2019中考数学专题复习 方案设计问题
初中数学中考指导二轮复习锦囊专题九方案设计型问题
专题九方案设计型问题一、中考专题讲解方案设计型问题，方案设计型问题是设置一个实责问题的情况，给出若干信息，提出解决问题的要求，追求合适的解决方案，有时还给出几个不相同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要观察学生的着手操作能力和实践能力．随着新课程改革的不断深入，一些奇特、灵便、亲近联系本质的方案设计问题正越来越碰到中考命题人员的喜爱，这些问题主要观察学生着手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的中心内容之一。
二、解题策略和解法精讲方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车分派、图形拼接等。
所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。
这类问题的应用性特别突出，题目一般较长，做题从前要仔细读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，经过数学求解，最后解决问题。
解答此类问题必定拥有扎实的基础知识和灵便运用知识的能力，别的，解题时还要侧重综合运用转变思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类谈论等各种数学思想。
三、中考考点精讲考点一：设计测量方案问题这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。
所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
例 1 （2014? 浙江宁波，第26 题 14 分）木匠黄师傅用长AB=3，宽 BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、 O2分别在 CD、 AB上，半径分别是O1C、 O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，合适平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）经过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（ 0＜x＜ 1），圆的半径为y．①求 y 关于 x 的函数解析式；②当 x 取何值时圆的半径最大，最大多数径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．考点：圆的综合题解析：（ 1）观察图易知，截圆的直径需不高出长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是老例的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比率等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，此后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E 为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比率整理方程，进而可求 r 的值．（3）①近似（ 1）截圆的直径需不高出长方形长、宽中最短的边，诚然方案四中新拼的图象不用然为矩形，但直径也不得高出横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为 x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+ x，则需要先判断大小，此后分别谈论结论．②已相关系表达式，则直接依照不等式性质易得方案四中的最大多数径．另与前三方案比较，即得最后结论．解答：（ 1）方案一中的最大多数径为1．解析以下：因为长方形的长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）如图 1，方案二中连接O1， O2，过 O1作 O1E⊥ AB于 E，方案三中，过点O分别作 AB， BF的垂线，交于M， N，此时 M， N恰为⊙ O与 AB， BF的切点．方案二：设半径为r ，在 Rt△ O1O2E 中，∵O1O2=2r ， O1E=BC=2， O2E=AB﹣ AO1﹣ CO2=3﹣2r ，∴（ 2r）2=22 +（ 3﹣ 2r）2，解得 r =．新 _课 _标第 _一 _网方案三：设半径为r ，在△ AOM和△ OFN中，，∴△ AOM∽△ OFN，∴，∴，解得 r =．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵ EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为 2+x．近似（ 1），所截出圆的直径最大为3﹣x或 2+x较小的．1．当 3﹣ x＜2+x 时，即当 x＞时， r =（3﹣ x）；2．当 3﹣ =2+时，即当=时，r =（ 3﹣） =；x x x3．当 3﹣ x＞ 2+x 时，即当x＜时， r =（2+x）．②当 x＞时， r =（3﹣ x）＜（3﹣）=；当 x=时， r =（3﹣）=；当 x＜时， r =（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当 x=时， r 最大为．∵ 1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．谈论：此题观察了圆的基本性质及经过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质谈论等内容，题目虽看似奇特不易找到思路，但仔细观察每一小问都是老例的基础考点，所以整体来说是一道质量很高的题目，值得仔细练习．对应训练1．（2014?济宁，第 20 题 8 分）在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长度的圆形纸板，要求同学们：（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意采纳作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；（2）设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．名称四均分圆的面积方案方案一方案二方案三采纳的工具带刻度的三角板画出表示图简述设计方案作⊙ O两条互相垂直的直径AB、 CD，将⊙ O的面积分成相等的四份．指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．解析：依照圆的面积公式以及轴对称图形和中心对称图形定义分别解析得出即可．解答：名称四均分圆的面积方案方案一方案方案二三采纳的工具带刻度的三角板带刻带刻度三度三角板、角板、量角圆规．器、圆规．画出表示图简述设计方作⊙ O两条互相垂直的直径AB、 CD，将⊙ O的面积分成相等的四份．（1）（ 4）案以点作⊙OO为的一圆心，条直以 3径个单AB；位长（ 5）度为分别半径以作圆；OA、OB（2）的中在大点为⊙O圆心，上依以3次取个单三等位长分点度为A、B、半径C；作⊙（3）O1、⊙连接 O2；OA、则⊙OB、 O1、⊙O C． O2和则小⊙O圆O 中剩与三余的等份两部圆环分把把⊙ O⊙O的面的面积四积四均分．均分．指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形．轴对既是称图轴对形称图形又是中心对称图形．谈论：此题主要观察了利用轴对称设计图案以及轴对称图形以及中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题要点．考点二：设计搭配方案问题这类问题不但在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。
