分部积分法练习题
4.3分部积分法-习题
第 4 章 不定积分分部积分法 习题解1．求以下不定积分： ⑴xsin xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 sin x 作为先积分部份，得x sin xdxxd( cosx) ---- sin xdx cos x cxcosxcos xdx---- udv uvvduxcosx sin x c ----cosxdx sin x c⑵ arcsin xdx ； 【解】被积函数已经拥有udv 的构造，能够考虑直接套用分部积分公式，得arcsinxdx xarcsin xxd arcsin x----udv uvvdux arcsin x 1 dx---- 整理x1 x 2x arcsin x 11 d (1 x2 ) ---- d (1 x 2) 2xdx21 x 2x arcsin x 1 x 2 c⑶xln( x 1)dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln( x 1) ，则应将另一部份 x 作为先积分部份，得x ln( x 1)dxln( x 1)d 1 x 2----xdx 1 x 2 c221 x 2ln( x 1)1x 2d ln( x 1) ----udv uvvdu221 x2 ln( x 1) 1 x 2 1 dx---- 整理22 x 11 x2 ln( x 1) 1 ( x 1 1 )dx ---- 化假分式为多项式 +真分式 2 2 x 1 1x 2 ln( x 1) 1 ( 1 x 2 x ln x 1) c2 2 21 (x2 1)ln( x 1) 1x 2 1 x c 2 4 2⑷xe x dx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 e x作为先积分部份，得xe x dx xd ( e x ) ---- e x dx e x cxe x e x dx ---- udv uv vduxe x e x c ---- e x dx e x c( x 1)e x c⑸ e x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的 e x作为先积分部份，得e x cosxdx cosxd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx e x d cosx ---- udv uv vdue x cosx e x sin xdx ---- d cos x sin xdxe x cosx sin xd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx [ e x sin x e x d sin x] ---- udv uv vdue x (sin x cos x) e x cosxdx ---- d sin x cosxdx即有e x cosex(sin x cos x) excosxdx xdx移项、整理得 2 e x cosxdx e x (sin x cosx) C1整理得积分结果 e x cosxdx 1 e x (sin x cosx) c2【解法二】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得e x cosxdx e x d sin x ---- cosxdx sin x ce x sin x sin xde x ---- udv uv vdue x sin x ( e x )sin xdx ---- de x e x dxe x sin x e x d ( cosx)----sin xdxcosx c e x sin x e x ( cosx) ( cosx)de x ----udv uv vdue x (sin x cos x) (cosx)( e x )dx---- dexe x dxe x (sin x cos x)e x cosxdx----整理xcos xx即有exdx e (sin x cos x)ecosxdx将右侧的积分项移到左侧，整理得2 e x cos xdx e x (sin x cos x) 最后得积分结果e x cosxdx1 e x (sin x cosx) c2⑹x 2arctanxdx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的arctanx ，则应将另一部份 x 2 作为先积分部份，得x 2arctan xdx arctan xd 1x 3----x 2 dx 1 x 3 c33 1x 3arctanx 1x 3 d arctanx----udv uvvdu3 31 x 3 arctanx 1 x 3 1 12 dx---- d arctan x1 12 dx33 xx1x 3 arctanx 1 ( x1 x2 ) dx ---- 化假分式为多项式 +真分式3 3 x1x 3 arctanx 1 ( 1 x 21 x dx)----分别积分3 3 2x 21x 3 arctanx 1 [ 1 x 2 1 1 2 d (1 x 2 )]---- d (1 x 2) 2 xdx3 3 2 2 1 x1x 3arctanx 1 [ 1 x 2 1ln(1 x 2)] c ---- 1du ln uc 3 3 2 2u1x 3arctanx 1 x 2 1ln(1 x 2 ) c----整理3 6 6⑺ x cos xdx ；2【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 cos x作为先积分部份，得2cos x dx 2 cos x dx2sinxx cos xdxxd 2sinx----c2222 22x 2 x----udv uvvdu2x sin sin dx2 2x 2( 2cos xc ----xdxx x2cosx 2x sin) sin 2 sin dc2 222 222x sinx4cosxc---- 整理22⑻ln xdx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得ln xdxx ln xxd ln x---- udv uvvdux ln xx 1----d ln x1dxdxxxx ln x dx---- 整理xln x x c----dx x cx(ln x 1) c⑼ xsin x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得x sin x cosxdxx sin xd sin x----cos xdx sin x cxd 1 sin 2 x---- 仍为两不一样种类函数的乘积-- xuduxd 1 u 2221xsin 2x 1sin 2 xdx----udv uvvdu221xsin 2 x1 1 cos2x dx---- sin 2x1 cos2x2 2 22 1xsin 2x 1( x cos2xdx)---- 分别积分241 xsin2 x 1 ( x 1 cos2xd2x)----d 2x 2dx2 4 21 xsin2 x 1 ( x 1 sin2 x) c ----cosudu sin u c2 4 21xsin 2x 1 x 1sin 2x c ----整理2 4 8【此题解答案与课本后答案能够互化：1x sin 2x 1 x1sin2x c 1 x 1 cos2x 1 x 1sin 2x c1 1 x cos2x 1 