反比例函数的综合运用
10、用反比例函数解决问题
用反比例函数解决问题要点一、利用反比例函数解决实际问题1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.要点二、反比例函数在其他学科中的应用1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.要点三、反比例函数中的最值问题理论：若0a >，0b >，则a b +³a b =时等号成立）例题：对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？0x Q >，12y x x \=+³=，当且仅当1x x =时，等号成立，由1x x=得：1x =或10x =-<（舍去），经检验，1x =是方程1x x =的解，故当x=1时，函数y 的值最小，最小值是2题型一:反比例函数实际问题与图象1．已知矩形的面积为 10，它的长y 与宽x 之间的关系用图象大致可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．2．当温度不变时，某气球内的气压(kPa)p 与气体体积2(m )V 成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压120kPa p >时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V 应满足的条件是（ ）A ．不大于24m 5B ．大于25m 4C ．不小于24m 5D ．小于25m 43．伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力1(N)F 和阻力臂1(m)L 的函数图像如图，若小明想使动力2F 不超过150N ，则动力臂2L 至少需要（ ）m ．A ．2B ．1C ．6D ．44．体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻110ΩR=，2R是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.012m，压敏电阻2R的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：UIR =，F pS=，1000Pa1kPa=）．则下列说法中不正确的是（）A．当水箱未装水（0mh=）时，压强p为0kPaB．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40NC．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8mD．若想使水深1m时报警，应使定值电阻1R的阻值为12W题型二:利用反比例函数解决实际问题1．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是20℃，然后按照一次函数关系一直增加到70℃，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至35℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至70℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，35℃如此循环下去．（1）t的值为；:分钟内温度大于或等于50℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持（2）如果在0t续时间为分钟．2．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由.3．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度()y ℃与时间()h x 之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；(2)求全天的温度y 与时间x 之间的函数关系式；(3)若大棚内的温度低于()10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？4．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y、分别为线段，CD为双曲线的一部随时间x (分钟)的变化规律如下图所示(其中AB BC分)．(1)求注意力指标数y与时间x (分钟)之间的函数表达式；(2)开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(3)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．5．如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是20，开机通电后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y （°C ）与开机时间x （分）满足一次函数关系．当加热到100°C 时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （°C ）与开机时间x （分）成反比例关系．当水温降至20°C 时，饮水机又自动开始加热……，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)当05x ££时，求水温y （°C ）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)有一天，小明在上午7:20（水温20°C ），开机通电后去上学，11:33放学回到家时，饮水机内水的温度为多少°C ？并求：在7:2011:33——这段时间里，水温共有几次达到100°C ？6．据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克；(2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；(3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．题型三：最值问题1．阅读与思考任务：(1)填空：已知0x >，只有当x =______时，4x x+有最小值，最小值为______．(2)如图，P 为双曲线()60y x x =>上的一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ，求PC PD +的最小值．2．【操作发现】由()20a b -³得，222a b ab +³；如果两个正数a ，b ，即0a >，0b >，则有下面的不等式：a b +³，当且仅当a b =时取到等号．例如：已知0x >，求式子4x x +的最小值．解：令a x =，4b x =，则由a b +³44x x +³=，当且仅当4x x =时，即2x =时式子有最小值，最小值为4．(1)【问题解决】请根据上面材料回答下列问题：已知0x >，当x 为多少时，代数式9x x +的最小值为；(2)【灵活运用】当2x >时，求12x x +-的最小值；(3)【学以致用】如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长120cm 的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨即菱形的对角线AC ，BD ，请你帮他设计一下，当AC 为多少cm 时菱形的面积最大，最大值为2cm （直接写出结果）．3．由2()0a b -³得，222a b ab +³；如果两个正数a ，b ，即0,0a b >>，则有下面的不等式：a b +³，当且仅当a b =时取到等号．例如：已知0x >，求式子4x x+的最小值．解：令4,a x b x ==，则由a b +³44x x +³=，当且仅当4x x =时，即2x =时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当0x >，式子x +16x的最小值为 ；(2)当0x <，代数式364+x x最大值为多少？并求出此时x 的值；(3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？4．阅读材料：①对于任意实数a 和b ，都有2()0a b -³，∴2220a ab b -+³，得到222a b ab +³，当且仅当a b =时，等号成立．②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式.