反比例函数的典型综合练习题

反比例函数的典型综合练习题反比例函数综合练习题一．选择题（共18小题）1．如图，▱ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （﹣1，0），B （0，﹣2），顶点C ，D 在双曲线上，边AD交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k 的值等于（ ）A 12B 10C 8D 62．（如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y= （k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为（ ）A 2B 4C 8D 163．如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A 、B 两点，若反比例函数y=（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ． 2≤k≤9B ． 2≤k≤8C ． 2≤k≤5D ．5≤k≤84．（2011•兰州）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数的图象上．若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为（ ）A ． 1B ． ﹣3C ．4 D ． 1或﹣3 A B C y5．如图，A 是反比例函数y ＝k x图像上一点，C 是线段OA 上一点，且OC ：OA ＝1：3作CD ⊥x 轴，垂足为点D ，延长DC 交反比例函数图像于点B ，S △ABC ＝8，则k 的___________．6．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知直线l ：1--=x t ，双曲线xy 1=。

在l 上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…。

记点A n 的横坐标为n a ，若21=a ，a 2015= ▲ ．7．如图所示，点P （3a ，a ）是反比例函数y=（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）A ． y=B ． y=C ． y=D ．y= 8．如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ． 1＜k ＜2B ． 1≤k≤3C ． 1≤k≤4D ．1≤k＜49．如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO=90°，点A 的坐标为（1，2），将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y=（x ＞0）上，则k 的值为（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ．6 10．如图△OAP ，△ABQ 均是等腰直角三角形，点P ，Q 在函数y=（x ＞0）的图象上，直角顶点A ，B 均在x 轴上，则点B 的坐标为（ ）A ． （，0）B ． （，0）C ． （3，0）D ． （，0）11．反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．4二．填空题（共7小题）12如图，双曲线y=（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线．已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为_________ ．13．（2012•武汉）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_________ ．14．已知y=（m+1）是反比例函数，则m= ．15．反比例函数y=（a﹣3）的函数值为4时，自变量x 的值是_________ ．16．如图，A、B是反比例函数y=上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，S 四边形ABDC=14，则k= _________ ．17．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是_________ ．三．解答题（共5小题）18 如图1，已知直线y=2x分别与双曲线y=8/x、y=k/x（x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ．（1）求k的值．（2）如图2，若点A是双曲线y=8/x上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=k/x（x＞0）于点B、C，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；（3）如图3，若点D是直线y=2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．19如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB 上．（1）求证：△AOE 与△BOF 的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P 点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M 、N （M 在N 的左侧），使得以O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 、N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）如图，过原点的直线x k y 1=和x k y 2=与反比例函数x y 1=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时k 1和k 2之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ）（x 2 > x 1 > 0）是函数x y 1=图象上的任意两点，221y y a +=，212x x b +=，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．