计算机导论图灵机模型及数据编码与运算
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图灵机的思想与模型简介
0110101
程 序
通用机器
…10001110110
输入
由“程序”控制， 一步步将输入 “转换”为输出
10001…
输出
0110101
图灵机的思想
是关于数据、指令、程序及程序/指令自动执行的基本思想。
输入被制成一串0和1的纸带，送入机器中----数据。如00010000100011… 机器可对输入纸带执行的基本动作包括：“翻转0为1”，或 “翻转1为0”, “前移一 位”, “停止”。 对基本动作的控制----指令，机器是按照指令的控制选择执行哪一个动作，指令也可以 用0和1来表示：01表示“翻转0为1”(当输入为1时不变)，10表示“翻转1为0”(当输入0时 不变), 11表示“前移一位”, 00表示“停止”。 输入如何变为输出的控制可以用指令编写一个程序来完成, 如: 011110110111011100… 机器能够读取程序，按程序中的指令顺序读取指令， 读一条指令执行一条指令。由此实现自动计算。
冯.诺依曼计算机：机器级程序及其执行 2.2.1 图灵机的思想与模型简介
图灵机的思想与模型简介
----图灵的贡献 ----图灵机：计算机的理论模型 ----指令、数据、程序与程序执行
图灵是谁?
图灵及其贡献
图灵(Alan Turing, 1912~1954)，出生于英国伦敦，19 岁入
剑桥皇家学院，22 岁当选为皇家学会会员。 1937 年，发表了论文《论可计算数及其在判定问题中的应 用》，提出了图灵机模型，后来，冯〃诺依曼根据这个模型设 计出历史上第一台电子计算机。
图灵机解决不了的问题任何算法也解决不了----图灵可计算性问题。
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图灵机的思想与模型简介
穷的、构造性的问题求解思路，一个问题的求解可以通过构造其图灵机(即程 序)来解决。 (4)图灵认为：凡是能用算法方法解决的问题也一定能用图灵机解决; 凡 是图灵机解决不了的问题任何算法也解决不了----图灵可计算性问题。
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计算
所谓计算就是计算者(人或机器)对一条两端可无限延长的纸带上的一 串0或1，执行指令一步一步地改变纸带上的0或1，经过有限步骤最后得 到一个满足预先规定的符号串的变换过程。
0110101
程 序
…10001110110
输入
通用机器
由“程序”控制， 一步步将输入
10001…
“转换”为输出
输出
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读一条指令执行一条指令。由此实现自动计算。
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图灵机是什么?
图灵机模型
基本的图灵机模型为一个七元组,如右图示意
几点结论: (1) 图灵机是一种思想模型，它由一个控制器 (有限状态转换器)，一条可无限延伸的带子和一个 在带子上左右移动的读写头构成。
(2) 程序是五元组<q,X,Y,R(或L或N),p>形 式的指令集。其定义了机器在一个特定状态q下
从方格中读入一个特定字符X时所采取的动作为在 该方格中写入符号Y, 然后向右移一格R (或向左移 一格L或不移动N), 同时将机器状态设为p供下一条 指令使用。
图灵机模型示例。 (注:圆圈内的是状态，箭线上的是
<X,Y,R>，其含义见前页)
(S1,0,0,R,S1) (S1,1,1,R,S2) (S2,1,1,R,S2) (S2,0,1,L,S3) (S3,1,1,L,S3) (S3,0,0,N,S4)
图灵机的思想
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计算
所谓计算就是计算者(人或机器)对一条两端可无限延长的纸带上的一 串0或1，执行指令一步一步地改变纸带上的0或1，经过有限步骤最后得 到一个满足预先规定的符号串的变换过程。
0110101
程 序
…10001110110
输入
通用机器
由“程序”控制， 一步步将输入
10001…
“转换”为输出
输出
0110101
读一条指令执行一条指令。由此实现自动计算。
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图灵机是什么?