1 c11xx sin 2xx cos2xsin 2 x c 】444 848【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的sin x cos x 化简为1sin 2x ，并将其作为先积2分部份，得x sin x cosxdx1 x sin 2xdx---- sin x cos x1sin 2x221 xd ( 1cos2x)----sin 2xdx1cos2 x c2 221 [ 1xcos2x ( 1cos2 x) dx]----udv uvvdu2 221x cos2x 1 cos2xdx ---- 整理4 41x cos2x 1cos2 xd2x ----d2x 2dx4 81x cos2x 1sin 2x c----cosudu sin uc4 8⑽x tan 2xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，为便于积分，先将乘积中的tan 2 x 化为易于积分的 sec 2 x 1 ，得x tan 2 xdx x(sec 2 x 1)dx---- tan 2 x sec 2x 1( xsec 2 x x)dx---- 整理1 x2 xsec 2 xdx----分别积分21 x2 xd tan x----sec 2 xdx tan x c21 x2 x tan xtan xdx----udv uvvdu21 x2 x tan x sin x dx ---- tan xsin x 2cosxcos x1 x2 x tan x 1 d cos x ---- d cos xsin xdx2cosx1 x2 x tan x ln cosx c----1 du ln u c2uln 3 x ⑾ x 2 dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln 3 x ，则应将另一部份1作为先积分部份，得x23 xdxln 3 xd 1 12 dxln 2 ---- 1 c x x x xln 3 x 1d ln 3 x ---- udv uv vdux xln 3 x 1 3ln 2 x dx ---- d ln 3 x 3ln 2 x 1dxx x x xln 3 x 3 ln 2 x dx ---- 整理，并再次应用上边的方法x x2ln 3 x3ln 2 1----1 1cx xdx2 dxx xln 3 x 3ln 2 x 1 d3ln 2 x ---- udv uv vdu x x xln 3 x 3ln 2 x 1 6ln x 1dx ---- d 3ln 2 x 3 2ln x1dxx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x---- 整理，并再次应用上边的方法x x x 2 dxln 3 x 3ln 2 x 6ln xd 1 ---- 12 dx 1 cx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 1d 6ln x ---- udv uv vdu x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x6 1---- d 6ln x6x x x2 dx dx x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6 c ---- 12 dx 1 cx x x x x x1(ln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6) c ---- 整理x⑿(arcsin x)2 dx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得(arcsin x) 2 dx x(arcsin x)2 xd(arcsin x)2 ---- udv uv vdu x(arcsin x)2 x 2arcsin x dx---- d (arcsin x) 2 2arcsin x 1 dx1 x2 1 x2x(arcsin x)2 arcsin x 2x dx ---- 整理1 x2x(arcsin x)2 arcsin xd( 2 1 x2 )---- 2x dx 1x2 d (1 x2 ) 2 1 x2 c1 x2 1x(arcsin x)2 [ 2 1 x2 arcsin x ( 2 1 x2 )d arcsin x] ---- udv uv vdux(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 1 x2 1 dx1 x2---- d arcsin x1dx 1 x2x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 dx ---- 整理x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 x c⒀x2 e x dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 e x作为先积分部份，得x2 e x dx x2d ( e x ) ---- e x dx e x cx2e x ( e x )dx2 ---- udv uv vdux2e x e x 2xdx ---- 整理x2e x 2xd( e x ) ---- e x dx e x cx2e x 2xe x ( e x )d 2x ---- udv uv vdux2e x 2xe x 2 e x dx ---- 整理x 2e x 2xe x 2e x c ----e x dx e x ce x ( x 2 2x 2) c----整理3⒁ e x dx ；【解】 被积函数中含根式， 且根指数与根号内多项式的次数不等，可应用第二换元积分法中的直接变换法，去掉根号后，再用分部积分法求解。
D5.3分部积分法
说明: 说明
分部积分题目的类型: 分部积分题目的类型 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 注意: 注意 解出积分后加 C ) 3) 对含自然数 n 的积分 通过分部积分建立递 的积分, 推公式 .
例4
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例5. 求
u
v
∫ udv = uv − ∫ vdu
2 2
解: 原式 = xarccos x − xd (arccos x )
∫ x 2x dx − dx = xarccos x +∫ − 2 11−x − x
= xarccos x +
1 2
∫
1 1− x2
d(x2 )
第5章
第三节
由导数公式 移项得
分部积分法
uv ′ = ( uv )′ − u′v 积分 ′ uv′dx = uv − ∫ uvdx ∫
u = uv − vdu dv 或 选取u及 选取 及 或dv 的原则
1) v 容易求得 ; 比 容易计算 .
∫
∫
分部积分公式
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例1. 求 xcos xdx 解: 令 u = x, dv = cos xdx= d sin x 则 v = sin x v=?
0=1
= ln sinx + C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 求此积分的正确作法是用换元法 .