中考数学专题复习《设计方案》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《设计方案》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一选择题1．（2023九上·菏泽月考）在数学活动课上老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形下面是一个学习小组拟定的方案其中正确的方案是（）A．测量四边形的三个角是否为直角B．测量四边形的两组对边是否相等C．测量四边形的对角线是否互相平分D．测量四边形的其中一组邻边是否相等2．（2023九上·安徽期中）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜班长买回来10米长的围栏准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园为了让菜园面积尽可能大同学们提出了围成矩形等腰直角三角形（两直角边靠墙）扇形这三种方案如图所示．最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案1或方案2D．方案33．（2022·自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜班长买回来8米长的围栏准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园为了让菜园面积尽可能大同学们提出了围成矩形等腰三角形（底边靠墙）半圆形这三种方案最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案24．（2023·衡水模拟）要得知某一池塘两端A B的距离发现其无法直接测量两同学提供了如下间接测量方案．方案Ⅰ：如图1 先过点B作BF⊥AB再在BF上取C D两点使BC=CD接着过点D作BD的垂线DE交AC的延长线于点E 则测量DE的长即可方案Ⅱ：如图2 过点B作BD⊥AB再由点D观测用测角仪在AB的延长线上取一点C 使∠BDC=∠BDA则测量BC的长即可．对于方案ⅠⅡ说法正确的是（）A．只有方案Ⅰ可行B．只有方案Ⅱ可行C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行5．（2023·北京市模拟）某产品的盈利额（即产品的销售价格与固定成本之差）记为y 购买人数记为x 其函数图象如图1所示．由于日前该产品盈利未达到预期相关人员提出了两种调整方案图2 图3中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法其中正确说法的序号是（）①图2对应的方案是：保持销售价格不变并降低成本②图2对应的方案是：提高销售价格并提高成本③图3对应的方案是：提高销售价格并降低成本④图3对应的方案是：提高销售价格并保持成本不变A．①③B．②③C．①④D．②④二填空题6．（2022·瓯海模拟）小芳和小林为了研究图中“跑到画板外面去的两直线a b所成的角（锐角）”问题设计出如下两个方案：小林的方案小芳的方案测αβ的度数．测∠1 ∠ACB的度数．已知小林测得∠β＝115°小芳作了AB＝BC 并测得∠1＝80°则直线a b所成的角为．7．（2023九上·港南期中）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟给它们做上标记后放回山林一段时间后再从山林中随机捕捉80只其中有标记的雀鸟有2只请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量为只．8．（2021·东城模拟）数学课上李老师提出如下问题：已知：如图AB是⊙O的直径射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了如下四种方案：①如图1 连接BC作BC的垂直平分线交⊙O于点D．②如图2 过点O作AC的平行线交⊙O于点D．③如图3 作∠BAC的平分线交⊙O于点D．④如图4 在射线AC上截取AE使AE=AB连接BE交⊙O于点D．上述四种方案中正确的方案的序号是．9．（2022·房山模拟）为确定传染病的感染者医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次）如果检测结果是阴性可确定这些人都未感染 如果检测结果是阳性 可确实其中感染者 则将这些人平均分成两组 每组2m−1个人的样本混合在一起做第2轮检测 每组检测1次．依此类推：每轮检测后 排除结果为阴性的组 而将每个结果为阳性的组再平均分成两组 做下轮检测 直至确定所有的感染者． 例如 当待检测的总人数为8 且标记为“x ”的人是唯一感染者时 “二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出 需要经过4轮共n 次检测后 才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）n 的值为（2）若待检测的总人数为8 采用“二分检测方案” 经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者 写出感染者人数的所有可能值三 实践探究题10．（2024·镇海区月考）根据以下素材 探索完成任务．如何确定木板分配方案？素材1我校开展爱心义卖活动 小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板 每块木板长和宽分别为80cm 40cm.素材2现将部分木板按图1虚线裁剪 剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒 使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料） 给部分盒子配上盖子．素材3义卖时的售价如标签所示：问题解决任计算盒子高度求出长方体收纳盒的高度．务1 任务2 确定分配方案1若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒 但不到无盖收纳盒个数的2倍 木板该如何分配？请给出分配方案．任务3确定分配方案2为了提高利润 小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来 一张矩形余料可以制成一把小木剑 并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案 使销售后获得最大利润．11．（2023九上·鹿城月考）某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为25.2m ）和48m 长的篱笆墙围成Ⅰ Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外 实线部分为篱笆墙 且不浪费篱笆墙） 请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图① 全部利用围墙的长度 但要在Ⅰ区中留一个宽度AE =2m 的矩形水池 且需保证总种植面积为185.52m 2 试确定CG 的长（2）方案二：如图② 使围成的两块矩形总种植面积最大 请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？（3）方案三：如图③ 在图中所示三处位置各留1m 宽的门 且使围成的两块矩形总种植面积最大 请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？12．【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计 一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案 然后动手制作 再结合实际进行调试 请完成下列方案设计中的任务. 【知识背景】如图 称重物时 移动秤砣可使杆秤平衡 根据杠杆原理推导得：(m 0+m)⋅l =M ⋅(a +y).其中秤盘质量m 0克 重物质量m 克 秤砣质量M 克 秤纽与秤盘的水平距离为l 厘米 科纽与零刻线的水平距离为a 厘米 秤砣与零刻线的水平距离为y 厘米. 【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定m0=10，M=50最大可称重物质量为1000克零刻线与末刻线的距离定为50厘米.（1）当秤盘不放重物秤砣在零刻线时杆秤平衡请列出关于l a的方程（2）当秤盘放入质量为1000克的重物秤砣从零刻度线移至末刻线时杠杆平衡请列出关于l a的方程（3）根据(1)和(2)所列方程求出l和a的值（4）根据（1）-（3）求y关于m的函数解析式（5）从零刻线开始每隔100克在科杆上找到对应刻线请写出相邻刻线间的距离. 13．（2023九上·长清期中）某校项目式学习小组开展项目活动过程如下：项目主题：测量旗杆高度问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？组内探究：由于旗杆较高需要借助一些工具来测量比如自制的直角三角形硬纸板标杆镜子甚至还可以利用无人机…确定方法后先画出测量示意图然后实地进行测量并得到具体数据从而计算旗杆的高度．成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：方案一方案二…测量标杆皮尺自制直角三角板硬纸板皮尺…工具测量示意图说明：线段AB 表示学校旗杆 小明的眼睛到地面的距离CD ＝1.7m 测点F 与B D 在同一水平直线上 D F B 之间的距离都可以直接测得 且A B C D E F 都在同一竖直平面内 点A C E 三点在同一直线上．说明：线段AB 表示旗杆 小明的身高CD ＝1.7m 测点D 与B 在同一水平直线上 D B 之间的距离可以直接测得 且A B CD E F G 都在同一竖直平面内 点A C E 三点在同一直线上 点C F G 三点在同一直线上．测量数据B D 之间的距离 16.8m B D 之间的距离 16.8m … D F 之间的距离 1.35mEF 的长度0.50m…EF 的长度2.60mCE 的长度0.75m… … …根据上述方案及数据 请你选择一个方案 求出学校旗杆AB 的高度．（结果精确到0.1m ）14．（2024九上·杭州月考）根据以下素材 探索完成任务．如何设计喷泉喷头的升降方案？素材1如图 有一个可垂直升降的喷泉 喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x 米 到湖面的垂直高度为y 米．