取对数思想 专题

取对数思想的研究【课本溯源】已知c b a ,,均为不等于1的正数，且1≠ab ，求证：a bc cb a log log =【问题提出】问题1：设a 为正实数，a a k lg =，则k 的取值范围是_________ 问题2：实数,x y 满足2238,49x xy y ≤≤≤≤，则34x y的最大值是解：取常用对数，得不等式组⎩⎨⎧≤-≤≤+≤9lg lg lg 24lg 8lg lg 2lg 3lg y y y x ，求y x lg 4lg 3-的取值范围（两种方法：二元一次不等式组线性规划问题；待定系数法） 求得y x lg 4lg 3-的取值范围是[]27lg ,2lg ，所以43y x 的最大值为27【拓展探究】探究1：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若11a ≥，22a ≤，33a ≥，则4a 的取值范围是 .⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,29探究2：设10<<<b a ，比较b a 和a b 的大小.变式1：（1）已知b a ,为实数，且b a e <<，其中e 是自然对数的底数，证明b a >a b ；（2）如果正实数b a ,满足b a =a b ，且1<a ，证明：b a =变化2：已知函数ln ().xy f x x==（1）求函数()y f x =的图象在1x e=处的切线方程；（2）求()y f x =的最大值；（3）比较20122011与20112012的大小，并说明为什么？ 变式3：（2020年）已知函数ln ()x f x x=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0,a >求函数()f x 在[]2,4a a 上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a 、()b a b <，使b a a b =，试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a 的取值范围（不需要解答过程）．（4）设函数()x g x e ax =-，其中a 为实数. 若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求a x f =)(的零点个数（直接写出结论，无需写出过程）. ea x x a 1,ln ≤=变式4：已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围； （3）比较23420113452012⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯与34520122342011⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯的大小，并说明理由．变式5：数列{}n b 满足112b =，112(2,*)n nb n n N b -+=≥∈．（1）求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）设n n x b =，1n n y b +=，比较x x 与y y 的大小．拓展1： 已知实数16a ≤≤,函数21()x a M x e -+=,1()x a N x e -+=,且()()()()()22M x N x M x N x f x +-=-在区间[]1,6上的最小值为e ，则实数a 的取值范围是___________. []4,6拓展2：若()113x p f x -=，232)(2p x x f -⋅=，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （1）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）； （2）设,a b 为两实数，a b <且12,p p ∈(),a b ,若()()f a f b =.求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -） 可通过取对数运算，将问题转化为两个绝对值函数问题 （变型）若11)(p x x g -=，2log )(322+-=p x x g ，12,,x R p p ∈为常数，且⎩⎨⎧>≤=)()(),()()(),()(212211x g x g x g x g x g x g x g（1）求)()(1x g x g =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）；（2）设,a b 为两实数，a b <且12,p p ∈(),a b ,若)()(b g a g =.求证：)(x g 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a -（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）拓展3：已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. （1）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.(1) 因为对任意x ∈R ，都有()()()e ee e x xx x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是R 上的偶函数.(2) 解法一（官方解答）：由条件知()()e e 1e 10,xx x m --+-≤-+∞在上恒成立.令e (0)xt x =>，则1t >，所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对于任意1t >成立. 因为111131t t -++≥=-，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当2t =，即ln2x =时等号成立.因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.解法二：考虑不等式两边同乘xe ，则不等式转化为2[(e )1]1(1)e x xm m +≤+-在(0,)+∞上恒成立.令e(1)xt t =>，则问题可简化为：2(1)10mt m t m +-+-≤在()1,t ∈+∞上恒成立.构造函数2()(1)1g t mtm t m =+-+-，由图象易得当0m ≥时不符合题意.当0m <时，11,2(1)0.m m g -⎧≤⎪⎨⎪<⎩或11,21()0.2m m m g m-⎧≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得13m ≤-.综上可知，实数m 的取值范围为1(,]3-∞-. （江苏苏州 陈海锋）(3) 令函数()()31e 3e xx g x a x x =+--+，则()()21e 31exxg x a x '=-+-. 