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练习 求下列不定积分 求下列不定积分:
(完整版)定积分的分部积分法
n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
数学分析8.2换元积分法与分部积分法(练习)
第八章 不定积分2 换元积分法与分部积分法(习题)1、应用换元积分法求下列不定积分： (1)∫cos(3x+4)dx ；(2)∫xe 22x dx ；(3)∫12x dx+；(4)∫(1+x)n dx ； (5)∫(2x31-+2x311-)dx ；(6)∫22x+3dx ；(7)∫x 38-dx ；(8)∫3x57dx -；(9)∫xsinx 2dx ；(10)∫)4(2x sin dx2π+；(11)∫cosx 1dx +；(12)∫sinx1dx+；(13)∫cscxdx ； (14)∫2x1x-dx ；(15)∫4x 4x +dx ；(16)∫xlnx dx ；(17)∫354)x 1(x -dx ；(18)∫2x x 83-dx ； (19)∫x )x (1dx +；(20)∫cotdx ；(21)∫cos 5xdx ；(22)∫sinxcosx dx ；(23)∫x -x ee dx+； (24)∫83x -x 3-2x 2+dx ；(25)∫321)(x 2x ++dx ；(26)∫22ax dx +(a>0)； (27)∫322)a (x dx +(a>0)；(28)∫25x-1x dx ；(29)∫3x1x -dx ；(30)∫11x 11x ++-+dx.解：(1)∫cos(3x+4)dx=31∫cos(3x+4)d(3x+4)=31sin(3x+4)+C. (2)∫xe 22x dx=41∫e 22x d(2x 2)=41e 22x +C. (3)∫12x dx +=21∫12x 1)d(2x ++=21ln|2x+1|+C. (4)∫(1+x)n dx=∫(1+x)n d(1+x)=⎪⎩⎪⎨⎧=++≠++++-1.n C |x 1|ln -1；n C 1n x)(11n ，， (5)∫(2x31-+2x311-)dx=∫23x 13x d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31∫2x )3(1x )3(d -=arcsin3x +31arcsin(3x)+C.(6)∫22x+3dx=∫22x+2d(2x+2)=2ln 222x ++C.(7)∫x 38-dx=-31∫x 38-d(8-3x)=-()3x 3892-+C.(8)∫3x57dx -=-51∫3x 575x )-d(7-=-()32x 57103-+C.(9)∫xsinx 2dx=21∫sinx 2dx 2=-21cosx 2+C. (10)∫)4(2x sin dx 2π+=21∫csc 2(2x+4π)d(2x+4π)=-21cot(2x+4π)+C.(11)∫cosx 1dx +=∫2x cos 2x d 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∫sec 22x d(2x )=tan 2x +C.(12)方法一：∫sinx 1dx +=∫sinx )-sinx )(1(1sinx )dx -(1+=∫xcos sinx)dx -(12 =∫sec 2xdx-∫secx ·tanxdx=tanx-secx+C. 方法二：∫sinx 1dx +=∫22x cos 2x sin dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21∫⎪⎭⎫ ⎝⎛-2x 4cos dx 2π =-∫sec 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-2x 4πd ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2x 4π=-tan ⎪⎭⎫⎝⎛-2x4π+C.(13)∫cscxdx=∫sinx1dx=∫2x cos 2x 2sin 1dx=∫2x cos 2x tan 12d ⎪⎭⎫ ⎝⎛2x =∫2x tan2xsec 2d ⎪⎭⎫ ⎝⎛2x=∫2xtan 1d ⎪⎭⎫ ⎝⎛2x tan =ln|tan 2x |+C. (14)∫2x 1x -dx=-21∫2x 11-d(1-x 2)=-2x 1-+C.(15)∫4x 4x +dx=41∫222x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2x 2=41arctan 2x 2+C. (16)∫xlnxdx =∫lnx d(lnx)=ln|lnx|+C. (17)∫354)x 1(x -dx=-51∫35)x 1(1-d(1-x 5)=25)x 1(101-+C.(18)∫2x x 83-dx=41∫)2)(x 2(x 144+-dx 4=281∫⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2x 12x 144dx 4 =281(ln|x 4-2|-ln|x 4+2|)+C=281ln2x 2x 44+-+C.(19)∫x )x (1dx+=∫⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x 11x 1dx=ln x 1x ++C. (20)∫cotdx=∫x sin cosx dx=∫xsin 1d(sinx)=ln|sinx|+C. (21)∫cos 5xdx=∫cos 4xd(sinx)=∫(1-sin 2x)2d(sinx)=∫(1-2sin 2x+sin 4x)d(sinx) =sinx-32sin 3x+51sin 5x+C. (22)∫sinxcosx dx =∫x sinxcos cosx 2dx=∫cotx ·sec 2xdx=∫tanx d(tanx)=ln|tanx|+C. (23)∫x -x e e dx +=∫1)(e e 2x x+dx=∫1)(e 12x +de x =arctane x +C.(24)∫83x -x 3-2x 2+dx=∫83x -x 12+d(x 2-3x+8)=ln|x 2-3x+8|+C. (25)∫321)(x 2x ++dx=∫321)(x 31)2(x -1)(x ++++dx=∫1x dx +-2∫21)(x dx ++3∫31)(x dx +=ln|x+1|+1x 2+-21)2(x 3++C.(26)令ax=tant, |t|<2π, 则t=arctan ax .