2019-2020年高考数学一轮复习第16课时导数的综合应用教学案
高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 新人教B版
第三章 导数及其应用 3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，令Δx ＝x －x 0，Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，比值ΔyΔx＝__________称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率__________通常称为f (x )在点x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝__________＝__________.(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的________，相应地，切线方程为________．3．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内的每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为__________．(1)[f (x )±g (x )]′＝__________； (2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝__________(g (x )≠0)．6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )．A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)或(－1，－1) D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )． A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．y ＝sin 2x 的导数为__________．一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】 已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2 f x －3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】 用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2 三、导数的几何意义【例3】 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率； (2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.答案：A 答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点； (2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点． 2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键； (2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f－f－2x2x＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )．A．2 B．－1 C．1 D．－22．y＝x2cos x的导数y′＝__________.3．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a＞0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．(1)lim Δx →0 Δy Δx lim Δx →0 ΔyΔxlim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2)切线的斜率 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．f ′(x )或y ′(或y x ′)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1， 当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 考点探究突破【例1－1】 C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2 f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0 f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】 解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. 【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为：y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则x 20＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0 f (1－2x )－f (1)－2x ＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2.2x cos x －x 2sin x解析：y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。
高三数学一轮复习优质教案5：3.3 导数的综合应用教学设计
3.3 导数的综合应用一、教学目标1.利用导数研究函数的单调性,从而可解决比较大小、极值问题、单峰函数的最值问题.2.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题.3.利用导数解决物体的运动速度问题.二、点击双基1.某物体作s =2(1-t )2的直线运动，则t =0.8 s 时的瞬时速度为( )A.4B.-4C.-4.8D.-0.82.函数f (x )=x 3-6bx +3b 在(0,1)内有极小值，则( )A.b >0B.b <21C.0<b <22D.b <1 3.函数f (x )=a x +log a (x +1)在［0，1］上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A.41 B.21C.2D.4 4.已知曲线y =31x 3+34,则过点P (2,4)的切线方程是___________________. 5.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为____________.诱思·实例点拨『例1』设x >-2,n ∈N *,比较(1+x )n 与1+nx 的大小.链接·拓展本题可用归纳——猜想——证明法解.当n =1时，(1+x )1=1+x .当n =2时，(1+x )2=1+2x +x 2≥1+2x .当n =3时，(1+x )3=1+3x +3x 2+x 3=1+3x +x 2(3+x )≥1+3x .猜想:(1+x )n ≥1+nx .『例2』已知函数f (x )=bx ax +-26的图象在点M (-1,f (-1))处的切线方程为x +2y +5=0. (1)求函数y =f (x )的解析式;(2)求函数y =f (x )的单调区间.『例3』 用总长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.『例4』已知函数f (x )=ln x ,g (x )=21ax 2+bx ,a ≠0. (1)若b =2,且函数h (x )=f (x )-g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;(2)设函数f (x )的图象C 1与函数g (x )的图象C 2交于点P 、Q ,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N .证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.答案二、点击双基1.『解析』s ′=-4(1-t ),∴当t =0.8 s 时，v =-0.8.『答案』D2.『解析』f ′(x )=3x 2-6b ,令f ′(x )=0，得x =±2b .∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴0<2b <1.∴0<b <22. 『答案』C3.『解析』f ′(x )=a x ln a +11+x log a e. ∵x ∈［0,1］,∴当a >1时,a x ln a +11+x log a e>0. ∴f (x )为增函数.当0<a <1时,a x ln a +11+x log a e<0, ∴f (x )为减函数.∴f (0)+f (1)=a .∴a =21. 『答案』B4.『解析』y ′=x 2,当x =2时,y ′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y -4=4(x -2)，即y =4x -4.『答案』4x -y -4=05.『解析』设底面边长为x ,则高为h =234xV , ∴S 表=3×234xV ·x +2×43x 2=x V 34+23x 2. ∴S ′=-234xV +3x . 令S ′=0，得x =34V . 『答案』34V『例1』剖析:从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n =k 到n =k +1时，(1+x )k +1=(1+x )k · (1+x )过渡到(1+x )k 时不等方向不确定，故需按1+x 的符号讨论证明.但本题若用导数解就比较简单了.解:设f (x )=(1+x )n -1-nx ,当n =1时，f (x )=0,∴(1+x )n =1+nx .