第九章 多元函数微分学

第九章 多元函数微分学例7求xyy x y x )(lim 2200+→→.解 .)(lim )ln(lim 22002200y x xy xy y x y x ey x +→→→→=+因为)ln()(0)ln(22222222y x y x y x xy y x xy ++⋅+=-+.)ln()(2222y x y x ++≤而 22)ln()(lim 222200y x t y x y x y x +=→→=++令,0ln lim 0=+→t t t所以 ,0)ln(lim 2200=+→→y x xy y x 故 .1)(lim 02200==+→→e y x xy y x例9 证明 26300limy x y x y x +→→不存在.证 取,3kx y =626330263003lim lim x k x kx x y x y x kxy x y x +⋅=+=→→→,12k k +=其值随k 的不同而变化,故极限不存在.例10 证明 yx y x xy +→→+10)1(lim 极限不存在.证 取n y x n n 1,0==(n 为自然数),则当∞→n 时，,0→n y 且 .1)01(lim )1(lim /1011=+=++∞→+∞→nn y x n n n nn y x取,11,1+-==n y n x n n 则当∞→n 时，,0→n x ,0→n y 且,1)1(11lim )1(lim )1(1en n y x n n n y x n n n nn =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++∞→+∞→ 因沿不同的子列题设极限的结果也不同,故题设极限不存在.例10 设 ()y x f u ,=的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换为极坐标系中的形式:(1) 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂y u x u ; (2) .2222y u x u ∂∂+∂∂ 解 由直角坐标与极坐标间的关系式,cos θr x =θsin r y =可把函数),(y x f u =换成极坐表r 及θ的函数:),(y x f u =)sin ,cos (θθr r f =).,(θr F =故可用复合函数求导法则求出偏导数:x u∂∂、y u ∂∂、22xu ∂∂、.22y u ∂∂ 这里),(y x f u =要看作由),(θr F u =及,22y x r +=xyarctan=θ复合而成.下面分别计算之. (1) ;22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u(2).2222y ux u ∂∂+∂∂ (1) 由直角坐标与极坐标间的关系式,cos θr x =,sin θr y = 应用复合函数求导法则得x u ∂∂x u x r r u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=θθ2r y ur x r u θ∂∂-∂∂=,sin cos r u r u θθθ∂∂-∂∂= y u ∂∂y u y r r u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=θθ2rx ur y r u θ∂∂+∂∂=.cos sin r u r u θθθ∂∂+∂∂= 两式平方后相加,得22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u .1222⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=θu r r u (2) 利用(1)的结果,再求二阶偏导数,得22x u∂∂x r x u r ∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=xx u ∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+θθ θθθθθcos sin cos ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂=r u r ur r u r u θθθθθsin sin cos ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂- θ222cos r u ∂∂=r r u θθθcos sin 22∂∂∂-2222sin r u θθ∂∂+2cos sin 2ru θθθ∂∂+.sin 2r r u θ∂∂+ 同理可得22y u ∂∂θ222sin r u ∂∂=r r u θθθcos sin 22∂∂∂+2222cos r u θθ∂∂+2cos sin 2ru θθθ∂∂-.cos 2r r u θ∂∂+ 两式相加,得2222y u x u ∂∂+∂∂22ru ∂∂=r u r ∂∂+12221θ∂∂+ur .1222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=θu r u r r r r例12（E07）利用一阶全微分形式的不变性求函数 222z y x x u ++=的偏导数.解 du 2222222222)()()(z y x z y x xd dx z y x ++++-++2222222)()222()(z y x zdz ydy xdx x dx z y x ++++-++=.)(22)(2222222z y x xzdz xydy dx x z y ++---+= 所以x u ∂∂,)(2222222z y x x z y ++-+=y u ∂∂,)(22222z y x xy ++-=z u∂∂.)(22222z y x xz ++-= 例14 已知 ,02=+--z xy e z e 求xz ∂∂和y z ∂∂. 