数学物理方程题库
数学物理方程习题课
一、 斯通－刘维尔型1、将方程0)1('2''=---y xy y λ转化为斯通－刘维尔型。
解：原方程两端同时乘以2x e -，可得：222''2'(1)0x x x e y xe y e y λ------=则：22[](1)0xxd dy eey dxdxλ----=为其斯通－刘维尔型。
2、（8分）将方程22(1)'''()0x y xy x y λη----=转化为斯通-刘维尔型，其中η为常数。
原方程两边同乘211x-后，得：222'''011x x y y y xxλη---=--，即为：2222'''0111x xy y y y xxxηλ-+-=---方程两边同乘以21xdxx e --⎰，就化成了斯通-刘维尔型方程222211122[][][]011xx x dx dxdxx xxd dyxee y ey dx dx x xηλ------⎰⎰⎰+-=--即为：3322222(1)(1)0d x y x x y dx ηλ--+---=二、级数解的形式1、给出0')1(''=+-++y y x s xy λ在x ＝0处级数解的形式。
答：x ＝0为原方程的正则奇点，在x ＝0处级数解的形式为：k ckk y ax∞+==∑2、给出方程22'''(1)0xy y x x y λ++-=在0x =处级数解的形式。
解：方程对应的标准形式为：22'''(1)0y y x y xλ++-=1x在0x =处不解析，0x =为其一级极点；22(1)x λ-在0x =处解析，可知：0x =为原方程的正则奇点。
则：在0x =处级数解的形式为0cnnn y xax ∞==∑，或写成0c nnn y ax ∞+==∑或写成两个线性独立解：110c nnn y ax∞+==∑，220c nnn y bx∞+==∑。
数学物理方程习题
值使得u(Q)在A点得邻域中调和. 16.设P 为常系数线性偏微分算子，且有基本解E (x), 满足singsuppE = {0}则P 为亚椭圆的。 (Thm6.3.2) 第七章热传导方程 1.求解热传导算子的基本解 2.求解热传导方程的Cauchy问题 { ∂u − a2 ∆u = f (x, t) t > 0 ∂t u(x, t)|t=0 = φ(x) 3.求解热传导方程的初边值问题. {
∑ 1 ξ α ∂ α uP α (x, η ) α ! α
是一个重要的公式，称为推广的莱布尼茨公式.又以后对任一函数F (x, ξ )恒
β α 记F(β ) (x, ξ ) = ∂x ∂ξ F (x, ξ )，即下标表示对x求导，上标表示对ξ 求导. (α)
8.设有C ∞ (R)函数列{fn (x)}满足 1
d2 dx2 d + dx
α, α ∈ R .
2 + ∂r , 其中r =
第六章Laplace方程
n −1 ∂r r 3
√ 2 x2 1 + ... + xn
2.设开集Ω ⊂ R 有界，边界∂ Ω光滑，u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), Q ∈ Ω 证明 ∫ 1 ∂u ∫ ∫ ∆u u ∂ ( 1 )ds − 41 u(Q) = 41 ds − 41 dx π ∂ Ω r ∂n π ∂ Ω ∂n r π Ω r 3.证明球面平均值公式，球体平均值公式 4.证明调和函数的极值原理 5.利用极值原理证明以下Dirichlet问题的唯一性和稳定性 ∆u = 0 u|∂ Ω = f 6.利用Green函数求解上半平面的Dirichlet问题 ∆u(x, y ) = 0 y > 0 u|y=0 = f (x) 7.利用Green函数求解圆Ω上的Dirichlet问题 ∆u = 0 u|∂ Ω = f (x) ¯ ∩ C 2 (Ω), 证明： 8.设Ω = BR (Q)(以Q为心、 R为半径的开圆域), u ∈ C (Ω) ∫∫ ∫∫∫ 1 (1).u(Q) = 4πR )∆udx. u(P )dSp + 41 (1 − 1 2 π r ∂BR (Q) BR (Q) R ∫ ∫ 1 (2).若∆u ≥ 0, 则u(Ω) ≤ 4πR2 u(P )dSp . ∂BR (Q) 9.证明第一格林公式 ∫ ∫ u
数学物理方程练习题
σf 4dSdt.
根据热量平衡有 故所求边界条件为
−k
∂u ∂n
dSdt
=
σu4dSdt
−
σf
4dSdt.
−k
∂u ∂n
=
σ(u4
− f 4).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 49
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0,
⇒ Q(t) = Q0e−βt.
易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 Ω 中的热量的增加等于从 Ω 外部流入 Ω 的热量及砼中的水化热之和, 即
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 7 / 49
热传导方程及其定解问题的导出
∫ t2 cρ ∂u dtdxdydz =
.
热传导方程
.
Heat Equations
齐海涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 1 / 49
目录
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
热传导方程及其定解问题的导出
.E.xample 1.2
.试直接推导扩散过程所满足的微分方程.
解: 设 N(x, y, z, t) 表示在时刻 t, (x, y, z) 点处扩散物质的浓度, D(x, y, z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为
数学物理方法习题集
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
数学物理方程 第三章练习题
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2012-10-3
11 / 69
建立方程、定解条件
方法二: 同上题, 在柱面坐标系下 q1 = r, q2 = θ, q3 = z, 则 ds2 = dr2 + r2 dθ2 + dz2 , H1 = 1, H2 = r, H3 = 1,
代入 (1.4) 即得柱面坐标下 Laplace 算子的表达式.