当n ≥2，n ∈N *时,f ′(x )=n (1+x )n -1-n =n ［(1+x )n -1-1］,令f ′(x )=0,得x =0.当-2<x <0时，f ′(x )<0,f (x )在(-2,0)上为减函数；当x >0时，f (x )>0.∴f (x )在［0,+∞］上为增函数.∴当x >-2时，f (x )≥f (0)=0.∴(1+x )n ≥1+nx .综上,得(1+x )n ≥1+nx .讲评:构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法.链接·拓展证明:当x ≥-1时，(1)当n =1时，(1+x )n ≥1+nx 成立.(2)假设n =k 时，(1+x )k ≥1+kx 成立，那么(1+x )k +1=(1+x )k ·(1+x )≥(1+x )·(1+kx )=1+(k +1)x +kx 2≥1+(k +1)x .∴当n =k +1时，(1+x )n ≥1+nx 成立.由(1)(2)可知，当x ≥-1时，对n ∈N *，(1+x )n ≥1+nx .当-2<x <-1时，当n =1时，(1+x )n =1+x ；当n ≥2时，|1+x |<1.∴|1+x |n <1.而1+nx <1-n ≤-1,∴(1+x )n >1+nx .综上,得(1+x )n ≥1+nx 正确.『例2』剖析:(1)f ′(1)即为x +2y +5=0的斜率,从而得出一个关于a 、b 的关系式.点M (-1,f (-1))在切线上,又得出一个关于a 、b 的等量关系式.从而可求出a 、b .(2)利用导数可求y =f (x )的单调区间.解:(1)由函数f (x )的图象在点M (-1,f (-1))处的切线方程为x +2y +5=0,知-1+2f (-1)+5=0,即f (-1)=-2,f ′(-1)=-21. ∵f ′(x )=222)()6(2)(b x ax x b x a +--+, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--++-=+--,21)1()6(2)1(,2162b a b a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧-=++-+-=.21)1()6(2)1(,422b a b a b a 解得a =2,b =3(∵b +1≠0,b =-1舍去).∴所求的函数解析式是f (x )=3622+-x x . (2)f ′(x )=222)3(6122+++-x x x . 令-2x 2+12x +6=0,解得x 1=3-23,x 2=3+23.当x <3-23或x >3+23时,f ′(x )<0;当3-23<x <3+23时,f ′(x )>0.所以f (x )=3622+-x x 在(-∞,3-23)内是减函数,在(3-23,3+23)内是增函数,在(3+23,+∞)内是减函数.讲评:本题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.『例3』解:设容器底面短边长为x m ,则另一边长为(x +0.5) m ,高为4)5.0(448.14+--x x =3.2-2x (m ). 设容积为y m 3,则y =x (x +0.5)(3.2-2x )(0<x <1.6),整理,得y =-2x 3+2.2x 2+1.6x .所以y ′=-6x 2+4.4x +1.6.令y ′=0,即-6x 2+4.4x +1.6=0,所以15x 2-11x -4=0.解得x =1或x =-154(不合题意,舍去). 从而在定义域(0,1.6)内只有x =1处使得y ′=0.由题意,若x 过小(接近0)或过大(接近1.6)时,y 值很小(接近0).因此,当x =1时,y 有最大值且y max =-2+2.2+1.6=1.8,此时,高为3.2-2×1=1.2.答:容器的高为1.2 m 时,容积最大,最大容积改为1.8 m 3.讲评:在实际问题中,有时会遇到函数在区间内仅有一个点使f ′(x )=0,如果函数在这点有极大(小)值,那么这点是使函数取最大(小)值的点.这所说的区间不仅适用于闭区间,也适用于开区间或无穷区间.『例4』(1)解:b =2时,h (x )=ln x -21ax 2-2x , 则h ′(x )=x1-ax -2=-x x ax 122-+. 因为函数h (x )存在单调递减区间,所以h ′(x )<0有解.又因为x >0,则ax 2+2x -1>0有x >0的解.①当a >0时,y =ax 2+2x -1为开口向上的抛物线,ax 2+2x -1>0总有x >0的解;②当a <0时,y =ax 2+2x -1为开口向下的抛物线,而ax 2+2x -1>0有x >0的解,则Δ=4+4a >0,且方程ax 2+2x -1=0至少有一正根,此时,-1<a <0.综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).(2)证明:设点P 、Q 的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2),0<x 1<x 2,则点M 、N 的横坐标为x =221x x +, C 1在点M 处的切线斜率为k 1=212x x +, C 2在点N 处的切线斜率为k 2=ax +b 221|x x x +==2)(21x x a ++b . 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行,则k 1=k 2,即212x x +=2)(21x x a ++b . 则1212)(2x x x x --=2a (x 22-x 12)+b (x 2-x 1) =(2a x 22+bx 2)-(2a x 12+bx 1) =y 2-y 1=ln x 2-ln x 1.所以ln 12x x =12121)1(2x x x x +-. 设t =12x x ,则ln t =tt +-1)1(2,t >1. ① 令r (t )=ln t -tt +-1)1(2,t >1,则r ′(t )=t 1-2)1(4+t =22)1()1(+-t t t . 因为t >1时,r ′(t )>0,所以r (t )在［1,+∞］上单调递增.故r (t )>r (1)=0.则ln t >tt +-1)1(2. 这与①矛盾,假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.讲评:本题主要考查函数的性质、导数,分类讨论的思想,以及分析问题和解决问题的能力.注意运用导数研究函数的单调性及切线问题.。
江苏省滨海中学2020届高三数学总复习教学案：3.4导数的综合应用
3.4 导数的综合应用要点集结1.导数的综合应用有两个方面：其一是运用导数研究函数的性质，如单调性、极值、最值，进而研究函数的零点、方程的根、不等式的证明、恒成立问题等；其二是导数在实际生活中的应用，而目标函数的建立是运用导数解决最值问题的关键，注意选择恰当的自变量，同时要注意实际背景所限定的变量的取值范围.2.要重视分类讨论、数形结合、函数与方程等基本数学思想的运用，尤其对含参问题的讨论要全面、清晰.基础自测1.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为________．2.已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)， f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 的值为____________． 3.已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞,＋∞)内单调递减，则实数m 为________．4.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为______________． 5.将一个周长为12的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为____.考点探究例1．已知函数x ax x x f 3)(23+-=(1)若)(x f 在[)+∞,1上是增函数，求实数a 的取值范围.(2)若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在[]a x ,1∈上的最大值与最小值.例2.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+4x 的极小值为-8,其导函数y =f '(x )的图象经过点(-2,0),如图所示.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数y =f (x )-k 在区间[-3,2]上有两个不同的零点,求实数k 的取值范围.例3．已知(]xx x g e x x ax x f ln )(,,0,ln )(=∈-=. (1)当1=a 时，讨论函数)(x f 的单调性和极值；(2)在(1)的条件下，证明：21)()(+>x g x f .变式1：在本例条件下，是否存在正实数a ，使得)(x f 的最小值为3，若存在，则求出a 的值，若不存在，则说明理由.变式2：设函数ax e x g ax x x f x -=-=)(,ln )(，其中a 为实数，若)(x f 在()+∞,1上是单调递减函数，且)(x g 在()+∞,1上有最小值，求a 的取值范围；变式3：设L 为曲线C ：x x y ln =在点()0,1处的切线， (1)求L 的方程， (2)证明；除切点)0,1(之外，曲线C 在直线L 的下方.热点研习1.已知a ≤1－x x＋ln x 对于x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为________． 2.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y ＝-13x 3＋81x -234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．3.若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，则以下命题：其中正确命题的序号为________． ①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]；②f (x )的极值点有且只有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于零．