∫22ax dx +=∫1a x a x d 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∫1t tan d(tant)2+=∫sectdt=ln|sect+tant|+C ’=ln|a a x 22++ax |+C ’=ln|22a x ++x|+C.(27)令a x =tant, |t|<2π, 则t=arctan ax .∫322)a (x dx +=2a 1∫321a x a x d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=2a 1∫321)t (tan d(tant)+=2a 1∫costdt=2a 1sint+C =222a x 1a x a 1⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+C=222x a a x ++C. (28)∫25x -1x dx=21∫24x -1x dx 2=21∫2224x -112x 21x 2x +-++-dx2=21∫2222x -11)x 1(2)x (1+---dx 2=21(∫32)x -(1dx 2-2∫2x -1dx 2+∫22x-1dx ) =21(-5)x -(1252+3)x -(1432-22x -1)+C=-5)x -(152+3)x -(1232-2x -1+C.(29)令t=6x ，则x=t 6，∫3x1x-dx=∫23t 1t -dt 6=6∫28t 1t -dt=6∫28t 111t -+-dt=-6∫(t 4+1)(t 2+1)dt+6∫2t 11-dt =-6∫(t 6+t 4+t 2+1)dt+3∫⎪⎭⎫⎝⎛++-t 11t 11dt=-76t 7-56t 5-2t 3-6t-3ln 1t 1t +-+C =-67x 76-65x 56-2x t 3-66x -3ln 1x 1x 66+-+C.(30)令t=1x +，则x=t 2-1，∫11x 11x ++-+dx=∫1t 1t +-d(t 2-1)=2∫1t t t 2+-dt=2∫1t 23t 31t 2t 2++--++dt=2[∫(t+1)dt-3∫dt +2∫1t 1+dt]=2(∫tdt-2∫dt +2∫1t 1+dt)=t 2-4t +4ln|t+1|+C ’ =x+1-41x ++4ln|1x ++1|+C ’=x-41x ++4ln|1x ++1|+C.2、应用分部积分法求下列不定积分. (1)∫arcsinxdx ；(2)∫ln xdx ；(3)∫x 2cosxdx ；(4)∫3xlnxdx ； (5)∫(lnx)2dx ；(6)∫xarctanxdx ；(7)∫[ln(lnx)+lnx1]dx ；(8)∫(arcsinx)2dx ； (9)∫sec 3xdx ；(10)∫22a x dx (a>0). 解：(1)∵∫xd(arcsinx)=∫2x -1x dx=2x -1；∴∫arcsinxdx=xarcsinx-∫xd(arcsinx)=xarcsinx-2x -1+C. (2)∵∫xd(ln x)=∫dx=x ；∴∫ln xdx=xlnx-∫xd(ln x)=xlnx-x+C.(3)∵∫cosxdx=sinx ，∴∫xsinxdx=-∫xd(cosx)=-xcosx+∫cosxdx=-xcosx+sinx+C ’. ∴∫x 2cosxdx=∫x 2d(sinx)=x 2sinx-∫sinxdx 2=x 2sinx-2∫xsinxdx =x 2sinx+2xcosx-2sinx+C.(4)令t=lnx ，则x=e t ，∫3xlnx dx=∫3t e t de t =∫te -2t dt=-21∫tde -2t. ∵∫e -2t dt=-21e -2t ，∴∫tde -2t =te -2t -∫e -2t dt=te -2t +21e -2t +C ’.∴原式=-21te -2t -41e -2t =-2x 2lnx -2x41+C.(5)令t=lnx ，则x=e t ，∫(lnx)2dx=∫t 2de t =t 2e t -∫e t dt 2=t 2e t -2∫tde t =t 2e t -2te t +2∫e t dt=t 2e t -2te t +2e t +C =x(lnx)2-2xlnx+2x+C.(6)∫xarctanxdx=21∫arctanxd(x 2+1)=21[(x 2+1)arctanx-∫(x 2+1)d(arctanx)] =21[(x 2+1)arctanx-∫dx]=21(x 2+1)arctanx-21x+C. (7)设t=lnx ，则x=e t ； ∫[ln(lnx)+lnx 1]dx=∫(lnt+t 1)de t =∫lntde t +∫t 1de t =e t lnt-∫e t d(lnt)+∫t1de t=e t lnt-∫t 1de t +∫t1de t =e t lnt+C=xln(lnx)+C.(8)∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-∫xd(arcsinx)2=x(arcsinx)2-2∫2x-1x ·arcsinxdx=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd 2x -1=x(arcsinx)2+22x -1arcsinx-2∫2x -1d(arcsinx)=x(arcsinx)2+22x -1arcsinx-2∫dx=x(arcsinx)2+22x -1arcsinx-2x+C. (9)∫sec 3xdx=∫secxd(tanx)=secxtanx-∫tanxd(secx)=secxtanx-∫tan 2xsecxdx =secxtanx+∫(1-sec 2x)secxdx=secxtanx+∫secxdx-∫sec 3xdx =secxtanx+ln|secx+tanx|-∫sec 3xdx. ∴∫sec 3xdx=21(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C. (10)解法一：令a x =tant, |t|<2π, 则t=arctan ax .∫22a x +dx =a 2∫1a x 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛d ⎪⎭⎫ ⎝⎛a x =a 2∫1t tan 2+d(tant)=a 2∫sec 3td(t)=2a 2(secttant+ln|sect+tant|)+C ’ =2a 2( tant 1t tan 2++ln|1t tan 2++tant|)+C ’ =22a x 2x ++2a 2ln|1a x 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x |)+C ’=22a x 2x ++2a 2ln|22a x ++x|)+C.