1.3.2 奇偶性(优秀经典公开课比赛教案)
1.3.2函数的奇偶性(优质课)
(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即 f(-x) = -f(x)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是奇函数.
∴ f(x)是偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
教材36页练习：
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有 f(－x)=-f(x)
f(x)为奇函数
如果都有 f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
课后作业
1.教材39页习题1.3 A组第6题B组第3题 2.教辅第19页~20页 3.教辅练习册第8页 1.3.3 奇偶性 4.教材第40页~41页实习作业
1.3.2 奇偶性
情景导入
情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.
情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少 具有对称特征的美丽图像,比如 y = x2, y = 1 等函数图像.
x f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称 本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.
当∴只x需∈要[0，先+画∞出) 时f(，x)在[0，+∞)的图象， 再f (根x)据对 x称2 性2，x 可3画 出( x整个1)图2 象4 ..
.4.y.
由图象可知：
1.3.2 函数的奇偶性 教学设计
1.3.2 函数的奇偶性教学设计一、教学目标1.理解函数的奇偶性的概念；2.能够判断一个函数的奇偶性；3.能够利用函数的奇偶性解决相关问题。
二、教学准备1.教师准备电脑、投影仪等教学辅助设备；2.学生准备好笔记本和参考书。
三、教学内容和步骤步骤一：引入 1. 通过回顾函数的定义，引导学生思考函数的性质； 2. 提问学生，是否有一些函数在图像上具有一些特殊的对称性。
步骤二：概念解释 1. 解释函数的奇偶性的定义，即函数f(x)对于任意实数x，满足f(−x)=f(x)的函数称为偶函数；满足f(−x)=−f(x)的函数称为奇函数； 2. 解释奇函数和偶函数在图像上的对称性，以及函数图像的奇偶性特点。
步骤三：判断奇偶性的方法 1. 引导学生思考如何判断一个函数的奇偶性； 2.解释判断奇偶性的方法：对于一个函数f(x)，当将x替换为−x，如果得到的f(−x)与f(x)相等，则函数为偶函数；如果f(−x)与f(x)符号相反，则函数为奇函数。
步骤四：实例分析 1. 通过提供一些函数的表达式，引导学生判断这些函数的奇偶性； 2. 帮助学生理解判断的过程，提醒注意符号的变化。
步骤五：解决相关问题 1. 给出一些实际问题，要求学生利用函数的奇偶性解决问题； 2. 指导学生思考解决问题的方法，并给予适当的提示。
步骤六：总结和拓展 1. 引导学生总结函数的奇偶性的相关知识点； 2. 提出一些进一步拓展的问题，鼓励学生深入思考。
四、教学反思本课设计采用了由浅入深、由简入繁的教学方法，通过引导学生思考和分析问题的方式来引入和解决函数的奇偶性的概念。
同时，通过实例分析和解决相关问题，使学生能够将所学知识应用到实际问题中。
整个教学过程注重培养学生的分析和解决问题的能力，激发学生对函数的兴趣。
通过逐步引导和总结，帮助学生建立起函数的奇偶性的概念和判断方法，并能够运用到解决相关问题中。
1.3.2《奇偶性》参考教案1
1.3.2 奇偶性教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性．教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．教学过程：一、引入课题1．实践操作：（也可借助计算机演示）取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．○2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：1 / 5问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．2．观察思考（教材观察思考）二、新课教学（一）函数的奇偶性定义象上面实践操作○1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作○2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．1．偶函数（even function）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义2．奇函数（odd function）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对2 / 5。