5.若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，则a 的取值范围是________．6.函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意的x ∈[－1,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为______．7.已知函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2－3ax ，f (0)＝b ，a ，b 为实数，1<a <2.(1)若f (x )在区间[－1,1]上的最小值、最大值分别为－2、1，求a 、b 的值；(2)在(1)的条件下，求经过点P (2,1)且与曲线f (x )相切的直线l 的方程．8.已知函数f (x )＝x ＋a ln x ，其中a 为常数，且a ≤－1.若f (x )≤e －1对任意x ∈[e ，e 2]恒成立，求实数a 的取值范围．9.已知函数()()()x x xe e x g x a x a x x f -+=-+-=21,ln 1， (1)当[]e x ,1∈时，求()x f 的最小值；(2)当1<a 时，若存在[]21,ee x ∈，使得对任意的[]()()212,0,2x g xf x <-∈恒成立，求a 的取值范围.10.已知函数()()1--=x a e x f x ，(1)当1-=a 时，求函数()x f 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论函数()x f 的单调性，并写出相应的单调区间；(3)已知()b x f ≥对任意R x ∈恒成立，求ab 的最大值.。
2019-2020年高考数学复习导数及应用教案
2019-2020年高考数学复习导数及应用教案•知识结构内容提炼、思想方法归纳:导数及其应用这部分内容，在近几年的高考中已成为一个热点，试题比重在逐年增加，题型从选择题、填空题到解答题均有涉及.选择题、填空题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用，如求函数的导数，切线的斜率，函数的单调区间、极值、最值；解答题一般为导数的应用，主要考查利用导数判断函数的单调性，在应用题中用导数求函数的最大值和最小值学习导数的概念要结合其实际背景以帮助理解，要熟记常用的导数公式，掌握函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求简单初等函数的导数化归转化思想与分类讨论思想是本章内容的重要数学思想，把不熟悉的转化为熟悉的，把不规范的转化为规范的甚至模式化的问题，将是复习本章内容的基本思维模式用函数和方程的思想指导本章的学习.在导数应用的许多问题中都蕴含着函数和方程关系，用函数和方程的思想加以指导，禾U于问题的解决•正确理解函数极值的概念.确定函数的极值应从几何直观入手，理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系，掌握利用导数判断函数极值的基本方法.准确、深刻地理解函数最值的概念，揭示函数最值与极值的联系与区别.（1）函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念；（2）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值；⑷如果函数不在闭区间［a,b］上可导，则确定函数的最值时，不仅要比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内不可导的点处的值；（5）在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。
天津市高考数学一轮复习 导数的综合应用问题导学案
导数的综合应用知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。
例2已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值.(I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.例3已知函数ax x x a x f ++-=2221ln 2)()(R a ∈. (Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）当0<a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 的最小值.例4已知函数()ln f x ax x =-，()e 3axg x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．五、演练方阵A 档（巩固专练）1．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12．设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．153．函数y ＝x33x －1的图像大致是( )图1－54. 函数f(x)＝2ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05. 若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于x 轴，则k ＝________．6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x，则f′(1)＝________．7. 若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞) 8. 已知函数f(x)＝x －aln x (a∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．9. 已知e 为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x －1)(x －1)k(k ＝1，2)，则( ) A ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极大值10. 直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2C.83D.16 23B 档（提升精练）1． 函数f (x )＝ax m (1－x )n在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则m ，n 的值可能是( )图1－2A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1 2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围是________．3．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1 4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．5．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )．A.13 B ．－13C.73D ．－13 或536．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )．A ．1 B.12 C.52 D.227．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，328．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．0 D. 29．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )． A ．a ＞－3 B ． a ＜－3 C ．a ＞－13D ．a ＜－1310．已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12x 2＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值．C 档（跨越导练）1．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞2. 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 ( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-23.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+ 4.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于( )A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 5.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A ．4B ．14-C ．2D ．12- 6.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为( )A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --= 7.若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )ab ab aA ．B ．C ．D ．8.若1x 满足2x+2x=5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝ ( )A.52 B.3 C.72D.4 9.设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =( )A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的
