成都理工大学数学物理方程题库
《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） .3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） .4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界.5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） .6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） .7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）.8.计算积分 （ ）.9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） .10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .⨯f u nuS=+∂∂)(σS ),(t x u ),(t U ω22222x u a t u ∂∂=∂∂=)(0x J dxd)(31)(3202x P x P +=⎰-dx x P 2112)]([)(1x P二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂== =><<∂∂=∂∂====30,0,3,0 0,30,2322222,0xtuxxtxxututtxuuu⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===xtxxutuuuutxx2,0,0,40,4223.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x ut u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:(本题的只与有关，与无关)u θ21cos ==r u .0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r ur r u r r r u θ,r ϕ《数学物理方程》模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. 3.. 4. 三.5..6..7..8..9.. 10..二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令，代入原方程中得到两个常微分方程：，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为2. 解 令，代入原方程中得到两个常微分方程：，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到)(2222222zu y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂01)(1222=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u U a dt U d 2222ω-=)(1x J -2x 52)1(212-x dxd 2020)()(1lny y x x u -+-=)()(),(t T x X t x u =0)()(2''=+t T a t T λ0)()(''=+x X x X λ0)3()0(==X X λ0>λ2βλ=22223πβλn ==3sin )(πn B x X n n =)(t T 32sin32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=,3sin )32sin 32cos (),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑)()(),(t T x X t x u =0)()('=+t T t T λ0)()(''=+x X x X λ0)4()0(==X X λ0>λ2βλ=为特征值，特征函数，再解，得到，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为 3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。
因此，再由边界条件有，于是，.再求定解问题用分离变量法求以上定解问题的解为故三.解令，代入原方程中，将方程齐次化，因此，再求定解问题 由达朗贝尔公式得到以上问题的解为故22224πβλn ==4sin )(πn B x X n n =)(t T 16;22)(tn n n eC t T π-=,4sin(),(16122xn eC t x u t n n n ππ-∞=∑=140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑)(),(),(x w t x v t x u +=212''''22222)(16)(416)]([4c x c x x w x w x w xv t v ++-=⇒=⇒++∂∂=∂∂8)2(,0)0(==w w 0,821==c c x x x w 