数学建模 人口模型
(完整版)数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型一、题目描述建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。
表1 各年份全国总人口数（单位：千万）二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有：0)0(,)(x x x x r dt dx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx ，当mx x =时人口不再增长，即增长率)(=m x r ，代入（2）式得m x rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(0（5）三、模型求解用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005;x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和rx0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。
数学建模 之 人口模型
数学建模———关于人口增长的模型摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。
首先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。
对两种模型的求解，我们引入了微分方程。
其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。
先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。
一、 问题的提出：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百模型一（指数增长模型）1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。
然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。
附图A2、基本假设：人口的增长率是常数增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。
故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。
设人口增长率为常数r 。
时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O由假设，对任意△t>0 ，有)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即：o t →∆lim)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+ 引入微分方程：)1( )0()(0⎪⎩⎪⎨⎧==x x t rx dtdx3、模型求解： 从（1）得rdt xdx= 两边求不定积分：c rt x +=ln∵t=0时0x x =，∴C x =0lnrt e x rt x x 00ln ln ln =+=∴rte x t x 0)(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长.备注； r 的确定方法：要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33.5==r,359.1307.0=e,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(⨯=4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):x(22)=3325.772020的人口为x(23):x(23)=4519.735、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此6、模型讨论：由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。
数学建模-人口增长模型
人口增长模型摘要本文根据某地区的人口统计数据，建立模型估计该地区2010年的人口数量。
首先，通过直观观察人口的变化规律后，我们假设该地区的人口数量是时间的二次函数，建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数，从而可以预测2010年的人口数为333.8668百万。
然后，我们发现从1980年开始该地区的人口增长明显变慢，于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降，从而我们建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为296.3865。