第三章 导数及其应用 3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．4．基本初等函数的导数公式原函数 导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x f ′(x )＝________ f (x )＝log a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________； (2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝__________(g (x )≠0)．6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )．A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)或(－1，－1) D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )．A．－1 B．－2 C．2 D．05．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．6．y＝sin 2x的导数为__________．一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f′(2)＝2，f(2)＝3，则limx→2f x－3x－2＋1的值为( )．A．1 B．2 C．3 D．4【例1－2】用导数的定义求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y＝f(x)在x＝x0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．利用定义求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导【例2】求下列函数的导数：(1)y＝(2x－3)2；(2)y＝tan x；(3)y＝x2＋2x＋5.方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2 三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率； (2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升5对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.答案：A 答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点； (2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点． 2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键； (2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f 1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－22．y ＝cos(x 2＋3)的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 4．(2012湖北八市三月联考)如图，曲线y ＝f (x )在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.5．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a＞0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．f ′(x )3．y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26．f ′(u )·v ′(x ) y u ′·u x ′ 基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1， 当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4，∴x 0＝1.∴y 0＝1. ∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．y ′＝2cos 2x 考点探究突破【例1－1】 C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2 f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0 f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】 解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ). ∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】 解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . (3)y ′＝(x 2＋2x ＋5)′＝1221(25)2x x -++·(2x ＋2) ＝x ＋1x 2＋2x ＋5.【例3】 解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：y ′|x ＝x 0＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0 f (1－2x )－f (1)－2x ＝－1， 即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．－2x sin(x 2＋3) 解析：y ′＝[cos(x 2＋3)]′＝2x ·[－sin(x 2＋3)]＝－2x sin(x 2＋3)．3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x3＜0.∴a ＜0.4．2 解析：由题意得，切线方程为y ＝－x ＋8，可得切点坐标为(5,3)，即f (5)＝3. 又由导数的几何意义得f ′(5)＝－1，所以f (5)＋f ′(5)＝2.5．解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。
(完整版)高考数学第一轮复习教案——导数
高考复习—-导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微)；（2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3)应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据． 对导数的定义,我们应注意以下三点：（1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．（2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f （x ）在点0x 处可导或可微，才能得到f （x)在点0x 处的导数．（3)如果函数y=f （x)在点0x 处可导，那么函数y=f （x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x ｜在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行：（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆; （2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； （3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学习型教学案(有答案)
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案（有答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案15 导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．自主梳理．函数的最值函数f在[a，b]上必有最值的条件如果函数y＝f的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．求函数y＝f在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f在内的________；②将函数y＝f的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测．函数f＝x3－3ax－a在内有最小值，则a的取值范围为A．0≤a<1B．0<a<1c．－1<a<1D．0<a<122．设f′是函数f的导函数，将y＝f和y＝f′的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是3．对于R上可导的任意函数f，若满足f′≥0，则必有A．f＋f<2fB．f＋f≤2fc．f＋f≥2fD．f＋f>2f4．函数f＝12ex在区间0，π2上的值域为______________．5．f＝x2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．探究点一求含参数的函数的最值例1 已知函数f＝x2e－ax，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1 设a>0，函数f＝alnxx.讨论f的单调性；求f在区间[a,2a]上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2 已知f＝12x2－alnx，求函数f的单调区间；求证：当x>1时，12x2＋lnx<23x3.变式迁移2 设a为实数，函数f＝ex－2x＋2a，x∈R.