82)(2+-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂-===><<∂∂=∂∂====20,0),(,000,20,200322222,0x t v x w x t x x v t v t t x v v v ,2sin cos ])1)1[(32)1(16(),(331xn t n n n t x v n n n ππππ--+-=∑∞=,2sin cos ])1)1[(32)1(16(28),(3312x n t n n n x x t x u n n n ππππ--+-+-=∑∞=)(),(),(x w t x v t x u +=x ax w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2''2''22222=⇒=+⇒++∂∂=∂∂⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-=>∂∂=∂∂==,0),(cos 12sin 0,02022222t t t vx xw a x t xv a t v v atx a at x at x aat x at a a at x t x v cos cos 1cos sin 0)]cos(1)(2sin )cos(1)(2[sin 21),(222-=+---++-+=.cos 1cos cos 1cos sin ),(22x aat x a at x t x u +-=四.解 对y 取拉普拉斯变换，对方程和边界条件同时对y 取拉普拉斯变换得到，解这个微分方程得到，再取拉普拉斯逆变换有 所以原问题的解为.五.证明 由公式有，令有，所以，又，所以. 六．解 由分离变量法，令，得到，由边界条件有，令，，， ，),()],([p x U y x u L =pp U pdx dU p x 11,120+===p px p p x U 111),(22++=1),(++=y yx y x u 1),(++=y yx y x u )())((1x J x x J x dxd n n n n+---=)()()(1'x J x x nJ x xJ n n n +-=-1=n )()()(211'x xJ x J x xJ -=-)(1)()(11'2x J xx J x J +-=)()(),()(1'0''10'x J x J x J x J -=-=)(1)()(0'0''2x J xx J x J -=)()(),(θθΦ=r R r u ∑∞==0)(cos ),(n n n n P r C r u θθ∑∞===+=01)(cos 12cos 3n n n r P C uθθx=θcos )()()(261)12(322110022x P c x P c x P c x x ++=-=+-∴)13(212622102-++=-x c x c c x 4,0,0210===∴c c c。
数学物理方程试卷(2008~09-2)
系
专业
级
班
3
得分
评阅教师
四、设 M 0 x0 , y 0 , z 0 是 R 3 中的一定点， M x, y, z 是异于 M 0 的任意 点， r
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
，证明函数：u r a
b ， r
其中 a, b 是任意常数， 在除 M 0 外满足 Laplace方程：u xx u yy u zz 0 ， （本题 10 分）
得分
评阅教师
二、求解非齐次热传导方程初边值问题：
u t 4u xx u,0 x 1, t 0, 1 u x x 0 0, u x 1 16 , t 0, （本题 25 分） 1 2 u t 0 1五、写出 函数的积分表达式，证明递推公式 p 1 p p ，并计 算当 n 是正整数时 n 1 的值。 （本题 20 分）
姓名 学号
封
线
班 级 专业 系
密 密 封 线 内
不
要
答
题
5
得分
评阅教师
六、写出 n 阶第一类贝塞尔 ( Bessel) 函数 J n x 的表达式，求
四川理工学院试卷（2008 至 2009 学年第 2 学期）
课程名称：数学物理方程与特殊函数 适用班级：重修 考试 题号
线
命题教师：雷远明 日 共6页
2009 年 6 月 三 四 五 六 总分
一
二
评阅（统分）教师
得分 注意事项： 1、 满分 100 分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。
数理方程30题
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
成都理工《大学物理Ⅰ(上)》期末考试试卷
(A) 正比于 B，反比于 v2 (B) 反比于 B，正比于 v2
(C) 正比于 B，反比于 v
(D) 反比于 B，反比于 v
10.如图，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿
H
L1
环路 L1的磁场强度 H 的环流与沿环路 L2的磁场强
度 H 的环流两者，必有
(A)
H
d
l
H
b
c
B
30° l
a
11.如图所示，在真空中有一半径为 a 的 3/4 圆弧形的导线，
其中通以稳恒电流 I，导线置于均匀外磁场 B 中，且 B 与导
I
线所在平面垂直，则该载流导线 bc 所受的磁力大小为
c
B
a Oa b
_________________。
12.自感系数 L =0.3 H 的螺线管中通以 I =8 A 的电流时，螺线管存储的磁场
1
2
C
