污染物扩散模型-深圳数学建模
2016深圳杯数学建模优秀论文B
2016深圳杯数学建模优秀论文B摘要随着居民生活水平的提高，传统的填埋方式已经不能完全解决日益增多的垃圾产生量，以垃圾焚烧为主的处理方式成为我国解决“垃圾围城”问题的必由之路。
但是由于我国在垃圾焚烧领域起步较晚，垃圾焚烧厂运行不稳定，加之信息不对称，导致居民对垃圾焚烧污染排放的担忧，对垃圾焚烧厂的选址和运营都造成了困扰。
而现行垃圾焚烧除尘工艺不能持续稳定运行的缺陷，是致使社会公众对垃圾焚烧产生危害疑虑的主要原因。
本文给出袋式除尘系统运行稳定性φ的定义为垃圾焚烧厂实际工况与正常工况污染物排放浓度的差值同实际工况与国标规定排放限额差值之比，φ越小说明袋式除尘系统运行越稳定，φ>1说明袋式除尘系统处于不稳定状态。
目前国内对垃圾焚烧袋式除尘系统稳定性方面的研究比较少，主要集中在定性研究方面。
本文试图通过定量的方法，深入解析袋式除尘系统的除尘原理和运行机制量化评价袋式除尘系统的稳定性。
本文将为研究袋式除尘器在正常工况下的除尘效率，本文从过滤原理入手，根据PTFE(聚四氟乙烯)覆膜滤袋的纤维特性和表面过滤原理构建了粉尘颗粒床过滤效率和阻力计算模型，并与实际数据对比，证明用PTFE 覆膜滤袋的袋式除尘系统在正常运行工况下可以达到99.8%以上的运行效率，使粉尘排放浓度达到20mg/Nm3以下，完全可以满足国标规定的排放要求。
其次，本文对袋式除尘系统各种故障进行系统的分析将滤袋损坏分为破损与糊袋两类，从滤料的理化特性着手，创新性的提出袋式除尘系统滤袋的损坏是受运行温度，滤料的长期蠕变和滤袋磨损这三个主要因素共同作用的结果，并定量分析了三个因素各自对滤袋损坏的作用，构建滤袋TCF(温度-蠕变-磨损)损坏模型，用以模拟袋式除尘系统的滤袋损坏情况，并用实际运行数据进行检验，取得了良好的效果。
本文结合袋式除尘系统正常工况下除尘效率模型和滤袋损坏的TCF模型对稳定性进行求解，结果显示一号炉的运行稳定性φ1= 0.2198，二号炉的运行稳定性φ2= 0.8427，采用新的除尘工艺的运行稳定性较一号炉提升97.99%，较二号炉提升98.66%。
2023深圳杯数学建模赛题
2023深圳杯数学建模赛题2023深圳杯数学建模赛是一项极具挑战性和创意性的赛事，旨在通过创新的比赛题目、广泛的参赛人群和专业的评审团队，为数学爱好者们提供一个展示才华和交流思想的舞台。
本届比赛的主题为“能源与环境模型”，要求参赛者们从数学角度出发，研究和解决能源和环境领域中的实际问题，旨在促进科技进步和社会发展。
本届比赛将分为两个环节：模拟赛和正式比赛。
模拟赛将于比赛前一周进行，旨在帮助参赛者熟悉比赛规则和流程；正式比赛将在比赛日举行，总共有3个题目，每个题目的时间限制为4小时。
第一题：能源的分配和利用这个题目要求参赛者们设计一个数学模型，研究如何合理地分配和利用能源。
按照题目要求，参赛者们需要考虑以下因素：不同地区和人群的能源需求、不同种类能源的供应情况、能源价格等影响因素。
对于这个题目，参赛者们需要充分运用数学知识和基本模型，结合实际情况，寻找最优解或接近最优解的方法。
第二题：环境污染和治理这个题目要求参赛者们研究环境污染和治理问题。
参赛者们需要选取一个典型的污染源（比如工厂、交通、农业等），通过建立合适的数学模型，研究该污染源对环境的影响、不同治理方案的效果和成本等。
参赛者们需要充分考虑模型的可行性和实用性，展示出理论研究和实际操作的结合。
第三题：可持续发展与生态平衡这个题目要求参赛者们研究可持续发展和生态平衡问题。
参赛者们需要就某一特定领域（比如城市建设、农业发展、旅游业等）设计一个可持续发展的方案，并建立合适的数学模型，分析该方案对生态平衡的影响、可实行性及其他相关因素等。
这个题目不仅要求参赛者们充分发挥数学基础技能，更要求参赛者们有创新思维和综合能力，从多个角度考虑问题，为现实问题提供有价值的解决方案。
总之，2023深圳杯数学建模赛题目旨在锻炼参赛者们的数学建模能力，挖掘参赛者们的创新潜力，并为相关领域的研究和应用提供参考。
相信通过参加这个比赛，参赛者们在数学领域和相关领域都会有所提升，为未来的职业发展打下坚实的基础。
核污染扩散问题数学建模
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 摘要本文是在大气扩散理论的基础上，综合考虑各种影响核辐射粉尘扩散的因素，包括风速，风向得出的。
模型中也做了适当的简化。
本文的另一个基础是通过经纬度计算出以福岛核电站为原点的平面坐标系，从而方便了高斯烟羽模型的运用。
通过对高斯烟羽模型的积分和化简，计算出稳定时中国各大城市的核辐射量，从而解决了问题一。
充分证明了中国不会受到日本核辐射的影响。
通过比较各大城市的浓度得到受影响最大的城市。
重新回到高斯烟羽模型的浓度为时间函数的形式，计算函数的极值点，得到受影响最严重的时间。
另外，我们多角度的分析了模型的拓展及改进方向，并对模型进行了初步的评价。
