流体力学-公式

随体倒数()D u D ttααα∂=+⋅∇∂()()u u i v j w k i j k u v w x y z x y z ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⋅∇=++⋅++=++ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭雷诺输运定理：对系统的随体倒数求法[()][)]VVk V VkD dv u dv D t t Ddv u dvD ttx φφφφφφ∂=+∇⋅∂∂∂=+∂∂⎰⎰⎰⎰（iji je e δ=⋅ ()i j k i jkl l jkl il jki ijke e e e e εεδεε⋅⨯=⋅===i j ijk ke e e ε⨯= ()()()()i j i j i j i j i ie e e e x x x x x x φφφφ∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=⋅=⋅=∂∂∂∂∂∂ ()i ii ie e x x φφφ∂∂∇==∂∂ ()i i j j i ia a e a e x x ⎛⎫∂∂∇⋅=⋅=⎪∂∂⎝⎭()()j j ki j j i j ijk k ijk ii i i ja a a a e a e e e e e x x x x εε∂∂∂∂∇⨯=⨯=⨯==∂∂∂∂1、ij u x ⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦：速度梯度张量 应变率张量：表示微团的变形运动112211221122ij u u v u w xy x z x v u v v w s x y yz y w u w v w x z y z z ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫++ ⎪⎪⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎪=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎪++ ⎪⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭旋转张量：表示旋转32312100 0ij a ωωωωωω-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭－质量守恒：()0k ku t x ρρ∂∂+=∂∂0k ku D D tx ρρ∂+=∂第二那诺雷诺输运定律：VVD D dv dv D tD tαραρ=⎰⎰动量守恒定律：() u u u ftρρρ∂+⋅∇=∇⋅+∂σij i i jD u f D tx σρρ∂=+∂ij i i ji jju u u f tx x σρρρ∂∂∂+=+∂∂∂ D u f D tρρ=∇⋅+σ能量守恒定律：()1 2i i i j ij i i ii q D e u u u u f D t x x ρσρ∂∂⎛⎫+=+- ⎪∂∂⎝⎭231a ω=-312a ω=-123a ω=-ij ijk ka εω=-内能守恒：j i kijkiiu q e e u tx x x ρρσ∂∂∂∂+=-∂∂∂∂N －S 方程：22j j j jiDu u p f Dtx x ρμρ∂∂=-++∂∂ （0μ=时为欧拉方程）内能方程：kk j ju D eTp kD t x x x ρφ⎛⎫∂∂∂=-++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭φ为耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率内能方程其他形式：j jD sTT kD t x x ρφ⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭j j D h D p T k D t D t x xρφ⎛⎫∂∂=++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭注意这里：11Tds de pd dh dp ρρ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭基本方程组： ()20 k kj j k i j j j k i j i k k k j j k u t x D u u u u p f D t x x x x x x u u D e T p k D t x x x x ρρρλμρρλ∂∂+=∂∂⎡⎤⎛⎫∂⎛⎫∂∂∂∂∂=-++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()(), ,j j i j i i u u u x x x p p T e e T μρρ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭== ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 液液分界面条件：(1)(2)12110nn nn R R σσσ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭(1)(2n n ττσσ= 自由面的运动学边界条件： (,,,)0F x y z t = 0D F D t=定律()()i i C t C t D u D D u dr dx D tD tD tΓ=⋅=⋅⎰⎰对任何流体都成立正压流体即 密度仅仅是压力的函数：pdpρρ∇=∇⎰()0A t D ndA D tΩ⋅=⎰开尔文定律：对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线上的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒.不努力方程沿同一根流线或者涡线：22dpuG C ρ++=⎰而且为定常势流:()2dpG f t t φφφρ∂∇⋅∇+++=∂⎰同一个瞬时全场为常数2pu u e G C ρ⋅+++= 当流动为等熵，定常且外力有势时，总能量沿流线不变。