图灵机模型
基本的图灵机模型为一个七元组,如右图示意
几点结论: (1) 图灵机是一种思想模型，它由一个控制器 (有限状态转换器)，一条可无限延伸的带子和一个 在带子上左右移动的读写头构成。
(2) 程序是五元组<q,X,Y,R(或L或N),p>形 式的指令集。其定义了机器在一个特定状态q下
从方格中读入一个特定字符X时所采取的动作为在 该方格中写入符号Y, 然后向右移一格R (或向左移 一格L或不移动N), 同时将机器状态设为p供下一条 指令使用。
图灵机模型示例。 (注:圆圈内的是状态，箭线上的是
<X,Y,R>，其含义见前页)
(S1,0,0,R,S1) (S1,1,1,R,S2) (S2,1,1,R,S2) (S2,0,1,L,S3) (S3,1,1,L,S3) (S3,0,0,N,S4)
图灵机的思想
理解图灵机模型、计算机科学概念内涵，懂得存储程序及计算机的结构
理解图灵机模型、计算机科学概念内涵，懂得存储程序及计算机的结构⾸先，图灵机模型是由英国数学家图灵提出的，图灵机模型理论是计算学科最核⼼的理论之⼀，它的出现为计算机设计指明了⽅向，在今天的学习中图灵机模型发挥着不可或缺的⽤处，是我们算法分析和程序语⾔设计的基础理论。
下⾯是它的定义：所谓的图灵机就是指⼀个抽象的机器，它有⼀条⽆限长的纸带，纸带分成了⼀个⼀个的⼩⽅格，每个⽅格有不同的颜⾊。
有⼀个机器头在纸带上移来移去。
机器头有⼀组内部状态，还有⼀些固定的程序。
在每个时刻，机器头都要从当前纸带上读⼊⼀个⽅格信息，然后结合⾃⼰的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带⽅格上，并转换⾃⼰的内部状态，然后进⾏移动。
然后，计算机科学概念的内涵较为⼴泛，计算机科学是⼀门包含各种各样与计算和信息处理相关主题的系统学科，可以肯定的是它是⼀门学科，⽽不仅仅是⼀门技术或者是⼀种⼯具。
计算机科学的基本思路涵盖从理论研究、模型抽象到⼯程设计三个⽅⾯。
有时公众会误以为计算机科学就是解决计算机问题的事业（⽐如信息技术），或者只是与使⽤计算机的经验有关，如玩游戏、上⽹或者⽂字处理。
其实计算机科学所关注的，不仅仅是去理解实现类似游戏、浏览器这些软件的程序的性质，更要通过现有的知识创造新的程序或者改进已有的程序，这才是我们计算机科学应该做的事情。
下⾯是计算机中储存程序的原理：“存储程序”原理，是将根据特定问题编写的程序存放在计算机存储器中，然后按存储器中的存储程序的⾸地址执⾏程序的第⼀条指令，以后就按照该程序的规定顺序执⾏其他指令，直⾄程序结束执⾏。
存储程序和程序控制原理的要点是，程序输⼊到计算机中，存储在内存储器中（存储原理），在运⾏时，控制器按地址顺序取出存放在内存储器中的指令（按地址顺序访问指令），然后分析指令，执⾏指令的功能，遇到转移指令时，则转移到转移地址，再按地址顺序访问指令（程序控制）。
计算机的结构主要分为五个部分：控制器，运算器，存储器，输⼊设备，输出设备。
图灵机计算机的理论模型
图灵机——计算机的理论模型
机器的程序是五元组｛Si , X , Y , L(R或N) , Sj｝形式的指 令集，定义了机器在一个特定状态下读入一个特定字符时所 采取的动作。 五个元素的含义如下：
①Si 表示机器当前的状态；
②X 表示机器从方格中读入的内容，也即当前内容； ③Y 表示机器用来代替X 写入方格中的内容； ④L、R、N 分别表示左移一格、右移一格和不移动； ⑤Sj 表示机器下一步的状态。
图灵机——计算机的理论模型
图灵机的计算开始于初始状态，设为S0，终止于停止（HALT）状态，设为SH。 例: 设计能够实现“a+1”运算的图灵机，计算完成后要求读写头回到原位。
图灵机进行“a+1”运算的控制规则表
输入
当前状态 （Si） S0 S1 S1 S1 S2 S2 S2 S3 S3 S3 S4 当前内容 （X ） b 0 1 b 0 1 b 0 1 b 任意 重写的新内容 （Y） b 1 0 b 1 0 1 0 1 b b
英国科学家阿兰.图灵 （1912-1954）
图灵证明，只有图灵机能解决的 计算问题，实际计算机才能解决。
“图灵奖”是美国计算机协会于1966年设立的。