一、问题的提出二、问题的分析问题一福岛放射性粉尘中主要的有害物质是碘131和铯137.碘131和铯137的放射性浓度是我们的研究对象。
这些物质随大气扩散。
为了计算出放射性物质的浓度，我们必须知道大气扩散的数学模型。
大气作为流体，我们采用流体力学的观点研究它。
由于大气的扩散还与气象条件，如风速，风向，大气稳定度等相关，数学模型中必须有这方面的参数。
这需要结合一些环境系统工程的相关知识和经验公式。
放射性物质有衰变的性质，在模型中必须考虑衰变的影响。
对于源排放点，由于修复受损核电站的进度被考虑进来，源排放点的排放量是一个关于时间的函数，随着时间越来越小，并最终减为0. 具体来说，我们了解到核泄漏的原因是核反应堆(第二层防护由于温度过高而被熔融，使得衰变产物泄漏。
而由于冷却设备失效，于是注水冷凝，水受热汽化使得压力过高，核电站释放了水蒸气以防止爆炸，而放射性粉尘大多数是这些水蒸气带出的。
)所以，一旦释放水蒸气停止，核辐射粉尘的源排放点将基本停止排放。
在模型中，我们分为可以把考虑的因素分为几组。
第一组是研究的观测点。
我们用离散的观点，近似的研究可能会受核辐射影响的省市的人口最密集的城市的浓度。
数学建模在环境污染预测中的应用
数学建模在环境污染预测中的应用随着工业、城市化和人口增加，环境污染问题越来越严重。
为了有效预测环境污染，减少其对人类和自然造成的影响，人们开始使用数学建模技术。
数学建模是一种通过数学方法描述、分析和解决实际问题的技术，是应用数学和计算机科学的重要手段。
本文将探讨数学建模在环境污染预测中的应用。
一、污染物扩散模型污染物扩散模型是环境污染预测中常用的一种数学模型。
它可以预测污染物在空气、水、土壤等不同介质中的扩散和传播方式，为环境保护决策提供科学依据。
通常，污染物扩散模型包括两个部分：污染物质量守恒方程和动量守恒方程。
其中，污染物质量守恒方程描述了污染物在介质中的扩散和传播过程，动量守恒方程描述了介质的流动情况。
例如，在空气污染预测中，我们可以使用高斯模型、拉格朗日模型或欧拉模型。
高斯模型基于气溶胶在大气中的扩散和气团分布，可以预测污染物在特定区域内的浓度分布。
拉格朗日模型则基于污染物颗粒的轨迹，可以预测其传播路线和浓度变化。
欧拉模型则将大气划分成许多小单元，通过模拟这些单元中的气体流动来预测污染物的传播。
二、时间序列分析时间序列分析是一种用于污染预测和趋势分析的方法。
它通过对过去的观测数据进行分析，预测未来的污染情况和变化趋势。
时间序列分析的主要方法包括平滑、趋势分解、ARIMA模型和波动范围分析。
其中，平滑和趋势分解可以用于识别和分离趋势分量和周期分量，以更好地预测未来趋势和波动。
ARIMA模型则可以用于分析和预测时间序列的局部趋势和周期性，是一种非常灵活和广泛应用的方法。
波动范围分析则可以用于识别和分析时间序列中的周期性波动和异常事件。
例如，我们可以使用时间序列分析来预测某城市未来一段时间内的PM2.5浓度变化趋势。
经过分析，我们可以发现该城市PM2.5浓度存在明显的周期性波动，同时也受到各种因素的影响（如工业排放、交通流量等）。
通过建立合适的ARIMA模型，我们可以预测该城市未来PM2.5浓度的变化趋势，从而指导环境保护措施的实施。
核污染扩散问题数学建模
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\ 摘要本文是在大气扩散理论的基础上，综合考虑各种影响核辐射粉尘扩散的因素，包括风速，风向得出的。
模型中也做了适当的简化。
本文的另一个基础是通过经纬度计算出以福岛核电站为原点的平面坐标系，从而方便了高斯烟羽模型的运用。
通过对高斯烟羽模型的积分和化简，计算出稳定时中国各大城市的核辐射量，从而解决了问题一。
充分证明了中国不会受到日本核辐射的影响。
通过比较各大城市的浓度得到受影响最大的城市。
重新回到高斯烟羽模型的浓度为时间函数的形式，计算函数的极值点，得到受影响最严重的时间。
另外，我们多角度的分析了模型的拓展及改进方向，并对模型进行了初步的评价。
一、问题的提出二、问题的分析问题一福岛放射性粉尘中主要的有害物质是碘131和铯137.碘131和铯137的放射性浓度是我们的研究对象。
这些物质随大气扩散。
为了计算出放射性物质的浓度，我们必须知道大气扩散的数学模型。
大气作为流体，我们采用流体力学的观点研究它。
由于大气的扩散还与气象条件，如风速，风向，大气稳定度等相关，数学模型中必须有这方面的参数。
这需要结合一些环境系统工程的相关知识和经验公式。
放射性物质有衰变的性质，在模型中必须考虑衰变的影响。
对于源排放点，由于修复受损核电站的进度被考虑进来，源排放点的排放量是一个关于时间的函数，随着时间越来越小，并最终减为0. 具体来说，我们了解到核泄漏的原因是核反应堆(第二层防护由于温度过高而被熔融，使得衰变产物泄漏。
而由于冷却设备失效，于是注水冷凝，水受热汽化使得压力过高，核电站释放了水蒸气以防止爆炸，而放射性粉尘大多数是这些水蒸气带出的。
