高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及答案
数学高考《计数原理与概率统计》试题含答案
一、选择题
1.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:
根据上表可得回归方程???y
bx a =+中的?b 约等于9,据此模型预报广告费用为6 万元时,销售额为( ) A .54万元 B .55万元
C .56万元
D .57万元
【答案】D 【解析】
试题分析:由表格可算出1(1245)34x =
+++=,1
(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线???y bx a =+上,?9b
=,代入算出?3a =,所以?93y x =+,当6x =时,?57y =,故选D.
考点:回归直线恒过样本点的中心(),x y .
2.设*N n ∈,n a 为()()41n
n
x x +-+的展开式的各项系数之和,7c t =-,R t ∈,
1222555n n n na a a b ??????
=+++????????????
L ([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则
()()
22
n n t b c -++的最小值为( )
A .
12
B .
2
C .
D .【答案】A 【解析】 【分析】
令1x =可得,52n n n a =-,求出n b ,则22()()n n t b c -++的几何意义为点(n ,
2)(*)2
n n
n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方,最小值即(3,3)到7y t =-的距离d 的平方,然后由点到直线的距离公式求解即可得答案. 【详解】
令1x =可得,52n
n
n a =-,2[][]55
n
n n n na n n =-g ,
设25n n n n c =g ,所以1+11(1)22223
()()055555
n n n n n n n n n c c n +++-=
-=- n n n n -g 是单调递增数列,(增函数+增函数=增函数) 当n →+∞时,20,5n n n →g 且20,5n n n >g 所以2[][]155n n n n na n n n =-=-g . 21222[][][]12(1)5552 n n n na a a n n b n -=++?+=++?+-=, 则2 2 ()()n n t b c -++的几何意义为点(n ,2)(*)2 n n n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方, 即求点(n ,2)(*)2 n n n N -∈到7y t =-的距离d 的最小值, 所以222|7| 157|14||()|4424n n n d n n n -+-==+-=+-, 当1n = 时,957||=4444 d =-; 当2n = 时,2557||=4444d =- 当3n = 时,4957||44d =-; 当4n = 时,8157||6= 44d = -; 由函数的图象可知当5,6,7,n =L 时,d > 所以点(n ,2)(*)2 n n n N -∈为(3,3)时,它到7y t =-的距离d 最小, 2 d = =Q , ∴ 2 . ∴()()2 2 n n t b c -++的最小值为12 . 故选:A . 【点睛】 本题考查了二项式定理的应用,考查了点到直线的距离公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.已知()1n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等, () 20121n n n x a a x a x a x λ+=++++L ,若12242n a a a +++=L ,则 ()0121n n a a a a -+-+-L 的值为( ) A .1 B .1- C .2 D .2- 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得5n =,利用赋值法可求得2λ=,再令1x =-即可得解. 【详解】 Q ()1n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等, ∴23 n n C C =,∴5n =, 令0x =,则05 1a =, 令1x =,则()015 5212422431a a a a λ+=++=+=++L , ∴2λ=, 令1x =-,则()0525 1112a a a a -=+--+=-L . 故选:B. 【点睛】 本题考查了二项式定理的应用,属于中档题. 4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表: 广告费用(万元) 4 2 3 5 销售额 (万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析:423549263954 3.5,4244 x y ++++++====Q , ∵数据的样本中心点在线性回归直线上, 回归方程???y bx a =+中的?b 为9.4, ∴42=9.4×3.5+a , ∴?a =9.1, ∴线性回归方程是y=9.4x+9.1, ∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5 考点:线性回归方程 5.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是( ). A .0.378 B .0.3 C .0.58 D .0.958 【答案】D 【解析】 分析:分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率,然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解:透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为10.3P =, 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=, 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=, ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=.故选D . 点睛:本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式,属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来,要会对一个复杂的随机事件进行分析,也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和,再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积,这种把复杂事件转化为简单事件,综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 6.若随机变量X 的分布列为( ) 且()1E X =,则随机变量X 的方差()D X 等于( ) A . 13 B .0 C .1 D . 23 【答案】D 【解析】 分析:先根据已知求出a,b 的值,再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X . 详解:由题得1 113 ,,13021 3 a b a b a b ?++=??∴==? ??++=?? 所以2 2 2 1112()(01)(11)(21).3 3 33 D X =-?+-?+-?= 故答案为D. 点睛:(1)本题主要考查分布列的性质和方差的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,…,且取这些值 的概率分别是1p ,2p ,…,n p ,那么D ξ=211()x E p ξ-?+2 22()x E p ξ-?+…+ 2()n n x E p ξ-?,称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的E ξ是随机变量ξ的期 望. 7.若52345 012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则0123452345a a a a a a +++++为 () A .-233 B .10 C .20 D .233 【答案】A 【解析】 【分析】 对等式两边进行求导,当x =1时,求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值,再求出a 0的值,即可得出答案. 【详解】 对等式两边进行求导,得: 2×5(2x ﹣3)4=a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4, 令x =1,得10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5; 又a 0=(﹣3)5=﹣243, ∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=﹣243+10=﹣233. 