1.3.2函数的奇偶性公开课优秀课件
练习
判断下面函数的奇偶性
(1) f(x)=
x
(2) f(x)=0 解: 定义域为R ∵ f(-x) = 0 =f(x) 又∵ f(-x)=0 = - f(x) ∴f(x)为既是奇函数又是偶函数
解:定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于 原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
总结： 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数
(x,f(x))
猜想 :
= f(-x) ____ f(x)
-x
0
x
x
思考：能用函数解析式给出证 明吗？
讨论归纳，形成定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 偶函数：
任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就 叫做偶函数． 注意： 函数的图象关于y轴对称
偶函数
观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？
= f(-2) ____ -f(2)
f(-3) ____ -f(3) =
-x
-2 -1 0 -1 -2
1 2 f(-x)
xx
猜想 : f(-x) ____= -f(x)
思考：能用函数解析式给出证 明吗？
讨论归纳，形成定义 偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
1
2
2
1/2
3
3
x
1 f ( x) x
-1/3 -1/2
/
对函数 f ( x) x ，当我们在定义域内任取一对相反数x和x时，所对应的函数值什么关系？
x
f ( x) x
-3 -2
-1
0
1
2
3
高中数学 必修一 1.3.2奇偶性 优秀公开课课件
三、例题讲解
例1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) x 4 ( 2) f ( x ) x 5 1 1 (3) f ( x ) x ( ４ ) f ( x) ２ x x
解： (1)对于函数f(x)=x4,其定义域为(- ∞,+ ∞) ∵对定义域内的每一个x,都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x) ∴函数f(x)=x4为偶函数. (2) 对于函数f(x)=x5, 其定义域为(- ∞,+ ∞) ∵对定义域内的每一个x,都有 f(-x) =(-x)5 =-x5 = -f(x) ∴函数f(x)=x5为奇函数.
故宫博物馆
生活中的对称美
2014.09.29
一、探究新知
观察下图，思考并讨论以下问题： 函数的图象 （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ 关于y轴对称
（2）如何利用解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？ y y 2 f(x)=x f(x)=|x| 5
4
3 2 1 -3 -2 -1 3 2 1 1 2 3
f ( x) ( x)2 1 x2 1 f ( x)
所以 函数
f ( x) x 2 1 为偶函数
判断下列函数的奇偶性 偶 函 数 o (1) 非 奇 非 偶 函 数 y y y 非 奇 非 偶 函 数 x (2) y 奇 函 数 x 偶 函 数
y
y＝５ ５ 0 (3) y 是 奇 函 数 也 是x 偶 函 数 x
x 对定义域内的每一个x, 都有 1 1 f ( x ) x =-(x ) = x x 1 函数f ( x ) x 为奇函数. x
f ( x)
1 其定义域为{x|x 0} （4）对于函数f ( x ) 2 , x 对定义域内的每一个x, 都有
1.3.2奇偶性(公开课
天 坛
正反跳映衬对称美
• 从这些 图形中 你体会 到了什 么
生活因对称而美丽
Y
O
X
1.3.2函数的奇Y偶性
o
X
复习：
• 什么叫做轴对称图形?
如果把一个图形沿一条直线折起来,直 线两侧部分能够互相重合,那么这个图形叫 做轴对称图形
●什么叫做中心对称图形?
如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转 后的图形能和原图形完全重合，那么这个图 形叫做中心对称图形。
x … -3 -2 -1 1 2
y … -3 -2 -1 1 2
3…
3…
从表格中，大家发现了什么规 律？
当自变量取一对相反数时， 它们的函数值也互为相反数.