解法二：∫22a x +dx=x 22a x +-∫xd 22a x +=x 22a x +-∫222ax x +dx= x 22a x +-∫2222ax a x ++dx+∫222ax a +dx=x 22a x +-∫22a x +dx+a 2ln|x+22a x +| ∴∫22a x +dx=21(x 22a x ++a 2ln|x+22a x +)+C.3、求下列不定积分： (1)∫[f(x)]a f ’(x)dx (a ≠-1)；(2)∫2[f(x )]1(x )f +'dx ；(3)∫f(x )(x )f 'dx ；(4)∫e f(x)f ’(x)dx. 解：(1)∫[f(x)]af ’(x)dx=∫[f(x)]adf(x)=1a [f(x )]1a +++C.(2)∫2[f(x )]1(x )f +'dx=∫2[f(x )]11+df(x)=arctanf(x)+C.(3)∫f(x )(x )f 'dx=∫f(x )1df(x)=ln|f(x)|+C.(4)∫e f(x)f ’(x)dx=∫e f(x)df(x)=e f(x)+C.4、证明：(1)若I n =∫tan n xdx, n=2,3,…，则I n =1-n 1tan n-1x-I n-2. (2)若I(m,n)=∫cos m xsin n xdx ，则当m+n ≠0时，=n m x x sin cos 1-n 1m +++n m 1-m +I(m-2,n)=-n m x x cos sin 1m 1n ++-+nm 1-n +I(m,n-2).证：(1)I n =∫tan n xdx=∫tan n-2x(sec 2x-1)dx =∫tan n-2xdtanx-∫tan n-2dx=1-n 1tan n-1x-I n-2. (2)I(m,n)=∫cos m xsin n xdx=∫cot m xsin m+n-1xsinxdx =nm 1+∫cot m-1xdsin m+n x =n m x x sin cot n +m 1-m +-n m 1+∫sin m+n xdcot m-1x=n m x x sin cos 1n 1m ++-+nm 1-m +∫sin m+n xcot m-2xcsc 2xdx=n m x x sin cos 1n 1m ++-+n m 1-m +∫cos m-2xsin nxdx=n m x x sin cos 1-n 1m +++nm 1-m +I(m-2,n).I(m,n)=∫cos m xsin n xdx=∫tan n xcos m+n-1xcosxdx =-nm 1+∫tan n-1xdcos m+n x =-n m x x cos tan n +m 1-n ++nm 1+∫cos m+n xdtan n-1x=-n m x x cos sin 1m 1n ++-+nm 1-n +∫cos m+n xtan n-2xsec 2xdx=-n m x x cos sin 1m 1n ++-+n m 1-n +∫cos m xsin n-2xdx=-n m x x cos sin 1m 1n ++-+nm 1-n +I(m,n-2).5、利用上题的递推公式计算：(1)∫tan 3xdx ；(2)∫tan 4xdx ；(3) ∫cos 2xsin 4xdx.解：(1)∫tan 3xdx=21tan 2x-∫tanxdx=21tan 2x+ln|cosx|+C.(2)∫tan 4xdx=31tan 3x-∫tan 2xdx=31tan 3x-tanx+∫dx=31tan 3x-tanx+x +C.(3)∫cos 2xsin 4xdx=-6x x cos sin 33+63∫cos 2xsin 2xdx =-482x sin 3+21(4x cosx sin 3+41∫sin 2xdx)=-482x sin 3+8x cosx sin 3+81(-2sinxcosx +21∫dx)=-482x sin 3+8x cosx sin 3-32sin2x +16x+C.6、导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式：(1)I n =∫x n e kx dx ；(2)I n =∫(lnx)n dx ；(3)I n =∫(arcsinx)n dx ；(4)I n =∫e ax sin n bxdx. 解：(1)I n =k 1∫x n de kx =k 1x n e kx -k 1∫e kx dx n =k 1x n e kx -k n ∫x n-1e kx dx=k 1x n e kx -kn I n-1. (2)I n =x(lnx)n -∫xd(lnx)n =x(lnx)n -n ∫(lnx)n-1dx=x(lnx)n -nI n-1. (3)I n =x(arcsinx)n -∫xd(arcsinx)n =x(arcsinx)n -n ∫2x 1x -(arcsinx)n-1dx=x(arcsinx)n +n ∫(arcsinx)n-1d 2x 1-=x(arcsinx)n +n 2x 1-(arcsinx)n-1-n ∫2x 1-d(arcsinx)n-1 =x(arcsinx)n +n 2x 1-(arcsinx)n-1-n(n-1)∫(arcsinx)n-2dx=x(arcsinx)n +n 2x 1-(arcsinx)n-1-n(n-1)I n-2. (4)I n =a 1∫sin n bxde ax =a 1e ax sin n bx-a1∫e ax dsin n bx=a 1e ax sin n bx-a nb ∫e ax sin n-1bxcosbxdx=a 1e ax sin n bx-2a nb∫sin n-1bxcosbxde ax=a 1e ax sin n bx-2a nb[e ax sin n-1bxcosbx-∫e ax d(sin n-1bxcosbx)] =a 1e ax sin n bx-2a nb e ax sin n bxcotbx+2a nb∫e ax [(n-1)bsin n-2bxcos 2bx-bsin n bx]dx =a 1e ax sin n bx-2a nb e ax sin n bxcotbx+2anb∫e ax [(n-1)bsin n-2bx-nbsin n bx]dx =a 1e ax sin n bx-2a nb e ax sin nbxcotbx+22a 1)b -n(n ∫e ax sin n-2bx -222a b n ∫e ax sin n bxdx =a 1e ax sin n bx-2anb e ax sin nbxcotbx+22a 1)b -n(n I n-2-222a b n I n . 