什么是图灵机？ 图灵机由一条无限长的纸带、读/写头及控制
器构成。
图灵机模型
控制器内包括控制规则表，它能够通过读/写头对纸带上 的符号进行读或写，读写头可以在纸带上左右移动。 纸带分成了一个个的小方格，每个方格中可以记录机器 字母表里的符号，如0或1等。
பைடு நூலகம்输出
读写头移动方向 （L，R或N） L R L R R L L R R N R 进入的新状态 （Sj） S1 S3 S2 SH S3 S2 S4 S3 S3 SH S3
图灵和图灵机模型PPT课件
– 而自动计算机的理论模型则是图灵在其论文的一个脚注中“顺便”提出 来的。这真可谓“歪打正着”——图灵这篇传世的论文主要是因为这个 脚注，其正文的意义和重要性反而退居其次了。
15
第十五页，共24页。
图灵简介
• 随后，应邀于美国普林斯顿大学与美国著名 数学家和逻辑学家邱奇合作，并于1938年取 得博士学位。在这里，还研究了布尔1854年 创建的逻辑代数，自己动手用继电器搭建逻 辑门，组成了乘法器。在美国，还遇到了普 林斯顿大学教师天才科学家冯·诺伊曼。
– 1946年5月以前由于找不到称心的助手，一直“单枪匹马”，直到威尔 金森（1970年图灵奖获得者）成了图灵得力助手，此时ACE已到第5版， 前4版由于图灵不善于也不重视保管文档资料而不知去向。
– ACE是一种存储程序式计算机，但其存储程序思想并非受冯·诺伊曼论文的影响，而 是他自己的构思。冯·诺伊曼本人也从来没有说过存储程序的概念是他的发明，却不 止一次地说过图灵是现代计算机设计思想的创始人。
– 图灵机
– 几何定理的机器证明
• 对计算本质的真正认识取决于形式化研究的进程
2
第二页，共24页。
形式化研究进程
• 1275年，思维机器“旋转玩具” 是一种形式化的产物，标志着形式 化思想革命的开始
• 形式化方法和理论的研究学的重要基础 – 希尔伯特纲领：将每一门数学的分支构成形式系统或形式理论，并在以此
– 反映了计算学科的抽象、理论和设计3个过程
• 抽象和理论两个过程关心的是解决具有能行性和有效性 的模型问题
• 设计过程关心的是模型的具体实现问题
10
第十页，共24页。
从计算角度认知思维、视觉和生命过程
• 符号主义者认为：认知是一种符号处理过程， 因此思维就是计算（认知就是计算）
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第十五页，共24页。
图灵简介
• 随后，应邀于美国普林斯顿大学与美国著名 数学家和逻辑学家邱奇合作，并于1938年取 得博士学位。在这里，还研究了布尔1854年 创建的逻辑代数，自己动手用继电器搭建逻 辑门，组成了乘法器。在美国，还遇到了普 林斯顿大学教师天才科学家冯·诺伊曼。
– 1946年5月以前由于找不到称心的助手，一直“单枪匹马”，直到威尔 金森（1970年图灵奖获得者）成了图灵得力助手，此时ACE已到第5版， 前4版由于图灵不善于也不重视保管文档资料而不知去向。
– ACE是一种存储程序式计算机，但其存储程序思想并非受冯·诺伊曼论文的影响，而 是他自己的构思。冯·诺伊曼本人也从来没有说过存储程序的概念是他的发明，却不 止一次地说过图灵是现代计算机设计思想的创始人。
– 图灵机
– 几何定理的机器证明
• 对计算本质的真正认识取决于形式化研究的进程
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第二页，共24页。
形式化研究进程
• 1275年，思维机器“旋转玩具” 是一种形式化的产物，标志着形式 化思想革命的开始
• 形式化方法和理论的研究学的重要基础 – 希尔伯特纲领：将每一门数学的分支构成形式系统或形式理论，并在以此
– 反映了计算学科的抽象、理论和设计3个过程
• 抽象和理论两个过程关心的是解决具有能行性和有效性 的模型问题
• 设计过程关心的是模型的具体实现问题
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第十页，共24页。
从计算角度认知思维、视觉和生命过程
• 符号主义者认为：认知是一种符号处理过程， 因此思维就是计算（认知就是计算）
计算模型图灵机课件