关键字：人口预报，二次函数模型，阻滞增长模型问题重述：根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口 ，同时画出拟合效果的图形。
符号说明)(t x t 时刻的人口数量 0x 初始时刻的人口数量 r 人口增长率m x 环境所能容纳的最大人口数量，即0)( m x r问题分析首先，我们运用Matlab软件[1]编程（见附件1），绘制出1800年到2000年的人口数据图，如图1。
18001820184018601880190019201940196019802000图1 1800年到2000年的人口数据图从图1我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且类似二次函数增长。
所以我们可以建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。
于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。
模型建立模型一：二次函数模型我们假设该地区t时刻的人口数量的人口数量)(tx是时间t的二次函数，即：2()=++x t at bt c我们可以根据最小二乘法，利用已有数据拟合得到具体参数。
即，要求a、b和c，使得以下函数达到最小值：221(,,)()ni i i i E a b c at bt c x ==++-∑其中i x 是i t 时刻该地区的人口数，即有：2222)3.28020002000...)2.718001800(),,(-+⋅+⋅++-+⋅+⋅=c b a c b a c b a E令0,0,0E E E a b c∂∂∂===∂∂∂，可以得到三个关于a 、b 和c 的一次方程，从而可解得a 、b 和c 。
数学建模-人口增长模型
数学建模-人口增长模型人口增长模型是一种基于数理统计学方法的计算机模型，用于描绘全球各地的人口增长情况。
人口增长模型能够预测人口数量、年龄分布、死亡率、出生率、移民等方面的变化趋势，为社会规划带来指导性的建议，具有很高的实用价值。
本文将从多个方面来探究人口增长模型。
一、人口增长的三个阶段第一阶段：原始社会阶段，这个时期的人口增长缓慢。
由于食物水平低下和医疗条件落后，死亡率非常高，而出生率仍然很高。
第二阶段：传统社会阶段，人口增长迅速。
由于改进了农业技术、医疗技术以及水、电、煤等基础设施建设的改善，死亡率降低，但出生率仍然很高。
第三阶段：现代社会阶段，人口增长开始放缓。
由于生育规律的改变，人们生育晚、生育次数减少，导致出生率下降。
另一方面，医疗技术和生活水平的提高，使得人们的寿命增加，死亡率下降。
人口增长模型是一种以数学为基础、能够预测人口增长变化趋势的计算机模型。
它解决了传统的统计分析方法难以预测未来人口增长趋势的问题，方便了研究人口增长对于社会经济发展的影响。
目前，常用的人口模型有四种：1.经验模型：该模型主要是针对已有数据进行平衡分析，所以只能反映人口变动的历史趋势，难以预测未来人口变化。
2. 非参数回归模型：它又称为核回归模型，它是一种无参数模型，可以从数据本身中学习出应该如何比较好地去拟合数据，因此预测效果相较于经验模型提高了不少。
3. 参数回归模型：这种模型较为复杂，它基于特定的模型，通过拟合已有的数据，建立一个完整的模型，目的是预测新的数据变化趋势。
4. 知识驱动模型：该模型结合了经验模型和参数回归模型的基本特点，它将专家的知识与历史数据相结合，通过精细化的调整，建立能够反映人口增长趋势的模型。
该模型可广泛应用于国家人口预测、社会福利计划等领域。
人口增长有其基本的规律，这些规律可以帮助我们更好地了解和解决人口问题。
1.现代社会阶段的人口增长趋势是死亡率下降，而出生率下降，且死亡率的下降速度比出生率的下降速度快。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
【数学建模】人口增长Leslie模型
【数学建模】⼈⼝增长Leslie模型问题分析· ⽤数学建模预测⼈⼝增长的⽅法：差分⽅程、微分⽅程、回归分析、时间序列等.· 结合所给数据以差分⽅程组的Leslie模型为基础.· 考虑不同地区、不同性别⼈⼝参数的差别及农村⼈⼝向城市迁移等因素.· 按照地区和性别建⽴以时间和年龄为基本变量的中国⼈⼝增长模型.· 利⽤历史数据估计⽣育率、死亡率及⼈⼝迁移等参数，代⼊模型求解并作预测.模型假设·中国⼈⼝是封闭系统, 将数据中的市、镇合并为城市, 与农村(乡)作为两个地区; 只考虑农村向城市⼈⼝的单向迁移, 不考虑与境外的相互移民.· 对中短期⼈⼝预测, ⽣育率、死亡率及⼈⼝迁移等参数⽤历史数据估计; 长期预测考虑总和⽣育率的控制、城镇化指数的变化趋势等因素.· ⼥性每胎⽣育⼀个⼦⼥.模型建⽴按地区和性别划分、以年龄为离散变量、随时段演变的⼈⼝发展模型，为4n阶差分⽅程组.参数估计存活率的估计死亡率与年龄关系⼤, 与地区、性别和时间的关系⼩.中国⼏⼗年来死亡率降低较快, 未来趋势仍持续下降.中短期预测：将过去若⼲年不同地区、性别和各年龄⼈⼝的死亡率简单地取平均值.长期预测：⽤统计⽅法对历史数据加以处理，并参考发达国家⼈⼝死亡率的演变过程给出估计值.