即a 2I n =ae ax sin n bx-nbe ax sin n bxcotbx+n(n-1)b 2I n-2-n 2b 2I n . ∴I n =222nb a 1+[ae ax sin n bx-nbe ax sin n bxcotbx+n(n-1)b 2I n-2].7、利用上题所得递推公式计算：(1)∫x 3e 2x dx ；(2)∫(lnx)3dx ；(3)∫(arcsinx)3dx ；(4)∫e x sin 3xdx.解：(1)∫x 3e 2x dx=21x 3e 2x -23∫x 2e 2x dx=21x 3e 2x -23(21x 2e 2x -∫xe 2x dx)=21x 3e 2x -43x 2e 2x +23(21xe 2x -21∫e 2x dx)=21x 3e 2x -43x 2e 2x +43xe 2x -83e 2x +C. (2)∫(lnx)3dx=x(lnx)3-3∫(lnx)2dx=x(lnx)3-3[x(lnx)2-2∫lnxdx] =x(lnx)3-3x(lnx)2+6xlnx-6∫dx=xln 3x -3xln 2x+6xlnx-6x+C. (3)∫(arcsinx)3dx=x(arcsinx)3+32x 1-(arcsinx)2-6∫arcsinxdx =x(arcsinx)3+32x 1-(arcsinx)2-6xarcsinx-62x 1-+C. (4)由∫e x sinxdx=∫sinxde x =e x sinx-∫e x dsinx=e x sinx-∫cosxde x =e x sinx- e x cosx+∫e x dcosx=e x sinx-e x cosx-∫e x sinxdx ，得1e x sinx-e x cosx+C’.∫e x sinxdx=21(e x sin3x-3e x sin3xcotx+6∫e x sinxdx) ∴∫e x sin3xdx=101(e x sin3x-3e x sin3xcotx+3e x sinx-3e x cosx)+C.=10。
D5_3 凑微分法和分部积分法-练习
2 2 2 2
( x 2 a 2 )a 2 x a
2 2
dx
dx x2 a2
x 2 a 2 dx a 2 x x a
1 a2 2 2 2 2 ∴ 原式 = x x a ln ( x x a ) C 2 2
9. 求
2 2 2 n
递推公式 I n1
1
x
2 n 1
I 2 n
11. 已知 解:
的一个原函数是
求
x f ( x) dx x d f ( x) x f (x) f ( x) dx
cos x cos x C x x x cos x sin x 2 C x
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
6. 求 解法1
dx 1 ex .
(1 e ) e dx x 1 e x x ln(1 e ) C
x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
3. 求
解:
a
dx
x 1 (a)2
x d (a) x 1 (a)2
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
(直接配元)
4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
解: 令 u
1
2 2
(x a ) (x a ) x2 x In 2 2 n 2 dx ( x a 2 ) n 1 ( x a 2 )n 2 2 2 x (x a ) a 2 dx 2 n 2 n 2 2 n 1 (x a ) (x a ) x 2 2 n I n 2 n a 2 I n1 ( x a 2 )n
分部积分法练习题讲解
分部积分法练习题讲解主要适用于以下类型：?xexdx 令 u?xdv?exdx?xcosxdx令 u?xdv?cosxdx?excosxdx 令 u?exdv?cosxdx?xlnxdx 令 u?lnxdv?xdx?xarctanxdx 令 u?arctanxdv?xdxTh1:如果函数 u,v，都可导，则 ?udv?uv??vdud?udv?vdu， udv?d?vdu，公式： ?udv?uv??vdu，选取 u 和 dv 需考虑以下两点注: v 要较容易求出?vdu 要比原积分 ?udv 更容易求出e.g1 求 ?xexdx e.g求 ?x2exdxe.g 求 ?xcosxdxe.g求 ?x2sin2xdxe.g5. 求 ?excosxdxe.g6. 求 ?xlnxdxe.g求 ?xarctanxdxxee.g求 ?dxe.g求 ?sec3xdxe.g 10 求 ?sinlnxdx分部积分法习题：1．求下列函数的不定积分x?xcos2dxxsinxcosxdx ??sin2xdx?tsindt2?xtanxdx?x5ex3dxx2dx ??x??5lnxdx lnx2?dx logaxdx ?cosxlndx xln2xdx 1?x?xln1?xdx2lnxdx ?2lndx ?lnx?2dx?lnx?1dx2xesin3xdx ?1?arccosxdx?arctanxdx ?arcsinx?xdxx2arctanxdx ?21?x?e?2xxsindx2xarctanxdx ??sinxcosxdxcos2x?sinx?1 ?sindx 答案：xx?2xsin2?4cos2?cx1??4cos2x?8sin2x?c1211??2cos2x?4sin2x?4cos2x?c ??t?cos?1?2sin?cx2xtanx?lncosx?2?c13x1x?3xe?3e?c312x43xx?2e?4xe?4e?3x?c1616?xlnx?x?c66lnxlnx22??c xxx2x?xlogax??c lna?sinxlnsinx?sinx?c32323228162?xlnx?xlnx?x?c927x21?x11?x?ln?ln?c1?x21?x?xln??x?c2x332x332?x?x)lnx??c ??4?x?C412x32x?C = 132412xarccos?lnx?x?1?C =x第四讲Ⅰ授课题目：5.分部积分法Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟练掌握分部积分法。
第4章分部积分法,有理函数积分法习题集及答案