心，以 l 为半径的半圆路径。 A、B 两处各放有一
点电荷，电荷分别为＋q 和－q。把另一电量为 Q(Q
AO +q
l
B q
D
2l
＜0 )的点电荷从 D 点沿路径 DCO 移到 O 点，则电
场力所做的功为___________________。
7.带有电荷 q、半径为 rA 的金属球 A，与一原先不带 电、内外半径分别为 rB 和 rC 的金属球壳 B 同心放置， 如图所示．则图中 r 处 P 点的电势 =___________
___________。
5.两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线 1、2，相 1
成都理工大学2012-2013年高数(上)期末考试题及答案
成都理工大学2012—2013学年 第一学期《高等数学II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每空4分，共24分） 1.⎰+=c x dx x xf arcsin )(，则)(x f2、=-+⎰-dx x x 2112)1(23．抛物线24y x =及直线2x =所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为8π 。
4、设y x y +=tan ，则=dy dx y x ydx 22)(1cot +或5、设⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π，其中可导f ，且=≠'=0,0)0(t dx dyf 则 36．=-⎰)4(x x dxc x +-22a r c s i n二、单项选择题（每小题3分，共18分） 7．若f (x) = ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++a x x b x x sin 111sin 000<=>x x x 在x = 0处连续，则（ B ） A a = 0，b = 0； B a = 0，b = 1； C a = 1，b = 0； D a = 1，b = 1. 8、当+→0x 时，下列各式中不成立的是（ D ）得 分得 分︵（A ）2sin x ～2x ； （B ）x tan ～x （C ）12-x e ～2x ； （D ）)1ln(x -～x ； 9、曲线xxe y 1=（D ）（A ）没有渐近线 （B ）仅有垂直渐近线（C ）仅有斜渐近线 （D ）既有垂直渐近线，又有斜渐近线10． 若1)0(='f ，则xx f x f x )()2(lim 0-→＝（ B ）(A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在 11、设21)1()(lim,0)1()(21=-''='→x x f f x f x 具有二阶连续导数，且，则（ B ） A ．的极大值是)()1(x f f B ．的极小值是)()1(x f f C ．的拐点是曲线（)())1(,1x f y f = D ．以上答案均不对12、若()y f x =在(),-∞+∞上有二阶导数，()()f x f x -=-，且在(),0-∞内有()()0,0f x f x '''><，则在()0,+∞内有（ A ）A ()()0,0f x f x '''>> ；B ()()0,0f x f x '''<< ；C ()()0,0f x f x '''<>；D ()()0,0f x f x '''><三、计算题（每小题6分，共24分）13、. 求极限x x x )(sin lim 0+→ 解：x x x e x sin ln )(sin =， （2分）0)s i n c o s(l i m 1s i n ln lim sin ln lim 2000=-==+++→→→xx x xx x x x x x （3分） ∴原式10==e （1分）得 分14．.求极限3220cos )(limxtdtx t x x ⎰-→解：原式＝3220cos cos limx tdtx tdt t x xx ⎰⎰-→ （2分）＝220203cos cos 2cos limxxx tdt x x x x x --⎰→ （2分）＝xtdtxx 3cos 2lim00⎰-→＝3cos 2lim0xx -→＝32- （2分）15、若曲线d cx bx ax y +++=23在点0=x 处有极值0=y ，点)1,1(为拐点，求d c b a ,,,的值。
成都理工大学第二学期《高等数学》期末试卷
xz
2 y b2
0,
Lz
xy
2 z b2
0,
L
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
0.
(x,
y,
z)
a, 3
b, 3
c 3
,
Vmin
3 abc. 2
(2 分)
LL1 L1
2dxdy (x2 3y)dx
D
L1
a2 2 a3 3
------------------------------------------------8 分
5．将函数 f (x) 1 展开成 x 的幂级数. (2 x)2
解： 1 ( 1 ) (2 x)2 2 x
----------------------2 分
__
2 ___. 2
3． 交换二次积分的顺序
1 dy
0
2y
f (x, y)dx
0
3
dy
1
3y f (x, y)dx =
0
2
dx
0
3 x x
f
(x,
y)dy
.
2
