第三章随机变量的数字特征习题

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概率论第三章部分习题解答

ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章随机变量的数字特征
（一）基本内容一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.

随机变量的数字特征课下作业应用创新演练

1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m .令随机变量Z ＝⎩⎨⎧1，A 发生，0，A 发生，则Z 的方差D (Z )等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：由题意知，E (Z )＝m ，则D (Z )＝m (1－m )．答案：D3．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( )A ．0.48B ．1.2C ．0.72D ．0.6解析：∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴D (X )＝3×0.4×0.6＝0.72.答案：C4．若X ～B (n ，p )且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10D ．2－8解析：∵X ～B (n ，p )， ∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np (1－p )＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112·(12)1(1－12)11＝3·2－10.答案：C5．已知X 的分布列为则下列各式正确的是①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.解析：E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59；P (X ＝0)＝13显然正确．答案：①③6．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 解析：由题意得2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝0.6，c －a ＝0.2，将以上三式联立解得a ＝0.1，b ＝0.2，c ＝0.3，故D (X )＝4×0.1＋0.2＋0.4＝1.答案：17．某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A ，B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A 项技术指标达标的概率为34，有且仅有一项技术指标达标的概率为512.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)求一个零件经过检测为合格品的概率；(2)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率； (3)任意依次抽取该种零件4个，设X 表示其中合格品的个数，求E (X )与D (X )．解：(1)设A ，B 两项技术指标达标的概率分别为P 1，P 2.由题意得：⎩⎨⎧P 1＝34，P 1(1－P 2)＋(1－P 1)P 2＝512，解得：P 1＝34，P 2＝23.所以一个零件经过检测为合格品的概率P ＝P 1P 2＝34×23＝12.(2)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为： 1－C 45(12)5－C 55(12)5＝1316. (3)依题意知X ～B (4，12)，E (X )＝4×12＝2，D (X )＝4×12×12＝1.8．有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：解：根据月工资的分布列，可得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位．。

（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征

（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。

它们的字母数分别为4，5，6，7，7。

所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。

解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。

这时，字母数更多的单词更有可能被取到。

分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。

解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。

所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。

4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。

求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。

解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。

分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。

5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。

（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。

概率统计第3章随机变量的数字特征1节

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3
1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2，，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1,, k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加权平均
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(2)随机变量函数数学期望的计算方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
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方法2 (公式法):
定理设X是一个随机变量, Y g(X), 则
k1 k1
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(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在，则E(XY ) E(X )E(Y ).
证：仅就连续随机变量情形
EXY xyf x, ydxdy
xy f X x f Y y dxdy
xf
X
x
dx
y fY y dy
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补充：函数
( ) x 1exdx 0
函数有下列结论：
(1) ( 1) ();
(2) Γ(n 1) n !; (3) (1) (2) 1, (1) .
2
0
y12e y1 dy1
(3) 2! 2
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二、数学期望的性质

(概率论习题课4)--随机变量的数字特征

k
2.连续情形：定义：设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则若广义积分绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，

xf ( x )dx
E( X )

x f ( x)dx
注：E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”，X的观测值的“算术平均值”在E(X)附近摆动。
3. 二维情形的计算
[ x E ( X )]
i i
2
pi xi2 pi [ E ( x)]2 ，其中pi为离散型的分布律。
i
D( X ) 连续型：

[ x E ( x)] f ( x)dx x 2 f ( x)dx E 2 ( x) ,

2

其中f (x)为X的概率密度。 3.二维随机变量的方差
Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )
| 1
为随机变量X和Y的相关系数 . b.相关系数的性质： 1. |
=0，但其逆不真 2.X和Y独立时，
.
3. 1
存在常数a,b(b≠0)，使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关.
4.若Y=ax+b,(a不为0)，则

[ y E ( y )] f ( x, y )dydx.
4.方差的性质 1. D ( C ) 0 ，C 为常数。 2. D(aX ) a2 D( X ) ，a为常数。
D(X Y) D(X) DY ( ) 3.当随机变量 X , Y 相互独立时，
5.常见分布及其期望和方差分布名称 0-1分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布 E（X） p np λ a+b/2 µ 1/λ D（X） pq npq λ (b-a)2/12 δ2 1/λ2