第四章 习题二 分部积分法，有理函数积分法一．选择题1．设x x f 2sin )(=，则⎰=''dx x f x )(（ B ）（A ）C x x x +-2cos 22sin 2； （C ）C x x x +-2cos 22sin 2； （B ）C x x x +-2sin 2cos 2； （D ）C x x x +-2sin 2cos 2． 2．已知)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=⎰dx x xf )(（ C ） （A ）C x x ++2)ln 4121(； （B ）C x x +-2)ln 4121(；（C ）C x x ++2)ln 2141(；（D ）C x x +-2)ln 2141(．3．设dx x x bax x ⎰++++)1()1(222中不含反正切函数和对数函数，则（ B ） （A ）0==b a ；（B ）0=a ，1=b ；（C ）1=a ，0=b ；（D ）1==b a ． 二．计算题1．求dx e x x 23-⎰． 解：原式)(212121)(21222222222x d e e x de x x d e x x x x x ⎰⎰⎰----+-=-==⎰----=2221212x x de e x C e e x x x +--=-2221212C e x x ++-=-2)1(212．2．求⎰xdx e x sin 解⎰⎰=x x de dx e sin sin )(sin sin x d e x e x x ⎰-=⎰-=xdx e x e x x cos sin⎰-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ⎰--=x d e x e x e x x x⎰--=xdx e x x e x x sin )cos (sin.)cos (sin 2sin C x x e dx e xx+-=∴⎰3．求4．求⎰dx x )sin(ln 解)][sin(ln )sin(ln )sin(ln x xd x x dx x ⎰⎰-=dx xx x x x 1)cos(ln )sin(ln ⋅-=⎰)][cos(ln )cos(ln )sin(ln x d x x x x x ⎰+-=dx x x x x ⎰--=)sin(ln )]cos(ln )[sin(ln.)]cos(ln )[sin(ln 2)sin(ln C x x xdx x +-=∴⎰5．求.1arcsin dx x x⎰-解：x d x dx xx--=-⎰⎰1arcsin 21arcsinxd x x x arcsin 12arcsin 12⎰-+--=dx xx x x x ⎰--+--=11arcsin 12.2arcsin 12C x x x ++--=6．求.1arctan 2dx xx x ⎰+解221arctan 1arctan xxd dx xx x +=+⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+2211x x x )(arctan 1arctan 122x d x x x ⎰+-+=⎰+⋅+-+=dx x x x x 222111arctan 1x d xx x ⎰+-+=2211arctan 1⎰⎰⎰=+=+tdt tdt ttx x d x sec sec tan 11tan 11222.)1ln()tan ln(sec 2C x x C t t +++=++=∴原式.)1ln(arctan 122C x x x x +++-+=7．求⎰+dx x )1ln(.解 令,x t =则,2t x =2)1ln()1ln(dt t dx x ⎰⎰+=+)1ln()1ln(22t d t t t +-+=⎰dt tt t t ⎰+-+=1)1ln(22⎰⎰+---+=tdt dt t t t 1)1()1ln(2.)1ln(2)1ln(22C t t t t t ++-+-+= .2)1ln()1(C xx x x +-++-=8．求⎰=dx xI nn sin 1，其中n 为正整数.解：=n I 22121csc cot ----+-⋅-n n I n n n x x ． 9．求.cos sin cos 23sin dx xxx x ex⎰-解 先折成两个不定积分，再利用分部积分法. 原式dx x x e xdx x e xx ⎰⎰-⋅=2sin sin cos sin cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰x d e xde x x cos 1sin sin⎰⎰+--=dx e x e dx exex x xxsin sin sin sin cos .cos 1sin sin C e xxe xx +-=10．求⎰.)ln(tan sin dx x x 解⎰⎰-=x d x dx x x cos )ln(tan )ln(tan sin )ln(tan cos )ln(tan cos x xd x x ⎰+-=x d xx x ⎰+-=sin 1)ln(tan cos .|cot csc |ln )ln(tan cos C x x x x +-+-=11．求ln(x dx ⎰解：ln(ln(ln(x dx x x xd x +=-⎰⎰ln(x x =+-ln(x x C =12．求22(1)(1)x dx x x ++⎰ 解：22222(1)1212ln 2arctan (1)(1)1x x x dx dx dx dx x x C x x x x x x +++==+=+++++⎰⎰⎰⎰13．求2arctan xxe dx e ⎰ 解：原式21(arctan arctan )2x x x x e e e e C --=-+++ 14．求⎰-14x dx解：原式⎰-+--+=dx x x x x )1)(1()1()1(212222⎰+--=dx x x )1111(2122 C x x x +-+-=arctan 21|11|ln 41．15．求arctan 23/2(1)xxe dx x +⎰解：原式arctan x C =+16． 求⎰+-dx e e x x 11解：原式⎰+-==u du u u xe u 11du u u u u ⎰++-=)1()1(2du u u ⎰-+=)112(C u u +-+=ln )1ln(2C e x x +++-=)1ln(2．17．求.116/3/2/dx e e e x x x ⎰+++解 令6xe t =⇒,6,ln 6dt tdx t x == 原式dt t t t dt t t t t ⎰⎰++=⋅+++=)1)(1(16611223dt t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-=2133136⎰⎰+-++-+-=dt t t t d t t 2221131)1(23)1ln(3ln 6C t t t t +-+-+-=arctan 3)1ln(23)1ln(3ln 62.arctan 3)1ln(23)1ln(3636C e e e xxx x +-+-+-= 18．求4sin 3cos 5dxx x ++⎰．解：令2tan x u =，则212sin u u x +=，2211cos u u x +-=，212u dudx +=．于是所求积分⎰++-+++=du u u u u u 51)1(318122222⎰+=du u 2)2(1C u++-=21C x++-=2arctan21．19．求⎰+dx xx22sin 1sin 解：原式⎰+-=dx x )sin 111(2⎰+-=xxd x x 22sec tan sin 11 ⎰+-=x d xx tan tan 2112C x x +-=)tan 2arctan(22． 20．求⎰+4xx dx .解：令u =224ln(1)1)u u u C C =-+++=+。
