数学二次函数总结
数学-二次函数知识点总结
二次函数知识点一、常用二次函数1.()2y a x h k =-+2.2y ax bx c =++1）画图注意事项开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.注：a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．b 决定了抛物线对称轴的位置．c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．2）函数性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2bx a=-当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．a <向下2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2bx a=-当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．二、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．三、二次函数的平移规律图示“左加右减，上加下减”四、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2.关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3.关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5.关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．五、二次函数与一元二次方程1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.2.图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.其中：当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．3.抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c。
高中数学二次函数知识点总结
高中数学二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，本文将对二次函数的知识点进行总结和概述。
一、基本概念1. 二次函数的标准形式是 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数，$a \neq 0$。
2. 二次函数的图像是抛物线，开口方向由 $a$ 的符号决定。
正值 $a$ 的函数开口向上，负值 $a$ 的函数开口向下。
3. 二次函数的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$。
4. 零点是指函数取值为 $0$ 的横坐标，可以通过求解二次方程$ax^2 +bx + c = 0$ 来确定。
二、性质和特点1. 对称轴是指二次函数图像的对称轴，由顶点确定。
2. 函数的奇偶性由系数 $a$ 的奇偶性确定。
奇函数关于原点对称，偶函数关于 $y$ 轴对称。
3. 二次函数的最值由 $a$ 的符号决定。
对于开口向上的函数，最小值是 $f(-\frac{b}{2a})$；对于开口向下的函数，最大值是 $f(-\frac{b}{2a})$。
三、变形与图像的平移、翻折1. 二次函数的变形包括对 $a$、$b$、$c$ 进行系数的调整。
2. 平移：对函数图像进行上下平移或左右平移。
水平平移$h$ 个单位：$f(x) \to f(x - h)$；垂直平移 $k$ 个单位：$f(x) \to f(x) + k$。
3. 翻折：对函数图像进行关于 $x$ 轴、$y$ 轴或原点的翻折。
四、相关定理和公式1. 零点定理：二次函数有 $0$、$1$ 或 $2$ 个零点，取决于判别式的值。
判别式为 $b^2 - 4ac$。
2. 平方差公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
3. 配方法解二次方程：当判别式大于等于 $0$ 时，可以使用配方法解二次方程。
4. 根与系数的关系式：设 $x_1$ 和 $x_2$ 是二次函数的两个根，则有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 和 $x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将对二次函数的定义、性质、图像及其相关内容进行总结。
一、二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a 表示二次项的系数，b 表示一次项的系数，c 表示常数项。
二次函数的定义域为全体实数集。
二、二次函数的性质1. 凹凸性：二次函数的凹凸性取决于a 的正负性。
当a > 0 时，函数图像开口向上，为凹函数；当 a < 0 时，函数图像开口向下，为凸函数。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是 x = -b / (2a)。
对称轴是图像的中心线，函数图像关于对称轴对称。
3. 零点：二次函数的零点是指函数值等于零的 x 值。
二次函数的零点可以有 0、1 或 2 个。
当判别式 D = b^2 - 4ac > 0 时，有 2个不同的实零点；当 D = 0 时，有一个实零点；当 D < 0 时，没有实零点。
4. 最值：当二次函数的开口向上时，函数的最小值为 f(-b / (2a)) = c - (b^2 - 4ac) / (4a)；当二次函数的开口向下时，函数的最大值为 f(-b / (2a)) = c + (b^2 - 4ac) / (4a)。
三、二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其开口方向、顶点、对称轴和零点等特征在前面已经介绍过。
关于图像的绘制，可以根据以下步骤进行：1. 确定顶点：顶点的横坐标为 -b / (2a)，纵坐标为 f(-b / (2a))。
2. 确定对称轴：对称轴的方程为 x = -b / (2a)。
3. 确定开口方向：根据 a 的正负性可以确定开口方向。
4. 确定零点：根据判别式 D 的值可以确定零点的情况。
除了以上内容，二次函数还与一些相关概念有密切联系：1. 判别式：二次函数的判别式 D = b^2 - 4ac 可以用来判断二次函数的零点情况。
二次函数总结
二次函数总结二次函数是数学中一种常见且重要的函数形式。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数是一个拱形曲线，它在数学、物理和经济等领域都有广泛的应用。
在本文中，将对二次函数的性质、图像、方程以及实际问题中的应用进行总结和探讨。
一、二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最基本的是二次项的系数a 决定了函数的开口方向。
当a大于零时，二次函数的图像开口向上，形成一个U型；当a小于零时，二次函数的图像开口向下，形成一个倒U型。
另一个重要性质是二次函数的对称轴与顶点。
对称轴是函数图像上对称的线，它通过顶点，并且与x轴垂直。
顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的横坐标可以通过-b/2a来确定。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形曲线，其形状由a的正负决定。
当a大于零时，图像开口向上，当a小于零时，图像开口向下。
图像的形状还与常数b和c的取值相关。
常数b决定了图像在x方向上的平移，即左右移动；常数c决定了图像在y方向上的平移，即上下移动。
通过改变这些常数的取值，可以使图像的位置和形状发生变化，从而满足不同的条件。
三、二次函数的方程解二次函数的方程是一个重要的应用技巧，因为它可以帮助我们找到函数图像与坐标轴的交点。
二次函数的方程可以通过将f(x)设置为零来表示，即ax^2 + bx + c = 0。
解这个方程可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，也称为二次方程的根式解。
这个解式给出了二次函数与x轴的交点的横坐标。
方程的解有三种情况：当Δ = b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不同的实数解；当Δ等于零时，方程有一个实数解；当Δ小于零时，方程没有实数解。
四、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
其中一个常见的应用是抛物线的运动模型。