当喷头位于起始位置时 测量得x 与y 的四组数据如下： x （米） 0 2 3 4 y （米）121.751素材2公园想设立新的游玩项目 通过升降喷头 使游船能从水柱下方通过 如图 为避免游船被喷泉淋到 要求游船从水柱下方中间通过时 顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米 顶棚到湖面的高度为2米．问题解决 任务确定喷泉形状 结合素材1 求y 关于x 的表达式．1任务2探究喷头升降方案为使游船按素材2要求顺利通过求喷头距离湖面高度的最小值．15．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．设计货船通过圆形拱桥的方案素材1图1中有一座圆拱石桥图2是其圆形桥拱的示意图测得水面宽AB=16m 拱顶离水面的距离CD=4m．素材2如图3 一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH 测得EF=3m EH=10m．因水深足够货船可以根据需要运载货物．据调查船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y=1100x．问题解决任务1确定桥拱半径求圆形桥拱的半径．任务2拟定设计方案根据图3状态货船能否通过圆形桥拱？若能 最多还能卸载多少吨货物？若不能 至少要增加多少吨货物才能通过？16．（2024九下·宁波月考）根据以下素材 探索完成任务．如何确定拍照打卡板素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1） 图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形 由长方形DEFG 和等腰三角形ABC 组成 且点B F G C 四点共线．其中 点A 到BC 的距离为1.2米 FG =0.8米 DG =1.5米．素材二因考虑牢固耐用 小聪打算选用甲 乙两种材料分别制作长方形DEFG 与等腰三角形ABC （两种图形无缝隙拼接） 且甲材料的单价为85元/平方米 乙材料的单价为100元/平方米．问题解决任务一推理最大高度小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C D 两点间的距离相等 那么最高点B 到地面的距离就是线段DG 长” 他的说法对吗？请判断并说明理由．任务二 探究等腰三角形ABC 面积 假设CG 长度为x 米 等腰三角形ABC 的面积为S 求S 关于x 的函数表达式．任务三确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中 制作拍照打卡板的总费用不超过180元 请你确定CG 长度的最大值．17．（2024九上·杭州月考）根据以下素材 探索完成任务如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案?素材1图1是一座抛物线形拱桥 以抛物线两个水平最低点连线为x 轴 抛物线离地面的最高点的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系 如图2所示． 某时测得水面宽20m 拱顶离水面最大距离为10m 抛物线拱形最高点与x 轴的距离为5m ．据调查 该河段水位在此基础上再涨1m 达到最高．素材2为方便救助溺水者 拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈 如图3 救生圈悬挂点为了方便悬挂 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m 且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m ．为美观 放置后救生圈关于y 轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）任务1确定桥拱形状 根据图2 求抛物线的函数表达式．任务2拟定设计方案求符合悬挂条件的救生圈个数 并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．任务3探究救生绳长度 当水位达到最高时 上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间 若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边 求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计 结果保留整数）问题解决（1）任务1 确定桥拱形状 根据图2 求抛物线的函数表达式． （2）任务2 拟定设计方案求符合悬挂条件的救生圈个数 并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． （3）任务3 探究救生绳长度当水位达到最高时 上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间 若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边 求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计 结果保留整数）18．（2023九上·浙江期中）根据以下素材 探索完成任务．绿化带灌溉车的操作方案素材1辆绿化带灌溉车正在作业 水从喷水口喷出 水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米 上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米 高出|喷水口0.9米 下边缘水流形状与上边缘相同 且喷水口是最高点。
人教版中考复习数学练习专题五：方案设计专题（含答案）
专题五方案设计专题【考纲与命题规律】考纲要求方案设计问题是运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析计算，证明等，确定出最佳方案的数学问题，一般涉及生产的方方面面，如：测量，购物，生产配料，汽车调配，图形拼接，所用到的数学知识有方程、不等式、函数解直角三角形，概率和统计等知识.命题规律方案设计问题应用性比较强，解题时要注重综合应用转化思想，数形结合的思想，方程函数思想及分类讨论等各种数学思想.【课堂精讲】例1.手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注：不同的分法,面积可以相等)分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．解答：根据分析，可得。
(1)第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)(2)第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)(3)第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)(4)第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2÷2=2×2÷2÷2=1(cm2).例2.甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。
初中数学专题复习方案设计题(含解答)
专题复习四方案设计题一、知识系统网络近年来,在各地中考试题中,出现了方案设计题.•方案设计题可以综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、动手能力等.•命题的方案设计也出现创新、新颖、异彩纷呈的新趋势.二、中考题型例析1.设计图形题例1 (2003·潍坊)小明家有一块三角形菜地,要种植面积相等的四种蔬菜,请你设计四种不同的分割方案(分成三角形或四边形不限).方案一方案二方案三方案四分析:解决本题作图主要用到的是三角形面积公式,考查学生对这一公式和相关概念的灵活运用,以及分解平面图形的能力.解:方案一方案二方案三方案四2.设计测量方案题例2 (2004·青岛)在一次实验活动中,某课题学习小组用测倾器、•皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下方案(如图1所示):(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山高度(如图2)•的方案:(1)在图中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当字母);(2)写出你设计的方案.(1) (2) (3)分析:本题主要考查解决直角三角形的有关知识,学生根据提供的信息容易写出测量方案.解:(1)正确画出示意图(如图3)(2)①在测点A处安置测倾器,测得此时山顶M的仰角∠MCE=α;②在测点A与小山之间的B处安置测倾器(A、B与N在同一条直线上),测得此时山顶M的仰角∠MDE=β;③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及测点A、B之间的距离AB=m.•根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.