常见随机变量的特征数特点例题讲解

Var(X)=D(X)= E(XE(X))2

xi EX 2 pi ,离散场合；
i

x EX 2

p x dx,连续场合；
E( X 2 ) E( X )2
22页
注意点
(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 或随机变量取值的分散程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散(远离EX); 方差越小,X的取值越集中(密集在EX的附近).
且P( A) p ，则X 的分布列为
P(X

k)

n

pk (1
p)nk ,
k
其中 0<p<1,q=1-p
k 0,1,...,n.
这种分布称为二项分布，记为 X : b(n, p)
其中 n,为p 参数。
32页
二项分布的期望与方差：
E( X )
n
k Cnk pk (1
np
33页
n
n
E( X 2 ) k 2 Cnk pk (1 p)nk k (k 1) k Cnk pk (1 p)nk
15页
例5: 某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种
原料的市场需求量X（单位：吨）服从(300,500)上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5(千元)；若积压 1吨，则公司损失0.5(千元)。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？
解: 设公司组织该货源a吨，又记Y为在a吨货源的条件下的收益额，则收益额Y为需求量X的函数。
这说明只依据期望还不能很好地反映出射手的技术.因此,应当引进一个数量指标,用它来衡量随机变量离开它的期望值的偏离程度.

考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与YA．相关．B．不相关．C．独立．D．不独立．正确答案：B解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY=0，X与Y不相关，应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．-1．B．0．C．D．1.正确答案：A解析：依题意，Y=n-X，故ρXY=-1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X 与Y的相关系数ρXY，满足｜ρXY｜≤1．若Yy=aX+b，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=-1．知识模块：随机变量的数字特征3．对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是A．EXY=EXEY．B．Cov(X，Y)=0．C．DXY=DXDY．D．D(X+Y)=DX+Dy．正确答案：C解析：由于Cov(X，Y)=EXY-EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和y同服从参数为p(0＜p＜1)的0-1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见DX=DY=p(1-p)；乘积XY服从参数为，p2的0．1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=p2，P{XY=0}=1-p2．因此DXY=p2(1-p2)≠p2(1-p)2=DXDY．知识模块：随机变量的数字特征4．假设随机变量X在区间[-1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX 的相关系数等于A．-1．B．0．C．0．5．D．1.正确答案：A解析：注意到U=arcsinX和Y=arccosX满足下列关系：即U=-V+，由于U 是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=-1．应选(A)．知识模块：随机变量的数字特征5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为A．-1．B．0．C．D．1.正确答案：B解析：由于Xi独立同分布，故DXi=σ2，DX=，Cov(X1，Xi)=0(i≠1)，故应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征6．设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X-EX｜≥3}≤，则一定有A．DX=2．B．P{｜X-EX｜＜3}＜C．DX≠2．D．P{｜X-EX｜＜3}≥正确答案：D解析：因事件{｜X-EX｜＜3}是事件{｜X-EX｜≥3}的对立事件，且题设P{｜X-EX｜≥3}≤，因此一定有P{｜X-EX｜＜3}≥，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{｜X-EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为p的0-1分布，DX=pq＜1，显然DX≠2，但是P{｜X-EX｜≥3}=．因此(A)不成立．若X服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有EX=4，DX=2．但是P{｜X-EX｜≥3}=P{｜X-4｜≥3} =P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此(B)也不成立．知识模块：随机变量的数字特征7．设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=l，i=1，…，n，则对任意ε＞0，根据切比雪夫不等式直接可得A．B．C．D．正确答案：C解析：由题意知EXi=0，i：1，…，n．记根据切比雪夫不等式，有故选(C)．知识模块：随机变量的数字特征填空题8．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中概率为pi(0＜pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为_________.正确答案：解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数-1=未击中的次数．以Xi表示第i名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1-pi)kpi，i=1，2，且E(Xi+1)=，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)-1=-1，两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为知识模块：随机变量的数字特征9．将长度为L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为______．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且知识模块：随机变量的数字特征10．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X-1，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0.9解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X-1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X-1)=4DX．y与Z 的相关系数ρYZ为知识模块：随机变量的数字特征11．设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=_______．正确答案：6解析：DX=EX2-(EX)2=2，DY=2，E(X+Y)=EX+EY=0，E(X+Y)2=D(X+Y)+[E(X+Y)]2=0(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2=6．知识模块：随机变量的数字特征12．设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥________．正确答案：0.928解析：由于EX=4，DX=0.8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=1．8．根据切比雪夫不等式P{0＜X+Y＜10}=P{｜X+Y-5｜＜5}≥1-即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