)所以，一旦释放水蒸气停止，核辐射粉尘的源排放点将基本停止排放。
在模型中，我们分为可以把考虑的因素分为几组。
第一组是研究的观测点。
我们用离散的观点，近似的研究可能会受核辐射影响的省市的人口最密集的城市的浓度。
数学建模—垃圾焚烧厂
大气稳定度具体分类方法见下表1、表2。
表1
表2
表中的云量是指云层所遮蔽天空占视野内天空总面积的成数。
根据从深圳市气象局官方网站上得来的深圳市一年的云量表，深圳市一年的平均云量约为5.145，而深圳市太阳高度角在一年中的大多数时候是超过60度的
6、高斯模型各种系数的计算方法
⑴ 源强的计算
源强：是指单位时间内污染物的排放量。由题中所给焚烧炉每天的污染物排放质量换算可得。
颗粒物：1620.37037mg/s；
二氧化硫：4050.93mg/s；
氮氧化合物：3472.22mg/s；
（3）日照角高度
本题中，当地纬度是22°41’
第一季度，即2012年1月~2012月3月，当地的日照角=67°19’；
对于雨雪，这种天气是空气的净化剂，将极大的降低空气中污染物的浓度。而且通常情况下，雨雪过境会带来大风给会促进污染物的稀释和扩散。
2，环境动态监测体系
环境动态监测体系由高斯预测模型和智能传感器在线检测系统组成。
3，经济补偿方案的构建
根据垃圾焚烧厂对周边环境影响程度以及当地的经济发展状况，对垃圾焚烧厂周边的居民以及公共设施等进行各种直接补偿和间接补偿。根据谁污染谁补偿的原则，在该题中由垃圾焚烧厂对周边居民进行补偿。具体方案见下文。
五，外围监测方案
在垃圾场周围取点处设置智能气敏传感器，全天候检测气体污染物浓度。该智能传感器在线检测系统是一个集成了自动监控仪器技术、计算机技术和网络通信技术的综合系统。该系统能够对主要污染因子浓度指标实现连续自动监测，并将采集监测数据与高斯模型预测出的污染因子标准浓度进行对比，若是测量浓度高于标准浓度，则系统进入预警模式，并且把数据传输给垃圾场服务部门，及时对污染源进行处理，并且适当调整赔偿方案。
扩散问题的偏微分方程模型,数学建模
第七节 扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1 抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )dSd t ttSu u uM a b c t x y zαβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰. 由高斯公式得2222221222()d d d d t ttu u u M a b c x y z t x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为22d d d d t ttM k u x y z t +∆Ω=⎰⎰⎰⎰，（2） 其中2k 是衰减系数.由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -.换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t ttM u x y z t t u x y z t x y zux y z t t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然312M M M =-，即2222222222d d d d ()d d d d .t ttt ttux y z t t u u u a b c k u x y z t x y z+∆Ω+∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由,,t t ∆Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4） 方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2 Ｄirac 函数物理学家Dirac 为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：0,0,() ()1.,0,x x x dx x δδ+∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰ （5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x ，杆的线密度是()x ρ，在(,]x -∞段，杆子质量为()m x ，则有d ()(), ()d ().d x m x x x x m x xρρ-∞==⎰. （6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在0x x =点，则应有001,,()0,,x x m x x x >⎧=⎨<⎩ 或写成 0()()m x