当我们抛出一个物体时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义二次函数是一个数学函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量，a、b和c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
另外，二次函数的图像还有一个顶点，可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得。
3. 二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最重要的就是顶点坐标的计算方法。
具体来说，可以通过求出二次函数的导数，然后令导数等于0来求得函数的极值点。
另外，二次函数还有一个重要的特点，就是它的图像是对称的。
具体来说，二次函数的图像关于顶点对称。
4. 二次函数的解析式二次函数的解析式一般可以写成一般式f(x) = ax² + bx + c，也可以写成顶点式f(x) = a(x-h)² + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
通过解析式，可以方便地求得二次函数的相关性质，比如顶点坐标、根的个数和方向等。
5. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程有着密切的关系。
事实上，二次函数的图像就是二次方程y = ax² + bx + c的图像。
二次函数的图像是由二次方程y = ax² + bx + c的解析式所确定的。
而二次方程则可以通过求解二次函数的零点来求得。
6. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如，物体的自由落体运动、抛物线的轨迹、天桥的设计等都可以通过二次函数来描述和求解。
另外，二次函数还可以用来描述一些生活中的变化规律，比如描绘人口增长、销售额变化等。
以上就是初中数学二次函数的知识点总结，希望可以帮助学生更好地掌握这一重要的数学概念。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。
4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。
三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。
2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。
四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。
2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。
3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。
五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。
2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。
3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。
六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。
2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。
二次函数(最全的中考数学二次函数知识点总结)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法➢ 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；➢ 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；➢ 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ➢ 二次函数2ax y =的性质✧ 二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ ✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.➢a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.➢ 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . ➢ 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 ➢ 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大 小．➢ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：➢ 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式➢ 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ➢ 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.➢ 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点➢y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.➢ 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a cx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．➢ 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-➢ 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移➢ 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： ➢【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
(完整版)初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲二次函数二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。
在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。
它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。
因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。
学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f(-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。
一、“四个二次型”概述在河南教育出版社出版的《漫谈ax2+bx+c》一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”：→a=0 →↑↑↑↑（一元）二次三项式→a=0 →ax2+bx+c(a≠0)↓↓↓↓↓↓↓↓→a=0 →↓↓↓一元二次不等式→a=0 →ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。
故将它们合称为“四个二次型”。
其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。
而二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X 的取值范围是全体实数，即n ∈R ；它的解析式f(x)即是二次三项式ax 2+bx+c(a ≠0)；若y=0，即ax 2+bx+c=0（a ≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax 2+bx+c>0或ax 2+bx+c<0（a ≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。
讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。
一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。
心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。