求f的单调区间与极值；求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.探究点三实际生活中的优化问题例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为2万件．求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式；当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q．变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x与年产量t满足函数关系x＝XXt.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元．将乙方的年利润ω表示为年产量t的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想的应用例已知函数f＝lnx－x＋1.若xf′≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；证明：f≥0.【答题模板】解∵f′＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，x>0，∴xf′＝xlnx＋1.由xf′≤x2＋ax＋1，得a≥lnx－x，令g＝lnx－x，则g′＝1x－1，[2分] 当0<x<1时，g′>0；当x>1时，g′<0，[4分]∴x＝1是最大值点，gmax＝g＝－1，∴a≥－1，∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分]证明由知g＝lnx－x≤g＝－1，∴lnx－x＋1≤0.是快速解决的关键．)[8分]当0<x<1时，x－1<0，f＝lnx－x＋1＝xlnx ＋lnx－x＋1≤0，∴f≥0.当x≥1时，x－1>0，f＝lnx－x＋1＝lnx＋xlnx－x＋1＝lnx－xln1x－1x＋1≥0，∴f≥0.[11分]综上，f≥0.[12分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f；求函数的导数f′，解方程f′＝0；比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；回到实际问题，作出解答．一、选择题．已知曲线c：y＝2x2－x3，点P，直线l过点P且与曲线c相切于点Q，则点Q的横坐标为A．－1B．1c．－2D．22．已知函数y＝f，y＝g的导函数的图象如图所示，那么y＝f，y＝g的图象可能是3．设f′是函数f的导函数，y＝f′的图象如图所示，则y＝f的图象最有可能是4．函数f＝－x3＋x2＋tx＋t在上是增函数，则t的取值范围是A．t>5B．t<5c．t≥5D．t≤55．若函数f＝sinxx，且0<x1<x2<1，设a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，则a，b的大小关系是A．a>bB．a<bc．a＝bD．a、b的大小不能确定题号2345答案二、填空题6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为_____________________________________________________________m3.8．若函数f＝4xx2＋1在区间上是单调递增函数，则实数m的取值范围为________．三、解答题9．已知函数f＝122－ln．求f的单调区间；若x∈[1e－1，e－1]时，f<m恒成立，求m的取值范围．0．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用c与隔热层厚度x满足关系：c＝k3x ＋5，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．求k的值及f的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f达到最小，并求最小值．1．设函数f＝lnx，g＝ax＋bx，函数f的图象与x轴的交点也在函数g的图象上，且在此点有公共切线．求a、b的值；对任意x>0，试比较f与g的大小．答案自主梳理．连续①极值②端点值自我检测．B 2.D 3.c4.12，12eπ25.6课堂活动区例1 解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′＝0，求出x 值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．解∵f＝x2e－ax，∴f′＝2xe－ax＋x2•e－ax＝e－ax．令f′>0，即e－ax>0，得0<x<2a.∴f在，2a，＋∞上是减函数，在0，2a上是增函数．①当0<2a<1，即a>2时，f在[1,2]上是减函数，∴fmax＝f＝e－a.②当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，∴fmax＝f2a＝4a－2e－2.③当2a>2，即0<a<1时，f在[1,2]上是增函数，∴fmax＝f＝4e－2a.综上所述，当0<a<1时，f的最大值为4e－2a；当1≤a≤2时，f的最大值为4a－2e－2；当a>2时，f的最大值为e－a.变式迁移1 解函数f的定义域为，f′＝a•1－lnxx2，由f′＝a•1－lnxx2>0，得0<x<e；由f′<0，得x>e.故f在上单调递增，在上单调递减．∵f在上单调递增，在上单调递减，∴f在[a,2a]上的最小值[f]min＝min{f，f}．∵f－f ＝12lna2，∴当0<a≤2时，[f]min＝lna；当a>2时，[f]min＝ln2a2.例2 解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．解f′＝x－ax＝x2－ax，若a≤0时，f′>0恒成立，∴函数f的单调增区间为．若a>0时，令f′>0，得x>a，∴函数f的单调增区间为，减区间为．证明设F＝23x3－，故F′＝2x2－x－1x.∴F′＝x－12x2＋x＋1x.∵x>1，∴F′>0.∴F在上为增函数．又F在上连续，F＝16>0，∴F>16在上恒成立．∴F>0.∴当x>1时，12x2＋lnx<23x3.变式迁移2 解由f＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′＝ex－2，x∈R.令f′＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′，f的变化情况如下表：xln2f′－＋f极小值故f的单调递减区间是，单调递增区间是，f在x＝ln2处取得极小值，极小值为f＝eln2－2ln2＋2a＝2．证明设g＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′＝ex－2x＋2a，x∈R.由知当a>ln2－1时，g′最小值为g′＝2>0.于是对任意x∈R，都有g′>0，所以g在R内单调递增，于是当a>ln2－1时，对任意x∈，都有g>g．而g＝0，从而对任意x∈，都有g>0，即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.例3 解分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为L＝2，x∈[9,11]．L′＝2－2＝．令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12．∵3≤a≤5，∴8≤6＋23a≤283.在x＝6＋23a两侧L′的值由正变负．∴①当8≤6＋23a<9，即3≤a<92时，Lmax＝L＝2＝9．②当9≤6＋23a≤283，即92≤a≤5时，Lmax＝L＝[12－]2＝43.所以Q＝96－a，3≤a<92，43－13a3，92≤a≤5.综上，若3≤a<92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q＝9；若92≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q＝43．变式迁移3 解因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝XXt－St.由ω′＝1000t－S＝1000－Stt，令ω′＝0，得t＝t0＝2.当t<t0时，ω′>0；当t>t0时，ω′<0.所以当t＝t0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量为2吨．设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2.将t＝2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v＝10002S－2×10003S4.又v′＝－10002S2＋8×10003S5＝10002×8000－S3S5，令v′＝0，得S＝20.当S<20时，v′>0；当S>20时，v′<0，所以S＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20元/吨时，可获得最大净收入．课后练习区．A 2.D 3.c 4.c 5.A6.63d解析如图所示，为圆木的横截面，由b2＋h2＝d2，∴bh2＝b．设f＝b，∴f′＝－3b2＋d2.令f′＝0，由b>0，∴b＝33d，且在上f′>0，在[33d，d]上f′<0.∴函数f在b＝33d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝63d.7．300解析设长为xm，则宽为m，仓库的容积为V，则V＝x•3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，令V′＝0得x＝10.当0<x<10时，V′>0；当x>10时，V′<0，∴x＝10时，V最大＝300．8．＝41－x2x2＋12≥0，解得－1≤x≤1.由已知得⊆[－1,1]，即m≥－12m＋1≤1m<2m ＋1，解得－1<m≤0.9．解∵f＝122－ln，∴f′＝－11＋x＝x2＋x1＋x．……………………………………………………………………………………………∴f在上单调递增，在上单调递减．