H x x =-， 其中()H x 为1,0,()0,0,x H x x >⎧=⎨<⎩ 如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有00,,(),0.x x x x ρ≠⎧=⎨∞=⎩且0()d ()xx x H x x ρ-∞=-⎰，于是得()d 1.x x ρ+∞-∞=⎰. （7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，δ函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它. 尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac 及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac 于1933年获诺贝尔物理奖. 当然Dirac 也意识到()x δ不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明()x δ这一符号的合法性，那就是数学家的任务了. 1940年，法国数学家许瓦兹（L.Schwartz ）严格证明了应用()x δ的正确性，把δ函数置于坚实的数学基础上；1950年，L. Schwartz 获数学界最高奖Fields 奖.δ函数的重要性质有：1）0()d 1x x x δ+∞-∞-=⎰. （8） 2）00()()d ()x x f x x f x δ+∞-∞-=⎰. （9）其中()(,)f x C ∈-∞+∞，即0()x x δ-摘出了()f x 在0x x =的值.3）00()()dH x x x x dxδ-=-. （10）4）()x δ的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：00()()(),x x f x dx f x δ+∞-∞''-=-⎰ （11） ()()00()()(1)().n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰（12）事实上，由于0()x x δ-在,+∞-∞处为零，则形式地用分部积分公式000()()()()d ()()d ,x x f x x x f x xx x f x x δδδ+∞+∞-∞-∞+∞-∞'---'=-⎰⎰其中，()(,)n f x C ∈-∞+∞，于是有（11）与（12）公式.5）对于()(,)x C ϕ∈-∞+∞，有000()()()()x x x x x x ϕδϕδ-=-. （13）6）1()() (0)||bx x b b δδ=≠. （14） 7）000000(,,)()()()x x y y z z x x y y z z δδδδ---=---. （15）8）付立叶变换00[()].i x y y e λδ--=F （16） [()] 1.x δ=F （17）11221122[()()][()][()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+-F F F （18） 9）拉普拉斯变换00[(),[() 1.x x x e x δδδ--==F F （19） 11221122[()]()][()[()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+-F F F （20）从上面的定义与性质看出，Delta 函数()x δ与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数. ”§3 Cauchy 问题的解设扩散源在点000(,,)x y z 处，则此扩散问题满足Cauchy 问题2222222222000, (21)(,,,0)()()(). (22)u u u u a b c k u tx y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++-⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对（21）（22）进行付立叶变换，且令123ˆ(,,), (,)[(,,,)]ut u x y z t λλλλλ==F ， 由于222222123222ˆˆˆ[], [], [],u u u uu u x y zλλλ∂∂∂=-=-=-∂∂∂F F F 102030000()[(,,,0)][()][()][()] ,i x y z u x y z M x x y y z z Me λλλδδδ-++=---=F F F F 故得常微分方程Cauchy 问题1020302222222123()ˆ()0,ˆ(0,).i x y z du a b c k udtu Meλλλλλλλ-++⎧++++=⎪⎨⎪=⎩ 