⽣育率的估计中短期预测：将过去若⼲年不同地区、性别和各年龄⼈⼝的⽣育率简单地取平均值.长期预测：设定⼏个不同⽔平的总和⽣育率.⼈⼝迁移的估计模型求解选定初始年份⽤⼈⼝发展模型递推计算MATLAB实现clc;%初始化，设置各种参数和初始⼈数矩阵x = [206.46422.50478.72229.9253.44]';%x0⼥性各阶段⼈数%x0 = x .*0.4988x0 = [102.9822210.7430238.7855114.684126.6559]';%H为状态转移矩阵，其实是存活矩阵H = zeros(5,5);H(2)=0.88; H(8)=0.97; H(14)=0.86; H(20)=0.22;%B是⽣育矩阵，即各个年龄段妇⼥的⽣育率B = [020.300];for n =1:1:5%y是x之下⼀年的⼈⼝数⽬，尚不包括迁移⼈数和1岁的⼈数y = H*x;%y(1)是下⼀年1岁的⼈⼝数⽬，即今年刚出⽣的⼈y(1)= B*x0;%g是迁移⼈数，也得按照年龄⽐例来存储数据g = [301201202010]';%迁移⼈数加到y上y = y + g;%求与y对应的年份的各个年龄段妇⼥⼈数%包括x0中存活下来的，迁移的⼀部分，第⼀时间段为刚出⽣的⼥性⼈数 y0 = zeros(5,1);y0(1)= y(1)/2;%或y(1)乘以⼥婴占总男⼥婴的⽐例for i=1:1:4y0(i+1)= x0(i)*H(i+1+5*(i-1));endg0 = g ./2;y0 = y0 + g0;%g0为迁移过来的各个年龄段的⼥性⼈数disp(2008+n*20)zong = y'nv = y0'x = y;x0 = y0;end%⾃此，则完成了⼀轮的计算%要预测更多，只需要循环计算以上步骤即可。
数学建模人口模型人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究【摘要】本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。
2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。
首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。
在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。
然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。
与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。
对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。
同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。
并做出了拟合函数0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ⨯+=⨯-。
中学数学建模案例分析——以人口模型为例
借助正方体模型，可以把研究对象置于更大的背景之中，从而在整体上更好地看清各部分之间的关系．掌握正方体的结构特征，以正方体为模型可以“生成”许多优美的空间问题，许多空间问题如果将它置于正方体模型之中，其结果甚至可以一望而解．正如上述全国Ⅰ卷高考题，如果善用正方体模型，很容易根据其完美的对称性发现截面面积取最值时的特殊位置．（2）深入学科的软件支持工欲善其事，必先利其器．教师在教学过程要善于合理地利用“利器”——深入学科的数学教学软件，如几何画板、GeoGebra以及Z Z+智能教育平台系列中的超级画板等，利用信息技术独特的优势来优化空间立体几何的教学呈现方式，帮助学生突破认知障碍，发展直观想象的素养．学立体几何的目的绝对不是学会用以不变应万变的“向量法”解出高考题，而应当让学生体验到“做数学”的乐趣．在立体几何软件和平台的支持下，基于信息技术的立体几何教学可以更好地落实三维教学目标，帮助学生认识反映现实的几何空间，学会几何思维方法，培养学生的空间想象能力及逻辑推理能力，让学生在数学抽象和直观想象两大核心素养中自如切换．参考文献[1]邵光华．论空间想象能力与几何教学[J]．课程·教材·教法，1996（7）：32-36[2]周顺钿．正方体模型的开发和利用[J]．数学通报，2017（8）：35-41[3]徐章韬，刘郑，刘观海等．信息技术支持下的学科教学知识之课例研究[J]．中国电化教育，2013（1）：94-99中学数学建模案例分析——以人口模型为例李虎广东省中山市第一中学（528403）2017年，《普通高中数学课程标准》正式颁布，数学建模素养为六大数学核心素养之一．布鲁姆的认知目标分类体系中，把认知学习领域目标分为识记、理解、运用、分析、综合及评价，其中运用、分析、综合及评价属于高阶思维活动，对人的发展起到更重要的作用．数学建模是很好地培养学生高阶思维的素材．人口数量和人口结构与一个国家的经济紧密相关．合理预测人口数量对一系列政策的制定有导向性作用．