4. L 为 沿 上 半 圆 周 x2 y2 2x 从 点 (0, 0) 到 点 (1,1) ， 把 对 坐 标 的 曲 线 积 分
........... 8 分
4. 计算曲线积分 (x2 3y)dx ( y2 x)dy ，其中 L 是沿逆时针方向，以原点为圆
L
心、a 为半径的上半圆周.
解. 添加辅助线段 L1 : y 0, x : a a
原式 ( )(x2 3y)dx ( y2 x)dy -------------------------4 分
数理方程6
4、用分离变量法求解定解问题
ut a 2u xx , 0 x l, t 0 u |x 0 0, ux |x l 0 u | ( x) t 0
得到的级数形式的解 u ( x, t )
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
a e
n 1 n
[
1
1 ] （s 3） ( s 1)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法正确的是（ A、只有三维波存在“无后效现象” B、只有二维波存在“无后效现象” C、三维波出现“弥散现象” D、二维波出现“惠更斯原理” 5、下列对拉普拉斯变换的式子错误的是（ ） A、 L[sin wt ] =
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
7、下列说法错误的是（ ） A、强极小函数一定是弱极小函数 B、弱相等意义下
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
3v v ( x v) xv 2 f ( x, y, z ) 是( 3 x z
B、二阶 C、 三阶
(ax) a ( x)
(a 0)
)偏微分方程 C 、 )型偏微分方程
六、 （13 分）用 Fourier 变换法求解定解问题
2 x R, t 0 utt a u xx u |t 0 x , ut |t 0 0
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
u M0
1 4 a 2
udS
a
五、 （14 分）用本征函数展开法求解定解问题
成都理工大学第二学期《高等数学 I、Ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案
成都理工大学2010—2011学年第二学期《高等数学》（Ⅰ，Ⅱ）考试试卷（A ）一．填空题（每小题3分，共21分）1．函数221)ln(yx x x y z --+-=的定义域为 。
2．设y x z =)1,0(≠>x x ，则=∂∂+∂∂yzx x z y x ln 1 。
3．函数z xy u 2=在点（1，-1，2）处沿 方向的方向导数最大。
4．区域D ：)0(222>≤+R R y x ,则积分⎰⎰+-Ddxdy y x R )(22的值为 。
5. 设L 为球面2222a z y x =++与平面y x =相交的圆周，则曲线积分⎰+=Ldl z y I 222= 。
6．函数)1ln(22y x z ++=在点（1，2）处的全微分dz = 。
7．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性为 。
二、选择题（每小题3分，共15分） 1．直线110112-+=+=-z y x 与平面2=++z y x 的位置关系是（ ） A ．直线与平面平行 B. 直线在平面上 C ．直线与平面垂直 D. 直线与平面斜交得 分 得 分2．22limy xy x yx y x +-+→∞→∞=（ ）A ．1 B. 0 C. 1- D.不存在3．已知⎰⎰⎰Ω+=dv z y x f I ),(22，其中Ω由1=z 和22y x z +=围成，则=I （ ）A ．⎰⎰⎰πθ201012),(dz z r f dr d B.⎰⎰⎰πθ2010122),(rdz z r f rdr dC.⎰⎰⎰πθ201012),(dz z r f rdr d D.⎰⎰⎰πθ20122),(r dz z r f rdr d4．微分方程x xe y y 22='-''的特解形式是（ ） A ．x e B Ax 2)(+ B. x Axe 2 C ．x e B Ax x 2)(+ D. x e Ax 225．函数⎩⎨⎧≤<-≤≤-=846402)(x x x xx f 展开为周期是8的傅立叶级数为∑∞+∞<<-∞++022)(4)12(cos )12(16x xk k ππ，则=)100(s （ ）A ．98- B. 94 C. 2 D. 2- 三、计算（每小题7分，共21分） 1．已知直线1L ：130211--=-=-z y x ，2L ：11122zy x =-=+，求通过1L 且与2L 平行的平面方程。
数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分，共20分）1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x sin 2x ，初始速度为cos2x 。