探究2：结合图像从“形”上
观察有什么特征？
f(-1)= -1 = -f(1) -f(2)
f(-3)= -3 = -f(3)
……
猜想:
对任意x都有f(-x) = -f(x)
y﹦x² … 9 4 1 1 4 9 …
从这个表格中，大家发现了 什么规律？
当自变量取一对相反数时，函数值是 相等的。
探究2：结合图像:从“形”
y
上观察有什么特点？
6
5
f(-1)= 1=f(1)
4
3
f(-2)= 4 =f(2) 2
f(-3)= 9 =f(3)
1
……
-3 -2-x -1 0 1 x2 3 x
y 不是
非奇非3偶函数
2
1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x 1 x
(2) f ( x) x3 x2 x 1
高中数学1.3.2 奇偶性优秀教案
奇偶性一、偶函数和奇函数：1.偶函数：(1)定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数.(2)图象特征：图象关于y 轴对称.注：1.“任意〞是指定义域中所有的实数；2.由于()f x -与()f x 有意义，则x -与x 同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称；3.函数()f x 是偶函数⇔对定义域内任意一个x ，有()()0()f x f x f x --=⇔的图象关于y 轴对称.练习：以下条件，可以说明函数()y f x =是偶函数的是〔 〕.A 在定义域内存在x 使得()()f x f x -= .B 在定义域内存在x 使得()()f x f x -=- .C 对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=- .D 对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=2.奇函数：(1)定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数.(2)图象特征：图象关于原点对称.注：1.“任意〞是指定义域中所有的实数；2.函数()f x 是奇函数⇔对定义域内任意一个x ，都有()()0()f x f x f x -+=⇔的图象关于原点对称.练习：函数(),[1,](1)y f x x a a =∈->-是奇函数，则a 等于〔 〕.1A - .0B .1C .D 无法确定3.奇函数、偶函数在0x =处的定义：假设奇函数()f x 在原点处有意义，则由奇函数定义(0)(0)f f -=-，可得(0)0f =，偶函数则不一定.4.奇函数、偶函数在对称区间上的单调性：(1)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.二、奇偶性：1.定义：如果函数()f x 是奇函数或是偶函数，那么就说函数()f x 具有奇偶性.2.图象特征：图象关于原点或y 轴对称.注：根本初等函数的奇偶性如下：练习：1.函数y x =是〔 〕.A 奇函数 .B 偶函数 .C 奇函数又是偶函数.D 非奇非偶函数 2.函数2()24f x x mx =-+是偶函数，则实数m = .例1：判断以下函数的奇偶性：452(1)()(2)()11(3)()(4)()f x x f x x f x x f x x x ===+=总结：1.判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：利用函数奇偶性的定义判断；(2)图象法：利用奇、偶函数图象的对称性来判断.2.定义法判断函数奇偶性的步骤：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)判定()f x 与()f x -的关系；(3)利用定义下结论. 奇偶性函数)0,()0,(≠=≠=k xk y k kx y 反比例函数正比例函数)0,(≠+=k b kx y 一次函数)0,(2≠++=a c bx ax y 二次函数奇函数0=b 0≠b 0=b 0≠b 偶函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数3.图象法判断函数奇偶性：(1)如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；(2)如果函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；(3)如果函数的图象关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；(4)如果函数的图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数.三、函数奇偶性的应用：例2：(1)假设函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -，求,a b 的值； (2)函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，又(1)2,(2)3f f =<，求,,a b c 的值.总结：利用函数奇偶性求参数值的常见类型：1.定义域含参：奇〔偶〕函数()f x 的定义域为[,]a b .根据定义域关于原点对称，可以利用0a b +=求参数.2.解析式含参：根据()()f x f x -=-或()()f x f x -=列式，比拟系数可解.例3：(1)()f x 为R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，()(1)f x x x =-，则当(0,)x ∈+∞时，求()f x 的解析式；(2)()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且满足1()()1f xg x x +=-，求(),()f x g x .总结：根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤：1.“求谁设谁〞，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内；2.转化代入区间的解析式；3.利用函数()f x 的奇偶性写出()f x --或()f x -，从而解出()f x .例4：设函数()f x 在R 上是偶函数，在区间(,0)-∞上递增，且22(21)(223)f a a f a a ++<-+，求a 的取值范围.总结：1.函数奇偶性和单调性的关系：(1)假设()f x 是奇函数，且()f x 在[,]a b 上是单调函数，则()f x 在[,]b a --上也为单调函数，且具有相同的单调性；(2)假设()f x 是偶函数，且()f x 在[,]a b 上是单调函数，则()f x 在[,]b a --上也为单调函数，且具有相反的单调性.2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法：(1)充分利用的条件，结合函数的奇偶性，把不等式转化为12()()f x f x >或12()()f x f x <的形式，再利用单调性脱掉“f 〞求解；(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响.。