点评:数学与生活紧密相连,将一些数学知识置于生活情景之中,•使学生进一步论证以数学就在身边,会用数学知识解决现实生活中的问题.3.设计最佳方案题例3 (2003·广州)现计划把甲种货物1 240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A•型车厢每节费用为6 000元,使用B型车厢每节费用为8 000元.(1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的函数关系式;(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,•每节乙型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按时要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?(3)在上述方案中,哪个方案运费最省?最少运费为多少元?分析:解答应用题,先要读懂文字,理解题意,再将其翻译成数学语言,•建立数学模型.从条件和提高的角度看,A、B两种车厢的节数是一个范围内的整数值,•由此需用不等式组来求解.解:(10设用A型车厢x节,则用B型车厢(40-x)节,总运费为y万元.依题意,得y=0.6x+0.8(40-x)=-0.2x+32.(2)依题意,得3525(40)1240, 1535(40)880.x xx x+-≥⎧⎨+-≥⎩化简,得10240,52020;xx≥⎧⎨≥⎩24,26.xx≥⎧⎨≤⎩∴24≤x≤26.∵x取整数,故A型车厢可用24节或25节或26节,相应有三种装车方案:①24节A型车厢和16节B型车厢;②25节A型车厢和15节B型车厢;③26节A型车厢和14节B型车厢.(3)由函数y=-0.2x+32知,x越大,y越小,故当x=26时,运费最省.这时y=-0.•2•×26+32=26.8(万元).答:安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省,最少运费为26.8万元.点评:与当今各行业都密切相关的“最好、最省、最大、•最低”等优化问题常常与函数的解析式及性质有关,因此,加强培养学生用函数知识解决优化问题的意识和能力势在必行.专题训练1.(2004·潍坊)现有树12棵,把它栽成三排,要求每排恰好为5棵,如图所示就是一种符合条件的栽法,请你再给出三种不同的栽法(画出图形即可).2.(2003·河北)探究规律:如图(1),已知:直线m∥n,A、B为直线n•上两点,C、P为直线m上两点.(1)请写出图(1)中,面积相等的各对三角形:_______________________________;(2)如果A、B、C为三个定点,点P在m上移动,那么,无论P点移动到任何位置,•总有________与△ABC的面积相等.理由是:_____________;解决问题:如图(2),五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图.•经过多年开垦荒地,现已变成如图(3)所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图(3)中折线CDE)还保留着.张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,•要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,•右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案.(不计分界小路与直路的占地面积)(1)写出设计方案,并在图(3)中画出相应的图形;(2)说明方案设计理由.(1)nAPmBCO(2)ABDEC(3)ABDNMEC3.(2004·潍坊)图为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A、B•两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测量仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图;(2)简述测量方法,并写出测量的数据(长度用a,b,c…表示;角度用α,β,γ,…表示).(3)根据你测量的数据,计算A、B两棵树间的距离.4.(2004·哈尔滨)“利海”通讯器材商场,计划用60 000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机,•出厂价分别为甲种型号手机每部1 800元,乙种型号的手机每部600元,丙种型号手机每部1 200元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部,并将60 000元恰好用完.•请你帮助商场计算一下如何购买.(2)若商场同时购进三种不同型号的手机共40部,并将60 000元恰好用完,•并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部,•请你求出商场每种型号手机的购买数量.5.(2004·沈阳)某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β(如图1).小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD,•要求它既能最大限度地遮挡夏天火热的阳光,•又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内,小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据:∠α=24°36′,•∠β=73°30′,小明又量得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件:(1)•当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2)当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内.请你借助下面的图形(如图2),帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01m)sin24°36′=0.416, cos24°36′=0.909,tan24°36′=0.458, cot24°36′=2.184, sin73°30′=0.959, cos73°30′=0.284,tan73°30′=3.376, cot73°30′=0.296.(1) (2)6.(2003·黑龙江)为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、•B两种型号的设备,经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.(1)请你设计该企业有几种购买方案;(2)若企业每月产生的污水量为2 040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;(3)在第(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10•年的费用包括购买设备的资金和消耗费)7.(2004·陕西)李大爷有一个边长为a 的正方形鱼塘如图所示,•鱼塘四个角的顶点A 、B 、C 、D 上各有一棵大树,•现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘(原鱼塘周围的面积足够大),又不想把树挖掉(四棵大树要在新建鱼塘的边沿上).(1)若按圆形设计,利用图 (1)画出你所设计的圆形鱼塘示意图,并求出圆形鱼塘的面积;(2)若按正方形设计,利用图 (2)画出你所设计的正方形鱼塘示意图; (3)你在图(2)所设计的正方形鱼塘中,有无最大面积?为什么?(4)李大爷想使新建的鱼塘面积最大,你认为新建鱼塘的最大面积是多少?(1)ABDC (2)ABDC8.(2004·黑龙江)某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站,三栋楼在同一条直线上,顺次为A楼、B楼、C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40m,B楼与C•楼之间的距离为60m.已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,送奶公司提出两种建站方案.方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小;方案二:让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和.(1)若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?(2)若按照方案二建站,取奶站应建在什么位置?(3)在(2)的情况下,若A楼每天取奶的人数增加(增加的人数不超过22人),•那么取奶站将离B楼越来越远,还是越来越近?请说明理由.答案： 1.略2.探究规律:(1)△ABC 和△ABP,△AOC 和△BOP,△CPA 和△CPB; (2)△ABP.因为平行线间的距离相等,所以无论点P 在m 上移动到任何位置,总有△ABP•和与△ABC 同底等高,因此,它们的面积总相等. 解决问题:(1)画法如图.连结EC,过点D 作DF ∥EC,交CM 于点F,连结EF,EF 即为所求直路的位置. (2)设EF 交CD 于点H,由上面得到的结论,可知: S △ECF =S △ECD ,S △HCF =S △EDH ,∴S 五边形ABCDE =S 五边形ABCFE ,S 五边形EDCMN =S 四边形EFMN 。