则其定解条件是2.方程∂u ∂u -3=0的通解为∂t ∂x⎧X "(x )+λX (x )=03.已知边值问题⎨'，则其固有函数X n(x )=⎩X (0)=X (π)=04.方程x y +xy +(αx -n )y =0的通解为2"'222二.单项选择题（每小题5分，共15分）∂2u ∂2u1.拉普拉斯方程2+2=0的一个解是（）∂x ∂y （A ）u (x ,y )=e sin xy （B ）u (x ,y )=（C ）u (x ,y )=x x 2+y 2x 2+y 21x 2+y 2（D ）u (x ,y )=ln2.一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为F (x ,t ),热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是()∂2u F (x ,t )∂u ∂2u F (x ,t )2（A ）（B ）=a 2+=a +22∂t c ρc ρ∂x ∂t ∂x 2222∂F∂F u (x ,t )∂F ∂F u (x ,t )(其中2k )22(C )(D)=a +=a +a =222c ρ∂t c ρc ρ∂t ∂x ∂x 2⎧∂2u 2∂u =a ⎪⎪∂t 2∂x 23.理想传输线上电压问题⎨⎪u (x ,0)=A cos ωx ,∂u ⎪∂t ⎩∂2ut =0=aA ωsin ωx(其中a 2=1)的解为（）L C（A ）u (x ,t )=A cos ω(x +at )（B ）u (x ,t )=A cos ωx cos a ωt（C ）u (x ,t )=A cos ωx sin a ωt （D ）u (x ,t )=A cos ω(x -at )三.解下列问题1.∂u ⎧∂u+3=0⎪(本题8分)求问题⎨∂x 的解∂y3x⎪⎩u (x ,0)=8e ⎧∂2u=6x 2y ⎪⎪∂x ∂y(本题8分)⎨⎪u (x ,0)=1-cos x ,u (0,y )=y 2⎪⎩2⎧∂2u 2∂u ⎪2=a 2⎪∂t ∂x 3 . (本题8分)求问题⎨⎪u (x ,0)=sin 2x ,∂u ⎪∂t ⎩2.的解t =0=3x 2四.用适当的方法解下列问题2⎧∂u 2∂u=a ⎪(本题8分)解问题⎨∂t ∂x 2⎪u (x ,0)=1-2x +3x 2⎩2⎧∂2u ∂2u ∂2u2∂u =a (2+2+2)⎪2⎪∂t ∂x ∂y ∂z (本题8分)解问题⎨2∂u 2⎪u t =0=2y +3xz ,=6y t =0⎪∂t 2⎩1. 2.2⎧∂u2∂u⎪∂t =a 2∂x ⎪⎪五．(本题10分)解混合问题：⎨u (0,t )=u (1,t )=0⎪u (x ,0)=2sin πx⎪⎪⎩六．(本题15分)用分离变量法解下列混合问题：2⎧∂2u 2∂u =a ⎪2∂x 2⎪∂t ⎪⎨u (0,t )=u (π,t )=0⎪∂u ⎪u (x ,0)=2x (π-x ),∂t ⎪⎩t =0=3sin 2x一.单项选择题（每小题4分，共20分）1.（D ）2.（B ）3.（D ）4.（D ）二.填空题（每空4分，共24分）⎧u (0,t )=u (2π,t )=0⎪1.x +y =C 1,2x +y =C22.⎨,∂u (x ,0)=x ,t =0=2x ⎪∂t ⎩3.u (x ,t )=x +f (3x +2y )，4.X n (x )=B n cos n πx,(n =0,1,2,3,)25.通解为u (x ,t )=322x y +f (x )+g (y )2三.解下列问题(本题7分)∂u ⎧∂u+3=0⎪1．求问题⎨∂x的解∂y 3x⎪⎩u (x ,0)=8e 解：设u (x ,t )代入方程，(8e =8e 3x +m y（2分）)⨯3+3⋅(8e 3x +m y )⨯m=03x +m y 3m +3=0,m =-1（6分）所以解为u (x ,t )=8e 3x -y（7分）2．2⎧∂2u ∂u 2⎪2=a 2⎪∂t ∂x (本题7分)求问题⎨⎪u (x ,0)=sin 2x ,∂u ⎪∂t ⎩的解t =0=3x 2解：由达朗贝尔公式，得11x +at2u (x ,t )=[sin 2(x +at )+sin 2(x -at )]+3ξd ξ（3分）⎰x -at22a =cos 2at sin 2x +3x 2t +a 2t 3（7分）四.用适当的方法解下列问题2⎧∂u 2∂u=a ⎪1.(本题7分)解问题⎨∂t ∂x 2⎪u (x ,0)=1-2x +3x 2⎩解：设u (x ,t )=1-2x +3x 2+At代入方程，A =a 2[0-0+6+A ''t ]+6x⎧A ''=0令⎨显然成立2⎩A =6a +6x解为u (x ,t )=1-2x +3x 2+6a 2t +6xt2∂2u ∂2u ∂2u2∂u =a (2+2+2)2∂t ∂x ∂y ∂z 2∂u2=6y t =0=x +2y +3yz ,t =0∂t 22.⎧⎪⎪(本题7分)解问题⎨⎪u ⎪⎩解：设u=[x 2+2y 2+3yz +At 2]+[6x 2t +Bt 3]（2分）代入方程2A +6Bt =a 2[(2+12y +∆At 2)+(12t +∆Bt 3)]（4分）⎧∆B =0令，⎨显然成立，解为2⎩6B =12a u (x ,t )=x +2y +3yz +a 2t 2+6y 2t +2a 2t 3五．(本题7分)解混合问题：2⎧∂u 2∂u ⎪∂t =a ∂x 2⎪⎪⎨u (0,t )=u (1,t )=0⎪u (x ,0)=2sin πx ⎪⎪⎩解u (x ,t )=L -1{U (x ,s )}=2e -a πt sin πx22六．