…………………………………………………………………令f′＝0，即x＝0，则xf′－＋f极小值……………………………………………………………………………………………又∵f＝12e2＋1，f＝12e2－1>12e2＋1，又f<m在x∈[1e－1，e－1]上恒成立，∴m>12e2－1.………………………………………………………………………………0．解设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为c＝k3x＋5，再由c＝8，得k＝40，因此c＝403x＋5，…………………………………………而建造费用为c1＝6x.…………………………………………………………………最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f＝20c＋c1＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x．………………………………………………………………f′＝6－24003x＋52，令f′＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253．…………………………………………当0<x<5时，f′<0，当5<x<10时，f′>0，………………………………………………………………故x＝5是f的最小值点，对应的最小值为f＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．……………………………………………………………………………………………1．解f＝lnx的图象与x轴的交点坐标是，依题意，得g＝a＋b＝0.①……………………………………………………………又f′＝1x，g′＝a－bx2，且f与g在点处有公共切线，∴g′＝f′＝1，即a－b＝ 1.②……………………………………………………由①②得a＝12，b＝－12.…………………………………………………………………令F＝f－g，则F＝lnx－＝lnx－12x＋12x，∴F′＝1x－12－12x2＝－122≤0.∴F在上为减函数．………………………………………………………当0<x<1时，F>F＝0，即f>g；当x＝1时，F＝0，即f＝g；当x>1时，F<F＝0，即f<g．综上，0<x<1时，f>g；x＝1时，f＝g；x>1时f<g．…………………………………………………………………………。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高考数学一轮复习第16课时导数的综合应用教学案教学目标：能运用导数研究函数的性质（奇偶性、单调性、极值、最值等相关问题） 一、基础训练1. 二次函数对于任意实数都有，且，则的最小值为 .2.设是函数的导函数，若在 上的图像如图所示，则的单调减区间 是 .3.用边长为6的正方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角各截去一个小正方形，然后将四边翻转角，再焊接而成，则容器的高为 时，容器的体积最大. 4.函数的最大值是 .5.已知上的可导函数在上是减函数，在上是增函数，如果，那么的符号为 . 二、合作探究 例1．已知函数（1）求函数在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方.变式训练1： 已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+,其中,设两曲线在公共点处的切线相同，求证：xyO 1 2 3例2 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠（1）当时，求证：上单调递增；（2）若函数有三个零点，求t 的值； （3）若存在，使得，试求实数的取值范围.例3. 已知函数x a b bx ax x f )()(23-++=（a ，b 是不同时为0的常数）,其导函数为。
（1） 当时，若存在，使得>0成立，求的取值范围； （2） 求证：函数在（-1,0）内至少存在一个零点：（3） 若函数为奇函数，且在=1处的切线垂直于，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围。
三、能力提升1.若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 .2.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 .3.若曲线的切线与直线平行，则该切线的方程为 .4.如图，等腰梯形的三边分别与函数212([2,2])2y x x =-+∈-的图像切于点，求梯形面积的最小值.ABCD xy四、当堂训练1.若则当取得最大值时, x = .2.已知函数，（1）求函数的单调增区间；（2）若函数在定义域R内单调递增，求的取值范围。
3. 已知函数1()ln(1),0,0.1xf x ax x ax-=++≥>+.（1）若在x=1处取得极值，求a的值；（2）求的单调区间；（3）若的最小值为1，求a的取值范围.2019-2020年高考数学一轮复习第1单元集合与常用逻辑用语作业理基础热身1.设集合P={x|0≤x≤},m=,则下列关系中正确的是()A.m⊆PB.m⊈PC.m∈PD.m∉P2.[xx·玉林、贵港质检]设集合A={x∈Z|x2-2x-3≤0},B={0,1},则∁A B=()A.{-3,-2,-1}B.{-1,2,3}C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1}3.[xx·安庆二模]设集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0},则M∩N=()A.{-3,-2,-1,0}B.{-2,-1,0}C.{-3,-2,-1}D.{-2,-1}4.[xx·长沙雅礼中学月考]设集合M={-1,1},N=x<2,则下列结论中正确的是()A.N⫋MB.M⫋NC.N∩M=⌀D.M∩N=R5.设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若A=B,则x+y= .能力提升6.[xx·广东七校联考]设集合A={0,1},集合B={x|x>a},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≥0D.a≤07.[xx·泉州质检]设集合A={0,1,2},B={x|(x+1)(x-2)<0},则A∩B的元素个数为()A.0B.1C.2D.38.[xx·宜春中学、新余四中联考]已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|-2≤x≤2},则如图K1-1所示的阴影部分所表示的集合为()A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤2或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-1≤x≤2}图K1-19.[xx·锦州一模]集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},则集合M与集合N的关系为()A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N=⌀D.M⊈N且N⊈M10.[xx·衡水中学月考]已知集合Q={x|2x2-5x≤0,x∈N},且PQ,则满足条件的集合P的个数是()A.3B.4C.7D.811.[xx·江西重点中学盟校联考]已知全集U=R,集合A={x|y=lg x},集合B={y|y=+1},那么A∩(∁U B)=()A.⌀B.(0,1]C.(0,1)D.(1,+∞)12.设全集U=R,函数f(x)=lg(|x+1|-1)的定义域为A,集合B={x|cos πx=1},则(∁U A)∩B的元素个数为()A.1B.2C.3D.413.[xx·长沙一中二模]已知集合A=yy=,0≤x≤1,B={y|y=kx+1,x∈A},若A⊆B,则实数k 满足()A.k=-1B.k<-1C.-1≤k≤1D.k≤-114.[xx·重庆八中月考]定义集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A且a-b∈A,则称集合A 为闭集合.给出如下三个结论:①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合B={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.其中正确结论的序号是. 难点突破15.(5分)[xx·衡阳三模]设集合A=(x,y)+=1,B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是()A.4B.3C.2D.116.(5分)用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)·(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值集合是S,则C(S)= ()A.4B.3C.2D.1课时作业(二) 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件基础热身1.[xx·长沙雅礼中学模拟]已知x∈R,则“x<1”是“x2<1”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数3.[xx·北京朝阳区模拟]“x>0,y>0”是“+≥2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.[xx·肇庆一模]设a,b,c∈R,则原命题“若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有()A.0个B.1个C.2个D.4个5.[xx·河北武邑中学四模]设向量a=(x-1,x),b=(x+2,x-4),则“a⊥b”是“x=2”的条件.能力提升6.[xx·永州五中三模]“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0<b<1”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.