即：如果a ≥0，则2a =．如：22=等．例：①用配方法求代数式2283x x -+的最小值．②已知0a >，求证：12a a+>①解：由题意得：222832(2)5x x x -+=--，∵22(2)0x -³，且当2x =时，22(2)0x -=，∴22(2)55x --³-，∴当2x =时，代数式2283x x -+的最小值为：5-；②证明：∵0a >，∴2122a a +=+>=∴12a a +>12a a =，即请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）.设垂直于墙的一边长为x 米.(1)若所用的篱笆长为36米，那么：①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？②设花圃的面积为S 米2，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；(2)若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？题型四：反比例函数综合运用1．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为1～4的整数），函数()0k y x x =>的图象为曲线L ，若曲线L 使得14T T :，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k 的取值范围是（ ）A ．812k ££B ．812k £<C ．812k <£D ．812k <<2．如图，矩形ABCD 对角线的交点为O ，点P 在x 轴的正半轴上，DC 平分BDP Ð，PAD V 的面积为6．若双曲线()0k y x x=>经过点D ，交PD 于点Q ，且PQ DQ =，则k 的值为 ．3．如图，已知点()1,A a 和点()3,B b 是直线y mx n =+与双曲线(0)k y k x =>的交点，AOB V 的面积为43．(1)求k 的值；(2)设()111,P x y ，()222,P x y 是反比例函数在同一象限上任意不重合的两点，1212y y M x x =+，2112y y N x x =+，判断M ，N的大小，并说明理由．4．已知反比例函数k y x =的图象经过点()A ．(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ．判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；(3)已知点()6P m +也在此反比例函数的图象上（其中0m <），过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于点M ．若线段PM 上存在一点Q ，使得OQM V 的面积是12，设Q 点的纵坐标为n ，求29n -+的值．5．如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE，反比例函数myx=的图象经过点E，与AB交于点F．(1)求AE的长；(2)若2AF AE-=，求反比例函数的表达式；(3)在（2）的条件下，连接矩形ABCD两对边AD与BC的中点M，N，设线段MN与反比例函数图象交于点P，将线段MN沿x轴向右平移n个单位，若MP NP<，直接写出n的取值范围．课后练习1．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：W )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6W 时，电流为( )A ．3AB ．4AC ．6AD ．8A2．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流()A I ．与电阻()R W 成反比例函数的图象，该图象经过点()880,0.25P ．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）A ．当0.25R <时，880I <B ．I 与R 的函数关系式是()2000I R R=>C ．当1000R >时，0.22I >D ．当8801000R <<时，I 的取值范围是0.220.25I <<3．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度()C y °与时间()h x 之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间()024x x ££的函数关系式；(2)若大棚内的温度低于10C °时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB BC ，分别为线段，BC x ∥轴，CD 为双曲线的一部分），其中AB 段的关系式为220y x =+．(1)点B 坐标为_______；(2)根据图中数据，求出CD 段双曲线的表达式；(3)一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?5．为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温()y ℃与通电时间()min x 之间的函数关系如图所示．(1)水温从20℃加热到100℃，需要______min ；请直接写出加热过程中水温y 与通电时间x 之间的函数关系式：______；(2)观察判断：在水温下降过程中，y 与x 的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃．现将20℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？6．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为18: 的整数）函数()0k y x x=<的图像为曲线L ，若曲线L 使得18~T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的取值范围是（ ）A ．3628k -<<-B ．2214k -<<-C ．2012k -<<-D ．3426k -<<-7．阅读理解：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”．(1)若A(m ，y 1)，B(m ＋1，y 2)，C(m ＋3，y 3)三点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 是“和谐三数组”，且满足a ＞b ＞c ＞0，求点(,)c c P a b与原点O 的距离OP 的取值范围．8．如图直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，点B 、D 的坐标分别为B （1，0），D （3，3）．（1）点C 的坐标 ；（2）若反比例函数()0k y k x=¹的图象经过直线AC 上的点E ，且点E 的坐标为（2，m ），求m 的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD 相交于点F ，连接EF ，在直线AB 上找一点P ，使得32PEF CEF S S D D =，求点P 的坐标．9．阅读材料：已知,a b 为非负实数，∵2220a b +-=+-=³，∴a b +³“a b =”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知0x >，求函数4y x x =+的最小值．解：令a x =，4b x =，则由a b +³44y x x =+³=．当且仅当4x x=，即2x =时，函数取到最小值，最小值为4．根据以上材料解答下列问题：(1)已知0x >，则当x =______时，函数3y x x=+取到最小值，最小值为______；(2)用篱笆围一个面积为2100m 的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？(3)已知0x >，则自变量x 取何值时，函数229x y x x =-+取到最大值？最大值为多少？。
2023年中考数学高频考点训练——反比例函数的实际运用