中考数学复习课的设计
中考数学复习课的设计基础知识的复习课如何设计?怎样通过一节或几节课的复习把一章知识进行系统归类, 让学生加深对概念的理解、结论的掌握，方法的运用和能力的提高?专题复习课如何设计,才能达到使学生能把各个章节中的知识联系起来，提高综合运用知识的能力?如何通过复习课,促进数学思想的形成和数学方法的掌握,培养学生的数学能力,使学生从容应付中考?现在先探讨应用题的复习课的设计.应用题型的复习课设计(1) -----方程与不等式的应用方程与不等式是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界. 在方程与不等式的应用复习中，应关注建模和应用过程，以培养良好的建模思想，增强学生们的数学应用意识．情景性应用题是江西省数学中考的热点,问题的情景来自于真实的生活,是非模式化的应用题,反映着时代的气息.例1.某酒店的客房有三人普通间、双人普通间客房，三人普通间每间每天150元,二人普通间每间每天140元.一个50人的旅游团到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房。
若每间客房正好住满，且三人普通间住了x间，双人普通间住了y间.（1）用含x的代数式表示y；（2）若该旅游团一天的住宿费要低于3000元，且旅客要求住进的三人普通间不多于双人普通间，那么该旅游团住进的三人普通间和双人普通间各多少间?点评:属于不等式型.现实生活中的不等关系是普遍存在的,有时可通过确定某个量的变化范围,来解决问题.此题关键句是该旅游团一天的住宿费要低于3000元和住进的三人普通间不多于双人普通间. 抓住关键的条件列出不等式(组)是解决此类问题的关键.相关问题: 某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元．试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？★★例1和相关问题都考查了不等式的应用,都是通过确定某个量的变化范围,来解决问题. “相关问题”在复习中起什么作用？相关问题在多数情况下与例题有较大的相似性，有时也仅仅在某些方面保持了相似性，这种宽泛的处理办法，提高了例题的效用，有时让学生领会不同的形式有共同的本质，又在训练上是对例题的一个很好的补充.例2. (2002年江西)有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？点评:属于方程型.教会学生:对应用题要多读几遍,理解题意,意思懂了,解答思维往往就在其中.这是一个排队模型,在审题中弄懂关键词和关键句是至关重要的.可先简明列出题中语句所表达的数学意义:经过维持秩序后通过道口所用时间=在拥挤情况下通过道口所用的时间－6分钟,用代数式表达方程的两边.设维持秩序的时间是t 分钟. t ＋9336t -＝336－6. ★★通过两道例题的训练总结出解题策略.总结:此类应用题的解题策略是什么?①先读题2—3遍,抓住关键的字、词、句,找出问题的数量关系(相等关系或不等关系)和求解目标；②将实际问题转化为数学问题,建立相应的模型,列出方程(组)或不等式(组)；③解方程(组)或不等式(组)，并用求解结果来回答实际问题．★★对总结出的解题策略进行应用.例3.( 2006 年江西省)小杰到学校食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多（设为a 人，a >8），就站到A 窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人．（1）此时．．，若小杰继续在A 窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a 的代数式表示）？（2）此时．．，若小杰从A 窗口队伍转移到B 窗口队伍后面重新排队，且到达B 窗口所花的时间比不转移继续排队到达A 窗口所花的时间少，求a 的取值范围（不考虑转移时间等其它因素）．点评: 属于不等式型.与例2同属于排队模型.考查的主要知识有用代数式表示一个量,用不等式表达生活中不等关系和将实际问题转化为数学问题的建立模型、求解、并将求解结果来回答实际问题的能力.求解时,先将试题通读2-3遍,将问题的意义、问题中的数量及数量关系、求解目标等弄清,再解答.关键词“此时”是指刚过了2分钟的那一时刻.关键句所表达的数学意义:转移后所花的时间＜未转移所花的时间.可得42625246a a -⨯-⨯+⨯>. ★★例2与例3放在一起的功效是什么?为什么这样设计?类似的排队模型,但解答的风格完全不同,一个是用方程建模,一个是用不等式建模.两道题都难在题意的理解,题意理解了,相等关系与不等关系也就找到了,解答思维也就出来了.这样设计的目的:不仅训练了学生的方程与不等式建模,而且让学生知道解应用题时审清题意是至关重要的.此题也可进行如下变式,变式:若此时．．小杰继续在A 窗口排队，则他到达窗口所花的时间设为y ,若此时．．小杰从A窗口队伍转移到B 窗口队伍后面重新排队，且到达B 窗口所花的时间设为2y ,其它条件不变.(1)分别写出1y ,2y 与a 的函数关系式；(2)为了节省时间, a 在什么范围内时,小杰此时．．应选择从A 窗口队伍转移到B 窗口队伍后面重新排队到达B 窗口?a 在什么范围内时, 小杰此时．．应选择不转移继续排队到达A 窗口? 点评:本题的情景没变,排队的模型没变,由于设问改变,此题由不等式型变成了函数型,解题方法也变了.生活中大量存在着哪个更省时,哪个更省钱,哪个更合算的问题情景,需要从数学的角度作出判断, 综合运用了一次函数的性质解决实际问题的能力.这种有价值的数学模型,是学生应当掌握的,是新课程内容的基本目标之一.相关问题:甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x 元．(1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；(2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．★★从不同的角度来观察问题,往往有新的收获,变式常能使复习发挥最大效益,也是培养能力的有效途径,使思维训练更有价值，更有成效.★★这节的例题有关于一元一次不等式(组),一元一次方程,二元一次方程组的应用,和运用一元一次不等式(组)进行决策、方案设计等.应用题型的复习课设计(2) ---------函数的应用函数的应用题是指运用函数的有关知识解决实际生产、生活中的问题.函数的概念反映了事物之间的广泛联系,揭示着现实世界数量关系和运动变化规律,建立函数模型,可以解决日常生活中可能遇到的许多实际问题.现在我们来探讨函数应用题的解题策略.例1.某住宅小区共安装200瓦的可随意控制开关的路灯若干个，每天晚上开灯x 小时(1≤x ≤5)，为了节约能源，小区物业部规定:每天的路灯用电量为60千瓦时.（1）试写出每天开通的路灯数y （个）与时间x （小时）的函数关系式；（2）为了庆祝国庆节，小区物业部决定国庆期间路灯的开通时间至少是4个小时，在不增加路灯用电量的前提下，国庆期间每天可开通的路灯的范围是多少？点评:反比例函数应用.先根据具体情境求解析式,再由不等式的有关知识求解.此题的障碍是题意理解.例2.某厂某天需生产甲,乙两种台灯共600台,现有A,B 两种必需的原料各58000克、44000克,并已知一台甲种台灯分别需A 种原料120克,B 种原料40克,一台乙种台灯分别需A 种原料80克,B 种原料90克.(1)设生产甲种台灯x 台,求出x 的取值范围；(2)一台甲种台灯需成本12元,一台乙种台灯需成本8元,请写出这600台台灯成本总额y(元)与甲种台灯x(台)的函数关系,又知甲、乙两种台灯在市场上批发价每台是20元.这天生产的这600台台灯与批发价相比最多．．能获利多少元(不考虑其它因素)？ 点评:此题是根据一次函数的性质求最值的问题.题中并没直接提出求最值,而是隐含在这天生产的这600台台灯与批发价相比最多．．能获利多少元这句话中.“最多．．能获利”是指生产这600台台灯的成本的最小值与它的批发价的差.教会学生解函数应用题也同样重在审题,弄懂题意,能运用函数思想解决问题例3. (2006年河北)有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．右图是反映所挖河渠长度y （米）与挖掘时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题： （1）乙队开挖到30米时，用了_____小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了______米； （2）请你求出： ①甲队在0≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式；②乙队在2≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式；③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？