得唯一解2222222123102030()()ˆ(,)a b c k t i x y z ut Me λλλλλλλ-+++-++=. （23）对（23）求逆变换1-F，由于212214[]a xa e λ---=F ，211021240[]()i x e aa ex x λλ----=-F ， 故得12222000222ˆ(,,,)[]()()()exp 444u x y z t ux x y y z z k t a t b t c t -=⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭F2222000222()()().444x x y y z z k t a t b t c t ⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭（24） 如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程（4）中的0ut∂=∂，于是有线性椭圆型方程的边值问题 22222222220, (,,)(,,)(,,).D u u u a b c k u x y z D xy z u x y z x y z ϕ∂⎧∂∂∂++-=∈⎪∂∂∂⎨⎪=⎩也可以用付立叶变换求解. 当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件(,,)Dux y z n ∂∂=ψ∂或第三边条件[](,,)D uu x y z nαβρ∂∂+=∂等，其中D ∂是区域D 的边界，n 是外法线方向，,αβ是实常数.§4 参数估计在Cauchy 问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数,,,a b c k ，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根. 至于点源的质量与位置000,(,,)M x y z 是已知的.设观测取样为：11112222(,,,), (,,,),,(,,,),n n n n x y z m x y z m x y z m 取样时刻为1t =（不然设00, t t t τ=是取样时间，则（21）变成2200t xx yy U t a U t b U =++ 2200zz t c U t k U -，对τ而言，取样时间为１,而方程形状与（21）一致），把在(,,)i i i x y z 点观测到的物质密度i m 与公式（24）都取对数，令1t =，则2222000222()()()ln (,,,1)ln []444x x y y z z u x y z abc k a b c ---=--+++. （25） 令222000222()()()111,,,,,,444x x y y z z X Y Z a b c αβγ---====-=-=-2ln abc k ε=--，则（25）写成 ln (,,,1)W u x y z X Y Z αβγε==+++， （26）而我们已观测得(,,,)1,2,,i i i i X Y Z W i n = 的数据，用三元回归分析方法求出,,,αβγε的估计值如下：ˆˆˆˆ()W X Y Z εαβγ=-++， （27） 其中11111111, , , ,n n n nk i i i k k k k W W X X Y Y Z Z n n n n ========∑∑∑∑ˆˆˆ,,αβγ满足方程组 111213102122232031323330ˆˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ,.l l l l l l l l l l l l αβγαβγαβγ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 其中10201130122211223311112131123211()(), ()(),()(),(), (), (),()(), ()(),()(), n nk k k k k k nk k k nn nk k k k k k nnk k k k k k nk k k l W X W W l Y Y W W l Z Z W W l X X l Y Y l Z Z l X X Y Y l X X Z Z l Y Y Z Z l ==========--=--=--=-=-=-=--=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑1231133223, , .l l l l l ===由ˆˆˆ,,αβγ可求得222,,a b c 的估计值，即222111ˆˆˆ, , ˆa b cαβγ=-=-=-. 