随机变量的数字特征历年真题数学

随机变量的数字特征历年真题数学一：1（87，2分）已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π则EX = ，DX = 。

2（89，6分）设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。

3（90，2分）已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。

4（90，6分）设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0<X <1, |y |<x 内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量Z =2X +1的方差DZ 。

5（91，3分）设随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布，且=<=<<}0{,3.0}42{X P X P 则。

6（92，3分）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则=+-)(2xe X E。

7（93，6分）设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=-x e x f x ,21)(|| （1）求EX 和DX ；（2）求X 与|X |的协方差，并问X 与|X |是否不相关？（3）问X 与|X |是否相互独立？为什么？ 8（94，6分）已知随机变量的相关系数与且，Y X N Y N X ),4,0(~)3,1(~2223,21Y X Z XY +=-=设ρ。

（1）求EZ 和DZ ；（2）求X 与Z 的相关系数;XZ ρ（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？9（95，3分）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则)(2X E =。

10（96，3分）设和ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。

11（96，6分）设和ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为).,min(),,max(3,2,1,31)(ηξηξξ=====Y X i i P 又设（1）写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2）求EX 。

随机变量的数字特征

第三章、随机变量的数字特征一、选择题：1．设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则EX= （ C ）A ．140x dx ⎰ B ．15014x dx ⎰ C ．1404x dx ⎰ D ．1401x dx xdx +∞+⎰⎰2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则（ B ）A ．220()()E X x E X EX -=-B ．220()()E X x E X EX -≥-C ．220()()E X x E X EX -<-D ．20()0E X x -=3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为（ B ）A ．n = 4，p = 0.6B ．n = 6，p = 0.4C ．n = 8，p = 0.3D ．n = 24，p = 0.14．设X 是随机变量，且EX a =，2EX b =，c 为常数，则D （CX ）=（ C ）A ．2()c a b -B ．2()c b a -C ．22()c a b -D ．22()c b a -5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为（ B ）A ．a = 0，b = 6B ．a = 1，b = 5C ．a = 2，b = 4D ．a = -3，b = 36．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为（ A ）A ．2B ．1/2C ．4D ．1/47．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ）A ．N （1，4）B ．N （0，1）C ．N （1，1）D ．N （1，2）8．设随机变量X 的方差DX =2σ，则()D aX b += （ D ）A ．2a b σ+B ．22a b σ+C ．2a σD ．22a σ9．若随机变量X 的数学期望EX 存在，则[()]E E EX = （ B ）A ．0B ．EXC ．2()EXD ．3()EX10．若随机变量X 的方差DX 存在，则[()]D D DX = （ A ）A ．0B ．DXC ．2()DXD ．3()DX11．设随机变量X 满足D （10X ）=10，则DX= （ A ）A ．0.1B ．1C ．10D ．10012．已知1X ，2X ，3X 都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)E X X X -+= （ D ）A ．1B ．2C ．3D ．413．若1X 与2X 都服从参数为1泊松分布P （1），则12()E X X += （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．414．若随机变量X 的数学期望与方差均存在，则 ( B )A ．0EX ≥B ．0DX ≥C ．2()EX DX ≤D ．2()EX DX ≥15．若随机变量2~(2,2)X N ，则1()2D X = （ A ）A ．1B ．2C ．1/2D ．316．若X 与Y 独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y ）= （ D ）A ．9B ．15C ．21D ．2717．设DX = 4，DY = 1，XY ρ= 0.6，则D(2X-2Y) = （ C ）A ．40B ．34C ．25.6D ．17.618．设X 与Y 分别表示抛掷一枚硬币n 次时，出现正面与出现反面的次数，则XY ρ为（ B ）A ．1B ．-1C ．0D ．无法确定19．如果X 与Y 满足D(X+Y) = D(X-Y), 则（ B ）A ．X 与Y 独立B ．XY ρ= 0C ．DX-DY = 0D ．D X DY=020．若随机变量X 与Y 的相关数XY ρ=0，则下列选项错误的是（ A ）A ．X 与Y 必独立B ．X 与Y 必不相关C ．E (XY ) = E(X) EYD ．D (X+Y ) = DX+DY二、填空题：1. 设X 表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX = 18.4 .2. 若随机变量X ~ B （n, p ），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 8 ，P = 0.2 .3. 若随机变量X 服从参数为p 的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DX EX =<，则EX = 1/3 .4. 若随机变量X 在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 2 ,b = 4 .5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX = 8 .6. 若随机变量X 服从参数为λ泊松分布 ~()X P λ，且EX = 1，则DX = 1 .7. 若随机变量X 服从参数为λ指数分布~()X e λ，且EX = 1，则DX = 1 .8. 若随机变量X 服从参数为2与2σ的正态分布2~(2,)X N σ，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = 0.2 .9. 若X 是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D （2X - 3）= 4 .10. 若X 是一随机变量，D （10X ）= 10，则DX = 0.1 .11. 若X 是一随机变量，2(1)2X E -= 2，1(1)22X D -=，则EX = 2或—2 . 12. 若随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布X ~ B （n, p ），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}p X < = .13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N ，则1()2D X = . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2()E X X += 1 .15. 若随机变量X 的概率密度为 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则EX = 2/3 ，DX = 1/18 . 16. 若随机变量X 的分布函数为300(),011,1y F x y y y <⎧⎪=<<⎨⎪>⎩，，则EX = 3/4 .17. 若随机变量1X 与2X 都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()E X X += 2 .18. 人的体重是随机变量X ，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y ，则EY = a .19. 若X 与Y 独立，且DX = 6，DY = 3，则D （2X-Y ）= 21 .20. 若随机变量X 与Y 独立，则X 与Y 的相关系数为R （X ，Y ）= 0 。