人口预测的研究吸引了大批的科研人员，经典的人口模型也非常多，本文针对高中生可以接受的情况，介绍了两个经典模型，一个是马尔萨斯模型，一个是Logistic人口模型，并应用模型对未来几年的人口进行了预测．通过两个模型，以期培养学生的批判性思维和用发展的眼光看问题的能力，旨在提升学生的数学建模素养．1 问题提出问题：在知道当前或过去某个时刻的人口数量的情况下，如何预测未来某个时刻的人口数量？2 经典人口模型2.1 马尔萨斯人口模型用()p t表示t时刻的人口数，r表示年平均增长率，则()()()p t t p t rp t t+∆−=∆，起始时刻为0t，记00()p t p=．令0t∆→，得00()()()p t rp tp t p′==，，则0()()e r t tp t p−=．人民教育出版社A版必修1第124页例4有这个模型的介绍，题目中选取了1950-1959年数据，利用年平均增长率的平均值来估计r的值，求得解析式为0.022155196e ty=，是一个指数型函数模型，教材利用这一模型预测了中国1989年人口数量将超过13亿，笔者查阅中华人民共和国国家统计局数据，显示1989年人口数据是112704万人，可见预测出现了很大的偏差．从教材上看，1950-1959年数据拟合效果非常好，问题出在哪里？笔者认为，马尔萨斯模型作为经典的人口模型，有必要给学生介绍其来历，而不是简单地告诉学生一个结论，虽然学生当时学生不懂，但是埋下了常微分方程的种子，在学生的知识储备达到一定程度，它就会生根发芽．这个模型有自身的缺陷，把问题抛出来，让学生利用课余时间去查阅资料，了解误差产生的来源，培养学生查阅资料，搜集文献，综合思考问题的能力，找出模型的缺陷，锻炼学生综合和评价等高阶思维．2.2 Logistic 人口模型马尔萨斯模型中假定了r 是常数，而r 是随着时间变化而变化的．考虑r 是变化的，将r 看成t 的函数．下面以我国人口模型为例，介绍Logistic 模型．假设我国最多能够支撑的人口数量为K ，()P t 表示t 时刻的人口数量，()()(1)p t r t r K=−，则人口满足下面的模型：00()()(1)()()P t P t r P t KP t P′=− = ，，求解得()P t = 0()1e r t t KC −−+，00K P C P −=．本模型中有两个参数r K ，．需要通过往年的数据来拟合这两个参数．首先查阅《中国人口统计年鉴》和中国人口统计报告筛选符合要求的数据，1980年始，我国确定计划生育为我国的一项基本国策，由于国家的政策对人口数量的变化有很大影响，因此必须避免国家政策的影响；同时，在1981年我国的人口突破10亿大关．考虑上述条件，将1981年以前的人口数据剔除，得到下面数据表格，如表1．表1 中国历年人口总数年份 （年） 人口 （万人） 年份 （年） 人口 （万人） 年份 （年） 人口 （万人） 1981 100072 1982 101654 1983 103008 1984 104357 1985 105851 1986 107507 1987 109300 1988 111026 1989 112704 1990 114333 1991 115823 1992 117171 1993 118517 1994 119850 1995 121121 1996 122389 1997 123626 1998 124761 1999 125786 2000 126743 2001 127627 2002 128453 2003 129227 2004 129988 2005 130756 2006 131448 2007 132129 2008 132802 2009 133450 2010 134091 2011 134735 2012 135404 2013 137054 2014 136782 2015 137462 2016 138271 2017 139008 2018 139538r K ，确定方法1：选择012t t t ，，三年的人口数据012P P P ，，， 其中1021t t t t β−=−=， 由101(1)e r K P KP β−=+−，211(1)e r K P KP β−=+−，111P K =+011()e r P K β−−，211111()e r P K P K β−=+−， 12011111()e r P P P P β−−=−， 故0112111ln 11P P r P P β−=−，101e 11e r r K P P ββ−−−=−．计算得0.0593r =，144930K =万人．0.0593144930()1449301(1)e 100072tP t −=+−，0t >．利用此模型预测最近二十年人口，并计算误差值，如表2．