y xDC B AO21 已知双曲线y=与直线y=相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，﹣n ）作NC ∥x 轴交双曲线y=于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是（﹣8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值；（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式；（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p﹣q的值反比例函数的典型综合练习题参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，▱ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （﹣1，0），B （0，﹣2），顶点C ，D 在双曲线上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k 的值等于（ ）A ．12B ． 10C ． 8D ．6 考点： 反比例函数综合题．专题： 探究型．分析： 分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，过C 点作CH ⊥DG ，垂足为H ，根据CD ∥AB ，CD=AB 可证△CDH≌△ABO ，则CH=AO=1，DH=OB=2，由此设C （m+1，n ），D （m ，n+2），C 、D 两点在双曲线y=上，则（m+1）n=m （n+2），解得n=2m ，设直线AD 解析式为y=ax+b ，将A 、D 两点坐标代入求解析式，确定E 点坐标，求S △ABE ，根据S 四边形BCDE =5S △ABE，列方程求m 、n 的值，根据k=（m+1）n求解．解答：解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，∵ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，AB=CD，∵BO∥DG，∴∠OBC=∠GDE，∴∠HDC=∠ABO，∴△CDH≌△ABO（ASA），∴CH=AO=1，DH=OB=2．设C（m+1，n），D（m，n+2），则（m+1）n=m（n+2）=k，解得n=2m，∴D的坐标是（m，2m+2）．设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得，由①得：a=b，代入②得：mb+b=2m+2，即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，∴，∴y=2x+2，E（0，2），BE=4，∴S △ABE=×BE×AO=2，∵S 四边形BCDE=5S△ABE=5××4×1=10，∴S △ABE +S 四边形BEDM =10，即2+4×m=10，解得m=2，∴n=2m=4，∴k=（m+1）n=3×4=12．故选A ．点评： 本题考查了反比例函数的综合运用，解答此题的关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解．2．（2012•泸州）如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y= （k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为（ ）A ．2B ． 4C ． 8D ．16 考点： 反比例函数系数k 的几何意义；三角形中位线定理．分析：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，根据C是AB的中点得到CN为△ADE的中位线，然后设MN=NB=a，CN=b，AM=2b，根据OM•AM=ON•CN，得到OM=a，最后根据面积=3a•2b÷2=3ab=6求得ab=2从而求得k=a•2b=2ab=4．解答：解：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，如图，∵点C为AB的中点，∴CN为△AMB的中位线，∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b，∵又因为OM•AM=ON•CN∴OM=a∴这样面积=3a•2b÷2=3ab=6，∴ab=2，∴k=a•2b=2ab=4，故选B．点评：本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线．3．（2012•黄石）如图所示，已知A（，y 1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A ． （，0）B ． （1，0）C ． （，0）D ． （，0）考点： 反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系． 专题： 计算题．分析：求出AB 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP ﹣BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可． 解答：解：∵把A （，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=得：y 1=2，y 2=， ∴A （，2），B （2，）， ∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP|＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y=kx+b ， 把A 、B 的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b=， ∴直线AB 的解析式是y=﹣x+， 当y=0时，x=，即P （，0），故选D ．点评： 本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．4．（2012•福州）如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A 、B 两点，若反比例函数y=（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．2≤k≤9 B ． 2≤k≤8 C ． 2≤k≤5 D ．5≤k≤8考点： 反比例函数综合题． 专题： 综合题．