第七章 傅里叶变换 之一

T 2 T 2
T 2 T 2
sin nwt cos mwt d t 0 sin nwt sin mwt d t 0
T 2 T 2
(n, m 1,2,3, , n m),
T 2
cos nwt cos mwt d t 0 (n, m 1,2,3, , n m),
而{1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...}的函 数的长度计算如下:
2
T 2

T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
m 1
2
T 2
T an T cos nwt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t ) cos nwt d t T -2
2
ห้องสมุดไป่ตู้T 2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即


Sa函数介绍－内插函数
Sa函数定义为 sin x Sa ( x) ， x 严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为 sin x lim 1 x 0 x 所以定义Sa(0) 1, 用不严格的形式就写作 sin x 1, 则函数在整个实轴连续 x x0
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变 化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全 体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加 法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空 间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此 空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性 空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素 (即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交 的概念. 两个函数f和g的内积定义为:
2
T 2
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角函数形式的傅利叶级数如下:
a0 fT (t ) (an cos nwt bn sin nwt ) (1.1) 2 n1
为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即

T 2
T 2
fT ( t )d t
T 2
T T a0 a0 2 2 T d t (an T cos nw t d t bn T sin nw t d t ) T 2 2 2 2 2 n 1
[ f , g ] T f (t ) g (t ) d t
2
T 2
一个函数f(t)的长度为
|| f || [ f , f ]

T 2
T 2
f (t ) d t
2
而施瓦兹不等式成立 : [ f , g] f g 即 T f (t ) g (t ) d t
2 T 2 T 2 T 2 T 2
T p j( n - m ) -T2 e e d t 2p -p e d 0 2p t 2p d t T 其中 wt , 则d ,dt d T T 2p
T 2
j nwt - j mwt
这是因为
pe
-
p
j( n - m )
1 d e j( n - m ) j( n - m ) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m ) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m ) cos( n - m ) j sin( n - m ) d

T 2 T 2
-
fT ( t )sin nw t d t
T 2
T a0 T sin nw t d t am 2T cos mw t sin nw t d t 2 2 2 m 1
bm T sin mw t sin nw t d t
m 1
2
n
T 2
bn T sin nw t d t
傅里叶变换
之一
傅里叶(Fourier)级数展开
傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）
傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768～1830）, 法国数学家、物理学家。 主要贡献是在研究热的传播 时创立了一套数学理论。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名 的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三 角函数构成的级数形式表示，从而提出任一数都可以展成 三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立 叶分析等理论均由此创始。
-p
p
p
cos(n - m) d sin(n - m) d 0(n m)
-p -p
p
p
由此不难验证

T 2
T 2 T 2
cos nwt d t 0 sin nwt d t 0
(n 1,2,3, ), (n 1,2,3, ), (n, m 1,2,3, ),
1. 连续或只有有限个第一类间断点 2. 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函 数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
不满足狄氏条件的例子: f (t ) tg t
存在第二类间断点 1 f (t ) sin( ) t 在靠近0处存在着无限多个极值点.
傅里叶生平
1768年3月21日生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，1830年5月16日 卒于巴黎。
9岁父母双亡，被当地教堂收养。
12岁由一主教送入地方军事学校读书。
17岁回乡教数学。
1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学 员； 次年到巴黎综合工科学校执教。
傅里叶生平
1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和 埃及研究院秘书，

jwn t
1 jwnt - jwn T fT ( )e d e T n - - 2
T 2
例 定义方波函数为
1 | t | 1 f (t ) 0 | t | 1
如图所示:
f(t)
1
-1
o
1
t
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
1801年回国后任伊泽尔省地方长官。 1817年由于对热传导理论的贡献当选为科 学院院士。 1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学 院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
方波
吉布斯 现象 4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况.
并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条 件, 即在区间[-T/2,T/2]上
f 4 (t )
n -
f (t 4n),

2p 2p p np w , w n nw T 4 2 2
f4(t)
-1
T=4
1
3
t
则
1 T2 cn T fT ( t )e - jwn t dt T -2 1 2 1 1 - jwn t - jwn t f 4 ( t )e dt e dt T -2 T -1 1 1 1 - jwn t jwn - jwn e e -e -Tjwn Tjwn -1 2 sin wn 1 Sa (wn ) ( n 0, 1, 2,) T 4 T wn 2
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t 而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.

而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
j - j
e e 由cos 2 fT ( t ) a0 2 a0 2
e -e ,sin - j 2
j
- j
得:
j nw t - j nw t e j nw t e - j nw t e -e an - j bn 2 2 n 1 an - j bn j nw t an j bn - j nw t e e 2 2 n 1
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
a0 且令c0 , 2 an - jbn cn , n 1,2,3, 2 an jbn c- n , n 1,2,3, 2 fT (t ) c0 cn e
n 1

jw n t
c- n e
- jw n t
2
2
T 2
2 即 bn T fT ( t )sin nw t d t T -2
T bn 2
T 2
最后可得:
a0 fT (t ) (an cos mwt bn sin nwt ) (1.1) 2 n 1 T 2 2 其中 a0 T fT (t ) d t T -2 T 2 2 an T fT (t ) cos nwt d t (n 1,2, ) T -2 T 2 2 bn T fT (t ) sin nwt d t (n 1,2, ) T -2