2024版132函数的奇偶性优秀经典公开课比赛教案
2024/1/29
21
探究成果展示和评价
学生通过自主思考和探究，成功判断了题目中两个函数的奇偶性，并给 出了正确的证明过程。这表明学生已经掌握了奇偶性的定义和判断方法。
2024/1/29
在探究过程中，学生表现出了积极的思考态度和较高的思维能力。他们 能够独立思考，尝试运用所学知识解决问题，这是非常可贵的。
20
学生自主思考过程记录
对于题目1，学生首先根据奇偶性的定义，尝试将$f(-x)$代入函 数表达式，得到$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$，由此判断$f(x) = x^2$为偶函数。
对于题目2，学生同样根据奇偶性的定义，尝试将$f(-x)$代入函 数表达式，得到$f(-x) = sin(-x) = -sin x = -f(x)$，由此判断 $f(x) = sin x$为奇函数。
典型例题解析与讨论
REPORTING
2024/1/29
15
例题一：判断给定函数奇偶性
函数奇偶性定义回顾
首先回顾奇函数和偶函数的定义，奇函数满足f(-x)=-f(x)， 偶函数满足f(-x)=f(x)。
具体函数分析
给定一个具体函数，如f(x)=x^3，通过分析其性质和定义 域，判断其奇偶性。
判断方法总结
4
教学内容及重点难点
01
02
03
教学内容
函数的奇偶性定义、判断 方法及应用。
2024/1/29
重点
理解奇函数和偶函数的定 义，掌握判断函数奇偶性 的方法。
难点
灵活运用函数的奇偶性解 决一些实际问题。
5
教学方法与手段
教学方法
采用启发式、探究式、讨论式等多种教学方法，引导学生主动思考、积极探究。
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1.3.2 奇偶性
教学时间：
教学班级：
教学目标：1.使学生理解奇函数、偶函数的概念；
2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法；
3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。
教学重点：函数奇偶性的概念
教学难点：函数奇偶性的判断；函数奇偶性，单调性的综合使用 教学方法：讲授法
教学过程：
（I ）复习回顾
1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。
2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？
轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）
中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转错误！未找到引用源。
，能够与另一图形重合）
这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）。
（II ）讲授新课
1.偶函数
（1）观察函数y=x 2的图象（如右图）
①图象有怎样的对称性？错误！未找到引用源。
关于y 轴对称。
②从函数y=f(x)=x 2本身来说，其特点是什么？
错误！未找到引用源。
当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；
f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)；
…… 由于（-x ）2=x 2 ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=x 2的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点
(-x,y)也在函数y=x 2的图象上，这时，我们说函数y=x 2是偶函数。
例如：函数错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
等都是偶函数。
2.奇函数
（1）观察函数y=x 3的图象（投影2）
①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值
有什么关系？
错误！未找到引用源。
也是一对相反数。
②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？错误！未
找到引用源。
函数的图象关于原点对称。
即如果点（x,y ）是函数y=x 3的图象上任一点，那么与它关于原
点对称的点（-x,-y ）也在函数y=x 3的图象上，这时，我们说函数y=x 3
是奇函数。
，即
，)2
1()21(41)21(41)21(f f f f =-==-
例如：函数错误！未找到引用源。
都是奇函数。
3.奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
（III）例题分析
②函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x∈R 或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。
③从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；
其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
证明：设x1<x2 <0，则-x1>-x2>0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数。
∴f(-x1) >f(-x2),又f(x)在R上是奇函数。
∴-f(x1)> -f(x2),即f(x1)< f(x2).
∴函数y= f(x)在（0，+∞）上是增函数。
结论：由例2可有：
奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；
偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；
（IV）课堂练习：课本P35思考题和P36练习1，2
（V）课时小结
本节课我们学习了函数奇偶性的定义，判断函数奇偶性的方法以及函数奇偶性与单调性的综合使用。
特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功；对于函数单调性，奇偶性的综合题，要深入分析、理清思路、总揽全局、各个击破。
（VI）课后作业
书面作业：课本p39习题1.3 A组题第6题。