【高等数学】概率论与数理统计-随机变量的数字特征专项试卷及答案解析

CA)P{Y=-2X-1} = 1.
+ (C)P{Y =-ZX 1} = 1.
(B)P{Y = 2X-1} = 1. (D)P{Y = 2X+l} = 1.
(5）将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两；段长度的相关系数为
CA)l.
ω÷
(C）一 ÷
CD) -1.
ω 已知随机变量 X,Y 均服从分布BCl,f），且仰＝ ÷，则P{X+Y ζl｝等于
P(B) + P(AB)
= 4P(AB) -2P(A) -2P(B）十1.
因此 E(XY) - EXEY = 4P(AB) -2P(A) - 2PCB) + 1 一［2P(A) -1][2PCB) - l]
= 4P(AB) - 4P(A)P(B),
所以X与Y不相关等价子 P(AB) = P(A)P(B），即 A,B 相互独立．
专 =1-d＝
（旧，Y均服从B(2，÷）分布
Cov(X,Y) E(XY)-EX • EY
ρXl' = ft5X" ./f5V =
� ./f5V
。XY
1
试验只重复2次， XY 的分布为 p
7 9
2 9
f f EX= EY= ,DX=DY= t,E(XY)= ,1.!iJ.pxy ＝一 ÷
【 i平注】本题也可用对称性求解：
I I (3)£Y =
E[max(I
X
1,1)]
=
J IXl>l
Ix I
f(x)dx+ J
1
IXI运l
•
f(x)dx
＞. 士 = 2f
dx+
[1 1

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第三章随机变量的数字特征习题
一、填空题
1. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，则10颗骰子的点数和的
数学期望为，方差为。

2. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，ξ表示取到的白球个数，ξ表示取到的黑球个数，则=)(ξE ，=)(ξD ，=)(ηE ，=)(ηD
3. 设随机变量ξ的期望为μ，均方差为0>σ，则当___________,
==b a 时， 0)(=+ξb a E ，1)(=+ξb a D 4 .已知随机变量ξ的概率密度为1
22
1
)(-+-=
x x
e x π
ϕ（+∞<<∞-x ），则
=)(ξE ，=)(ξD 。

