考研高数总复习Fourier积分讲解

0，
t 1 t 1 t 1
例1
由上可以看出，利用f t 的Fourier积分表达式，
可以推证一些广义积分.
当t 0时，有
sin d π
0
2
Dirichlet积分
三、小结
本节学习了
本节从周期函数的 Fourier级数展开出发, 讨论了非周期函数的 Fourier积分公式及收 敛定理.
接下来学习
P. G. L. Dirichlet
1. Fourier级数展开
• 一个以T 为周期的函数fT(t),如果在
T 2
,
T 2
• 上满足Dirichlet条件, 即在区间 T上2 , T2满 足:
1) 连续或只有有限个第一类间断点;
2) 只有有限个极值点.
则在区间
T2可, T2以 展开成Fourier级数.
2 π
0
sin cos
d
t
1
例1
当t 1时，（f t）应以
f (1 0) f (1 0) 1
代替.
2
2
（f t）为偶函数，根据Fourier余弦积分公式，有
2
π
0
sin cos
d
（f t），t 1 1， t 1 2
例1
即 0
sin cos
d
π， 2 π， 4
(t)
1， 0，
t 1的Fourier积分表达式. 其他
解 根据Fourier积分公式的复数形式，有
f
(t)
1 2π
f ( )e j
d
e
j
t
d
1 2π
1 1
cos
t
j
sin
t
d
e
j t
d
例1
1 π
1 0
cos
t
d
e
j t
d
1 π
sin cost jsint d
fT ( )e jnt d e jnt
1 2 fT (t0 0)
fT (t0 0)
fT (t )
2)级数正弦和余弦表示形式
级数正弦表示形式:
fT (t ) Cn sin(nt n ) n1
级数余弦表示形式
fT
(t)
a0 2
Cn
n1
cos( n t
n )
Cn
an2
bn2
,n
arctan
an bn
二、Fourier积分定理
1)Fourier积分公式
任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某
个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 作周期
为 之外T的按函周数期fT2TT(,延Tt2),拓使到其整在个数之轴内上等T2,显, T于2然 f(,t)T,
而在 越
大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当
当n取一切整数时,n所对应的点便均匀
分布在整个数轴上,两个相邻的点的距离为
n
n
n1
2π T
,或T
π
n
1. Fourier积分公式
则当 T ，n 0时，
f
(t)
lim
T
1 T
n
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e jnt
f
(t)
lim
n 0
1 2π
n
T 2 T 2
fT
故又得
Fourier积分公式的三角形式
f
(t)
1 π
0
f
(
) cos ( t
)d
d
3. Fourier积分公式的三角形式
当 为奇f函数x 时,利用三角函数的和差公式,有
f
(t)
1 π
0
f
( )cos(t
)d
d
f
(t)
1 π
0
f ( )cost cos
sint sin d d
T 2 T 2
fT ( )e jnt d ejnt
1)级数复指数表示形式
在其间断点t0处，
1 2 fT (t0 0) fT (t0 0)
cne jnt
n
1 T
n
1 T
T 2 T 2
fT ( )ejnt d ejnt
1)级数复指数表示形式
即
1 1
T n T
T 2 T 2
1) 级数复指数表示形式:
在其连续点处，利用Euler公式：
cos
e j
e j
, sin
e j j
e j
2
2
fT (t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
a0 2
an
n1
e jnt
e jnt 2
j bn
e jnt
e jnt 2
1)级数复指 3,
)
2
2.Fourier级数的三角形式
在间断点t处成立：
fT (t 0)
2
fT (t 0) a0 2
n1
an cos nt bn sin nt
即
a0
2
an cos nt
n1
bn sin nt
fT (t 0) 2
fT (t)
fT (t
0)
2.Fourier级数的三角形式
cost
d
Fourier余弦积分公式
注意:
特别地,如果 仅f (在t ) 上(0有，定)
义,且满足Fourier积分公式存在定理的条件,我 们可以采用类似于Fourier级数中奇延拓或者偶
延拓的方法,得到 f (相t )应的Fourier正弦积分
展开式或Fourier余弦积分展开式.
例1
求函数
f
考研高数总复习 Fourier积分讲解
本节内容
一、Fourier级数 二、Fourier积分定理
三、小结
一、 Fourier级数
傅里叶(1768—1830)
法国数学家
J．B．J．Fourier
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
法国数学家Fourier
一、 Fourier级数
• 1804年，法国数学家Fourier提出： • 在有限区间上由任意图形定义的任意函
如果左端的f (t )在它的间断点t处, 应以
f (t 0) f (t 0)来代替. 即
2
f
(t
0) 2
f (t
0)
1 2π
f
( )e j
d
e
j t
d
3. Fourier积分公式的三角形式
利 用 Euler公 式 ， 有
f (t) 1 2π
f
(
)e j
d
即 （f t）= Φ( )d ，
1). Fourier积分公式
得
（f t）= 1 2π
（f ）ej d
e
j
t
d
Fourier积分公式
2. Fourier积分定理
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.
定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件:
1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件;
2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
（在(, )绝对可积即
|
f (t) | d t收敛）
2. Fourier积分定理
f
(t)
1 2π
f
(
)e j
d
e
j
t
d
成立.
Fourier积分公式的复数形式
2. Fourier积分定理
(t)
lim
n 0
1 2π
n
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e jnt n
f
(t)
lim
n 0
n
ΦT
(n )n
1. Fourier积分公式
当n 0,即T 时,ΦT (n ) Φ(n )
又Φ(n )
1 2π
f
(
)e jn
d
e
jn
t
则
（ f t）=
Φ(n
)dn
，
e jt
d
1 2π
f
(
)e j (t
)
d
d
1
2π
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin ( t
)d
d
3. Fourier积分公式的三角形式
又 f ( )sin(t )d是的奇函数,
故得 f (t)
1
2π
f
(
)
cos
(
t
)
d
d
又 f ( )cos(t )d是的偶函数,
Fourier变换的 定义,单位脉冲函数 的Fourier变换及非 周期函数的频谱.
练习:
将函数
f
t
1,
t a
展开成三角形式的Fourier积分.
0, t a
谢谢观赏
(
)e jn
d
e jnt n
1. Fourier积分公式
当 t 固定时，
1
2π
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e jnt是参数为n的函数，
记作ΦT (n )，即
ΦT (n )