解 Θ,0)2(=+--z xy e z e d∴,02)(=+---dz e dz xy d e z xydz e z )2(-),(ydx xdy e xy +=-dz .)2()2(dy e xe dx e ye z xyzxy -+-=-- 故所求偏导数x z∂∂,2-=-z xy e ye y z ∂∂.2-=-z xy e xe 一、一个方程的情形定理1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程),(y x F 0=在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F Fdx dy -= (5.2) 定理2 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =,它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy zx F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂ (5.4) 二、方程组的情形定理 3 设),,,(),,,(v u y x G v u y x F 、在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又,0),,,(,0),,,(00000000==v u y x G v u y x F 且函数F 、G 雅可比行列式),(),(v u G F J ∂∂=在点),,,(0000v u y x P 不等于零，则方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数),,(),,(y x v v y x u u ==它们满足条件),,(),,(000000y x v v y x u u == 其偏导数公式由(5.9)和(5.10)给出.),(),(),(),(v u G F v x G F x u ∂∂∂∂-=∂∂， ),(),(),(),(v u G F x u G F x v ∂∂∂∂-=∂∂. (5.9)),(),(),(),(v u G F v y G F yu∂∂∂∂-=∂∂， ),(),(),(),(v u G F y u G F y v ∂∂∂∂-=∂∂. (5.10)例6（E04）设,0),,(=---x z z y y x F 其中F 具有连续偏导数，且,032≠'-'F F 求证.1=∂∂+∂∂yz x z 证 由题意知方程确定函数).,(y x z z =在题设方程两边取微分,得),,(x z z y y x dF ---0d =,0=即有 .0)()()(321=-'+-'+-'x z d F z y d F y x d F.0)()()(321=-'+-'+-'dx dz F dz dy F dy dx F合并得 ,)()()(321231dz F F dy F F dx F F '-'='-'+'-' 解得 dz ,32123231dy F F F F dx F F F F '-''-'+'-''-'=从而x z∂∂,3231F F F F '-''-'=y z ∂∂,3212F F F F '-''-'= 于是y z x z∂∂+∂∂3232F F F F '-''-'=.1=例11（E06）设⎩⎨⎧=+=-,1,0xv yu yv xu 求,x u ∂∂x v y u ∂∂∂∂,,.yv∂∂ 解一 由题意知,方程组确定隐函数),,(y x u u =).,(y x v v =在题设方程组两边取微分,有.00⎩⎨⎧=+++=--+vdx xdv udy ydu vdy ydv udx xdu 把dv du ,看成未知的,解得du ],)()([122dy yu xv dx yv xu y x -++-+=即有 ,22y x yv xu x u ++=∂∂.22y x yu xv y u +-=∂∂同理,我们还可以求出,dv 从而得到,22y x xv yu x v +-=∂∂.22yx yv xu y v ++-=∂∂ 例12 设,sin ,0),,(),,,(2x y z e x z y x f u y===ψ其中,f ψ具有连续的偏导数且,03≠'ψ 求.dxdu 解 由题意知,题设方程组隐含函数组),(x y y =),(x z z =在方程),,(z y x f u =两端对x求导,得dxdu .dx dzf dx dy f f z y x '+'+'= (1) 又由方程x y sin =知dxdy.cos x = (2) 再在方程0),,(2=z e x y ψ两边对x 求导,得,02321=⋅'+⋅⋅'+⋅'dxdzdx dy e x y ψψψ 解得dxdz).cos 2(1213x e x y ψψψ'+''-= (3) 把(2)、(3)代入(1),即得dxdu).cos 2(cos 213x e x f x f f y z yx ψψψ'+'''-'+'= 注: 此题也可以利用多元函数的一阶微分形式不变性及微分的四则运算方便地计算出,请读者试之.例13（E07）在坐标变换中我们常常要研究一种坐标),(y x 与另一种坐标),(v u 之间的关系. 设方程组⎩⎨⎧==),(),,(v u y y v u x x (5.14) 可确定隐函数组),,(),,(y x v v y x u u == 称其为方程组(5.14)的反函数组. 设),(),,(),,(),,(y x v y x u v u y v u x 具有连续的偏导数，试证明.1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u证 将),,(y x u ),(y x v 代入(1),有,0)],(),,([0)],(),,([⎩⎨⎧=-=-y x v y x u y y y x v y x u x x 在方程组两端分别对x 和y 求偏导,得⎩⎨⎧=''-''-=''-''-0001x v x u x v x u v y u y v x u x 和.0100⎪⎩⎪⎨⎧=''-''-=''-''-y v y u y v y u v y u y v x u x 即 ⎩⎨⎧=''+''=''-''01x v x ux v x u v y u y v x u x .10⎪⎩⎪⎨⎧=''+''=''+''y v yu y v y uv y u y v x u x 由vv u u y y xxy x y x v u v u ''''⋅''''v y u y v y u y vx u x vx u x y v y u x v x u y v y u x v x u ''+''''+''''+''''+''=1001=1=.1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u 证毕. 