点评:本题提供了一个与生产实践联系的问题情景,要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息,能识图,判断函数类型,建立函数关系.考查学生获取信息,处理信息的能力.渗透了待定系数法、数形结合思想、方程和函数思想.例4.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度20AB =米，顶点M 距水面6米（即6MO =米），小孔顶点N 距水面4.5米（即NC =4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．点评:利用抛物线模型解决桥拱问题.训练了学生读题,识图能力,渗透了数形结合的思想,有效地关注了数学中的重要内容的考查.例5.(2006年河北)利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）．（1）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由.点评:此题考查数学建模和运用二次函数知识解决实际问题的能力. 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,建立二次函数模型解决最值问题,是新课标中重点内容之一.第(3)的解决是要一定的能力要求的,可求出当x 为何值时,月销售额最大,再与第(2)问比较可得结果.小结一:函数应用题的解题策略是什么?①审清题意,写出有关问题的函数关系式；②将实际问题转化为数学问题,建立相应的函数模型,；③运用一次函数、二次函数、反比例函数的有关性质,求出问题的答案.小结二:如何培养建立模型，解决实际问题的意识与能力?第一:敢于去做,敢于去试,勤于思考,努力提高自己的分析问题、解决问题的能力. 第二:能够把实际问题抽象成数学问题,得到一个数学结构,建立相应的数学模型.第三:善于反思和总结,做一题,懂一类,积累解题经验,提高解决数学应用问题的能力,提高解题的自信心.★★这5道例题设计的功效是什么?能达到这节复习课的目的吗?时) E M F N C B D O A y x正常水位涉及了反比例函数、一次函数、二次函数的应用,通过一次函数性质求最值,利用抛物线模型解决桥拱问题,建立二次函数模型解决最值问题；从不同的角度来训练学生函数建模能力.学生通过这5题的训练,能全面学习到有关函数应用的重要知识,对函数的应用形成较系统的知识网络.应用题型的复习课设计(3)----综合运用应用题的类型有:方程型、不等式型、方程与不等式相结合型、函数型、概率与统计型、几何应用型等.有些应用题的综合性较强,包含着几种不同的模型,需要一定的阅读理解能力，收集、处理信息的能力,以及观察、归纳、探索、发现、推理和解决问题的能力.例1.电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众21万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众14万人次，公司要求电视台每周共播放10集.（1）设一周内甲连续剧播a集，用含a的代数式表示一周内乙连续剧的收视观众的人次；（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过470分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，a在什么范围时,每周甲连续剧的收视人次多? a在什么范围时,每周乙连续剧的收视人次多?点评:问题情境来自于生活,体现了生活中处处有数学.考查学生阅读理解能力和获取信息,处理信息的能力.涉及了建模思想,分类讨论思想.能否正确理解题意是解题的关键.第(2)问先求出a≤8,再根据题意得结果:当4＜a≤8时,每周甲连续剧的收视人次多.当0≤a＜4时,每周乙连续剧的收视人次多.例2.某文具店计划购进甲、乙两种不锈钢圆规80只,进货总价不小于382元,但不超过384元.两种圆规的进价和售价如下表: (单位:元)(1)两种圆规的进价有哪几种进货方案?(2)在全部可销售完的情况下,针对a的不同取值,选择怎样的进货方案所获利润最大?点评:此题综合性强,需要较强的解题能力.设甲种圆规x只. 第二问引入了参数,先用含x 和参数a的代数式表示所获总利润,针对参数a的范围分4＜a＜6，a =6,a＞6三种情况进行分类讨论.渗透了建模思想，分类讨论思想，参数思想.例3.某住宅小区购买并种植400株树苗,某树苗公司提供如下信息 :信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等.信息二：每棵杨树的批发价格为3元, 每棵丁香树的批发价格为2元, 每棵柳树的批发价格为p元.设购买杨树、柳树分别为x株、y株.(1)写出y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；(2)当每株柳树批发价p（元）与购买数量y（株）之间存在关系p=3-0.005y时，求购买树苗的总费用w（元）与购买杨树数量x（株）之间的函数关系式；(3)当购买杨树数量为多少株时, 购买树苗的总费用w达到最高费用? 最高费用是多少?点评:涉及根据问题求一次函数、二次函数的解析式,求二次函数的最值等知识.考查数学建模能力、分析问题与解决问题的能力.相关问题:如图钢管混凝土系杆拱桥，其拱形图形为抛物线的一部分，在正常情况下，位．于．桥．面上方部分．．．．．的桥拱拱高约为21米,跨度约为120米.（1）请你建立适当的直角坐标系,求出可以近似描述拱桥形状的抛物线的解析式；（2）问距离桥拱与桥面交点20米处的支架长为多少米?点评:考查抛物线模型与现实生活的联系,灵活选取直角坐标的能力,本题建立坐标系的方法有多种,利用轴对称性是较恰当的一种方法. 渗透了数形结合思想,函数思想.解决应用性问题的关键是正确理解题意,排除一切非数学因素的干扰,努力读懂题目中的图形、表格及数量之间的关系,捕捉每一个有效的信息,将生活中的语言转换成数学语言,将实际问题转化成数学问题,并构造出相应的数学模型.★★这4道例题综合性强,比前二节课的例题在综合和难度上有所提高.★★纵观以上三节应用题的复习课的设计:★★方程与不等式的应用复习课着重培养学生用方程与不等式的“观点”去分析问题，用数学思想构造数学模型；函数的应用复习课着重于训练学生建立函数模型,用函数思想解决生产、生活中的有关问题.两种复习课所选例题要针对性强．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．能起到复习对应章节知识点的作用．.★★应用题的综合复习课重在提升学生的能力,能透过问题情境看数学本质, 能综合运用方程,不等式,函数,统计等知识, 将实际问题进行数学化,加深对方程,不等式,函数,统计等思想方法的认识,提高数学建模能力、分析问题与解决问题的能力.所选例题要综合性强．．．．．．．．．,．能起到．．．．．.．．．．提高．．能力的作用．．数学．．应用★★把三个阶段的题放在一起，可看出层次性，联系性，发展性等，有整体观.三个阶段的能力的培养也应有层次性，联系性，发展性与整体性.下面再探讨对开放题和探索题的复习课的设计.开放题与探索题的复习课的设计(2课时)一、开放性题型与探索性题型的特点.(一)开放性题型特点:按照条件与结论的开放性,可分为三类型.1.条件开放性题型:往往已知部分已知条件和一个完整的结论,要求解题者根据这部分条件与完整的结论,将缺少的条件找出来,当然这些缺少的条件通常不是唯一的.2.结论开放性题型:已知条件已经完全给定,但结论没有给出,要求解题者由这些已知条件,通过推理的方式,得出若干种正确的结果,这些结果往往有多个,甚至无穷多个.3.条件与结论双开放题型:给出了部分已知条件,同时也允许解题者按照要求添加若干条件,并根据题目已经给出的条件和添加的条件,推导出带个性色彩的结论.(二)探索性题型特点:问题的解决不是按照某个固定的、明确的程序,使用某种技能就能完成的；思考问题的方向不是很明确,解决问题的路线不是很清晰的,通常要经历一定的尝试与试误过程；探索性活动是有个性化的数学活动,可分为四类:条件探索、结论探索、存在性探索、规律性探索.(三) 开放性题型与探索性题型的关系:开放性题型是从答案的形式的来界定的,而探索性题型是从思维的层面上来说的.两者的关系如图1所示有部分兼容性. ★★先介绍开放性题型和探索性题型两种专题的特点以及关系.例1.如图2,在Rt △ABC 中,CD 为AB 边上的中线,若将△ABC沿CD 对折.你能添加一个条件使四边形EBCD 为菱形吗?请说明理由.解:添加 . 理由:点评:这是一道条件开放题,添加的条件①∠A =30°,②AB=2BC③EC ⊥AB ,④∠ABC =2∠A ,⑤CD =BC ,⑥∠CDB =∠ABC 等.再从添加的条件出发,经过推理论证,得到四边形EBCD 为菱形.变式:已知条件不变,设问变为:当∠A 满足什么条件时, 四边形EBCD 为菱形? 请说明理由.此题变为条件探索题.先回答∠A =30°时, 四边形 EBCD 为菱形. 再从∠A =30°出发, 经过推理论证,得到四边形EBCD 为菱形.★★通过变式的设计说清了条件开放题和条件探索题的不同之处:条件开放题中缺少的条件通常不是唯一．．．．．．的；条件探索题中缺少的条件往往带有唯一性．．．．．．．.例2. 如图3,点B 为线段AD 上一点，AB =2BD ，分别以线段AB 、BD 向外作等边三角形ABF 和等边三角形BDE ，⊙O 是△ABF的外接圆，连结FE 交⊙O 于点N ，交AD 的延长线于点M .