图灵机为计算机安全领域提供了理论 基础，如分析病毒、黑客攻击等。
04
图灵机的启示
对人工智能的影响
1 2
奠定人工智能理论基础
图灵机作为计算模型，为人工智能领域提供了理 论基础，推动了人工智能的发展。
启发机器学习算法
图灵机的计算原理启发了众多机器学习算法，如 神经网络、深度学习等。
3
强化智能系统设计
特点
非确定型图灵机具有更高的计算能力，可以模拟更复杂的算法和问 题。
应用
非确定型图灵机在理论计算机科学中有着重要的地位，例如在自动 机理论和形式语言等领域中的应用。
概率图灵机
定义
概率图灵机是一种能够进行概率计算的图灵机模型，即机器在执行 操作时具有一定的概率分布。
特点
概率图灵机可以模拟随机过程和不确定性，适用于处理概率性和统 计性的问题。
05
图灵机的扩展
多带图灵机
定义
多带图灵机是指具有多个磁带，并且每个磁带都可以独立进行读 写操作的图灵机。
特点
多带图灵机可以同时处理多个任务，提高了计算效率和并行处理 能力。
应用
多带图灵机在计算机科学和人工智能领域中有着广泛的应用，例 如并行算法、分布式计算和云计算等。
非确定型图灵机
定义
非确定型图灵机是指具有不确定性的计算模型，即存在多个可能的 计算路径，但最终都能得到正确的结果。
计算模型图灵机课 件
contents
目录
• 图灵机简介 • 图灵机的工作原理 • 图灵机的应用 • 图灵机的启示 • 图灵机的扩展
01
图灵机简介
图灵机的发明者
01
图灵机的发明者是英国数学家阿 兰·图灵（Alan Turing），他在 1936年提出了图灵机的概念。
2 计算机科学导论笔记
计算机科学导论1 绪论图灵模型是一个可编程的数据处理器，在图灵模型中，输出数据依赖于两方面因素的结合作用：输入数据和程序。
通用图灵机是对现代计算机的首次描述，该机器只要提供了了合适的程序就能做任何运算。
基于冯・诺依曼模型建造的计算机分为4个子系统：存储器、算术运算单元(ALU)、控制单元和输入/输出单元。
存储器用来存储数据和程序；算术运算单元进行计算和逻辑运算；输入/输出单元负责从计算机外部接收数据和程序，并把计算机的处理结果输出到计算机外部，控制单元是对其他子系统进行控制操作。
冯・诺依曼模型中的程序和指令在计算机中都以二进制比特存储，在计算机中，指令按顺序执行。
计算机由3大部分组成：计算机硬件、数据和计算机软件。
硬件基于冯・诺依曼模型，且包含四部分。
数据以0/1比特进行存储。
图灵和冯・诺依曼模型的主要特征是程序的概念。
程序被存储在计算机的存储器中，且必须是有序的指令集。
指令集的作用实现重用。
算法是按步骤解决问题的办法，计算机语言可以提高编程的效率，软件工程是指结构化程序的设计和编写，它不仅包括要完成某一任务的应用程序，还包括程序设计要严格遵循的原理和规则。
而操作系统的诞生，是有一系列指令对所有程序来说是公用的，因此它是程序访问计算机部分提供方便的一种管理程序。
2 数字系统在将十进制数转换到其他底的数值时，分为两部分，整数部分是进行连除，余数作为本位的数值，商进行下一步计算；小数部分是进行连乘，整数值作为本位的数值，小数值进行下一步计算。
3 数据存储数据类型分为5种：数字、文本、音频、图像和视频。
所有的数据类型都转换为称作位模式的统一表现形式。
数字在存储到计算机内存中之前被转换成二进制系统。
有多种方法来处理符号。
有两种方法来处理小数点：定点和浮点。
整数可以被当作小数点位置固定的数字。
无符号整数是永远不会为负的整数。
存储有符号整数的方法之一是符号加绝对值格式。
这种格式中，最左边用于显示符号且其余位定义绝对值。
第七章 图灵机
图7.1说明的基本模型有一个有限控制器，一条输入 带和一个带头，带被分成许多单元，带头在每一时 刻扫视带上的一个单元。 该带有一个最左单元，向右则是无限的，带的每个 单元正好可容纳有穷个带符号中的一个， 开始时，最左边n个单元对于某个有穷数n0装着输 入，它是一个字符串，符号都是选自带符号的一个 子集，即所谓输入符号集合，余下的无穷多个单元 都存放空白符（它是一个特殊的带符号，但不是输 入符号）。
XXq2YY ⊢Xq2XYY ⊢XXq0YY⊢XXYq3Y⊢
XXYYq3 ⊢XXYYBq4
图7.3M的一个计算