故选A . 【点睛】 本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题,考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法,利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键. 8.2020(1)(1)i i +--的值为( ) A .0 B .1024 C .1024- D .10241- 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式 = 112233191920112233191920 20202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L (( =11 33 55 1919 202020202()C i C i C i C i ++++L =11 33 55 53 31 1 3 2020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =11 33 55 5 5 33 1 2020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】 本题主要考查二项式定理,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是( ) A . 1 12 B . 115 C . 118 D . 114 【答案】D 【解析】 【分析】 先得到随机抽取两个不同的数共有28种,再得出选取两个不同的数,其和等于20的共有2中,结合古典概型的概率计算公式,即可求解. 【详解】 由题意,在不超过20的素数有:2,3,5,7,11,13,17,19,共有8个数, 随机选取两个不同的数,共有2 828C =种, 其中随机选取的两个不同的数,其和为20的有31720,71320+=+=,共有2种, 所以概率为212814 P ==. 故选:D . 【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算,其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 10.设1021001210)x a a x a x a x =++++L ,那么 ()(2 20210139)a a a a a a +++-+++L L 的值为( ) A .0 B .1- C .1 D .101) 【答案】C 【解析】 【分析】 令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ,012310a a a a a -+-++L ,再整体代入可得; 【详解】 解:因为 )10 2 10 1 2 10 x a a x a x a x =++++L , 令1x =得)10 1 2 3 10 1a a a a a =++++L , 令1x =-得)10 1 2 3 10 1a a a a a =-+-++L , 所以()(2 20210139)a a a a a a +++-+++L L ()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L )) 10 10 1 1 = ? )) 10 11? ??? ? = 1011== 故选:C 【点睛】 本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题,属于中档题. 11.已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(*a N ∈),现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记换好球后袋中白球的个数是ξ.若3E ξ=,则D ξ= ( ) A . 12 B .1 C . 32 D .2 【答案】B 【解析】 由题意2ξ=或4,则221 [(23)(43)]12 D ξ= -+-=,故选B . 12.有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球,每个盒子放入一个小 球,则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A . 827 B . 56 C . 23 D . 13 【答案】D 【解析】 【分析】 列举出所有的基本事件,并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】 以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球,则所有的基本事件有:()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1,共6种, 其中,事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有:()2,3,1、()3,1,2,共2个, 因此,小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163 =. 故选:D. 【点睛】 本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率,解题的关键就是列举出所有的基本事件,遵循不重不漏的原则,考查计算能力,属于中等题. 13.已知()9 29012913x a a x a x a x -=++++L ,则019a a a +++…等于( ) A .92 B .94 C .93 D .1 【答案】B 【解析】 【分析】 求出二项式()9 13x -展开式的通项为()193r r r T C x +=?-,可知当r 为奇数时,0r a <,当 r 为偶数时,0r a >,然后代入1x =-即可得出019a a a ++?+的值. 【详解】 二项式()9 13x -展开式的通项()193r r r T C x +=?-,当r 为奇数时,0r a <,当r 为偶数 时,0r a >, 因此,()9 9 0191314a a a ??++?+=-?-=?? . 故选:B. 【点睛】 本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和,要结合二项式定理判断各项系数的符号,考查推理能力与计算能力,属于中等题. 14.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”,近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析,其中共享单车使用的人数分别为 123100,,,,x x x x L ,它们的平均数为x ,方差为2s ;其中扫码支付使用的人数分别为 132x +,232x +,332x +,L ,10032x +,它们的平均数为x ',方差为2s ',则x ', 2s '分别为( ) A .32x +,232s + B .3x ,23s C .32x +,29s D .32x +,292s + 【答案】C 【解析】 【分析】 由样本数据的平均数和方差的公式,化简、运算,即可求解,得到答案. 【详解】 由平均数的计算公式,可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001 ()100 x x x x x =++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为: 121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100 x x x x x x x ++++++=++++?=+L L , 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001 [()()()]100 s x x x x x x = -+-++-L , 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为: 222121001 {[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001 [9()9()9()]9100 x x x x x x s = -+-++-=L 故选C. 【点睛】 本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用,其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式,合理化简与计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 15.()()5 112x x ++的展开式中4x 的系数为( ) A .100 B .120 C .140 D .160 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二项式定理展开式通项公式求指定项的系数. 【详解】 ()() 5 112x x ++的展开式中4x 的系数为3344 55C 2C 2160?+?=. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查二项式定理,考查运算求解能力,是基础题. 16.