表2 中国各年份实际人口数、预测值及预测误差年份 实际人口 /万人 预测人口 /万人 误差 /万人 百分比 1999 125786 125572 214 0.001701 2000 126743 126545 198 0.001562 2001 127627 127476 151 0.001183 2002 128453 128367 86 0.00067 2003 129227 129217 10 7.74E-05 2004 129988 130028 -40 -0.00031 2005 130756 130803 -47 -0.00036 2006 131448 131541 -93 -0.00071 2007 132129 132244 -115 -0.00087 2008 132802 132914 -112 -0.00084 2009 133450 133552 -102 -0.00076 2010 134091 134158 -67 -0.0005 2011 134735 134735 0 0 2012 135404 135283 121 0.000894 2013 137054 135803 1251 0.009128 2014 136782 136297 485 0.003546 2015 137462 136766 696 0.005063 2016 138271 137211 1060 0.007666 2017 139008 137633 1375 0.009892 201813953813803415040.010778由表2可以看出预测值和真实值很接近，误差都保持在很小的范围．说明本模型很好的反映了这一阶段我国人口的变化情况．r K ，确定方法2：将这个连续的模型离散化，用回归分析来求解此模型．(1)()()()P t P t rr P t P t K+−=−，即年增长率可以看成年份的线性函数，用线性回归即可（如图1）．利用MATLAB 进行回归求解（代码见附录），得到0.0509r =，150590K =，所以()P t =0.05091505901505901(1)e 100072t−+−，0t >．图1 1981年至2018年预测值与人口实际值的拟合图Logistic 人口模型是对马尔萨斯模型的进一步完善，更符合实际情形，误差也在合理的范围内．笔者认为从发展的角度看，应该把此模型和马尔萨斯模型放在一起让学生了解，让学生去比较判断．从模型的建立可以看到，要建立此模型需要确定参数，如何估计参数，需要搜集数据，用到数据拟合．让学生去思考，去搜集，可以培养学生搜集、整理数据等数据处理能力，同时又要用到信息技术，需要去学习软件对应的拟合函数，对学生的综合能力提升有较高的教育价值．模型的拟合效果好不好，涉及评价环节，有哪些评价指标？此模型的缺陷是什么？适用范围又是什么呢？还有哪些较好的人口预测模型，缺陷是什么？有没有一个完美的人口预测模型呢？让学生把此建模问题扩展开，作为一个项目来研究，扩充自己的知识面，同时提升自己的批判性思维．这样的学习方式，更符合脑科学的规律．3 人口预测若采用0.0593144930()1449301(1)e 100072tP t −=+−，0t >来预测未来8年国内的人口数，得到如下结果（表3）．表3 未来8年人口数预测表（1）年份 人口 /万人 2019 138413 2020 138772 2021 139112 2022 139435 2023 139740 2024 140028 2025 140302 2026140560若采用0.0509150590()1505901(1)e 100072tP t −=+−，0t >来预测未来8年国内的人口数，得到如下结果（表4）．表4 未来8年人口数预测表（2）年份 人口 /万人 2019 140349 2020 140825 2021 141279 2022 141714 2023 142130 2024 142527 2025 142907 20261432702018年国内人口数为139538（万），可见后面这个模型更精确一些，因为建模中充分考虑了数据的整体性．4 模型价值本文介绍了经典的马尔萨斯人口模型，该模型是一个指数型函数模型，在教材的指数函数应用章节中有体现，但是该模型是在资源极大丰富，没有政策和疾病影响等情况下进行的．显然不符合目前的人口增长情况．但是作为一个经典的人口模型，学生需要去了解．为了克服上述模型带来的预测误差较大问题，本文介绍了第二种人口模型，即Logistic 人口模型，对上述模型的缺点进行了弥补．从预测效果来看很好的反应了1980-2018年间国内人口的变化情况．因为这一阶段各项政策基本稳定，医疗，公共服务，男女比例等问题相对均衡．目前国内全面开放二孩政策，对人口数增长有一定促进作用，长期来看人口的增速会有所加强，但国内人口老龄化也在加剧，死亡率可能在一定时期加大．可以鼓励学生去搜集数据，研究二孩政策对未来几年人口的影响，以及人口老龄化对未来社会，经济生活带来的影响．可以成立小组，让学生彼此之间合作，虽然开始做起来会比较困难，相信随着学生不断地去尝试，慢慢会体会到其中的乐趣．参考文献[1]王勇．Logistic 人口模型的求解问题[J]．哈尔滨商业大学学报(自然科学版)，2006（5）：58-59 [2]任运平，杨建雅．Logistic 人口模型的改进[J]．