二、二次函数的解析式上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数a ≠0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。
因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。
Y=ax 2+bx+c(a ≠0)中有三个字母系数a 、b 、c ，确定二次函数的解析式就是确定字母a 、b 、c 的取值。
三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。
二次函数有四种待定形式： 1．标准式（定义式）：f(x)=ax 2+bx+c.(a ≠0) 2．顶点式： f(x)=a(x-h)2+k .(a ≠0) 3．两根式（零点式）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2). (a ≠0)4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》）过三点A （x 1,f (x 1)）、B （x 2,f (x 2)）、C （x 3,f (x 3)）的二次函数可设为 f (x)=a 1(x-x 2)(x-x 3)+a 2(x-x 1)(x-x 3)+a 3(x-x 1)(x-x 2)把ABC 坐标依次代入，即令x=x 1,x 2,x 3,得f (x 1)=a 1(x 1-x 2)(x 1-x 3)， f (x 2)=a 2(x 2-x 1)(x 2-x 3)， f (x 3)=a 3(x 3-x 1)(x 3-x 2)解之，得：a 1=f (x 1)/ (x 1-x 2)(x 1-x 3)，a 2=f (x 2)/ (x 2-x 1)(x 2-x 3)，a 3=f (x 3)/ (x 3-x 1)(x 3-x 2)从而得二次函数的三点式为：f(x)=[f(x 1)/(x 1-x 2)](x 1-x 3)(x-x 2)(x-x 3)+[f(x 2)/(x 2-x 1)(x 2-x 3)](x-x 1)(x-x 3)+[f(x 3)/(x 3-x 1)(x 3-x 2)](x-x 1)(x-x 2)根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。
例1． 已知二次函数的图象过（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。
[解法一]：用标准式∵图象过三点（－1,－6）、（1，－2）、（2,3）∴可设y=f (x)=ax 2+bx+c ，且有a-b+c=－6 ①，a+b+c=－2 ②，4a+2b+c=3 ③ 解之得：a=1，b=2，c=－5 ∴所求二次函数为y=x 2+2x-5 [解法二]：用三点式∵图象过三点（－1，－6），（1，－2），（2,3）∴可设y=a 1(x-x 2)(x-x 3)+a 2(x-x 1)(x-x 3)+a 3(x-x 1)(x-x 2)=(a 1+a 2+a 3)x 2－ [a 1(x 2+x 3)+a 2(x 1+x 3)+a 3(x 1+x 2)]x+(a 1x 2x 3+a 2x 1x 3+a 3x 1x 2)计算可得：a 1=－6/(－1－1)(－1－2)=－1， a 2=－2/ (1＋1)(1－2)=1， a 3=3/ (2＋1)(2－1)=1 ∴f (x)=x 2＋2x －5例2． 二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式解：∵它的顶点坐标已知 ∴可设f (x)=a(x －1)2－8 又函数图象通过点（2，－5）， ∴a(2－1)2－8=－5 解之，得a=3故所求的二次函数为： y=3(x －1)2－8 即：y=f (x)=3x 2－6x －5[评注]，以顶点坐标设顶点式a(x-h)2+k，只剩下二次项系数a为待定常数，以另一条件代入得到关于a的一元一次方程求a，这比设标准式要来得简便得多。
例3．已知二次函数的图象过（－2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为125/4，求它的解析式。
解：∵（－2,0）和（3,0）是X轴上的两点，∴x1＝－2，x2＝3可设y=f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x2-x-6)=a[(x-1/2)2-25/4]=a(x-1/2)2-25/4a它的顶点的纵坐标为－25/4a∴－25/4a=125/4，a=－5故所求的二次函数为：f (x)=－5(x+2)(x-3)=－5x2+5x+30[想一想]：本例能否用顶点式来求？例4．已知二次函数经过3点A（1/2，3/4）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。
[分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求a1、a2、a3计算较繁。
仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。
[解法一]：顶点式：由二次函数的对称性可知，点B、C所连线段的中垂线x=(-1+2)/2=1/2即为图象的对称轴，从而点A（1/2，3/4）必是二次函数的顶点，故可设顶点式:f(x)=a(x-(1/2))2+(3/4)把B或C的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3解得：a=1∴f(x)=(x-(1/2))2+3/4=x2-x+1[解法二]由B、C的纵坐标相等可知B、C两点是函数y=f (x)与直线y=3的交点，亦即B、C两点的横坐标是方程f (x)=3即f (x)-3=0的两个根故可设零点式为：f (x)-3=a(x+1)(x-2) 把A 点坐标代入，有f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即－9/4=－9/4a ，a=1 从而f (x)=(x+1)(x-2)+3 =x 2-x+1 三、二次函数的最值我们知道，二次函数y=f (x)＝ax 2+bx+c (a ≠0)利用配方法，可以得出： y=f(x)=ax 2+bx+c=a(x+(b/2a))2+((4ac-b 2)/4a)，它的图象是开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标是（-(b/2a)，((4ac-b 2)/4a)）1．当自变量在全体实数范围内变化时，二次函数的最值为： a>0， a<0，y min =f min =((4ac-b 2)/4a) ； y max =f max =((4ac-b 2)/4a)； 2．当自变量的取值范围为有限闭区间[p,g]时，其最值在f (p)、f (g)、f (-b/2a)三者中取得，最值情况如下表：例5． 当X 为何值时，函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x-a n )2取最小值。
解：∵f (x)=(x 2-2a 1x+a 12)+(x 2-2a 2x+a 22)+…+(x 2-2a n x+a n 2)=nx 2-2(a 1+a 2…+a n )x+(a 12+a 22+…+a n 2)∴当x=((a 1+a 2+…+a n)/n)时，f(x)有最小值。
[评注]：1994年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1、a2、…，an共n个数据。
我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,…an推出a= 读者从例5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？例6．（1982年全国高中数学联赛试题）已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0 (k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是：（A）19；（B）18；（C）50/9 (D)不存在解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19如果由此得K＝-5时，（x12+x22）max=19，选（A），那就错了。
为什么？已知该x1,x2是方程的两个“实数”根，即方程必须有实数根才行，而此时方程的判别式Δ≥0，即Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0 ①解①得：-4≤k≤-4/3∵k=-5[-4,-4/3]，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18∴当k=-4时，(x12+x22)max=18，∴选（B）[评注]：求二次函数最值时，必须首先考虑函数定义域。