当1x ≥时，1e0exx ->，210x -≥，又0a >，故()0g x '>， 所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数， 因此()g x 在[)1,+∞上的最小值是()11e e 2g a -=+-.由于存在[)01,x ∈+∞，使00300ee (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值()10g <，故1e e 20a -+-<，即1e e 2a -+>.令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()e 11h x x-'=-，令()0h x '=，得e 1x =-. 当()0,e 1x ∈-时，()0h x '<，故()h x 是()0,e 1-上的单调减函数. 当()e 1,x ∈-+∞时，()0h x '>，故()h x 是()e 1,-+∞上的单调增函数. 所以()h x 在()0,+∞上的最小值时()e 1h -.注意到()()1e 0h h ==，所以当()()1,e 10,e 1x ∈-⊆-时，()()()e 110h h x h -≤<=. 当()()e 1,e e 1,x ∈-⊆-+∞时，()()e 0h x h <=，所以()0h x <对任意的()1,e x ∈成立.①当()1e e ,e 1,e 2a -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时，()0h a <，即()1e 1ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当e a =时，1e 1ea a --=；③当()e,(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，()()e 0h a h >=，即()1e 1ln a a ->-，故1e 1ea a -->.综上所述，当1e e ,e 2a -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<，当e a =时，1e 1e a a --=，当()e,a ∈+∞时，1e 1ea a -->.(3)的民间思路：难题分解1：如何根据条件求出参数a 的取值范围？ 分解路径1：直接求函数的最值. 解：令300()()(3)g x f x a xx =--+，只要在0[1,)x ∈+∞上，0min ()0g x <即可.002200()1'()3(1)x x e g x a x e-=+-. 当01x=时，0'()0g x =.； 当01x>时，2010x ->，02()10x e ->，则0'()0g x >.故在区间[1,)+∞上，0'()0g x ≥，即函数0()g x 为[1,)+∞的增函数，则1min 0()(1)20g x g e e a -==+-<，解得12e e a -+>.（江苏苏州 何睦）分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则0x ⎡∈⎣，此时3030xx -+>，则0300()3f x a x x >-+，构造函数00300()()3f x g x x x =-+，即求此函数在0x⎡∈⎣上的最小值.0003200003200()(3)()(33)()(3)o x x x x e e x x e e x g x x x ----+-+-+'=-+.因为0x ⎡∈⎣，0000320000,30,0,330x x x x ee x x e e x --->-+>+>-+<，则000032000()(3)()(33)0x x x x ee x x e e x ----+-+-+>.则0()0g x'>在0x ⎡∈⎣上恒成立，故10min()(1)2e e g x g -+==， 故12e e a -+>（江苏苏州 何睦）难题分解2：如何根据求得的参数a 的取值范围比较1e -a 与1e -a 的大小？分解路径1：（取对数）1-a e 与1-e a 均为正数，同取自然底数的对数， 即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，即比较ln 1e e -与ln 1a a -的大小.构造函数ln ()(1)1x h x x x =>-，则211ln ()(1)x x h x x --'=-，再设1()1ln m x x x=--，21()x m x x -'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1x h x x =-在(1,)+∞上单调递减.当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当a e >时，11e a ae --<.（江苏苏州 何睦）分解路径2：（变同底，构造函数比大小） 要比较1e a -与e 1a -的大小，由于e 1(1)ln e aae--=，那么1[(1)ln (1)]1e e a a a a e e-----=，故只要比较1a -与(1)ln e a -的大小. 令()(1)ln (1)h x e x x =---，那么1'()1e h x x-=-.当1x e >-时，'()0h x <；当01x e <<-时，'()0h x >.所以在区间(0,1)e -上，()h x 为增函数；在区间(1,)e -+∞上，()h x 为减函数.又()0h e =，(1)0h =，则(1)0h e ->，1()02e e h -+>；那么当12e e a e -+<<时，()0h a >，()1h a e >，11e a a e -->；a e >当a e ≥时，()0h a ≤，()01h a e<≤，11e a a e --≤.综上所述，当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当时，11e a ae --<. （江苏苏州 王耀）【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.拓展4：已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．（陈永高，2001） （1）证明：i n i i m i P m P n <；（2）证明：(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ．证明：（1）对于1＜i ≤m 有i m p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…m i m 1+-⋅，同理 ⋅-⋅=n n n n n p iin 1…ni n 1+-⋅， 由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm nkn ->-，所以i i mi i n mp n p >，即im i i n i p n p m >．（概率模型解释？）（2） 取对数，求导【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。