（1）直线 BE 与⊙O 有何位置关系?并说明你的理由；（2）除（1）的结论外，另外写出三个至少经过两步推理得出的不同类型．．．．的结论(不要求证明). 点评:第(1)问是结论探索题,第(2)问是结论开放题.不同类型是指写了线段相等,就不要再写其它的线段相等,在线段的数量关系、位置关系、两角的关系等中,写了其中一个量,就不要再写同一类型的其它量了.还要注意至少经过两步推理这句话. 从线段之间的关系得： ①AF ∥BE , ②BE ⊥FM , ③BD =DM , ④ BM =2DE ,⑤AF 2=FN ·FM, ⑥BE 2+EF 2=BF 2,从角度之间的关系得：⑦∠M =∠DEM , , ⑧∠M =30°…★★在例2的两个小问上设计了结论探索题和结论开放题,通过比较区分两者的不同:结图1图2图3论探索题的结果通常具有唯一性．．．．．．．；结论开放题的结果往往有多个．．．．．,甚至无穷多个．．．．．．. ★★设计比较型问题，在求同求异比较中整合学生知识.1.通过比较，能把相关概念串联起来形成知识链；2.通过比较，能打破学生接受知识的先后顺序,以求达到知识的融会贯通；3.通过比较，能把握不同知识方法的相同本质.例3. 如图4,用火柴棒按下图规律搭1只，2只，3只…“蝴蝶”，(1)则搭4只“蝴蝶”需要火柴棒的根数是 ；(2)则搭n 只“蝴蝶”需要火柴棒的根数是 .点评:此题是规律性探索题.2只比1只多7根,3只比2只多7根,从而找到规律,第(2)问答案为7n ＋1.例5.如图5,梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＞CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C ′处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C ′E ．（1）试判断四边形CDC ′E 的形状,并证明你的结论；（2）当线段BC ,CD ,AD 满足什么关系式时,四边形ABED 是平行四边形?并证明你的结论．点评:折叠前后哪些量没变, 哪些量变了,抓住因折叠而成的等线段和等角,这些相等关系是解决问题的关键. 第(1)问结论探索题, 先回答是菱形,再证明这个结论.第(2)问条件探索题,先确定关系式BC =CD ＋AD 时, 四边形ABED 是平行四边形.再从BC =CD ＋AD 出发经过推理论证得到四边形ABED 是平行四边形.★★此例的设计将结论探索题和条件探索题放在一起比较.★★在复习课教学中通过比较型问题的设计，不仅能沟通知识的纵横联系，使知识系统化，有利于知识的记忆、理解、掌握、应用、深化，而且使学生思维活动的抽象程度和对事物本质规律的理解水平逐步提高，求同求异思维能力得到培养，对优化思维品质大有裨益.例6.如图6,过正方形ABCD 中某点O 任作直线m 交直线AD 和直线BC 于点H ,F ,过点图4 图5。
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案——一、教学目标：（一）知识目标：通过复习，使学生能够分析和表示不同背景下的实际问题中的数量关系，并能够运用方程、不等式、函数等代数有关知识解决实际问题中的增长率问题，调配问题、最值问题等，使学生体会数学建模思想及其步骤。
（二）过程与方法：通过复习如何分析和表示不同背景下实际问题中的等量、不等量及变量之间的函数关系，培养学生分析和判断能力，通过运用代数性的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
（三）情感目标：能过对解决问题的基本策略进行反思，进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的应用价值，提高学生的环保意识,增进对数学的理解和学数学的信心，培养创新精神和实践能力。
二、教学重点与难点：（一）教学重点：把实际问题转化为数学问题，并建立方程、不等式、函数模型解决实际问题。
（二）教学难点：正确的理解题意，找准数量关系,建立数学模型。
三、教学准备多媒体课件。
代数应用性问题—专题复习知识迁移为提高空气质量，该小区决定再花去96000元购进A、B两种树，按每3人种一棵A树或每2人种一棵B树分配给该小区880人种(注:每人只种一种树),已知A种树每棵400元,B种树每棵160元.(1) 问该小区应定购多少棵A 种树,多少棵B种树?(2) 园艺部门接到订单后，立即安排13名员工挖出A 、B两种树,已知一个工人每天可挖A种树4棵或B种树8棵，应分别安排多少人挖A 、B两种树才能使两种树同时挖好?(3)该小区计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将A 、B两种树运回，已知甲型卡车每辆可同时装运11棵A种树和7棵B种树，乙型卡车每辆可同时装运7棵A种树和12 棵B种树，如何安排甲、乙两种型号的卡车可一次性将两种树运回？有几种方案？能力提升新树种好后，为了更好的保护新树，需购买一些树木支撑架支撑新树,已知某支撑架的成本价为20元，且这种产品的销售价格不能高于25元,在试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－x＋40.(1)当销售单价定为多少元时，厂商获得的利润最高？(2)当售价定为多少元时，利润达到36万元？(3)如果厂商要让利润不低于36万元，那么售价应定在什么范围？。
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版方案设计型问题
方案设计型问题一、考法分析方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。
纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致．本文从历年中考试题中，筛选出与之有关的部分题目，对其方案设计类型进行归类探究，以供参考．二、例题分析（一）、利用方程（组）进行方案设计例１“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．（１）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买．（２）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量．解：（１）设甲种型号手机要购买ｘ部，乙种型号手机购买ｙ部，丙种型号手机购买ｚ部，根据题意，得：①ｘ＋ｙ＝401800 ｘ＋600ｙ＝60000，解得ｘ＝30ｙ＝10②ｘ＋ｚ＝401800 ｘ＋1200ｚ＝60000，解得ｘ＝20ｚ＝20③ｙ＋ｚ＝40600 ｙ＋1200ｚ＝60000，解得ｙ＝－20 ｚ＝60（不合题意舍去）答：有两种购买方案：甲种手机购买30部，乙种手机购买10部；甲种手机购买20部，乙种手机购买20部．（２）根据题意，得：ｘ＋ｙ＋ｚ＝401800 ｘ＋600ｙ＋1200 ｚ＝60000 6≤ｙ≤8解得ｘ＝26 ｙ＝6 ｚ＝8或ｘ＝27 ｙ＝7 ｚ＝6或ｘ＝28 ｙ＝8 ｚ＝4答：若甲种型号手机购买26部手机，则乙种型号手机购买6部，丙种型号手机购买８部；若甲方型号手机购买27部，则乙种型号手机购买7部，丙种型号手机购买6部；若甲方型号手机购买28部，则乙种型号手机购买8部，丙种型号手机购买4部．例2某校组织360名师生去参观三峡工程建设，如果租用甲种客车若干辆，则刚好坐满；若租用乙种客车可少租1辆，且余40个空座位。
中考数学二轮复习专题工程问题和方案问题(师)
1.3 工程问题与方案问题【工程问题】思考1 ：车工班原计划每天生产50个零件，改进操作方法后，实际每天比原计划多生产6个零件，结果比原计划提前5天，并超额8个零件，设原计划车工班应该生产x个零件，则方程式可列为_______________思考2：单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，设剩下的工程乙队干还需x天，则方程式可列为_______________例1 修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，5天可以完成，需付两队费用共3500元；若先请甲队单独做3天，再请乙队单独做6天可以完成，需付两队费用共3300元．问：（1）甲、乙两队每天的费用各为多少？（2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？（限时训练第1题）【变式练习1】为维护市区的生态环境，政府决定对市区周边水域的水质进行改善，甲工程队单独完成这项工程需要200天，且甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍．若要求乙工程队施工工期不超过300天，则甲工程队至少要施工多少天？【方案问题】例2 某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机获利150元，销售一部B型手机获利100元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B 型手机50台．（1）求商店共有多少种进货方案？（2）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案．