运城高等专科学校学报，1999（6）：23-24附录 MATLAB 程序代码参数r K，估计代码：t=0：1：37； %令1981年为0，2018年为37，间隔为1年P=[100072，101654，103008，104357，105851，107507，109300，111026，112704，114333，115823，117171，118517，119850，121121，122389，123626，124761，125786，126743，127627，128453，129227，129988，130756，131448，132129，132802，133450，134091，134735，135404，137054，136782，137462，138271，139008，139538]； %1981年到2018年的人口数据P1=[100072，101654，103008，104357，105851，107507，109300，111026，112704，114333，115823，117171，118517，119850，121121，122389，123626，124761，125786，126743，127627，128453，129227，129988，130756，131448，132129，132802，133450，134091，134735，135404，137054，136782，137462，138271，139008]； %1981年到2017年的人口数据P2=[101654，103008，104357，105851，107507，109300，111026，112704，114333，115823，117171，118517，119850，121121，122389，123626，124761，125786，126743，127627，128453，129227，129988，130756，131448，132129，132802，133450，134091，134735，135404，137054，136782，137462，138271，139008，139538]； %1982年到2018年的人口数据rn=（P2-P1）．/P2；%每一年的人口增长率cs=polyfit（P2，rn，1）；%最小二乘法的拟合公式r=cs（2），K=-r/cs（1）%r K，的值预测函数拟合图代码：t=1981：1：2018；P=[100072，101654，103008，104357，105851，107507，109300，111026，112704，114333，115823，117171，118517，119850，121121，122389，123626，124761，125786，126743，127627，128453，129227，129988，130756，131448，132129，132802，133450，134091，134735，135404，137054，136782，137462，138271，139008，139538]； %1981年到2018年的人口数据t1=0：1：37；YP=150590．/（1+（150590/100072-1）*exp（-0．0509*t1））；%1981年到2018年人口预测值plot（t，P，'*'，t，YP，'-r'） %实际值与预测值得拟合图title（'1981年到2018年预测值与人口实际值的拟合图'）%画拟合图（本文系中山市2018年重点项目课题《高中数学学科核心素养之数学建模的教学实践研究》（课题编号：A2018021）的阶段性研究成果）例谈信息技术与高中数学教学的深度融合许如意福建省晋江市紫峰中学（362200）在2018年泉州市教育系统高中教师教育教学信息化应用技能岗位练兵竞赛中，笔者有幸以《阿波罗尼斯圆》通过了淘汰率高达80%的初赛环节，进入复赛，并在后续比赛中获奖．下面以《阿波罗尼斯圆》这一节课中信息技术的使用情况为例，谈谈自己对信息技术与高中数学课程深度融合的思考，以期抛砖引玉．1 信息技术与高中数学教学深度融合的案例在《阿波罗尼斯圆》这节课中，基于人教A版必修2习题4.1的B组题3（已知点M与两个定点(00)O，，(30)A，的距离之比为12，求点M的轨迹方程），我们设置了一个类比椭圆、双曲线的轨迹，猜想平面内到两个定点的距离之比等于常数的点的轨迹，并利用信息技术验证猜想，然后给出一般结论的教学环节．在这个环节需要一个合适的专业数学软件来支持教学设想的顺利展开．根据所在学校的硬件条件以及学生的情况（有开设《几何画板》校本选修课），我们选择了《几何画板》，并设计了如下方案．方案1①根据定点(00)O，，(30)A，与定比12，计算出阿波罗尼斯圆的方程并画出圆，作出两定点；②在圆上任意取一个点M，连接MO MA，，度量MOMA；③隐藏圆，追踪点M的轨迹，这样就形成了一个阿波罗尼斯圆的动画．《普通高中数学课程标准（2017）》提出：重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合．教师应重视信息技术的运用，优化课堂教学，转变教学与学习方式．例如，为学生理解概念创设背景，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观，引导学生自主获取资源．上述方案能达到课程标准所提出的“为学生探索规律启发思路”吗？能体现信息技术与数学课程的深度融合吗？在方案设置好之后，笔者进行了反思．方案一只能体现在定点(00)O，，(30)A，与定比12条件下的阿波罗尼斯圆，而学生在验证环节，需要改变定点或定比来探索一般情况下动点M的轨迹．因此，笔者将方案1进行了修改．方案2①设置参数1t，用参数1t表示MOMA；②在x轴上任意取一点F，度量其横坐标值为。