又由于 2ln k abc ε=+-， （28） 由（27）式可得ˆε，再把ˆˆˆ,,a b c 代入（28）得 2ˆˆˆˆˆln kabc ε=+-. （29）至此得到参数2222,,,a b c k 的估计值2222ˆˆˆˆ,,,a b c k ，把它们代入（24）分别替代2222,,,a b c k ，则得不含未知参数的解(,,,)u x y z t 的近似表达式.§5 竞赛试题分析AMCM-90A 不可用本文的思路与方法加以解决；该试题由东华盛顿大学数学系Ｙves Nievergelt 提供，要求研究药物在脑中的分布，题文称：“研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine ）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，它们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状.“研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图6-1），每个圆柱体长0.76mm ，直径0.66mm ，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网格距为1m m ×0.76×m m ×1mm 的格点上，所以圆柱体互相间在底面上接触，侧面互不接触. 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的. 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本的覆盖的区域外也有药物.“试估计受到药物影响的区域中药物的分布. ”“一个单位表示一个闪烁微粒的计数，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排当中那个圆柱体的含药量是28353个单位. ”后方垂直截面164442 1320 414 188 480 7022 14411 5158 352 2091 23027 28353 13138 681 789 21260 20921 11731 727 213 130337651715453前方垂直截面163 324 432 243166 712 1055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 29420611036 258188图6-1数学模型只是实际问题的近似，要建立数学模型，一般首先要对所研究的实际问题进行必要和允许的简化与假设，而且，不同的简化与假设，又可能导致不同的数学模型，例如[2]是抛物型方程模型，而[3]则是椭圆方程模型.假设：（1）注射前大脑中的多巴胺含量可以忽略不计.（2）大脑中多巴胺注射液经历着扩散与衰减的过程，且沿,,x y z 三个方向的扩散系数分别是常数，衰减使质量之减少与深度成正比.（3）注射点在后排中央那个圆柱中心，即注射点的坐标000(,,)x y z 已知，注射量有医疗记录可查，是已知的.（4）注射瞬间完成，可视为点源delta 函数. （5）取样也是瞬间完成，取样时间已知为1t =.（6）样本区域与整个大脑相比可以忽略，样本组织远离脑之边界，不受大脑边界面的影响.在以上假设之下，显然可以用本文前面讲过的思路来建模，于是得AMCM-90A 的数学模型为Cauchy 问题（21）（22），解的表达式为（24），且用三元回归分析来估出参数,,,a b c k ，于是可以求得任意位置任意时刻药物的深度.如果所给数据认为是在平衡状态测得的，药物注射进脑后，从高深度处向低深度处扩散，与扩散同时，一部分药物进入脑细胞被吸收固定，扩散系数与吸收系数都是常数，但过一段时间，所有药物都被脑细胞所固定，达到了平衡态. 在这种假设下，[3]给出了下述的分析、建模、求解过程.设(,,,)v x y z t 是t 时刻在(,,)x y z 点处游离的药物浓度，(,,,)w x y z t 是t 时刻(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度，(,,)u x y z 是达到平衡态时(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度. 又设游离药物在各方向上有相同的扩散系数k ，吸收系数为h ，于是有vk v hv t∂=∆-∂. （30） 又whv t∂=∂，即吸收速度与游离的浓度成正比，代入（30）得 ()v k w w t h t t∂∂∂=∆-∂∂∂. （31） 对（31）关于t 从０到+∞积分得t t t k vw wh+∞+∞+∞====∆-. （32）由于最后无游离药物，故(,,,)0v x y z +∞=，又开始时(0)t =无被吸收的药物，故(,,,0)0, (,,,0)0w x y z w x y z =∆=；平衡状态在t =+∞时达到，这时(,,)u x y z =(,,,)w x y z +∞，于是由（32）得(,,,0)ku u v x y z h-∆+=， （33） 其中(,,,0)v x y z 是开始时的浓度分布，近似于注射点的点源脉冲函数. 