()0u Ω⋅∇=2()u t ν∂Ω+⋅∇Ω=∇Ω∂ 在压强场未知情况下求解速度场和涡量场。

2221()()2pu u u u ρ∇=Ω⋅Ω+⋅∇-∇⋅已知速度场可利用以下方程求解压强W 二维势流与方向无关，是点的函数：dF F ΦΨW (z)===+idzxxx∂∂∂∂∂∂笛卡儿：()W z u iv =- 圆柱坐标： -i θR θW =(u -i u )e均匀流：1）F(z)= c z W(z) = c = u - i v2）F(z) =- i c z W(z)=- i c = u- i v 3）F -i (z)=Vez α（α度角）源：：：F ln (z)=c z=i θz =x +i y R eR θc u =R u =0⎧⎪⎨⎪⎩ 取 m c =2π ()F()ln 0m z z -z 2π=（强度为m ，中心点为z0）涡：F()ln zln()ln i θz ic ic Re ic R=-=-=-cθ ln Φ=c θΨ=- c R⎧⎨⎩ R θu =0c u =R⎧⎪⎨⎪⎩ 取Γc =2πF ()l n ()l n ()00ΓΓz -iz -z z -z 2π2π i== （逆时针为正） 绕角流动F ()n z U z= F ()c o s n s i n cs ni nθnnnnz U R eU R i U R Φ=U R Ψ=U R θ==+⎧⎪⎨⎪⎩nθcos sin n -1R n -1θu =n U R n θu =-n U R n θ⎧⎪⎨⎪⎩ R R θπ0<θ<, u >0, u <02n ππ<θ<, u <0, u <02n2θ偶极子：F()ln ε+m zz ε2π-z1=10m l i m m ε=πμε→→∞得F(z)0μz -z =速度：cos sin R 2θ2μu =-θR μu =-θR⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 流线方程：2()22μμx +y +=2Ψ2Ψ⎛⎫ ⎪⎝⎭圆柱无环量绕流（均匀来流和偶极子叠加）2μ=U aF(z)2aU z +z=()有环量圆柱绕流 （均匀来流和偶极子叠加）F(z)ln 2a i Γz U(z +)+z 2πa = 速度：()cos ()sin 2R 22θ2au =U 1-θ Ra Γu =-U 1+θ-R 2πR ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩θ=升力和阻力2C ρX -iY =iW dz2⎰02c ρM =-R e zW dz 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰留数的求法： 1）在0z 的留数：()()F() (2)2101020200b b z ++a +a (z -z )+a (z -z )z -z z -z =++中的1b2）在曲线c 中的积分()12n CF(z) dz =2 π i R +R +...+R ⎰ 等于区域中奇点留数和乘以2i π例如：有环量圆柱绕流的升力和阻力2C ρX -i Y =iW δz 2⎰W()2224222224322U a U a iU ΓiUΓa Γz =U -++--zzπzπzπz24只有奇点0，留数为iU Γπ，所有ρiU ΓX -i Y =i2 π i =-i ρU 2π⎛⎫Γ ⎪⎝⎭镜像法：()()()F z f z f z =+ 实轴为界()()()F z f z f z =+- 虚轴为界2()()()aF z f z f z=+ 圆保角变换：1）()()()()dF z dF d d W z W dzdzd dzζζζζζ===3）点涡、点源经保角变换后强度保持不变茹柯夫斯基变换：2cz ζζ=+z ζζ→∞⇒→（无穷远处恒等变换） 0dz d ζζ→⇒→∞ 0ζ=奇点 c ζ=±为临界点，不是保角轴对称流动2sin r r u ψθθ∂=∂ sin r u rθψθ∂=-∂ ψ自动满足连续方程，称为Stoks 流函数。

性质：()22BB A AQ d πψπψψ==-⎰ 1r r r u e e u e u e r r θθθφφφθ∂∂=∇=+=+∂∂。