2023年中考数学高频考点训练——反比例函数的实际运用一、综合题1．如图，在物理知识中，压强p 与受力面积S 成反比例，点()27.5，在该函数图象上.（1）试确定P 与S 之间的函数解析式；（2）求当4P Pa =时，S 是多少2m 2．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10C ︒，待加热到100C ︒，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温()C y ︒和通电时间()min x 成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20C ︒，接通电源后，水温()C y ︒和通电时间()min x 之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当08x ≤≤和8x a <≤时，y 和x 之间的函数关系式；（2）求出图中a 的值；（3）李老师这天早上730：将饮水机电源打开，若他想在810：上课前喝到不低于40C ︒的开水，则他需要在什么时间段内接水？3．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v （千米/小时）与所用时间t （小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120.（1）求出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇.①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离. 4．如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点，训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线y＝4x上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y＝x上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示）．（1）发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(，)、B(，)和C(，)；（2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．5．某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长AB x=米，BC y=米．（1）求y关于x的函数关系式（不写自变量的取值范围）；（2）能否建造20AB=米的活动场地？请说明理由；（3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出x 的值．（总费用=地面费用+围挡费用）6．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段：当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．（1）求出点A 对应的指标值及AB 段所对应的函数解析式．（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．7．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V （V 为定值，单位：m 3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S （单位：m 2）与其深度d （单位：m ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求储存室的容积V 的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d 需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S 的取值范围．8．某种消毒药喷洒释放完毕开始计时，药物浓度()3mg/m y 与时间()x min 之间的关系如下：时间()x min 2412药物浓度()3mg/m y 1893（1）求y 关于x 的关系式；（2）当药物浓度不低于36mg/m 并且持续时间不少于5min 时消毒算有效，问这次消毒是否有效？．9．五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L ，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km 的某景点，第二天沿原路返回．（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s （单位：km ）与平均耗油量b(单位L/km)的函数关系式；（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L 的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？10．码头工人每天往一艘轮船上装载货物，装载速度y （吨/天）与装完货物所需时间x （天）之间的函数关系如图．（1）求y 与x 之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？11．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作.经过8min 时，材料温度降为600℃.煅烧时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图，已知该材料初始温度是32℃.（1）分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式，并写出自变量工的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长?12．近年来随着科技的发展，药物制剂正朝着三效，即高效、速效、长效；以及三小，即毒性小、副作用小、剂量小的方向发展.缓释片是通过一些特殊的技术和手段，使药物在体内持续释放，从而使药物在体内能长时间的维持有效血药浓度，药物作用更稳定持久.某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第0.5小时起开始起效，第2小时达到最高12微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，血液中含药量y （微克）与时间x （小时）的函数关系如图，并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系.（1）分别求①当0.5≤x≤2时，y 与x 之间的函数表达式为；②当x ＞4时，y 与x 之间的函数表达式为.（2）如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间是多少小时.13．通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称指标）随上课时间的变化而变化.上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降.指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段；当2040x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分.（1）求这个分段函数的表达式；（2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由.14．市政府计划建设一项惠民工程，工程需要运送的土石方总量为105m 3，经招投标后，先锋运输公司承担了运送土石方的任务．（1）直接写出运输公司平均每天运送速度v （单位：m 3/天）与完成任务所需时间t （单位：天）之间的函数关系式；（2）如果每辆车每天平均运送102m 3的土石方，要求不超过50天完成任务，求运输公司平均每天至少安排多少辆车．15．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y （万支）与月份x 之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=kx （x ＞0）的图象经过点C ，与边AB 交于点D ，若，tan ∠AOC=1．（1）求反比例函数解析式；（2）点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值；（3）连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=2.5kvx（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．（1）求k的值．