分析： 先求出点A 、B 的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC 相交于点C 时k 的取值最小，当与线段AB 相交时，k 能取到最大值，根据直线y=﹣x+6，设交点为（x ，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．解答： 解：∵点C （1，2），BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，∴当x=1时，y=﹣1+6=5，当y=2时，﹣x+6=2，解得x=4，∴点A 、B 的坐标分别为A （4，2），B （1，5），根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k=1×2=2最小，设与线段AB 相交于点（x ，﹣x+6）时k 值最大，则k=x （﹣x+6）=﹣x 2+6x=﹣（x ﹣3）2+9， ∵1≤x≤4，∴当x=3时，k 值最大，此时交点坐标为（3，3），因此，k 的取值范围是2≤k≤9．故选A ．点评： 本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．5．（2012•德州）如图，两个反比例函数和的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形PAB 的面积为（ ）A ．3B ． 4C ．D ．5考点：反比例函数综合题；三角形的面积．分析：设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．解答：解：∵点P在y=上，∴|x p|×|y p|=|k|=1，∴设P 的坐标是（a，）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=﹣上，∴A的坐标是（a，﹣），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，∵B在y=﹣上，∴代入得：=﹣，解得：x=﹣2a，∴B的坐标是（﹣2a，），∴PA=|﹣（﹣）|=，PB=|a﹣（﹣2a）|=3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB=××3a=．故选C．点评：本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．6．（2011•兰州）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（）A ．1B ． ﹣3C ． 4D ．1或﹣3 考点： 待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．专题： 函数思想．分析： 设C （x ，y ）．根据矩形的性质、点A 的坐标分别求出B （﹣2，y ）、D （x ，﹣2）；根据“矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点”及直线AB 的几何意义求得xy=4①，又点C 在反比例函数的图象上，所以将点C 的坐标代入其中求得xy=k 2+2k+1②；联立①②解关于k 的一元二次方程即可． 解答：解：设C （x ，y ）． ∵四边形ABCD 是矩形，点A 的坐标为（﹣2，﹣2），∴B （﹣2，y ）、D （x ，﹣2）； ∵矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，∴设直线BD 的函数关系式为：y=kx ， ∵B （﹣2，y ）、D （x ，﹣2），∴k=，k=，∴=，即xy=4；① 又∵点C 在反比例函数的图象上，∴xy=k 2+2k+1，② 由①②，得k 2+2k ﹣3=0，即（k ﹣1）（k+3）=0，∴k=1或k=﹣3，则k=1或k=﹣3． 故选D ．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质．解答此题的难点是根据C（x，y）求得B、D 两点的坐标，然后根据三角形相似列出方程=，即xy=4．7．（2011•湖州）如图，已知A、B 是反比例函数（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A ．B．C．D．考点：反比例函数综合题；动点问题的函数图象．专题：综合题．分析：当点P在OA上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P在AB上运动时，S不变，当点P在BC上运动时，S随t的增大而减小，根据以上判断做出选择即可．解答：解：当点P在OA上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P在AB上运动时，S不变，∴B、D淘汰；当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，∴C错误．故选A．点评：本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象．8．（2011•河北）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x 轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：①x＜0时，②△OPQ的面积为定值．③x＞0时，y随x的增大而增大．④MQ=2PM．⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（）A ． ①②④B ． ②④⑤C ． ③④⑤D ．②③⑤考点： 反比例函数综合题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积．分析： 根据题意得到当x ＜0时，y=﹣，当x ＞0时，y=，设P （a ，b ），Q （c ，d ），求出ab=﹣2，cd=4，求出△OPQ 的面积是3；x ＞0时，y 随x 的增大而减小；由ab=﹣2，cd=4得到MQ=2PM ；因为∠POQ=90°也行，根据结论即可判断答案．解答： 解：①、x ＜0，y=﹣，∴①错误；②、当x ＜0时，y=﹣，当x ＞0时，y=， 设P （a ，b ），Q （c ，d ），则ab=﹣2，cd=4，∴△OPQ 的面积是（﹣a ）b+cd=3，∴②正确； ③、x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴③错误； ④、∵ab=﹣2，cd=4，∴④正确；⑤设PM=a ，则OM=﹣．