[xx·临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考] A,B,C三个学生参加了一次考试,A,B 的成绩均为70分,C的成绩为65分.已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格,在下列四个命题中,为p的逆否命题的是 ()A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分C.若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分D.若A,B,C至少有一人及格,则及格分不高于70分8.[xx·辽宁实验中学月考]若a,b,c,d∈R,则“a+d=b+c”是“a,b,c,d依次成等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在△ABC中,命题甲:sin A>sin B>sin C,命题乙:A>B>C,则乙是甲的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.[xx·南昌一中、十中、南铁一中三校联考]下列说法中正确的是()A.若α>β,则sin α>sin βB.命题“∀x>1,x2>1”的否定是“∃x0≤1,≤1”C.命题“若x≤,则≥3”的逆命题是真命题D.“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0,则xy≠0”11.[xx·吉林大学附属中学模拟]已知f(x)是R上的奇函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.[xx·宿州质检]以下4个命题中,真命题的个数是 ()①x+y=0的充要条件是=-1;②已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;③命题p:x≠2或y≠3,命题q:x+y≠5,则p是q的必要不充分条件;④“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题是假命题.A.1B.2C.3D.413.命题“若函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)在其定义域内是减函数,则log a2<0”的逆否命题是.14.已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的条件.难点突破15.(5分)[xx·佛山二模]已知等比数列{a n}的前n项和为S n,则“a1>0”是“S xx>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.(5分)已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆.若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.课时作业(三) 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础热身1.下列语句是“p且q”形式的命题的是 ()A.老师和学生B.9的平方根是3C.矩形的对角线互相平分且相等D.对角线互相平分的四边形是矩形2.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称.则下列说法正确的是()A.p为真B.q为假C.p∧q为假D.p∨q为真3.[xx·衡水六调]已知命题p:∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则p是()A.∃x1,x2∉R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0B.∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0C.∀x1,x2∉R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<04.[xx·哈尔滨九中二模]设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则()A.∀x∈Q,x∈PB.∀x∉Q,x∉PC.∃x0∉Q,x0∈PD.∃x0∈P,x0∉Q5.[xx·兴化一中调研]命题“∀x∈(0,+∞),x2+x+1>0”的否定是. 能力提升6.[xx·河南豫南九校模拟]已知命题p:若△ABC为钝角三角形,则sin A<cos B;命题q:∀x,y ∈R,若x+y≠2,则x≠-1或y≠3.则下列命题为真命题的是 ()A.p∨qB.p∧qC.p∧qD.p∧q7.命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x0∈R,=1-.则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q8.[xx·衡阳十校联考]给定命题p:若a xx>-1,则a>-1,命题q:∀x∈R,x2tan x2>0,则下列命题中为真命题的是()A.p∨qB.p∨qC.p∧qD.p∧q9.[xx·聊城三模]已知函数f(x)在R上单调递增,若∃x0∈R,f(|x0+1|)≤f(log2a-|x0+2|),则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.[4,+∞)C.[8,+∞)D.(0,2]10.已知命题p:∀x∈R,ax2+ax+1>0,命题q:∃x0∈R,-x0+a=0.若p∧q为真命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,4]B.[0,4)C.D.11.[xx·长沙长郡中学月考]已知函数f(x)=e x ln x(x>0),若对任意k∈[-a,a](a>0),存在x0∈,e,使f(x0)=k成立,则实数a的取值范围是()A.(0,]B.[e e,+∞)C.[e,+∞)D.[,e e]12.若“∀x∈-,,m≤tan x+1”为真命题,则实数m的最大值为.13.[xx·河南林州一中调研]已知下列命题:①“∀x∈(0,2),3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2),≤”;②若f(x)=2x-2-x,则∀x∈R,f(-x)=-f(x);③若f(x)=x+,则∃x0∈(0,+∞),f(x0)=1.其中真命题是.(将所有真命题的序号都填上)14.[xx·上饶联考]已知m∈R,命题p:对任意实数x,不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,若p为真命题,则m的取值范围是.难点突破15.(5分)[xx·马鞍山三模]已知命题p:函数f(x)=是奇函数,命题q:函数g(x)=x3-x2在区间(0,+∞)上单调递增.则下列命题中为真命题的是()A.p∨qB.p∧qC.p∧qD.p∨q16.(5分)[xx·洛阳二模]已知p:∀x∈,,2x<m(x2+1),q:函数f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点.若“p且q”为真命题,则实数m的取值范围是.数学(理科) RJA课时作业(一)1.D[解析] P=[0,],m=>,故选D.2.B[解析] 由题可知A={-1,0,1,2,3},则∁A B={-1,2,3}.故选B.3.D[解析] 因为集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0}={x|-3<x<0},所以M∩N={-2,-1}.4.B[解析] 由题意得,集合N=x<2=xx<0或x>,所以MN.故选B.5.0[解析] 由A=B且0∈B,得0∈A.若x=0,则集合B中的元素不满足互异性,∴x≠0,同理y≠0,∴或解得或∴x+y=0.6.B[解析] ∵A∩B=⌀,∴a≥1,故选B.7.C[解析] 因为B={x|-1<x<2},所以A∩B={0,1},即A∩B的元素个数为2,选C.8.D[解析] 阴影部分所表示的集合为B∩(∁U A),∵A={x|x2-3x-4>0}={x|x<-1或x>4},U=R,∴∁U A={x|-1≤x≤4},又∵B={x|-2≤x≤2},∴B∩(∁U A)={x|-1≤x≤2}.9.D[解析] 由题知,1∈M,1∉N;0∈N,0∉M;3∈M,3∈N.∴M⊈N且N⊈M.10.C[解析] ∵集合Q={x|2x2-5x≤0,x∈N},∴Q={0,1,2},共有3个元素.∵PQ,又集合Q 的真子集的个数为23-1=7,∴集合P的个数为7.11.C[解析] A={x|x>0},B={y|y≥1},那么A∩(∁U B)=(0,1),故选C.12.B[解析] 由|x+1|-1>0,得|x+1|>1,即x<-2或x>0,∴A={x|x<-2或x>0},则∁U A={x|-2≤x≤0};由cos πx=1,得πx=2kπ,k∈Z,∴x=2k,k∈Z,则B={x|x=2k,k∈Z}.∴(∁U A)∩B={x|-2≤x≤0}∩{x|x=2k,k∈Z}={-2,0},∴(∁U A)∩B的元素个数为2.13.D[解析] ∵A={y|y=,0≤x≤1}={y|0≤y≤1},∴B={y|y=kx+1,x∈A}={y|y=kx+1,0≤x ≤1},又∵A⊆B,∴或解得k≤-1.∴实数k的取值范围为k≤-1.14.②[解析] ①中,-4+(-2)=-6不属于A,所以①不正确;②中,设n1,n2∈B,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈B,n1-n2∈B,所以②正确;对于③,令A1={n|n=5k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.15.A[解析] ∵A对应椭圆+=1上的点集,B对应指数函数y=3x图像上的点集,画出椭圆和指数函数的图像(图略)可知,两个图像有两个不同交点,故A∩B有2个元素,其子集个数为22=4.故选A.16.B[解析] 因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1或C(B)=3.由x2+ax=0得x1=0,x2=-a,当a=0时,B={0},C(B)=1,满足题设.