（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？18．解题方法回顾：在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”.解题方法应用：（1）已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE＋PF的值.小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2）解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，∴60ABCD S AB BC =⋅=矩形，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴13AC ==，∴1154AOD ABCD S S == 矩形，11322OA OD AC ===，∴()111222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=⋅+⋅=+ ()1131522PE PF =⨯⨯+=，∴PE ＋PF ＝.（请你填上小陈计算的正确答案）（2）如图，正方形ABCD 的边长为2，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B '，C '，D '.①设AP ＝x ，BB CC DD y ''++'=，求y 与x 的函数关系式，并求出x 取值范围；②直接写出y 的最大值为▲，最小值为▲.19．王老师驾驶小汽车从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t （单位：小时），行驶的平均速度为v （单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.（1）求v 关于t 的函数表达式；（2）王老师上午8点驾驶小汽车从A 地出发.①王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B 地，求小汽车行驶的平均速度v 需达到的范围；②王老师能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由.20．某一农家计划利用已有的一堵长为8m 的墙，用篱笆圈成一个面积为12m 2的矩形ABCD 花园，现在可用的篱笆总长为11m.（1）若设AB x =，BC y =.请写出y 关于x 的函数表达式；（2）若要使11m 的篱笆全部用完，能否围成面积为15m 2的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由；（3）若要使11m 的篱笆全部用完，请写出y 关于x 的第二种函数解析式.请在坐标系中画出两个函数的图象，观察图象，满足条件的围法有几种？请说明理由.答案解析部分1．【答案】解：设kP S =，把()27.5，代入得27.515k =⨯=，∴15P S =，()2求当4P Pa =时，S 是多少2m 解：当4P =Pa 时，有154S =，∴2154S m =.（1）解：设kP S =，把()27.5，代入得27.515k =⨯=，∴15P S =，（2）解：当4P =Pa 时，有154S =，∴2154S m =.【解析】【分析】（1）设P=kS ，将（2，7.5）代入求解可得k ，进而可得P 与S 之间的函数解析式；（2）将P=4代入（1）中的关系式中求解就可得到S.2．【答案】（1）解：当08x ≤≤1y k x b =+，将(020)，，(8100)，的坐标分别代入1y k x b =+得1208100b k b =⎧⎨+=⎩，解得110k =，20b =．∴当08x ≤≤时，1020y x =+．当8x a <≤时，设2k y x =，将(8100)，的坐标代入2k y x =，得2800k =．∴当8x a <≤时，800y x =．综上，当08x ≤≤时，1020y x =+；当8x a <≤时，800y x =；（2）解：将20y =代入800y x=，解得40x =，即40a =；（3）解：当40y =时，8002040x ==．∴要想喝到不低于40C ︒的开水，x 需满足820x ≤≤，即李老师要在7：38到7：50之间接水．【解析】【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；（2）利用（1）中所求解析式，当y=20时，得出答案；（3）当y=40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．3．【答案】（1）解：设函数关系式为v=kt，∵t=5，v=120，∴k=120×5=600，∴v 与t 的函数关系式为v=600t（5≤t≤10）；（2）解：①依题意，得3（v+v-20）=600，解得v=110，经检验，v=110符合题意.当v=110时，v-20=90.答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A 加油站在甲地和B 加油站之间时，110t-（600-90t ）=200，解得t=4，此时110t=110×4=440；当B 加油站在甲地和A 加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220.答：甲地与B 加油站的距离为220或440千米.【解析】【分析】（1）利用时间t 与速度v 成反比例可以得到反比例函数的解析式；（2）①由客车的平均速度为每小时v 千米，得到货车的平均速度为每小时（v-20）千米，根据一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，3小时后两车相遇列出方程，解方程即可；②分两种情况进行讨论：当A 加油站在甲地和B 加油站之间时；当B加油站在甲地和A加油站之间时；都可以根据甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米列出方程，解方程即可.4．【答案】（1）2；2；－2；－2；2；－2；（2）解：作AD⊥x轴于D，连AC、BC和OC，∵A（2，2），∴∠AOD=45°，AO=2，∵C在O的东南45°方向上，∴∠AOC=45°+45°=90°，∵AO=BO，∴AC=BC，又∵∠BAC=60°，∴△ABC为正三角形，∴AC=BC=AB=2AO=4，∴2OC=⋅=，由条件设教练船的速度为3m，A、B两船的速度都为4m，则教练船所用时间为263m，A、B两船所用时间均为424m=2m，∵263m=243m，2m=183m，∴3m＞m；∴教练船没有最先赶到．【解析】【解答】解：（1）CE ⊥x 轴于E ，解方程组4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得1122x y =⎧⎨=⎩，2222x y =-⎧⎨=-⎩∴A （2，2），B （-2，-2），在等边△ABC 中可求OA=2，则OC=OA=2，在Rt △OCE中，sin 45OE CE OC ==⋅︒=，∴C （2，-2）；【分析】（1）A 、B 两点直线y=x 上和双曲线y=4x，列方程组可求A 、B 两点坐标，在依题意判断△ABC 为等边三角形，OA=2，则OC=OA=2，过C 点作x 轴的垂线CE ，垂足为E ，利用OC 在第四象限的角平分线上求OE ，CE ，确定C 点坐标；（2）分别求出AC 、OC 的长，分别表示教练船与A 、B 两船的速度与时间，比较时间的大小即可．5．【答案】（1）解：∵矩形体育场占地面积为64平方米，∴64y x=．（2）解：不能．理由：把20x =代入64y x=，得3.2y =．周长为2(20 3.2)46.445+=>．∴不能建造20AB =米的活动场地．（3）解：活动场地造价为646410.5280.4x x ⎛⎫⨯+⨯+= ⎪⎝⎭．整理得216.4640x x -+=，解得110x =，2 6.4x =．经检验，110x =，2 6.4x =均为原分式方程的解，且符合题意．当110x =时，总周长为64232.845x x ⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭；当2 6.4x =时，总周长为64232.845x x ⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭．综上可得，x 的值为10或6.4．【解析】【分析】（1）根据矩形的面积是64平方米，即可得到xy=64，即64y x=；（2）把x=12代入干壁立函数解析式求出y ，然后计算周长是否超过45即可得到答案；（3）根据题意列出总费用关于x 的方程求解，然后检验周长是否超过45即可得到答案。
第32课时 反比例函数的图像和性质的综合运用(解析版)