则P02=PM 2+OM 2=a 2+（﹣）2=a 2+，QO 2=MQ 2+OM 2=（2a ）2+（﹣）2=4a 2+，PQ 2=PO 2+QO 2=a 2++4a 2+=（3a ）2=9a 2，整理得a 4=2 ∵a 有解，∴∠POQ=90°可能存在，故⑤正确；点评： 本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．9．（2010•孝感）双曲线y=与y=在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积为（ ）A ． 1B ．2 C ．3 D ．4考点： 反比例函数系数k 的几何意义．分析： 如果设直线AB 与x 轴交于点C ，那么△AOB 的面积=△AOC 的面积﹣△COB 的面积．根据反比例函数的比例系数k 的几何意义，知△AOC 的面积=2，△COB 的解答： 解：设直线AB 与x 轴交于点C ．∵AB ∥y 轴，∴AC ⊥x 轴，BC ⊥x 轴．∵点A 在双曲线y=的图象上，∴△AOC 的面积=×4=2．点B 在双曲线y=的图象上，∴△COB 的面积=×2=1． ∴△AOB 的面积=△AOC 的面积﹣△COB 的面积=2﹣1=1． 故选A ．点评： 本题主要考查反比例函数的比例系数k 的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即S=|k|．10．（2010•深圳）如图所示，点P （3a ，a ）是反比例函数y=（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）A ． y=B ．y= C ．y= D ．y=考点：反比例函数图象的对称性．专题：转化思想．分析：根据P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．解答：解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4=40π．因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP==a．于是π=40π，a=±2，（负值舍去），故a=2．P点坐标为（6，2）．将P（6，2）代入y=，得：k=6×2=12．反比例函数解析式为：y=．故选D．点评：此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．11．（2010•攀枝花）如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=（k≠0）A ． 1＜k ＜2B ． 1≤k≤3C ． 1≤k≤4D ．1≤k＜4考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．分析： 先根据题意求出A 点的坐标，再根据AB=AC=2，AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴求出B 、C 两点的坐标，再根据双曲线y=（k≠0）分别经过A 、B 两点时k 的取值范围即可．解答： 解：点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，则把x=1代入y=x 解得y=1，则A 的坐标是（1，1）， ∵AB=AC=2，∴B 点的坐标是（3，1），∴BC 的中点坐标为（2，2）当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；当双曲线y=经过点（2，2）时，k=4，因而1≤k≤4． 故选C ．点评： 本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．12．（2010•长春）如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y=（x ＞0）上，则k 的值为（ ）A ． 2B ．3 C ．4 D ．6考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．分析： 由旋转可得点D 的坐标为（3，2），那么可得到点C的坐标为（3，1），那么k 等于点C 的横纵坐标的积．解答： 解：易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D 的坐标为（3，2），∴点C 的坐标为（3，1）， ∴k=3×1=3．故选B ．点评： 解决本题的关键是利用旋转的性质得到在反比例函数上的点C 的坐标．13．（2010•鞍山）如图△OAP ，△ABQ 均是等腰直角三角形，点P ，Q 在函数y=（x ＞0）的图象上，直角顶点A ，B 均在x 轴上，则点B 的坐标为（ ）A ． （，0）B ． （，0）C ．（3，0） D ． （，0）考点： 反比例函数综合题．专题： 数形结合．分析： 由△OAP 是等腰直角三角形得到PA=OA ，可以设P 点的坐标是（a ，a ），然后把（a ，a ）代入解析式求出a=2，从而求出P 的坐标，接着求出OA 的长，再根据△ABQ 是等腰直角三角形得到BQ=AB ，可以设Q 的纵坐标是b ，因而横坐标是b+2，把Q 的坐标代入解析式即可求出B 的坐标．解答： 解：∵△OAP 是等腰直角三角形∴PA=OA ∴设P 点的坐标是（a ，a ）把（a ，a ）代入解析式得到a=2∴P 的坐标是（2，2）则OA=2∵△ABQ 是等腰直角三角形∴BQ=AB ∴设Q 的纵坐标是b ∴横坐标是b+2把Q 的坐标代入解析式y= ∴b=∴b=﹣1b+2=﹣1+2=+1∴点B 的坐标为（+1，0）．故选B ．点评： 本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰直角三角形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．14．（2009•宁波）反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ． 1B ．2 C ．3 D ．4考点： 反比例函数的性质．分析： 根据图象，当x=2时，函数值在1和2之间，代入解析式即可求解．解答： 解：如图，当x=2时，y=，∵1＜y ＜2，∴1＜＜2，解得2＜k ＜4，所以k=3．故选C ．点评： 解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．15．（2009•眉山）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A 作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC 的周长为（）A ．B．5 C．D．考点：反比例函数综合题．专题：综合题；数形结合．