状态q0还有另外一个作用，如果在状态q2后找到了 最右的X，并且有一个Y就在它的紧右边，那么0已 经被耗尽了，扫视Y的同时，就从q0 转入状态q3， 以便扫过Y并检查是否再没有1了。 如果Y后面是B，则进入状态q4，并接受输入；否则 字符串被拒绝。函数示于图7.2。 图7.3表示M在输入0011上的计算。例如，第一个动 作可以用（q,0）＝（q,X,R）这个事实来解释；最 后一个动作可以用（q,B）＝（q,B,R）这个事实来 解释；读者应该在某些被拒绝的输入上模拟M，诸 如001101，001和011。
给定一个识别语言L的TM，不失一般性，我们假定， 当输入被接受时，TM将停止，也就是说，没有下一个 动作，然而，对于不被接受的字，TM可能永不停止。
例7.1 接受语言L＝{0n1nn1｝的TM M的设计如下: 起初，M的带包含0n1n，后面跟着无穷多个空白符，用 X替换M最左边的0，右移至最左边的1，用Y替换它， 左移去寻找最右边的X，然后右移一个单元到最左边 的0，重复这个循环。但是，若在搜索1时，M找到了 一个空白符，那么M停止而不接受，若在将一个1改变 成Y后，M再也找不到0了，那么M检查一下是否还剩1， 如果没有，M接受。
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计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
3、图灵机
计算机是使用相应的程序来完成任何设定好的任务。
图灵机是一种思想模型， 它由三部分组成： 一个控制器，一条可以无限延伸的 带子和一个在带子上左右移动的读 写头。
为纪念图灵对计算机的贡献， 美国计算机博物馆于1966年 设立了“图灵奖”
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
“西尔伯特纲领”虽然失败了，但它仍然不失为人类抽象
思维的一个伟大成果，它的历史意义是多方面的。 首先，“西尔伯特纲领”是在保全古典数学的前提下去 排 除集合论悖论的，它给数学基础问题的研究带来了全新的转 机。其次，希尔伯特纲领的提出使元数学得到了确立和发展。 最后，对计算学科而言，最具意义的是，希尔伯特纲领的失 败启发人们应避免花费大量的精力去证明那些不能判定的问 题，而应把精力集中于解决具有能行性的问题。
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
元数学中，证明每一个形式系统的相容性，从而导出全部 数学的相容性，希尔伯特的这一设想， 就是所谓的“西尔伯特纲领”。 “西尔伯特纲领”的目标，其实质就 是要寻找通用的形式逻辑系统，该系 统应当是完备的，即在该系统中，可 以机械地判定任何给定命题的真伪。
D．Hilbert 希尔伯特
根据图灵的观点可以得到这样的结论：凡是能用算 法方法解决的问题，也一定能用图灵机解决；凡是图灵机 解决不了的问题，任何算法也解决不了。今天我们知道， 图灵机与当时提出的用于解决计算问题的递归函数、λ演 算和POST规范系统等计算模型在计算能力上是等价的。它 们于20世纪30年代共同奠定了计算科学的理论基础。相比 于其他几种计算模型，图灵机是从过程这一角度来刻画计 算的本质，其结构简单，操作运行规则也较少，从而为更 多的人所理解。
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
2、图灵对计算本质的揭示 在哥德尔研究成果的影响下20世纪30年代后期，图灵 ﹙A．M．Turing﹚从计算一个数的一般过程入手对计算的本 质进行了研究，从而实现了对计算本质的真正认识。 根据图灵的研究，直观地说，所谓计算就是计算者﹙人 或机器﹚对一条两端可无限延长的纸带上的一串0和1执行指 令，一步一步地改变纸带上的0或1，经过有限步骤，最后得 到一个满足预先规定的符号串的变换过程。图灵用形式化方 法成功表述可计算这一过程的本质。图灵的研究成果是哥德 尔研究成果的进一步深化，该成果不仅再次表明了某些数学 问题是不能用任何机械过程来解决的思想，而且还深刻揭示 可计算所具有的“能行过程”的本质特征。