第32课时反比例函数的图像和性质的综合运用（解析版）核心考点：1.反比例函数的图像和性质的综合运用；2.反比例函数与一次函数的综合运用；3.反比例与一次函数的综合运用一、考点过关1．（2011•和平区校级自主招生）一次函数y＝ax+12的图象过一、二、四象限，点A（x1，﹣2）、B（x2，4）、C（x3，5）为反比例函数y=a−1x图象上的三点，则下列结论正确的是（ ）A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x3＞x1＞x2D．x2＞x3＞x1【答案】B【思路引领】根据一次函数y＝ax+12的图象过一、二、四象限推知a＜0，所以a﹣1＜0，则反比例函数y=a−1x的图象位于第二、四象限，然后将点A、B、C在反比例函数图象上大致标出，根据图象直接判定x1＞x3＞x2【详解】∵一次函数y＝ax+12的图象过一、二、四象限，∴a＜0，∴a﹣1＜0，∴反比例函数y=a−1x图象位于第二、四象限，其大致图象如图所示：，根据图象知，x1＞x3＞x2；故选：B．【总结提升】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．2．（2022•成县校级模拟）如图，已知A为反比例函数y=kx（x＜0）图象上的一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为1，则k的值为 ﹣2 ．【答案】﹣2．【思路引领】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到12|k|＝1，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【详解】∵AB⊥y轴，∴S△OAB =12|k|＝1，而k＜0，∴k＝﹣2．故答案为﹣2．【总结提升】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．3．（2020•潍坊）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞mx的解集为（ ）A．x＞﹣2B．﹣2＜x＜0或x＞1C．x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1【答案】D【思路引领】结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】∵函数y ＝kx +b （k ≠0）与y =m x (m ≠0)的图象相交于点A （﹣2，3），B （1，﹣6）两点，∴不等式kx +b ＞m x 的解集为：x ＜﹣2或0＜x ＜1，故选：D ．【总结提升】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．4．（2021•潜江模拟）如图，双曲线y =−32x（x ＜0）经过▱ABCO 的对角线交点D ，已知边OC 在y 轴上，且AC ⊥OC 于点C ，则▱OABC 的面积是（ ）A ．32B ．94C ．3D ．6【答案】C【思路引领】根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k 的几何意义，即可得出S ▱ABCO ＝4S △COD ＝2|k |，代入k 值即可得出结论．【详解】∵点D 为▱ABCD 的对角线交点，双曲线y =−32x（x ＜0）经过点D ，AC ⊥y 轴，∴S ▱ABCO ＝4S △COD ＝4×12×|−32|＝3．故选：C ．【总结提升】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k 的几何意义，找出S ▱ABCO ＝4S △COD ＝2|k |是解题的关键．5．（2022春•靖江市期末）如图，在直角坐标系中，点A 在函数y =k x（x ＞0）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y =k x（x ＞0）的图象交于点D ，连结AC ，CB ，BD ，DA ，若四边形ACBD 的面积等于k 的值为（ ）A ．4B ．C ．4D 【答案】见试题解答内容【思路引领】设A （a ，k a ），可求出D （2a ，k 2a），由于对角线垂直，所以面积＝对角线乘积的一半即可．【详解】设A （a ，k a ），可求出D （2a ，k 2a），∵AB ⊥CD ，∴S 四边形ACBD =12AB •CD =12×2a ×k a=解得k ＝故选：B ．【总结提升】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A 和点D 的坐标．6．（2017•东营）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y =n x 的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝3，OD ＝6，△AOB 的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出当x ＞0时，kx +b −n x ＜0的解集．【答案】见试题解答内容【思路引领】（1）根据三角形面积求出OA ，得出A 、B 的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x＝6代入求出C的坐标，把C的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；（2）根据图象即可得出答案．【详解】（1）∵S△AOB＝3，OB＝3，∴OA＝2，∴B（3，0），A（0，﹣2），代入y＝kx+b得：0=3k+b −2=b，解得：k=23，b＝﹣2，∴一次函数y=23x﹣2，∵OD＝6，∴D（6，0），CD⊥x轴，当x＝6时，y=23×6﹣2＝2∴C（6，2），∴n＝6×2＝12，∴反比例函数的解析式是y=12 x；（2）当x＞0时，kx+b−nx＜0的解集是0＜x＜6．【总结提升】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．二、能力提升训练7．（2019•澄江市模拟）如图，反比例函数y=kx的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（ ）A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣3【答案】D【思路引领】将平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，再得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．【详解】如图所示，过点P作PE⊥y轴于点E，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，又∵BD⊥x轴，∴ABDO为矩形，∴AB＝DO，∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝6，∵P为对角线交点，PE⊥y轴，∴四边形PDOE为矩形面积为3，即DO•EO＝3，∴设P点坐标为（x，y），k＝xy＝﹣3，故选：D．【总结提升】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．8．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=kx（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（ ）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】B【思路引领】首先利用m和n表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．【详解】AC＝m﹣1，CQ＝n，则S四边形ACQE＝AC•CQ＝（m﹣1）n＝mn﹣n．∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y=kx（x＞0）的图象上，∴mn＝k＝4（常数）．∴S四边形ACQE＝AC•CQ＝4﹣n，∵当m＞1时，n随m的增大而减小，∴S四边形ACQE＝4﹣n随m的增大而增大．故选：B．【总结提升】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出四边形ACQE的面积是关键．9．