分析：根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b 的方程组，解之即可求出△ABC的周长．解答：解：∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC 的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b ，则：，解得a+b=2，即△ABC的周长=OC+AC=2．故选A．点评：本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问题．16．（2009•鄂州）如图，直y=mx 与双曲线y=交于点A ，B ．过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为点M ，连接BM ．若S △ABM=1，则k 的值是（ ）A ． 1B ．m ﹣1 C ．2 D ．m考点： 反比例函数系数k 的几何意义．分析： 利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知．解答： 解：由图象上的点A 、B 、M 构成的三角形由△AMO 和△BMO 的组成，点A 与点B 关于原点中心对称，∴点A ，B 的纵横坐标的绝对值相等，∴△AMO 和△BMO 的面积相等，且为，∴点A 的横纵坐标的乘积绝对值为1，又因为点A 在第一象限内，所以可知反比例函数的系数k 为1．故选A ．点评： 本题利用了反比例函数的图象在一、三象限和S△=|xy|而确定出k 的值．B 两点，若A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为（ ）A ． ﹣8B ．4 C ．﹣4 D ．考点： 反比例函数图象的对称性．分析： 根据直线y=kx （k ＞0）与双曲线y=两交点A ，B 关于原点对称，求出y 1=﹣y 2，y 2=﹣y 1，代入解析式即可解答．解答： 解：将y=化为xy=2，将A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）分别代入xy=2，得x 1y 1=2，x 2y 2=2．因为y 1和y 2互为相反数，所以y 1=﹣y 2，y 2=﹣y 1．则x 1y 2+x 2y 1=﹣x 1y 1﹣x 2y 2=﹣（x 1y 1+x 2y 2）=﹣（2+2）=﹣4．故选C ．点评： 此题考查了反比例函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵活运用．18．（2007•黔东南州）已知正比例函数y=k 1x （k 1≠0）与反比例函数y=（k 2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它的另一个交点的坐标是（ ） A （2，1）B （﹣2，C （﹣2，D （2，﹣．．﹣1）．1）．1）考点：反比例函数图象的对称性．分析：根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．解答：解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴它的另一个交点的坐标是（2，1）．故选A．点评：此题考查了反比例函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵活运用．二．填空题（共7小题）19．（2012•深圳）如图，双曲线y=（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线．已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为 4 ．考点：反比例函数综合题．分析：由于⊙O和y=（k＞0）都关于y=x对称，于是易求Q点坐标是（3，1），那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去一个边长是1的正方形的面积．解答：解：∵⊙O在第一象限关于y=x对称，y=（k＞0）也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），∴Q点的坐标是（3，1），∴S阴影=1×3+1×3﹣2×1×1=4．故答案是4．点评：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道反比例函数在k＞0时关于y=x对称．20．（2012•武汉）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．考点：反比例函数综合题．分析：由AE=3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k=ab，AB=a，OC=2AB=2a，BD=OD=b，利用S 梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，整理可得ab=，即可得到k的值．解答：解：连DC，如图，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，而点D为OB的中点，∴BD=OD=b，∵S 梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，∴ab=，把A（a，b）代入双曲线y=，∴k=ab=．故答案为．点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系．21．已知y=（m+1）是反比例函数，则m= 1 ．考点：反比例函数的定义．分析：根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令m2﹣2=﹣1、m+1≠0即可．解答：解：∵y=（m+1）是反比例函数，∴，解之得m=1．故答案为：1．点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．22．反比例函数y=（a﹣3）的函数值为4时，自变量x 的值是﹣1 ．考点：反比例函数的定义．分析：根据反比例函数的定义先求出a的值，再求出自变量x的值．解答：解：由函数y=（a﹣3）为反比例函数可知a 2﹣2a﹣4=﹣1，解得a=﹣1，a=3（舍去），又a﹣3≠0，则a≠3，a=﹣1．将a=﹣1，y=4代入关于x的方程4=，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．23．如图，A、B是反比例函数y=上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，S 四边形ABDC=14，则k= 16 ．