当a≠0时,对x2+ax+2=0,当Δ=0时,a=±2,此时C(B)=3,符合题意;当Δ>0时,a<-2或a>2,此时必有C(B)=4,不符合题意;当Δ<0时,-2≤a<0或0<a≤2,此时C(B)=2,不符合题意.所以S={0,-2,2},故选B.课时作业(二)1.B[解析] 若x2<1,则(x+1)(x-1)<0,∴-1<x<1,∵(-∞,1)⊇(-1,1),∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件.故选B.2.B[解析] 对于一个命题的否命题,就是把命题的条件与结论分别否定,故原命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.故选B.3.A[解析] 当x>0,y>0时,由基本不等式得+≥2成立.当+≥2时,只需要xy>0,不能推出x>0,y>0.所以是充分不必要条件,故选A.4.C[解析] 对于原命题,若c=0,则ac2=bc2,故原命题为假,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;对于逆命题,∵ac2>bc2,∴c2>0,由不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真.∴有2个真命题.5.必要不充分[解析] 若a⊥b,则a·b=(x-1,x)·(x+2,x-4)=(x-1)(x+2)+x(x-4)=2x2-3x-2=0,解得x=2或x=-;若x=2,则a·b=0,即“a⊥b”.所以“a⊥b”是“x=2”的必要不充分条件.6.B[解析] 若直线y=x+b与圆x2+y2=1相交,则<1,∴-<b<,不一定有0<b<1;当0<b<1时,直线y=x+b上的点(0,b)在圆内,∴直线y=x+b与圆x2+y2=1相交.故选B.7.C[解析] 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题p的逆否命题是:若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分.8.B[解析] 若a,b,c,d依次成等差数列,则有a+d=b+c;反之,如2+3=1+4,但2,1,4,3不成等差数列.所以“a+d=b+c”是“a,b,c,d依次成等差数列”的必要不充分条件.9.C[解析] 由三角形边角关系有A>B>C⇔a>b>c,由正弦定理有a>b>c⇔2R sin A>2R sinB>2R sin C⇔sin A>sin B>sin C(其中2R是△ABC的外接圆直径),所以sin A>sin B>sin C ⇔A>B>C,选C.10.C[解析] 若α=120°,β=60°,则α>β,sin α=sin β,故A错误;命题“∀x>1,x2>1”的否定是“∃x0>1,≤1”,故B错误;命题“若x≤,则≥3”的逆命题是“若≥3,则x≤”,解≥3得1<x≤,此时满足x≤,故C正确;“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0,则xy≠0”,故D错误.11.A[解析] ∵函数f(x)是奇函数,∴若x1+x2=0,则x1=-x2,则f(x1)=f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)=0成立,即充分性成立;若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时,满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0,但x1+x2=4≠0,即必要性不成立.故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件.12.B[解析] 对于①,“x+y=0的充要条件是=-1”是假命题,比如y=0时,不成立,因此不正确;对于②,其中满足条件的两直线m,n也可以平行,因此不正确;对于③,从等价命题的角度考虑,因为“若x=2且y=3,则x+y=5”是真命题,“若x+y=5,则x=2且y=3”是假命题,所以p⇒q,qp,即q⇒p,pq,故③正确;对于④,原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,而a=2,b=-2满足a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故④正确.所以选B.13.若log a2≥0(a>0且a≠1),则函数f(x)=log a x在其定义域内不是减函数[解析] “若函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)在其定义域内是减函数,则log a2<0”的条件的否定是“在定义域内不是减函数”,结论的否定是log a2≥0.14.充分不必要[解析] 因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β,所以若sin α+sin β<,则有sin(α+β)<,故充分性成立;当α=β=时,有sin(α+β)=sin π=0<,而sin α+sin β=1+1=2,不满足sin α+sin β<,故必要性不成立.所以“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的充分不必要条件.15.C[解析] 若公比q=1,则a1>0⇔S xx>0;若q≠1,则S xx=,∵1-q与1-q xx符号相同,∴a1与S xx的符号相同,则a1>0⇔S xx>0.∴“a1>0”是“S xx>0”的充分必要条件,故选C.16. [解析] 由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是,.课时作业(三)1.C[解析] 根据逻辑联结词“且”的含义,可知C符合.A不是命题,B,D不是“p且q”形式.2.C[解析] 易知命题p和命题q均为假命题,只有选项C正确.3.B[解析] 根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知p:∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0.4.B[解析] ∵P∩Q=P,∴P⊆Q,由图可知A错误,B正确,C错误,D错误.故选B.5.∃x0∈(0,+∞),+x0+1≤0[解析] 命题“∀x∈(0,+∞),x2+x+1>0”的否定是“∃x0∈(0,+∞),+x0+1≤0”.6.B[解析] 对于命题p,若△ABC为钝角三角形,则当B为钝角时,cos B<0<sin A,不等式sin A<cos B不成立,即命题p是假命题,故命题p是真命题;对于命题q“若x+y≠2,则x≠-1或y≠3”,其逆否命题为“若x=-1且y=3,则x+y=2”,为真命题,所以命题q是真命题.所以依据复合命题的真假判别法可知命题p∧q是真命题,应选B.7.B[解析] 若x=0,则20=30=1,∴p是假命题.∵方程x3=1-x2有解,∴q是真命题,∴p∧q是真命题.8.A[解析] 对于命题p,幂函数y=a xx在R上单调递增,因此若a xx>-1,则a>-1,故p是真命题.对于命题q,取x=,则x2tan x2=tan=-<0,因此命题q是假命题.则B,C,D都为假命题,只有A是真命题.故选A.9.A[解析] ∵函数f(x)在R上单调递增,∴∃x0∈R,f(|x0+1|)≤f(log2a-|x0+2|),等价为∃x0∈R,|x0+1|≤log2a-|x0+2|成立,即|x+1|+|x+2|≤log2a有解,∵|x+1|+|x+2|≥|x+2-x-1|=1,∴log2a≥1,即a≥2.10.D[解析] 当a=0时,命题p为真;当a≠0时,若命题p为真,则a>0且Δ=a2-4a<0,即0<a<4.故命题p为真时,0≤a<4.命题q为真时,Δ=1-4a≥0,即a≤.命题p∧q为真命题时,p,q均为真命题,则实数a的取值范围是0,.11.A[解析] f'(x)=e x ln x+,令g(x)=ln x+,则g'(x)=-=,∴当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,∴g(x)在,1上单调递减,在(1,e)上单调递增,∴g(x)≥g(1)=1,∴f'(x)>0,∴f(x)在,e上单调递增,∴x0∈,e时,f(x0)∈[-,e e],因此[-,e e]⊇[-a,a]⇒0<a≤.选B.12.0[解析] 令f(x)=tan x+1,则函数f(x)在-,上为增函数,故f(x)的最小值为f=0,∵∀x ∈-,,m≤tan x+1,故m≤(tan x+1)min,∴m≤0,故实数m的最大值为0.13.①②[解析] 对于①,命题“∀x∈(0,2),3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2),≤”,故①为真命题;对于②,若f(x)=2x-2-x,则∀x∈R,f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),故②为真命题;对于③,对于函数f(x)=x+,当且仅当x=0时,f(x)=1,故③为假命题.故答案为①②.14.m<1或m>2[解析] 若对任意x∈R,不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立,则[(x-1)2-2]min≥m2-3m,即m2-3m≤-2,解得1≤m≤2,∵p为真命题,∴m<1或m>2.15.A[解析] f(-x)===-f(x),故f(x)是奇函数,命题p是真命题;对g(x)=x3-x2,x∈(0,+∞),g'(x)=3x2-2x=x(3x-2),令g'(x)>0,解得x>,令g'(x)<0,解得0<x<,故g(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,故命题q是假命题.故p∨q是真命题,p∧q是假命题,p∧q是假命题,p∨q是假命题,故选A.16. [解析] 由“p且q”为真命题知p真q真.由题意得,p:∀x∈,,2x<m(x2+1),即m>=在,上恒成立,当x=时,x+取得最小值,此时取得最大值,最大值为,所以m>;设t=2x,则t∈(0,+∞),则原函数化为g(t)=t2+2t+m-1,由题知g(t)在(0,+∞)上存在零点,令g(t)=0,得m=-(t+1)2+2,又t>0,所以m<1.所以实数m的取值范围是<m<1.。