（限时训练第4题）【变式练习2】实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，要使（1）中所有方案获利相同，求m的值．【二元一次方程整数解类】例3 已知1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．（限时训练第3题）【拓展提升】期中考试即将结束，为了表彰优秀，李老师用W元钱购买奖品，若以3支钢笔和4本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以4支钢笔和7本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用y的代数式表示x；（2）若李老师用这钱恰好买75份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的a，b的值．1.3 工程问题与方案问题限时训练班级：______ 学号：____ 姓名：__________ 1、修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，5天可以完成，需付两队费用共3500元；若先请甲队单独做3天，再请乙队单独做6天可以完成，需付两队费用共3300元．问：（1）甲、乙两队每天的费用各为多少？（2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？2.某班决定购买一些笔记本和文具盒做奖品．已知需要的笔记本数量是文具盒数量的3倍，购买的总费用不低于220元，但不高于250元．（1）商店内笔记本的售价4元/本，文具盒的售价为10元/个，设购买笔记本的数量为x，按照班级所定的费用，有几种购买方案？每种方案中笔记本和文具盒数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）经过还价，老板同意4元/本的笔记本可打八折，10元/个的文具盒可打七折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少笔记本和文具盒？3、已知1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．4、某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机获利150元，销售一部B型手机获利100元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B型手机50台．（1）求商店共有多少种进货方案？（2）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案．（此部分课堂完成）【变式练习1】为维护市区的生态环境，政府决定对市区周边水域的水质进行改善，甲工程队单独完成这项工程需要200天，且甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍．若要求乙工程队施工工期不超过300天，则甲工程队至少要施工多少天？【变式练习2】实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，要使（1）中所有方案获利相同，求m的值．【拓展提升】期中考试即将结束，为了表彰优秀，李老师用W元钱购买奖品，若以3支钢笔和4本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以4支钢笔和7本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用y的代数式表示x；（2）若李老师用这钱恰好买75份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的a，b的值．。
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中考数学专题复习——方案设计问题
方案决策型题是近年兴起的一种新题型，它的特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点。
题型：一、图案设计、剪切设计二、代数式中的方案设计
三、解直角三角形中的方案设计四、统计知识中的方案设计
五、方程、函数中的方案设计六、不等式中的方案设计
1.设计图形类的问题往往与几何图形的分割与拼接有关，有时是根据面积相等来分割，有时是根据轴对称或中心对称来分割，做此类题一般要用尺规画图.
2.设计测量方案类的问题所设计的知识有解直角三角形和相似两种，测量的对象有河宽和物高等(注意课本习题和数学活动中的相关方法）,一般要画出示意图，并对测量数据做好标注，有时还要求写出算法。
3.方案设计类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、方程、不等式等联系在一起，所以综合性很强．
一、填空、选择题
1．一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形，且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案．某同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有（）（A） 2种（B） 3种（C） 4种（D） 5种
2. 图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图2－2－23①、
②所示.观察图中涂黑部分构成的图案.它们具有如下性质：⑴都是轴对称图形，⑵涂黑部分都是三个小正三角形.请你在图③、④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
3. 认真观察图（10.1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
图
2-2-26
图2-2-27
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1：_________________________________________________；
特征2
：
_________________________________________________．
（2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征
4. 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！
三、解答题
5、有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢．
(1)这个游戏是否公平？请说明理由；
(2)如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏．
6、为了搞好防洪工程建设，需要测量岷江河某段的宽度，如图2－2－26，一测量员在河岸边的A 处测得对岸岸边的一个标记B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向行进了150米到达点C 处，这时测得标记B 在北偏西30°的方向．
⑴求河的宽度？（保留根号）
⑵除上述测量方案外，请你在图2－2－27中再设计一种测量河的宽度的方案．
7、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）
8、某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号
电脑被选中的概率是多少？
（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，
恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型
号电脑有几台．
9、甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a . 得分为正数或0；b . 若8次都未投进，该局得分为0；c . 投球次数越多，得分越低；d . 6局比赛的总得分高者获胜 ．
（1） 设某局比赛第n (n ＝1，2，3，4，5，6，7，8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案；
（2） 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：
根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜．
10、某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分： 方案1 所有评委所给分的平均数．
方案 2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．
方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学
的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图： （1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．
分数
人数。