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
2.2 图灵机
在第一台电子计算机ENIAC诞生的10年前即1936年，英 国数学家图灵发表了题为“论可计算数及其在判定问题中的 应用”﹙On Computer Numbers With an Application to the Entscheidungs Problem﹚的学术论文，奠定了学术界公认的 现代电子计算机的理论和模型基础。 1、希尔伯特纲领 20世纪初，逐步形成了关于数学基础研究的逻辑主义、 直觉主义和形式主义三大流派。其中，形式主义流派的代表 人物是数学家希尔伯特﹙D．Hilbert﹚。他在数学基础的研 究中提出了一个设想，其大意是：将每一门数学的分支形式 化，构成形式系统或形式理论，并在以此为对象的元理论即
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
方法或能行过程，是对解题﹙计算﹚过程的精确描述，它由 一组定义明确且能机械执行的规则﹙语句、指令等﹚组成。 根据图灵的论点，可以得到这样的结论：任一过程是能行的 ﹙能够具体表现在一个算法中﹚，当且仅当它能够被一台图 灵机实现。 图灵机等计算模型均是用来解决问题的，理论上的能行 性隐含着计算模型的正确性，而实际实现中的能行性还包 含时间与空间的有效性。
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
图灵的描述是关于数值计算的，不过，我们知道英文字 母表的字母以及汉字均可以用数来表示，因此，图灵机同样 可以处理非数值计算。不仅如此，更为重要的是，由数值和 非数值﹙英文字母、汉字等﹚组成的字符串，既可以解释成 数据，又可以解释成程序，从而计算的每一过程都可以用字 符串的形式进行编码，并存放在存储器中，以后使用时译码， 并由处理器执行，机器码﹙结果﹚可以从高级符号形式﹙即 程序设计语言﹚机械地推导出来。 图灵的研究成果是：可计算性＝图灵可计算性。在进行 可计算性问题的讨论时，不可避免地要提Байду номын сангаас一个与计算具有 同等地位和意义的基本概念，那就是算法。算法也称为能行
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
内容提要
2.1 概述 2.2 图灵机 2.3 数据在计算机中的表示
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
2.1 概述
图灵机模型理论是计算机学科最核心的理论之 一，它是在总结前人制造计算机思想的基础上提出 的理论计算模型，它不仅指导了现代电子计算机的 设计，为计算机设计指明了方向，并且是算法分析 和程序语言设计的基础理论。尽管如此，图灵机模 型却并不复杂，也许正因为如此，才注定了其在计 算学科中所具有的强大生命力。掌握了图灵机理论， 等于获得了学习计算机系统知识的“金钥匙”。
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
“西尔伯特纲领”的研究基础是逻辑和代数，主要源于19世
纪 英国数学家乔治· 布尔﹙G．Boole﹚所 创立的逻辑代数体系﹙即布尔代数﹚。 1854年，布尔在他的著作中成功地将 “真” 、“假”两种逻辑值和“与”、“或”、 “非”3种逻辑运算归结为一种代数。这 样，形式逻辑系统中的任何命题都可 用数学符号表示出来，并能按照一定 的规则推导出结论。尽管布尔没有将 “布尔代数”与计算机联系起来，但 G．Boole 他的工作却为现代计算机的诞生作 乔治· 布尔 了重要的理论准备。
计算机导论 第2章 图灵机模型及数据编码
希尔伯特的工作建立在布尔工作的基础上，并使其进一步具 体化。 希尔伯特对实现自己的纲领充满信心。然而，1931年， 奥地利25岁的数理逻辑学家哥德尔﹙K．Gödel﹚提出的关 于形式系统的“不完备性定理”中指出，这种形式系统是不 存 在的，从而宣告了著名的“西尔伯特纲领”的失败。希尔伯 特 纲领的失败同时也暴露了形式系统的局限性，它表明形式系 统不能穷尽全部数学命题，任何形式系统中都存在着该系统 所不能判定其真伪的命题。