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为1ξ;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为2ξ,则( ) A .12E E ξξ<,12D D ξξ< B .12E E ξξ=,12D D ξξ> C .12E E ξξ=,12D D ξξ< D .12E E ξξ>,12D D ξξ> 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】 1ξ可能的取值为0,1,2;2ξ可能的取值为0,1, ()1409P ξ== ,()1129P ξ==,()141411999 P ξ==--=, 故123E ξ= ,22 214144402199999 D ξ=?+?+?-=. ()22110323P ξ?== =?,()22122 1323 P ξ??===?, 故223E ξ= ,2 221242013399 D ξ=?+?-=, 故12 E E ξξ=,12D D ξξ>.故选B. 【点睛】 离散型随机变量的分布列的计算,应先确定随机变量所有可能的取值,再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率,然后利用公式计算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 17.数学老师给校名布置了10道数学题,要求小明按照序号从小到大的顺序,每天至少完成一道,如果时间允许,也可以多做,甚至在一天全部做完,则小明不同的完成方法种数为 A .55 B .90 C .425 D .512 【答案】D 【解析】 利用隔板法,10道题中间有9个空格,若1天做完,有0 9C 种;若2天做完,从9个空格 中插入一个板,分成2天,则有19C 种;若3天做完,则有2 9C 种;以此类推,若9天做完,则有89C 种;若10天做完,则有9 9C 种;故总数为 012899999992512C C C C C +++???+==. 故选D. 18.口袋中有相同的黑色小球n 个,红、白、蓝色的小球各一个,从中任取4个小球.ξ表示当n =3时取出黑球的数目,η表示当n =4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是( ) A .E (ξ)<E (η),D (ξ)<D (η) B .E (ξ)>E (η),D (ξ)<D (η) C .E (ξ)<E (η), D (ξ)>D (η) D . E (ξ)>E (η),D (ξ)>D (η) 【答案】A 【解析】 【分析】 当3n =时,ξ的可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出()2E ξ=, ()2 5 D ξ=;当4n =时,η可取1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出()167 E η= , ()2449 D η=,即可得解. 【详解】 当3n =时,ξ的可能取值为1,2,3, ()134336115C C P C ξ?===,()342236325C C P C ξ?===,()34 31361 35 C C P C ξ?===, ∴()131232555E ξ= +?+?=,()112555 D ξ=+=; 当4n =时,η可取1,2,3,4, ()1434374 135C C P C η?===,()224374 18235C P C C η==?=, ()31437412335C P C C η==?=,()4 404375 1 43C C P C η?===, ∴()41812116234353535357 E η= +?+?+?=, ()2 2 2 2 416181612161161234357357357549 4 372D η????????=-+-+-+-= ? ? ? ?????????; ∴()()E E ξη<,()()D D ξη<. 故选:A . 【点睛】 本题考查了超几何分布概率公式的应用,考查了离散型随机变量期望和方差的求解,属于 中档题. 19.若随机变量( )2 3,X N σ:,且()50.2P X ≥=,则()15P X ≤≤等于( ) A .0.6 B .0.5 C .0.4 D .0.3 【答案】A 【解析】 【分析】 由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥,由此可得出结果. 【详解】 由于( )2 3,X N σ :,则正态密度曲线关于直线3x =对称, 所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-?=,故选A. 【点睛】 本题考查正态分布在指定区间上概率的计算,解题时要确定正态密度曲线的对称轴,利用对称性列等式计算,考查计算能力,属于中等题. 20.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A . 112 B . 114 C . 115 D . 118 【答案】C 【解析】 分析:先确定不超过30的素数,再确定两个不同的数的和等于30的取法,最后根据古典概型概率公式求概率. 详解:不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两 个不同的数,共有2 1045C =种方法,因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不 同的数,其和等于30的有3种方法,故概率为 31 =4515 ,选C. 点睛:古典概型中基本事件数的探求方法: (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020 【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,,若1ABF ?为等边三角形,则椭圆的离心率为( ) 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x (其中321x x x <<),则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 ( ) A .a -1 B .1-a C .1- D .1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点,记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??,则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表,用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== (1)求1n a 和4n a ; (2)设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. (1)求动点P 的轨迹方程; 1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.(北京理6改)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件(从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择) 1.充分必要 2.(北京文9)设向量a =(1,0),b =(?1,m ),若()m ⊥-a a b ,则m =_________. 2.-1 3.(全国卷I 理6改)在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB = _________. (用,AB AC 表示) 3.3144 AB AC - 4.(全国卷II 理4)已知向量a ,b 满足||1=a ,1?=-a b ,则(2)?-=a a b _________. 4.3 5.(全国卷III 理13.已知向量()=1,2a ,()=2,2-b ,()=1,λc .若()2∥c a+b ,则λ=________. 5. 12 6.(天津理8)如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,120BAD ∠=?,1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.(天津文8)在如图的平面图形中,已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.(浙江9)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π 3,向量b 满足b 2?4e · b +3=0,则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.(上海8).在平面直角坐标系中,已知点(1,0)A -,(2,0)B ,E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF = ,则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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