5 .设随机变量ζ与η的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧
<
<=其它,
010,2)(2θθx x x f
若θ
ηζ1
)2(=
+c E ，则 c= 。

6.设连续型随机变量ζ的概率密度为
⎩
⎨
⎧≤≤+=其他
01
0)(x b
ax x f
且18
1
)(=
ξD ，则___________,
==b a ，=)(ξE 7. 设随机变量ζ,有10=ζE ，25=ζD ，已知 0)(=+b a E ζ ，
1)(=+b a D ζ 则 =a , =b , 或=a ，=b 。

8. 已知随机变量ζ与η的方差分别为49=ζD ， 64=ηD ，相关系数8.0=ζηρ，
则=+)(ηζD ，=-)(ηζD 。

9. 设两随机变量ζ与η的方差分别为25与16，相关系数为0.4，则
=+)2(ηζD ，=-)2(ηζD
10 . 设随机变量n ζζζ,,,21 独立，并且服从同一分布。

数学期望为a , 方差为2
σ，
令 i n
i n ζζ∑==1
1 ，则 =ζE ，=ζD
二、选择题
1. 设随机变量ζ的函数为b a +=ζη，（a , b 为常数），且ζE ，ζD 均存在，则必
有（）。

A. ζηaE E =
B. ζηaD D =
C. b aE E +=ζη
D. b aD D +=ζη 2. 设随机变量ζ的方差ζD 存在，则=+)(b a D ζ（）（a , b 为常数）。

A. b aD +ζ B. ζD a 2 C. b D a +ζ2 D. ζD a 3. 设随机变量ζ的期望ζE 为一非负值，且2)12
(
2
=-ζE ，2
1
)12
(
=
-ζ
D ，则=ζ
E （）。

A. 0
B. 1
C. 2
D. 8
4. 如果ζ与η满足)()(ηζηζ-=+D D ，则必有（）。

A. ζ与η独立
B. ζ与η不相关
C. 0=ηD
D. 0=⋅ηζD D 5. 如果随机变量ζ与η不相关，则下列等式中（）不成立
A 0),cov(=ηξ
B ηξηξD D D +=+)(
C ))(()(ηξξη
D D D = D ))(()(ηξξη
E E E =
三、计算题
1. 设随机变量ζ的分布律为
求 )(ζE ， )(2ζE ，)53(2
+ζE ， )12(-ζD
2. 某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该
乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量ζ，已知ζ的概率密度为
⎩⎨
⎧<<=其他
010
01.0)(x x f 求ζ的数学期望与标准差。

3. 设ζ为一个随机变量。

已知1=ζE ，1)2
(=ζ
D ，求 2)1(-ζE
4. 设4=ζD ，1=ηD ，6.0=ζηρ 求 )23(ηζ-D
5. 设随机变量),(ηζ的密度为)(8
1
),(y x y x +=
ϕ ， 20≤≤x ，20≤≤y 求ζE ，ηE ，),cov(
ηζ。

6 设二维连续型随机变量),(ηζ的联合概率密度为
⎩
⎨
⎧>>=+-其他
00
,0),()
(y x ye y x f y x
计算ζ与η的相关系数，问ζ与η是否不相关？是否独立?
7.精制食盐每袋的重量是随机变量，期望值为500克，标准差为5克，求装有50袋这种食盐的一箱总重量的数学期望与标准差 8.设连续型随机变量ζ的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧
≥-=其他
02
81)(3x x x F 求ζ的期望和方差
9.设ζ与η是两个随机变量，已知20,22==ξξE E ，34,32
==ηηE E ，5.0=ρ求
（1）)(),23(ηξηξ-+E E （2）)(),23(ηξηξ-+D D 10.设二维连续型随机变量),(ηζ的联合概率密度为
⎩
⎨
⎧<<<<=其他
00,10),(x
y x k y x f ，试确定常数k ，
并计算)()(ξηξηD E 与
四、证明题
设随机变量),(ηζ的联合分布律为
ζ η -1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 试证ζ与η既不相关也不独立。

五、附加题
设随机变量ζ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
00,2
cos 21
)(π
ϕx x x ，对ζ独立地重复观察4次，用η表示观察值大于3
π
的次数，求2η的数学期望。