分部积分法不定积分例题
分部积分法不定积分例题不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积分来解决。
所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。
本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。
一、什么是分部积分分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思想。
二、分部积分法不定积分实例例1：求下列不定积分：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$解：首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和[2.5,3]两段，则可得：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5} ^{3}3x^2+2x+1dx$$设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.125$$$$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1 49.0625$$则最后，可得：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$ 例2：求下列不定积分：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$解：同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和[1,4]两段，则可得：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{ 1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得：$$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$ $$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$ 则最后，可得：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$三、实例总结通过上述两个实例，我们更好的理解了分部积分法的手段，也更加清楚了它的计算流程，即将一个复杂的不定积分，利用区间划分的方法分割成小的不定积分，最终求得总的不定积分的值。
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3、ln x , x 2dx；
4、e x , cos xdx ；
5、arctan x , x 2dx； 6、x , e x dx .
二、1、 x 3 1 x 2 sin x x cos x sin x C ； 62
2、 1 [(ln x)3 3(ln x)2 6 ln x 6] C ； x
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
3、J (m) x sinm xdx，（m 为自然数） 0
4、 sinn1 x cos(n 1)xdx . 0
三、已知 f ( x) tan 2 x ,求 4 f ( x) f ( x)dx . 0
4－5 分部积分法练习题
练 习 题（一）
一、填空题：
1、 x sin xdx ________________；
2、 arcsin xdx _______________； 3、计算 x 2 ln xdx ， 可设 u _____ ,dv ________； 4、计算 e x cos xdx ，可设 u ____ ,dv ________； 5、计算 x 2 arctan xdx ，可设 u ____ ,dv ______； 6、计算 xexdx ，可设 u ______,dv __________ .
二、求下列不定积分：
1、 x 2 cos2 x ；
3、 e ax cos nxdx ； 5、 cos(ln x)dx ；
4、 e 3 x dx；
6、
xearctan x 3 dx .
(1 x 2 )2
三、已知sin x
x
是
f
(
x)的原函数，求
xf
'
三、cos x 2sin x C . x
练 习 题（二）
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
2、设 n 为正偶数，则 2 cosn xdx =___________； 0
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
四、若 f ( x)在 0 , 连续， f (0) 2 , f () 1 ,
证明：
[ f (x)
f ( x)]sin xdx 3.
0
练习题（二）答案
一、1、(n 1)!!； 2、(n 1)!! ； 3、1 2 ；
n!!
n!! 2
e
4、1 (e 2 1)； 5、(1 3 ) 1 ln 3 .
3、 a
e ax 2 n2
(a
cos
nx
n
sin
nx )
C
4、3e 3 x (3 x 2 23 x 2) C ；
5、 x [cos(ln x) sin(ln x)] C ； 2
6、 x 1 e arctan x C ； 2 1 x2
7、 x 2e x xe x e x C . x2
三、8.
4
4 9 22
二、1、e sin1 e cos1 1； 2
2、2(1 1)； e
3
、
J
(m)
1
3 5 (m 1) 2 4 6 m
2 2
,
m为偶数
；
2
4 1
6 (m 3 5 m
1)
,
m
1为奇数
4、
2(
0, n 1)!!
n!!
,
5、0.
当 n 为正奇数时 当 n 为正偶数时；
(
x)dx
.
四、设 f ( x)dx F ( x) C ， f ( x)可微，且 f ( x)的反
函数 f 1 ( x) 存在，则
f 1 ( x)dx xf 1 ( x) F f 1 ( x) C .
练习题（一）答案
一、1、 x cos x sin x C ；
2、 x arcsin x 1 x 2 C ；