(本题15分)用分离变量法解下列混合问题：2⎧∂2u 2∂u=a ⎪22∂t ∂x ⎪⎪⎨u (0,t )=u (π,t )=0⎪∂u ⎪u (x ,0)=2x (π-)x ,∂t ⎪⎩t =0=3sin 2x解：设u (x ,t )=X (x )T (t )代入方程及边界⎧T ''+λa 2T =0n π2⎪λ=()=n 2,X n=sin nx''⎨X +λX =0nπ⎪X (0)=X (π)=0⎩u n=(C ncos ant +D nsin ant )sin nxu (x ,t )=∑(C ncos ant +D nsin ant )sin nxn =1∞其中C n =2π⎰π08[1-(-1)n ]x (π-x )sin nxdx =n 3πD n =2π⎰π0⎧0(n ≠2)⎪3sin 2x sin nxdx =⎨3(n =2)⎪⎩a∞38[1-(-1)n ]cos ant sin nx 所以解为u (x ,t )=sin 2at sin 2x +∑3a n πn =12009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、填空题（每小题4分，共24分）∂2u ∂2u ∂2u 1.方程2-3+22=sin(x 2+y 2)的特征线为∂x ∂y ∂x ∂y 2.长为l 的弦做微小的横振动，x =0、x =l 两端固定，且在初始时刻处于水平状态，初始速度为2x ,则其定解条件是3.方程∂u ∂u +3=2x 的通解为∂x ∂y⎧X "(x )+λX (x )=04.已知边值问题⎨,则其固有函数⎩X '(0)=X '(2)=0X n(x )=5.方程x y +xy +(25x -64)y =0的通解为6.2⎰x J 1(x )dx = .2"'2二．单项选择题（每小题4分，共20分）1.微分方程uxxx+uxyy-sin u =ln(1+x 2)是（）（A ）三阶线性偏微分方程（B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方程（D ）三阶非线性常微分方程∂2u ∂2u2.拉普拉斯方程2+2=0的一个解是（）∂x ∂y （A ）u (x ,y )=e sin xy （B ）u (x ,y )=（C ）u (x ,y )=x x 2+y 2x 2+y 21x 2+y 2（D ）u (x ,y )=ln3.一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为F (x ,t ),热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是()∂2u F (x ,t )∂u ∂2u F (x ,t )2（A ）（B ）=a 2+=a +22∂t c ρc ρ∂x ∂t ∂x 2222∂F∂F u (x ,t )∂F ∂F u (x ,t )(其中2k )22(C )(D)=a +=a +a =222c ρ∂t c ρc ρ∂t ∂x ∂x 2⎧∂2u 2∂u=a ⎪2⎪∂t ∂x 24.理想传输线上电压问题⎨⎪u (x ,0)=A cos ωx ,∂u ⎪∂t ⎩∂2ut =0=aA ωsin ωx（A ）u (x ,t )=A cos ω(x +at )（B ）u (x ,t )=A cos ωx cos a ωt（C ）u (x ,t )=A cos ωx sin a ωt （D ）u (x ,t )=A cos ω(x -at )5.单位半径的圆板的热传导混合问题2⎧∂u 1∂u2∂u =a (2+)(ρ<1)⎪⎨有形如（）的级数解。
成都理工大学《大学物理I》(上)期末模拟试题
(B)在以点电荷为中心 的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同 ． (C) 场强可由 E F / q 定出，其中 q 为试验电荷，q 可正、可负， F 为试验电荷所受
的电场力．
(D) 以上说法都不正确．
［ C］
5、在点电荷+q 的电场中，若取图中 P 点处为电势零点 ， 则
M 点的电势为
(A)
q． 4 0a
(B)
q． 8 0a
q
(C)
．
4 0a
q
(D)
．
8 0a
+q
P
a
M a
［D ］
6、一“无限大”均匀带电平面 A，其附近放一与它平行的有一定厚度的 “无限大”平面导体板 B，如图所示．已知 A 上的电荷面密度为+ ，则 在导体板 B 的两个表面 1 和 2 上的感生电荷面密度为：
4荷、所如在图处所的示矢，径在为电荷r ，为＋q
的点电荷电场中，放入一不带电的金属球，从球心
r
金电属荷球在上球的心感O生处电产荷生净的电电荷场q强 度=__E_0=_____E________(____，4__这_q_些0_r_感3 r．生) 0
O
O
到点电
+q
5、如图所示．电荷 q (>0)均匀地分布在一个半径为 R 的薄球壳外表面上，若球
1、（8 分）质量为 m 的子弹以速度 v0 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大 小与速度成正比，比例系数为 k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时
间变化的函数关系；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
—5—
2、（10 分）质量分别为 m 和 2m、半径分别为 r 和 2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，
成都理工大学物下模拟题)答案