注: 此结果类似于一元函数反函数的导数公式.1=⋅dxdy dy dx 推广到三维情形:若),,,(w v u x x =),,,(w v u y y =),,(w v u z z =确定反函数组),,,(z y x u u =),,,(z y x v v =).,,(z y x w w = 则在一定条件下,有 .1),,(),,(),,(),,(=∂∂⋅∂∂z y x w v u w v u z y x二、空间曲面的切平面与法线：,0),,(=z y x F切平面的方程为,0)()()(0000=-+-+-z z F y y F x x F M zM yM x(6.12)称曲面在点0M 处切平面的法向量为在点0M 处曲面的法向量，于是，在点0M 处曲面的法向量为)}.,,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =ρ(6.13)过点0M 且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 因此法线方程为00|||000M z M y M x F z z F y y F x x -=-=- (6.14) 曲面∑方程为 ),(y x f z =的情形；设γβα、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量与z 轴正向的夹角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为,1cos 22y x x f f f ++-=α ,1cos 22y x y f f f ++-=β .11cos 22y x f f ++=γ其中).,(),,(0000y x f f y x f f y y x x ==例2（E02）求曲线⎩⎨⎧=+=+10102222z y z x 在点)3,1,1(处的切线及法平面方程. 解 设,10),,(22-+=z x z y x F ,10),,(22-+=z y z y x G 则,2x F x =,0=y F ,2z F z =,0=x G ,2y G y =,2z G z = 故)3,1,1(zy z y G G F F )3,1,1(2220z y z=,12-=)3,1,1(xzx zG G F F )3,1,1(0222z xz =,12-=)3,1,1(yx y x G G F F )3,1,1(2002y x =.4=故所求的切线方程为.133131--=-=-z y x 法平面方程为,0)3()1(3)1(3=---+-z y x 即.333=-+z y x例3（E03）求曲线0,6222=++=++z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程. 解2 将所给方程的两边对x 求导并移项,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dx dz z dx dyy⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=zy y x dx dz z y x z dx dy ,10)1,2,1()1,2,1(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==--dx dz dx dy由此得切向量},1,0,1{-=T ρ所求切线方程为,110211--=+=-z y x 法平面方程为 ,0)1()2(0)1(=--+⋅+-z y x 即.0=-z x 例10（E06）试求数量场rm所产生的梯度场, 其中常数,0>m 222z y x r ++=为原点O 与点),,(z y x M 间的距离.解⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m x x r r m ∂∂-=2,3r mx -= 同理⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m y ,3r my -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m z .3rmz-=从而 r mgrad.2⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=k r z j r y i rx r m ρρρ如果用r e ρ表示与同方向的单位向量,则r e ρk r z j r y i r x ρρρ++=.2r e rmr m grad -=上式右端在力学上可解析为,位于原点O 而质量为m 的质点对位于点M 而质量为 1 的质点的引力.该引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距离平方成反比,该引力的方向由点M 指向原点.例10 求两直线⎩⎨⎧+==12x z x y 与⎩⎨⎧=+=x z x y 3之间的最短距离.解 设),,,(111z y x ),,(222z y x 分别为两直线上的点,则这两点之间的距离为d .)()()(212212212z z y y x x -+-+-=将,211x y =,111+=x z ,322+=x y 22x z =代入上式得d .)1()23()(212212212--+-++-=x x x x x x令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=∂∂=--=∂∂0)234(10)546(1212211x x dx d x x d x d,42721⎪⎩⎪⎨⎧==x x 即 (7/2, 4) 是唯一可能的极值点.因为两已知直线之间的最短距离一定存在,故这个可能的极值点就是最小值点.即当,2/71=x 42=x 时，d 有最小值,即mind ()2221274734274⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.2/2=例14 证明不等式,6108632⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab其中c b a ,,是任意的非负实数.证 根据所证不等式的形式,易见取对数后的形式更简便.将c b a ,,分别视为变量z y x ,,的值,则题设问题可归结为:求目标函数),,(z y x f z y x ln 3ln 2ln ++=)0,0,0(>>>z y x在约束条件06),,(=-++=M z y z z y x ψ下的最大值,其中M 是正常数.为此作拉格朗日函数),,,(λz y x L z y x ln 3ln 2ln ++=)0,0,0(>>>z y x其中.0,0,0>>>z y x 解方程组,01=+='λx L x ,02=+='λy L y ,03=+='λzL z 得,321zy x ==将其代入约束条件中,得唯一可能的极值点,M x =,2M y =.3M z = 因为,),,(lim )0,0,0(),,(-∞=→z y x f z y x 显然),,(z y x f 无最小值,故函数f 在点)3,2,(M M M 取到最大值:)3,2,(M M M f 32)3ln()2ln(ln M M M ++=.108ln 6M =于是，由约束条件632108ln ln M z xy ≤,6108ln 6⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x 即.6108632⎪⎭⎫⎝⎛++≤z y x z xy 取,a x =,b y =,c z =即有.6108632⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab当c b a ,,至少有一格为 0 时,不等式显然成立.