把此注射点取为坐标原点(0,0,0)，则(,,,0)(,,),v x y z L x y z L δ=是注射量，于是2k h σ⎛⎫= ⎪⎝⎭记2(,,)u u L x y z σδ-∆+=， （34）作付立叶变换得22222222ˆˆ(),ˆ,1()s u u L Lus σξησξη+++==+++ 再作反变换得u σ-=-， （35）其中C 是可计算常数.如果考虑各向不同性，设,,x y z 方向上扩散系数分别为222,,a b c ，注射点在000(,,)x y z ，则 222222000222()()()u u u a b c u L x x y y z z x y z δδδ⎛⎫∂∂∂-+++=--- ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是解为(,,)u x y z =exp 1⎧⎪⎨⎪⎩ ，（36）（36）中的D 可计算常数.用前面类似的方法可以进行参数估计.在建模过程中，点源函数的使用显然与实况有差别；尤其是认为扩散系数与吸收系数都是常数，对于人脑这种有复杂结构的区域，这种假设与实际不会完全符合；夜间与白天（睡与醒）对这些系数有无影响？脑中各点这些系数是否有变？除时间位置应考虑外，可能还与药液浓度有关. 如此看来，脑内药液分布的数学模型很可能不是常系数线性偏微分方程，而是函数系数的线性微分方程甚至是非线性偏微分方程. 这时，其解不再能用封闭公式来表达，求解过程会变得极为复杂，所以也可以考虑是否试用其他数学模型来解，例如在平衡态的假设下，用回归分析方法建立药液的模拟分布(,,)u f x y z =.对一个实际问题，其数学模型未必唯一，各模型间孰优孰劣，没有一般的判别法，须经实践来检验.参 考 文 献[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[2]Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under graduate Mathematics, and its Applications, vol. 12(1991), Special Issue: The 1991 Mathematical Contest in Modeling, pp. 211-223.[3]孙晓东，荆秦，梁俊，脑中药物分布的数学模型，数学的实践与认识，1991年No. 4，63-69. [4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，19784.。
污染物扩散模型 深圳数学建模
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：温州医科大学参赛队员(打印并签名) ：1. 章成俊2. 杨超3. 谢锦指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页送全国评阅统一编号（由赛区组委会填写）：全国评阅随机编号（由全国组委会填写）：对垃圾处理厂污染的动态监控及居民补偿摘要城市垃圾处理问题是一个世界性难题。
目前垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。
本论文构根据题目设置的垃圾处理厂规模，建立了环境动态监控体系，并根据潜在污染风险对周围居民进行了合理经济补偿的设计。
对于问题（1），为了实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控，本论文在高斯烟羽模型的基础上进行改进，引入温度、降雨对污染物扩散的影响，建立了新的污染物扩散模型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“垃圾围城”是世界性难题，在今天的中国显得尤为突出。数据显示，目前全国三分之二以上的城市面临“垃圾围城”问题，垃圾堆放累计侵占土地75万亩。因此，垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。然而，由于政府监管不力、投资者目光短浅等多方面的原因，致使前些年各地建设的垃圾焚烧电厂在运营中出现了环境污染问题，给垃圾焚烧技术在我国的推广造成了很大阻力，许多城市的新建垃圾焚烧厂选址都出现因居民反对而难以落地的局面。在垃圾焚烧厂运行监管方面，目前主要是在垃圾焚烧厂内进行测量监控，缺少从周边环境视角出发的外围动态监控，因而难以形成为民众所信服的全方位垃圾焚烧厂环境监控体系。