（2013•内江）如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【思路引领】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC 的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．【详解】由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE =|k|2，S△OAD=|k|2，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，∴S矩形ABCO ＝4S□ONMG＝4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则k2+k2+9＝4k，解得：k＝3．故选：C．【总结提升】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．10．（2017•南京）函数y1＝x与y2=4x的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ①③ ．【答案】见试题解答内容【思路引领】结合图形判断各个选项是否正确即可．【详解】①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③y＝x+4x=−2）2+4≥4，当且仅当x＝2时取“＝”．即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为：①③．【总结提升】考查根据函数图象判断相应取值；理解图意是解决本题的关键．11．（2018•连云港）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．（1）求k2，n的值；（2）请直接写出不等式k1x+b＜k2x的解集；（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC的面积．【答案】见试题解答内容【思路引领】（1）将A点坐标代入y=k2 x（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；（3）求出对称点坐标，求面积．【详解】（1）将A（4，﹣2）代入y=k2x，得k2＝﹣8．∴y =−8x将（﹣2，n ）代入y =−8xn ＝4．∴k 2＝﹣8，n ＝4（2）根据函数图象可知：﹣2＜x ＜0或x ＞4（3）将A （4，﹣2），B （﹣2，4）代入y ＝k 1x +b ，得k 1＝﹣1，b ＝2∴一次函数的关系式为y ＝﹣x +2与x 轴交于点C （2，0）∴图象沿x 轴翻折后，得A ′（4，2），S △A 'BC ＝（4+2）×（4+2）×12−12×4×4−12×2×2＝8∴△A 'BC 的面积为8．【总结提升】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．三、思维拓展训练12．（2022春•邹城市校级月考）点P ，Q ，R 在反比例函数y =k x（常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1+S 3＝30，则S 2的值为 275 ．【答案】见试题解答内容【思路引领】设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （k 3a ，3a ），Q （k 2a ，2a ），R （k a ，a ），推出CP =k 3a，DQ =k 2a ，ER =k a ，推出OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ，推出S 1=23S 3＝2S 2，根据S 1+S 3＝30，求出S 1，S 3，S 2即可．【详解】∵CD ＝DE ＝OE ，∴可以假设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （k 3a ，3a ），Q （k 2a ，2a ），R （k a，a ），∴CP =k 3a ，DQ =k 2a ，ER =k a，∴OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ，∴S 1=23S 3＝2S 2，∵S 1+S 3＝30，∴S 3＝18，S 1＝12，S 2＝6，故答案为：6．【总结提升】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．13．（2019秋•鼓楼区校级月考）已知一次函数y 1＝kx +n （n ＜0）和反比例函数y 2=m x （m ＞0，x ＞0）．（1）如图1，若n ＝﹣2，且函数y 1、y 2的图象都经过点A （3，4）．①求m ，k 的值；②直接写出当y 1＞y 2时x 的范围；（2）如图2，过点P （1，0）作y 轴的平行线l 与函数y 2的图象相交于点B ，与反比例函数y 3=n x （x ＞0）的图象相交于点 C ．①若k ＝2，直线l 与函数y 1的图象相交点 D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时，求m ﹣n 的值；②过点B 作x 轴的平行线与函数y 1的图象相交于点 E ．当m ﹣n 的值取不大于1的任意实数时，点B 、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．设直线y1交y轴于点F，求DE的最小值．【答案】见试题解答内容【思路引领】（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出；（2）①BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2，由BD＝BC或BD＝DC得：m﹣n＝1或0或4，即可求解；②点E的坐标为（m−nk，m），d＝BC+BE＝m﹣n+（1−m−nk）＝1+（m﹣n）（1−1k），根据点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值，求出k，d的值即可解决问题．【详解】（1）①n＝﹣2将点A（3，4）代入一次函数y1＝kx+n（n＜0）得：3k﹣2＝4，解得：k＝2，将点A（3，4）代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；故答案为：x＞3；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝|2+n﹣m|，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD，即：|2+n﹣m|＝m﹣n或|2+n﹣m|＝2或m＝2+n，即：m﹣n＝1或0或4或2，当m﹣n＝0时，m＝n与题意不符，故m﹣n＝1或4或2；②点E的横坐标为：m−n k，当点E在点B左侧时，d ＝BC +BE ＝m ﹣n +（1−m−n k ）＝1+（m ﹣n ）（1−1k），m ﹣n 的值取不大于1的任意数时，d 始终是一个定值，当1−1k=0时，此时k ＝1，从而d ＝1．当点E 在点B 右侧时，同理BC +BE ＝（m ﹣n ）（1+1k）﹣1，当1+1k=0，k ＝﹣1时，（不合题意舍去）故k ＝1，d ＝1，此时D （1，1+n ），B （1，m ），C （1，n ），y 1＝x +n ，∴∠DEB ＝45°，△DEB 是等腰直角三角形，∴DE =1+n ﹣m ），BC ＝m ﹣n∵m ﹣n ≤12，∴BC 的最大值为12，∵DE +BC ＝1，∴DE 的最小值为12．【总结提升】本题是反比例函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、反比例函数解析式的求法、一次函数和反比例函数的图形与性质、函数定值的求法等知识；关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解。
反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数与一次函数的综合应用反比例函数和一次函数是数学中最常用的函数之一，它们常被用于实际工作中，可以用来模拟、分析和解决实际问题。
本文旨在探讨反比例函数和一次函数在实践中的运用。
详细探讨了反比例函数和一次函数的定义、特点、性质及其综合应用。
反比例函数的定义反比例函数是一种可以求解反比例关系的函数，它是以x和y两个变量组成的一对变量。
反比例函数也可以表示为y与x的倒数的乘积，也就是y=k/x，其中k为常数。
这种变量使得反比例函数有其独特的特征，使得反比例函数与其他函数不同。
反比例函数的特点反比例函数具有以下几个明显的特点：（1）反比例函数的图像为抛物线；（2）反比例函数的导数为负数；（3）反比例函数的函数值与变量值的乘积不变，即yx=k；（4）以反比例函数表示的关系为反比例关系。