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：利用已知条件判断点A与点B的纵横坐标正好相反，从而设出点A的坐标，进而求得点B的坐标，利用S ACDB=S△CED﹣S△AEB，求得点A的坐标后，用待定系数法确定出k的值．解答：解：如图，分别延长CA，DB交于点E，根据AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，知△CED为直角三角形，且点A与点B的纵横坐标正好相反，设点A的坐标为（x A，y A），则点B的坐标为（y A，x A），点E的坐标为（y A，y A），四边形ACDB的面积为△CED的面积减去△AEB的面积．CE=ED=y A，AE=BE=y﹣y A，∴S ACDB=S△CED﹣S△AEB=[y A•y A﹣（y A﹣y A）（y A﹣y A）]=y A2=14，∵y A＞0，∴y A=8，点A的坐标为（2，8），∴k=2×8=16．故答案为：16．点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是要构造直角三角形CED，利用S ACDB=S△CED﹣S△AEB计算．24．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y 轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是①②④．考点：反比例函数综合题．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），而A、B两点都在的图象上，故有x 1y1=x2y2=1，而S△ODB=×BD×OD=x2y2=，S△OCA=×OC×AC=x1y1=，故①正确；由A、B两点坐标可知P（x 1，y2），P点在的图象上，故S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k，根据S四边形PAOB=S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA，计算结果，故②正确；由已知得x 1y2=k，即x1•=k，即x1=kx2，由A、B、P三点坐标可知PA=y 2﹣y1=﹣=，PB=x1﹣x2，=（k﹣1）x2，故③错误；当点A是PC的中点时，y2=2y1，代入x1y2=k中，得2x1y1=k，故k=2，代入x1=kx2中，得x1=2x2，可知④正确．解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1y1=x2y2=1，∵S △ODB=×BD×OD=x2y2=，S△OCA=×OC×AC=x1y1=，故①正确；（2）由已知，得P（x1，y2），∵P点在的图象上，∴S 矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k，∴S 四边形PAOB=S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA=k﹣﹣=k﹣1，故②正确；（3）由已知得x 1y2=k，即x1•=k，∴x1=kx2，根据题意，得PA=y 2﹣y1=﹣=，PB=x1﹣x2，=（k﹣1）x2，故③错误；（4）当点A是PC的中点时，y2=2y1，代入x1y2=k中，得2x1y1=k，∴k=2，代入x1=kx2中，得x1=2x2，故④正确．故本题答案为：①②④．点评：本题考查了反比例函数性质的综合运用，涉及点的坐标转化，相等长度的表示方法，三角形、四边形面积的计算，充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k．25．如图，双曲线与直线y=mx相交于A、B两点，M为此双曲线在第一象限内的任一点（M在A点左侧），设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且，，则p﹣q的值为 2 ．考点：反比例函数综合题；平行线分线段成比例．分析：设A（m，n）则B（﹣m，﹣n），过A作AN⊥y轴于N，过M作MH⊥y轴于H，过B作BG⊥y轴于G，根据平行线分线段成比例定理得出=，=，求出p=1+，q=﹣1，代入p﹣q求出即可．解答：解：∵双曲线与直线y=mx相交于A、B两点，∴设A（m，n）则B（﹣m，﹣n），过A作AN⊥y轴于N，过M作MH⊥y轴于H，过B作BG⊥y轴于G，则BG=AN=m，∴MH∥AN∥BG，∴=，∴p===1+=1+，∵=，∴=，即1+=，∴q==﹣1，∵BG=AN，∴p﹣q=（1+）﹣（﹣1）=2．故答案为：2．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理和一次函数与反比例函数的应用，关键是根据平行线分线段成比例定理得出比例式，题目比较好，但有一定的难度．三．解答题（共5小题）26．（2010•荆州）已知：关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k 2=0的两根x1，x2满足x12﹣x22=0，双曲线（x＞0）经过Rt △OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），求S△OBC．考点：反比例函数综合题．分析：首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，然后由x12﹣x22=0得出x1﹣x2=0或x1+x2=0，再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值，由k 的几何意义，可知S △OCA=|k|．如果过D作DE⊥OA于E，则S △ODE=|k|．易证△ODE∽△OBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出S△OBA，最后由S△OBC=S△OBA ﹣S△OCA，得出结果．解答：解：∵x2+（2k﹣1）x+k2=0有两根，∴△=（2k﹣1）2﹣4k2≥0，即．由x12﹣x22=0得：（x1﹣x2）（x1+x2）=0．当x 1+x2=0时，﹣（2k﹣1）=0，解得，不合题意，舍去；当x1﹣x2=0时，x1=x2，△=（2k﹣1）2﹣4k2=0，解得：符合题意．∵y=，∴双曲线的解析式为：．过D作DE⊥OA于E，则．∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，∴，∴，∴．点评：本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．。