对于问题（1），为了实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控，本论文在高斯烟羽模型的基础上进行改进，引入温度、降雨对污染物扩散的影响，建立了新的污染物扩散模型。本论文创新性的提出了风雨影响指数 ,用来衡量风向、降雨对颗粒物扩散的影响。本论文将抽象的污染物含量形象化，利用空气污染指数API描述具体的污染程度及其给周围居民带来的影响。并且从不同角度给出了模型检验，验证了所建模型的准确性。
实际排烟率，单位：m3/s；
排气筒出口处污染物排出速度，单位：m/s；
请你在收集相关资料的基础上考虑以下问题：
(1)假定焚烧炉的排放符合国家新的污染物排放标准（参见附件1），根据垃圾焚烧厂周边环境设计一种环境指标监测方法，实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控。以你设计的环境动态监控体系实际监控结果为依据，设计合理的周围居民风险承担经济补偿方案。
(2)由于各种因素焚烧炉的除尘装置（如袋式除尘器）损坏或出现其他故障导致污染物的排放增加，致使相关各项指标将严重超标（如：烟尘浓度、二氧化硫、氮氧化物、一氧化碳、二恶英类及重金属等排放超标，附件2给出了一台可处理垃圾350吨/天的焚烧炉正常运作时的在线排放监测记录）。请在考虑故障发生概率的情况下修正你设计的监测方法和补偿方案。
深圳市某地点计划建立一个中型的垃圾焚烧厂，计划处理垃圾量1950吨/天（设置三台可处理垃圾650吨/天的焚烧炉，排烟口高度80米，每天24小时运转）。从构建环境动态监控体系、并根据潜在污染风险对周围居民进行合理经济补偿的需求出发，有关部门希望能综合考虑垃圾焚烧厂对周围带来环境污染以及其他危害的多种因素（例如，焚烧炉的污染物排放量、居住点离开垃圾焚烧厂的距离、风力和风向及降雨等气象条件、地形地貌以及建筑物的遮挡程度等等），在进行科学定量分析的基础上，确立一套可行的垃圾焚烧厂环境影响动态监控评估方法，并针对潜在环境风险制定出合理的经济补偿方案。
二、模型假设
（1）.假设污染物在所建的坐标轴的 、 风向上分布为正态分布；
（2）.假设全部高度风速均匀稳定；
（3）.假设污染物在扩散中不会相互转化；
（4）.假设源强是连续均匀稳定的；
（5）.假设附件4所给风速距地面10米处所测得风速；
三、符号约定
任意点的污染物浓度，单位：mg/m3；
源强，单位时间内污染物排放量，单位：mg/s；
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
编号专用页
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
备
注
送全国评阅统一编号（由赛区组委会填写）：
全国评阅随机编号（由全国组委会填写）：
对垃圾处理厂污染的动态监控及居民补偿
摘要
城市垃圾处理问题是一个世界性难题。目前垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。本论文构根据题目设置的垃圾处理厂规模，建立了环境动态监控体系，并根据潜在污染风险对周围居民进行了合理经济补偿的设计。
对于问题（1）具体赔偿方案的制定，在综合考虑了不同方位风向频率、受污染时间、受污染程度的基础上，本论文使用了层次分析法，并且进行了一致性检验，使得赔偿方案具有说服力。通过MATLAB编程，计算出当政府和垃圾处理厂共支付风险赔偿金为 时，得出居住地的每位居民应得的赔偿金额计算公式。对于监测点的设置，经计算共需21个，具体布置情况见后文。
侧向扩散系数；
竖向扩散系数；
排放口的平均风速，单位：m/s；
烟囱的有效高度；
污染源排放点至下风向上任一点的距离，单位：m；
污染物的中心轴在直角水平方向上到任一点的距离，单位：m；
从地表到任一点的高度，单位：m；
烟囱的几何高度，单位：m；
污染物的抬升高度，单位：m；
大气压力，单位： ；
烟气热释放率，单位：KJ/s；
我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）：C
我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：
参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：温州医科大学
参赛队员(打印并签名)：1.章成俊
2.杨超
3.谢锦
指导教师或指导教师组负责人(打印并签填写）：
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛
对于问题（2），在题目所述的发生事故的情况下，对污染物的具体含量进行了合理的预测与假设。模拟出酸性物质与颗粒物的影响范围，并根据具体的污染程度设置不同的污染区。对每个污染区的不同情况设置更改监测点的设置，并且在问题（1）的基础上对居民的经济补偿进行合理修改。
关键词：高斯烟羽模型，层次分析法，空气污染指数，烟气抬升公式
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。