一次函数的定义一次函数是一种最为普遍的函数，它由x和y两个变量组成。
一次函数的表达式可以以y=ax+b的形式来表示，其中a为常数，b为常数。
一次函数的特点一次函数具有以下几个明显的特点：（1）一次函数的图像为直线；（2）一次函数的导数为一恒定的常数；（3）一次函数的函数值与变量值的差值不变，即y-b=a(x-0)；（4）以一次函数表示的关系为线性关系。
反比例函数与一次函数的综合应用反比例函数和一次函数能够结合起来运用，用于模拟、分析和解决实际问题。
具体应用如下：1.于具有反比例关系的实际现象，可以用反比例函数建立模型，以研究关系性。
例如，用反比例函数可以研究不同工资水平与物价的变化关系；2.于涉及递减的实际现象，可以用一次函数建立模型，以研究关系性。
例如，用一次函数可以研究不同时间段内物价的变化关系；3.于反比例函数和一次函数具有相似关系的实际现象，可以将它们结合起来建立模型，以研究关系性。
例如，用反比例函数和一次函数可以很好地研究不同金额投资与年利润的变化关系。
结论以上，本文概述了反比例函数和一次函数的定义、特点以及综合应用情况，并且将它们在实践中的运用进行总结，提出了综合应用的建议。
专题九-反比例函数与几何的综合应用
在物理学中，一些物理量之间可能存在反比例关系，如电阻与电流、压力与面积等。通过运用反 比例函数的性质，可以更好地理解和解决这些物理问题。
反比例函数在经济学中的应用
在经济学中，一些经济指标之间可能存在反比例关系，如价格与需求量、成本与产量等。通过运 用反比例函数的性质，可以对这些经济指标进行更准确的预测和分析。
如长度、面积等。
利用反比例函数性质建立关系
02
根据反比例函数的性质，结合几何图形的特点，建立所求最值
与相关量之间的关系。
求解最值
03
通过求解反比例函数的最值，得到所求几何量的最值。
判定存在性问题
根据题意列出方程或不等式
01
根据题目条件，列出与几何图形相关的方程或不等式
。
利用反比例函数性质分析解的情况
反比例关系在圆中的应用
在圆中，当一个圆的半径增加时，其 面积会按平方比例增加，但其周长只 会按线性比例增加。这种关系虽然不 是严格的反比例关系，但也可以用于 解决一些与圆相关的问题。
解题技巧与实例分析
通过利用圆的性质和上述关系， 可以求解一些与圆相关的问题。 例如，已知一个圆的半径和另一 个圆的面积或周长，可以求解未 知圆的半径或面积等。
仔细阅读题目要求，明确题意 ，避免答非所问。
合理安排答题顺序
先做易做的题目，确保会做的 题目不丢分，再攻克难题。
控制答题时间
每道题目分配合理的时间，避 免时间不够用或浪费过多时间
。
检查答案
做完题目后要认真检查答案， 确保没有遗漏或错误。
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解题技巧与实例分析
对于其他几何图形中的反比例关系问题，可以通过设定未知数、利用几何图形的性质和反比例关系来求解。 需要注意的是，在解题过程中要仔细分析题目条件和数据特点，选择合适的解题方法和思路。
2、实际问题与反比例函数汇总
反比例函数实际应用一、知识点详解在中考试题中对反比例函数应用的考查主要有两种形式，一是确定实际问题中的反比例函数解析式，这类问题一般属于跨学科问题，除了要了解一些基本生活常识外还要掌握常见的物理学公式；二是判断实际问题中的函数图象，这类问题一般会综合考查一次函数和二次函数，正确解答这类问题的关键是确定函数关系式，同时注意自变量的取值范围。
二、知识点拨1、实际问题中常见的反比例关系现实世界中有许多含有反比例函数关系和性质的现象，常见的主要有以下几种：（1）面积S 一定，长方形的长a 与宽b 之间的反比例函数关系：a ＝Sb。
（2）体积V 一定，圆柱体的底面积S 与高d 之间的反比例函数关系：S ＝Vd ；（3）压力N 一定，压强P 与接触面积S 之间的反比例函数关系：P ＝NS；（4）质量m 一定，气体压强p 与气体体积V 之间的反比例函数关系：p ＝mV ；（5）功率P 一定，速度v 与所受阻力F 之间的反比例函数关系：v ＝PF；（6）路程S 一定，匀速行驶速度v 与时间t 之间的反比例函数关系：v ＝St ；（7）电压U 一定，电路中电流I 与电阻R 之间的反比例函数关系：I ＝UR；2、反比例函数模型的建立1. 条件：实际问题中的两个变量在变化过程中，它们的积为定值；2. 过程：（1）用两个不同字母表示变量； （2）确定k 的值； （3）建立函数关系式；（4）利用图象及其性质解决问题。
3、实际问题中反比例函数的特点1. 实际问题中反比例函数自变量的取值是有一定范围的，一般情况取正数，有时取正整数，所以在实际问题中，具体问题需要具体分析其自变量、函数的取值。
2. 实际问题中反比例函数的图象往往是在第一象限中的部分或其中的某一段，这与自变量的取值范围有关。
三、经典例题 能力提升类例1 填空题（1）在对物体做功一定的情况下，力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离s （米）成反比例函数关系，其图象如图所示，P （5，1）在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是__________米。
反比例函数与几何的综合应用(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数与几何的综合应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要根据面积或比例来求解问题的情况？”比如，我们如何根据已知的长和宽来求解矩形的面积。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数在几何问题中的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的性质和图像，以及它在几何问题中的应用这两个重点。对于难点部分，比如反比例函数与一次函数的交点求解，我会通过具体例题和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数在几何问题中应用相关的实际问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）反比例函数的定义及其性质：反比例函数的定义，图像特点，以及其在实际中的应用。
举例：y = k/x（k≠0），解释k的取值对函数图像的影响，如k>0时图像位于一、三象限，k<0时图像位于二、四象限。
（2）反比例函数与其他函数的交点问题：分析反比例函数与一次函数、二次函数的交点情况，掌握求解方法。
（二）新课讲授（用时10形如y = k/x（k≠0）的函数，它的图像是一条经过原点的曲线。反比例函数在解决与比例相关的问题时非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用反比例函数来求解矩形的面积，以及它如何帮助我们解决实际问题。
此外，我在课堂上尝试引导同学们提出问题、分析问题并解决问题，目的是培养他们的独立思考能力。但从实际情况来看，同学们在这一方面的表现还不够理想。因此，我计划在接下来的教学中，进一步加强这方面的训练，鼓励同学们敢于提问、善于提问。
第二节 反比例函数的综合应用
第二节 反比例函数的综合应用一、课标导航二、核心纲要1．反比例函数与实际问题．2．反比例函数与一次函数的综合． 3．反比例函数与二次函数的综合． 4．反比例函数与几何的综合，本节重点讲解：反比例函数的综合运用，三、全能突破基 础 演 练1．如图26-2-1所示，反比例函数xmy =的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点M 、N ，已知点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为-1，根据图像信息可得关于x 的方程b kx xm+=的解为( )．1,3.-A 3,3.-B 1,1.-C 1,3.-D2．如图26-2-2所示，函数11-=x y 和函数xy 22=的图像相交于点),,1(),,2(n N m M -若,21y y >则x 的取值范围是( )．201.<<-<x x A 或 21.>-<x x B 或 2001.<<<<-x x C 或 201.><<-x x D 或3．给出下列命题及函数2,x y x y ==和xy 1=的图像，如图26-2-3所示. ①如果,12a a a >>那么;10<<a ②如果,12a a a ->>那么;1>a ③如果,12a a a>>那么;01<<-a④如果a aa >>12时，那么.1-<a 则正确答案是( )．A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③4．