高一数学必修二-第二章复习

b

b
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线在此平面内。 作用:判定直线是否在平面内．
公理2
推论1 推论2 推论3 公理3
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平 面． 作用：确定平面的主要依据．
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有 一个平面。 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线．
β
a
α
a
l
A
例1. b , a b , a a / /
1.异面直线所成角：范围
求异面直线所成的角的步骤是:
(0，90]
一作(找)：作（或找）平行线； 二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角； 三求：在一恰当的三角形中求出角。
2. 直线与平面所成角：范围
Ｐ
[0，90]
① 若 a⊥b, b⊥c, 则 a//c; ② 若 a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a, c 也是异面直线; ③ 若 a 和 b 相交, b 和 c 相交, 则 a 和 c 也相交; ④ 若 a 和 b 共面, b 和 c 共面, 则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是 0 个 . D1 C1 a ①反例如图. b A1 B1 ②反例如图. b c ③反例如图.
a / /b
线面平行）；
b
a

如图, 点 P, Q, R, S 分别在正方体的四条棱上, 并且是所在棱的中点, 则直线 PQ 与 RS 是异面直线 的图是 ( C )
P
Q R S R S P
R
Q R S Q P S
P
Q
(A) 平行
(B) 平行
(C) 异面
(D) 相交
3. 直线与平面平行的性质定理：线面平行 β
作用:(1)判断两个平面相交的依据; (2)判断点在直线上。
1.异面直线: 证明异面直线时常用反证法。
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
2.判断直线与平面平行的方法： （1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； （2）判定定理：（线线平行 a b a / /
有一个公共点: 相交直线
无 公 共 点 平行直线
异面直线
4、直线与平面的位置关系
直线a在平面内
有无数个公共点

a a
a α
a α A
直线a 与平面α相交
有且只有一个公共点
A
直线a与平面α平行
没有公共点
a

a //α
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
5、两个平面的位置关系
α
8. 判断平面与平面垂直的方法： （1）定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角。 （2）判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直
ab a 面
β
b
α
a A
8. 平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直线面垂直
b b l ab al
分析: 如图, (A) AC 与 CE 相交, 排除.
A1 D1 E B1 C B C1
(B) 直观 BD 可能垂直 CE.
∵BD⊥AC, 且 BD⊥CC1, D 则 BD⊥平面 ACC1A1, A 而 CE平面 ACC1A1, ∴BD⊥CE.
7. 直线与平面垂直的性质：
β
a b
a a / /b b
本章内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
一、平面的特点：
（1）“平”；（2）“无限延展”； （3）“无厚薄”
二：平面的表示
D 记作：平面 平面 ABCD 平面AC或平面BD A

C B
三、空间中几种位置关系
1、点与直线的位置关系
位置关系
公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交
有一条公共直线
α∩β=a
1. 三个平面可将空间分成几部分? 你能画出它 们的直观图吗? 答: 三个平面可将空间分成 4个、或 6个、或 7个、 或 8个部分. 4部分 6部分 7部分 8部分
b g g b g
g

（1）点A在直线l上： （2）点A在直线l外：
Al
Al
记作：
2、点与平面的位置关系
点A在平面 内： 记作 A ． 点B在平面 外： 记作B ．
3、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 平行直线
按平面基本性质分
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
b
b
P
a

5. 平面与平面平行的性质： ⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线 都与另一个平面平行. / / b , a a a / / b
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它 们的交线平行. / / b , g a, b g b a / /b
b b a / /b a / / a
线线平行 a b
α
4. 判断平面与平面平行的方法： 关键是找平行线
法一:三角形的中位线定理； 法二:平行四边形的平行关系。
（1）定义法：平面与平面没有公共点则面面平行；
（2）判定定理：线线平行线面平行面面平行
a b ,b b ab P // b a // , b //
④反例如图.
D
c
B
C
A
如图, 过点 S 引三条不共面的直线 SA, SB, SC, 其中∠BSC90, ∠ASC∠ASB60, 且 SASBSCa. 求证: 平面 ABC⊥平面 BSC. A 证明: ∵∠ASC∠ASB60, SASBSCa. B S ∴△ASC≌△ASB, ABAC. E 取 BC 的中点 E, 则 AE⊥BC. ① C 在等腰直角△BSC 中, 斜边中线 SECE. 在等边三角形 ASC中, ACAS. ∴△AES≌△AEC. 得∠AES∠AEC, 即 AE⊥ES. ② 由①②知AE⊥平面 BSC. ∵AE平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 BSC.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么 它也和另一个平面相交. / / b , a A a b B ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等。
g
b

b
a
b
a

6. 直线与平面垂直的方法：
（1）定义法：直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直。
（2）判定定理：线线垂直线面垂直
a l b a b A
la l b
l
b

A
a
(3)例 1.a / /b, a b
在正体 ABCD-A1B1C1D1 中, 若 E 是 A1C1 的 中点, 则直线 CE 垂直于 ( B ) (A) AC (B) BD (C) A1D (D) A1D1

Ａ Ｏ
注：已知角，要求角， 关键找射影。
3.l
β
B
∠AOB即为二面 角α-l-β的平面角。
O
七、补充： 公理４：
等角定理：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补．
设 a, b, c 是空间的三条直线, 下面给出四个命 题: