

六、参考文献

[1] 韩中庚,《数学建模方法以及应用》,北京, 高等教育出版社,2009年6月第二版

[2] 刘军,《科学计算中的蒙特卡罗策略》，北京,高等教育出版社,2009年4月第二版。

[3] 姜启源，邢文训，谢金星，杨顶辉,《大学数学实验》，北京，清华大学学研大厦A 座,清华大学出版社,2005年2月第二版。

七、附录

n=input('中子个数：');

xx=[];

yy=[];

N=10;

d=2;

D=20*d;

H=10*10;

c=zeros(1,3);

x=zeros(1,n);

y=H*rand(1,n)/10;

for j=1:N;

if isempty(x),

end

R=-d*log(rand(1,length(x)));

seta=2*pi*rand(1,length(x));

x=x+(R.*cos(seta));

y=y+(R.*sin(seta));

t=find(x>D);

c(2)=c(2)+length(t);

if length(t)>0,

xx=[xx,x(t)];

yy=[yy,y(t)];

x(t)=[];

y(t)=[];

end

t=find(x<0);

c(1)=c(1)+length(t);

if length(t)>0,

xx=[xx,x(t)];

yy=[yy,y(t)];

x(t)=[];

y(t)=[];

end

if j==N,

c(3)=c(3)+length(x);

end

end

xx=[xx,x];

yy=[yy,y];

check=sum(c)-n

check2=length(xx)-n

bili=c/n

plot(xx,yy,'r.')

hold on

line([0,0],[-H,H])

hold on

line([D,D],[-H,H])

text(-4*d,H-5*d,'返回')

text(-4*d,H-9*d,sprintf('(%8.7f%%)',c(1)/n*100))

text(D/2-d,H-5*d,'吸收')

text(D/2-2*d,H-9*d,sprintf('(%8.7f%%)',c(3)/n*100))

text(D+2*d,H-5*d,'穿透')

text(D+d,H-9*d,sprintf('(%8.7f%%)',c(2)/n*100))

hold off

注：上述程序中带下划线的都是可改之处。其中20是D的d值，8.7中8是显

示结果的总位数,7是小数点后面的位数。该程序在执行后会自动出来“中子个数：”，输入中子个数后执行即可！