阅读以下材料并填空：问题：当x 满足什么条件时，⋅>xx 1 解：设,1,21xy x y ==则在同一直角坐标系中画出这两个函数的草图．如图26-2-4(a)所示. 联立两个函数的解析式得：⎪⎩⎪⎨⎧==,121x y xy 解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧-=-=11y x ∴ 两个图像的交点为(1，1)和（-1，-1）．∴ 由图(a)可知，当01<<-x 或1>x 时，⋅>xx 1(1)上述解题过程用的数学思想方法是(2)根据上述解题过程，试猜想xx 1<时，x 的取值范围是 (图26-2-4(b)为备用图）． (3)试根据上述解题方法，当x 满足什么条件时，⋅>xx 125．如图26-2-5所示，正比例函数x y 21=的图像与反比例函数)0(=/=k xky 在第一象限的图像交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1．(1)求反比例函数的解析式．(2)如果B 为反比例函数在第一象限图像上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1， ①在x 轴上求一点P ，使PB PA +最小； ②在y 轴上求一点Q ，使QB QA -最大．6．如图26-2-6所示，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)0(4>=x xy 的图像与一次函数b x y +-=的图像的一个交点为A(4，m)．(1)求一次函数的解析式．(2)设一次函数b x y +-=的图像与y 轴交于点B ，P 为一次函数b x y +-=的图像上一点，若△OBP 的面积为5，求点P 的坐标．(3)在x 轴上是否存在点P ，使△AO P 为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．7．直线2--=x y 与反比例函数xky =的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴交于C 、D 两点，A 点的坐标 为(-3，k+4)．(1)求反比例函数的解析式．(2)把直线AB 绕着点M （-1，-1）顺时针旋转到MN ，使直线x MN ⊥轴，且与反比例函数的图像交于点N ，求旋转角大小及线段MN 的长．8．据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”。
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课题3：反比例函数的综合运用
复习：反比例函数
反比例函数： 一般地，如果两个变量一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表
示成 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 反比例函数的自变量x不能为零。
反比例函数的图象由两支曲线（双曲线）组成； 当k＞0时，两支双曲线分别位于第一、三象限内，在每一象限内，y的 值随x值的增大而减小； 当k＜0时，两支双曲线分别位于第二、四象限内，在每一象限内，y的 值随x值的增大而增大。 反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形。
y=kx+b的图象交于点A（m,2),点B（-2,n)，一次函数图象与y轴的 交点为C. （1）求一次函数表达式； （2）求C点的坐标；
x
（3）求△AOC的面积.
练习
【解析】（1）把点A（m,2),B(-2,n)分别代入y= 2 得
m=1,n=-1, ∴点A（1,2)，B（-2,-1). 2=k+b ∴解 -1=-2k+b 得 k=1 b=1 .
函数与求面积
（2009〃兰州中考）如图，已知A（-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b
m 的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点. x
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
m （ 2）求直线 AB 与x轴的交点 的坐标 【解析】（ 1 ）把点 B（2,-4)C 代入 y= 得m=-8. x 及△AOB的面积； 8
【解析】(3)x1=-4,x2=2. (4)-4<x<0或x>2.
∴一次函数的表达式为y=-x-2.
例题讲解
（2009〃包头中考）如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函 数y=
k x
的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴 （保留根号）.
于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为
把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3，故k=8；B点坐标是（3，0）； （2）假设存在，设C点坐标是（a，0），则 ∵AB=AC，∴ ， 即（4﹣a）2+4=5，解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去） 故点C的坐标是（5，0）．
反比例函数与一次函数的综合图象
a 在同一坐标系中，函数y=ax+a,y= （a≠0)的图象是图中的 x
∴反比例函数的表达式为 y= , m （ 3）求方程 kx+b=0 的解（请直接写出答案）； x 【解析】 当y=0时， -x-2=0, 8 (2) x ∴n= =2,∴A(-4,2). m 2,∴点 4 （ 4）求不等式 的解集（请直接写出答案） . ∴x= Ckx+b的坐标为（ -2 ， 0） . x <0 把点A、B的坐标分别代入 y=kx+b 1 1 得， ∴S△AOB= S△AOC+S△BOC2 = ×2×2+ 2 ×2×4=6.
【解析】∵S△AOB=1，∴
∴k=2. ∴反比例函数为y=
2 x
k 2
=1,
.
∴交点A的坐标为（1，2）. 又∵C（-1，0），
∴AC=
BC2 AB2 22 22 2 2 .
答案：2 2
练习
【解析】
练习
练习
练习
练习
（2009〃江津中考）如图，反比例函数y= 2 的图象与一次函数
【解析】（1）当a>0时，直线y=ax+a过一、二、三象限，双曲线 y= a 在一、三象限.（2）当a<0时，直线y=ax+a过二、三、四象限， x 双曲线y= a 在二、四象限.综上所述，观察图象知B项正确. x
一次函数的图象性质
反比例函数的图象性质ຫໍສະໝຸດ 反比例函数与一次函数的综合图象
结合一次函数的图象性质 和反比例函数的图象性质
x
∴一次函数的表达式为y=x+1. (2)当x=0时，y=1,∴点C的坐标为（0，1）.
1 2 1 2
(3)S△AOC =
OC·1=
1 2
×1×1= 1 ,
2
∴△AOC的面积为
.
确定反比例函数的关系式
例题：已知反比例函数
(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当－3＜x＜－1时，求y的取值范围． 【解析】 k （ (3)∵当 1）把（ x＝－ 2，3）代入 时，y=－2，当 中得 x=－ 3= 1时， ， y=－6， 2 ∴k=6， 又∵k＞0， ∴反比例函数的解析式是 ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， ； ∴当－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2． （2）∵反比例函数的解析式为 ， ∴xy=6； 反比例函数解析式的确定方法： 分别将点B、C坐标代入，得 （ -1）×6= -6，则点B不在此函数的图象上； 由于在反比例函数关系式： 中，只有一个待定系数k，确定了k的值， 3×2＝6，则点C在此函数的图象上; 也就确定了反比例函数。
反比例函数与一次函数
（2012•广东）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数 的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B． （1）求k的值及点B的坐标； （2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存 在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 （1）把（4，2）代入反比例函数
，得k=8，
（x＞0）