例16 设某电视机厂生产一台电视机的成本为,c 每台电视机的销售价格为p , 销售量为x . 假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量. 根据市场预测, 销售量x 与销售价格p 之间有下面的关系:)0,0(>>=-a M Me x ap(1)其中M 为市场最大需求量, a 是价格系数. 同时, 生产部门根据对生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c 有如下测算: x k c c ln 0-= )1,0(>>x k , (2) 其中0c 是只生产一台电视机时的成本, k 是规模系数. 根据上述条件, 应如何确定电视机的售价p , 才能使该厂获得最大利润?解 设厂家获得的利润为,u 每台电视机售价为,p 每台生产成本为,c 销售量为,x 则.)(x c p u -=于是问题化为利润函数x c p u )(-=在附加条件(1)、(2) 下的极值问题.利用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数:),,,,(μλc p x L ).ln ()()(0x k c c Me x x c p ap +-+-+-=-μλ令x L x k c p /)(μλ++-=,0=p L ap aMe x -+=λ,0=c L μ+-=x .0= 将 (1) 代入 (2),得).(ln 0ap M k c c --= (3) 由 (1) 及0=p L 知,1-=a λ即./1a -=λ (4) 由0=c L 知,μ=x 即.1/=μx 将 (3)、(4)、(5) 代入,0=x L 得,0/1)(ln 0=+--+-k a ap M k c p由此得 *p .1/1ln 0akka M k c --+-=由问题本身可知最优价格必定存在,故这个*p 就是电视机的最优价格. 线性回归问题例17(E08) 为测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式，得到如 下实测数据：8.243.257.251.263.265.268.260.27)(76543210)(7654321毫米刀具厚度小时时间顺序编号i i y t i试根据这组实测数据建立变量y 和t 之间的经验公式).(t f y =解 观察散点图，易发现所求函数)(t f y =可近似看作线性函数，因此可设,)(b at t f +=其中a 和b 是待定常数，但因为图中各点并不在同一条直线上，因此希望要使偏差)7,,2,1,0()(Λ=-i t f y i i 都很小.为了保证每个这个的偏差都很小，可考虑选取常数,,b a 使∑=+-=72)]([i i ib at yM 最小.这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数b a ,的方法叫做最小二乘法.求解本例：可考虑选取常数,,b a 使∑=+-=72)]([i i ib at yM 最小.把M 看成自变量a和b 的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数),(b a M M =在那些点处取得最小值.令,0)]([20)]([2707⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=∂∂=+--=∂∂∑∑==i i i i i i i b at y b M t b at y a M即 .0)]([0)]([77⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-∑∑==i i i i i i i b at y t b at y 整理得.871717171712⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====i i i i i i i i i i i y b t a t y t b t a (1) 计算，得.0.717,5.208,140,28717171271====∑∑∑∑====i ii i i iii ity ytt代入(1)，得 ⎩⎨⎧=+=+5.20882871728140b a b a .125.27,3036.0=-=b a于是，所求经验公式为 .125.273036.0)(+-==t t f y (2) 根据上式算出的)(i t f 与实测的i y 有一定的偏差，见下表：注：偏差的平方和,108165.0=M 其平方根.392.0=M 我们把M 称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式近似表达原来函数关系的近似程度的好坏.注：本例中实测数据的图形近似为一条直线，因而认为所求函数关系可近似看作线性函数关系，这类问题的求解比较简便.有些实际问题中，经验公式的类型虽然不是线性函数，但我们可以设法把它转化成线性函数的类型来讨论.例19(E10) 一个糖果制造商有500g 巧克力, 100g 核桃和50g 果料. 他用这些原料生产三种类型的糖果. A 类每盒用3g 巧克力, 1g 核桃和1g 果料, 售价10元. B 类每盒用4g 巧克力和1g 核桃, 售价6元. C 类每盒是5g 巧克力, 售价4元. 问每类糖果各应做多少盒, 才能使总收入最大?解 设制造商出售C B A ,,三类糖果各为z y x ,,盒，总收入是z y x R 4610++=(元). 不等式约束条件由巧克力、核桃和果料的存货限额给出，依次为 .50,100,500543≤≤+≤++x y x z y x当然，由问题的性质知，y x ,和z 也是非负的，所以 .0,0,0≥≥≥z y x 于是，问题化为：求R 的满足这些不等式的最大值.上述不等式把允许的解限制在Oxy 空间中的一个多面体区域之内(如图).在平行平面R z y x =++4610中只有一部分平面和这个区域相交，随着R 增大，平面离原点越来越远.显然，R 的最大值一定出现在这样的平面上，这种平面正好经过允许值所在多面体区域的由图可见，R 的最大值是920元，相应的点是，)30,50,50(所以A 类50盒，B 类30盒，C类30盒时收入最多.注：类比于平面上的最大，最小问题。