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SI 模型
~日
接触率
建模
N [ i ( t t ) i ( t )] [ s ( t )] Ni ( t ) t
di dt si
s (t ) i (t ) 1
di i (1 i ) dt i(0) i 0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
di i (1 i ) dt i(0) i 0
Logistic 模型
i (t )
1 1 t 1 1 e i0
t
tm
1
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 ln i 1 0
1 0.8 0.6 s(t)
i
0.3 0.2
相轨线i(s)
0.4 0.2 0 i(t)
0.1 P0
s
1
0
10
20
30
40
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
i(t)从初值增长到最大; t, i0. s(t)单调减; t, s0.04.
模型4
SIR模型的相轨线分析 消去dt
/
di d t si i ds si dt i (0 ) i0 , s (0 ) s 0
无法求出 i ( t ), s ( t )
的解析解
先做数值计算, 再在相平面上研 究解析解性质
模型4
SIR模型的数值解
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用 MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
0.4
di d t si i , i (0 ) i0 d s si , s (0 ) s 0 dt
第五章
5.1
微分方程模型
传染病模型
5.2
5.3
经济增长模型
正规战与游击战
5.4
5.5 5.7
药物在体内的分布与排除
香烟过滤嘴的作用 烟雾的扩散与消失
5.6 人口的预测和控制 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程.
• 分析对象特征的变化规律.
• 预报对象特征的未来性态.
1 di ds s 1 i i0 s s0
相轨线
i ( s ) ( s 0 i0 ) s
i
1
1
相轨线 i ( s ) 的定义域
D {( s , i ) s 0 , i 0 , s i 1}
ln
感染期内有效接触使健康者感 染的人数不超过原有的病人数
接触数 =1 ~ 阈值
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者.
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i ( t ), s ( t ), r ( t ).
i ( t ) i0 e
t
ti
?
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i ( t ), s ( t ) . 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病.
1
>1
i i0
1-1/
)]
接触数 (感染期内每个 病人的有效接触人数)
i i0
>1
1
di/dt < 0
O
1-1/
1 i
i0
O
1 , 1 1 i( ) 0, 1
ห้องสมุดไป่ตู้
1
t
O
t
i(t)单调下降
>1, i0< 1-1/
i(t)按S形曲线增长
• 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
5.1 传染病模型
背景 与 问题
传染病的极大危害(艾滋病、SARS、) • 描述传染病的传播过程. • 分析受感染人数的变化规律. • 预报传染病高潮到来的时刻. • 预防传染病蔓延的手段.
di i (1 i ) i dt i (0 ) i 0
i[ i (1
1
)]
/
~ 日接触率
1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
模型3
di/dt
di dt
i[ i (1
t i1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
N [ s ( t t ) s ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t
di dt si i ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
i 0 s 0 1 (通常r(0)=r0很小)
基本 不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理, 方法 而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i (t t ) i (t ) i (t ) t
di dt i (0 ) i0 i