成都理工大学2012—2013学年第一学期《大学物理I 》（下）（模拟题）一、选择题（每小题3分，共30分）1、关于温度的意义，有下列几种说法：(1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度．(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义． (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同． (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度． 这些说法中正确的是(A) (1)、(2) 、(4)． (B) (1)、(2) 、(3)． (C) (2)、(3) 、(4)．(D) (1)、(3) 、(4)． ［ B ］2、温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能ε和平均平动动能w 有如下关系： (A) ε和w 都相等． (B) ε相等，而w 不相等．(C) w 相等，而ε不相等． (D) ε和w 都不相等． ［ C ］ 3、设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令()2O p v 和()2Hp v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2O p v /()2H p v =4．(B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2O p v /()2H p v ＝1/4．(C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；()2O pv /()2Hp v ＝1/4．(C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；()2Op v /()2Hp v ＝ 4．［ B］得 分4、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为x 1 =A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为(A) )π21cos(2++=αωt A x ． (B) )π21cos(2-+=αωt A x ．(C) )π23cos(2-+=αωt A x ． (D) )cos(2π++=αωt A x ． ［ B ］5、一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动．若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的：(A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动．(B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动．(C) 两种情况都可作简谐振动．(D) 两种情况都不能作简谐振动． ［ C ］6、下列函数f (x , t )可表示弹性介质中的一维波动，式中A 、a 和b 是正的常量．其中哪个函数表示沿x 轴负向传播的行波？(A) )cos(),(bt ax A t x f +=． (B) )cos(),(bt ax A t x f -=．(C) bt ax A t x f cos cos ),(⋅=． (D) bt ax A t x f sin sin ),(⋅=． ［ A ］7、在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P 处形成的圆斑为(A) 全明． (B) 全暗．(C) 右半部明，左半部暗． (D) 右半部暗，左半部明． ［ D ］8、在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为a ＝4 λ的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为(A) 2 个． (B) 4 个．(C) 6 个． (D) 8 个． ［ B ］9、一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为a ，宽为b ，质量为m 0．由此可算出其面积密度为m 0 /ab ．假定该薄板沿长度方向以接近光速的速度v 作匀速直线运动，此时再测算该矩形薄板的面积密度则为放在光滑斜面上图中数字为各处的折射率(A) ab c m 20)/(1v - (B) 20)/(1c ab m v -(C) ])/(1[20c ab m v - (D) 2/320])/(1[c ab m v - ［ C ］10、康普顿效应的主要特点是(A) 散射光的波长均比入射光的波长短，且随散射角增大而减小，但与散射体的性质无关．(B) 散射光的波长均与入射光的波长相同，与散射角、散射体性质无关． (C) 散射光中既有与入射光波长相同的，也有比入射光波长长的和比入射光波长短的.这与散射体性质有关．(D) 散射光中有些波长比入射光的波长长，且随散射角增大而增大，有些散射光波长与入射光波长相同．这都与散射体的性质无关．［ D ］二、填空题（每小空2分，共24分）1、某理想气体等温压缩到给定体积时外界对气体作功|W 1|，又经绝热膨胀返回原来体积时气体对外作功|W 2|，则整个过程中气体(1) 从外界吸收的热量Q = __-|W 1|__； (2) 内能增加了∆E = __-|W 2|__。