.
第三章
.
调和方程
Laplace Equations
齐 海 涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2012-10-3
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目录
. 1 . 2 . 3 . 4
建立方程、定解条件 格林公式及其应用 格林函数 强极值原理、第二边值问题解的唯一性
对上式两边积分即得结论.
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2012-10-3
4 / 69
建立方程、定解条件
.
Example 1.2
. 证明: 拉普拉斯算子在球面坐标 (r, θ, φ) 下可以写成 ( ) ( ) 1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2 u △u = 2 r + 2 sin θ + . r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 .
∂2 u ∂2 u ∂2 u sin θ cos θ ∂2 u sin2 θ ∂u sin2 θ ∂u sin 2θ = 2 cos2 θ − 2 · + 2 2 + + , 2 ∂x ∂r ∂r∂θ r ∂θ r ∂r r ∂θ r2 ∂2 u ∂2 u 2 ∂2 u sin θ cos θ ∂2 u cos2 θ ∂u cos2 θ ∂u sin 2θ · + 2 2 + − = sin θ + 2 , ∂y2 ∂r2 ∂r∂θ r ∂θ r ∂r r ∂θ r2 将最后两式相加, 并加以整理, 即得到所需结果.
数学物理方程第三章练习题
2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
∂2u ∂x2i
=
x2i r2
f
′′(r)
+
( 1 r
−
x2i r3
)
f
′(r),
(i = 1, 2, . . . , n)
将上式代入调和方程得
f
′′(r)
+
n
−
1 f
′(r)
=
0,
r
即
f ′′(r) f ′(r)
=
−n
− r
1.
对上式两边积分即得结论.
πx a
,
u(x, b)
=
0.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 17 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.6
用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b) 上的稳定温度分布:
.
uxx + uyy = 0,
u(0, y) = u(a, y) = 0,
,
∂r ∂R
=
sin θ,
∂θ ∂R
=
cos θ . r
由 (1.2) 及 (1.3) 知
(1.3)
∂2u ∂z2
=
cos2
θ
∂2u ∂r2
+
sin2 r2
θ
∂2u ∂θ2
+
sin2 r
θ
∂u ∂r
+
sin 2θ r2
∂u ∂θ
−
sin 2θ r
∂2u ∂r∂θ
,
数学物理方程-习题讲解汇总
又杆的初始温度分布为
u
t=0 =
x(l − 2
x) .
2
，所以
湖南大学数学院朱郁森
故相应的定解问题为
ut = a2uxx , 0 < x < l, t > 0.
u x=0 = 0,
ux x=l = q . k
u
t=0 =
x(l − 2
x) .
习题一、2
湖南大学数学院朱郁森
长为 l 的弦两端固定，开始时在 x = c 处受到冲
)
=
Bk
sin
kπ α
θ
,
kπ
Rk (ρ) = ck ρ α k = 1, 2,L.
1 ρ
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ2
∂2u
∂θ 2
=
0,
（1）
u θ =0 = u θ =α = 0, u ρ=a = f (θ) u(0,θ) < +∞,
（2） （3） （4）
于是得方程（1）适合条件（2）（4）的一组特解
∞
u(x,t) = ∑uk (x,t)
k =0
∑ =
∞
Ck
e−
akπ l
2 t
cos
kπ
x
k =0
l
仍满足方程（1）与条件（2）。
湖南大学数学院朱郁森
又由条件（3），得
∑∞ Ck cos kπ x = x, ⇒
k =0
l
l , k = 0,
Ck
2
= ∫2 l x cos kπ xdx,
l0
l
故原定解问题的解为
情况。
数学物理方程第三章练习题
∂u ∂r
−
sin θ r
∂u ∂θ
,
∂u ∂R
=
sin
θ
∂u ∂r
+
cos θ r
∂u ∂θ
.
R2 + z2 = r2,
tan θ
=
R z
,
(1.1) (1.2)
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 6 / 69
建立方程、定解条件
故有
∂r ∂z
=
cos θ,
∂θ ∂z
=
−
sin r
θ
H1
=
√( ∂x )2 ∂q1
( ∂y )2 + ∂q1
+
(
∂z ∂q1
)2 ,
H2
=
√( ∂x )2 ∂q2
( ∂y )2 + ∂q2
+
(
∂z ∂q2
)2 ,
H3
=
√( ∂x )2 ∂q3
( ∂y )2 + ∂q3
+
(
∂z ∂q3
)2 ,
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3
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数学物理方程
2012-10-3 2 / 69
1. 建立方程、定解条件 2. 格林公式及其应用 3. 格林函数 4. 强极值原理、第二边值问题解的唯一性
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.1
√
设 u(x1, . . . , xn) = f(r) (其中 r = x21 + · · · + x2n ) 是 n 维调和函数, 试证明
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()()22221211*********cos 3sin 0cos 3sin 40.2cos 2cos 2sin x x y a a a x x xx y x −−+−=∆=−=−++=>⎧⎪==−⎪⎨⎪==−−⎪⎩=−xx xy yy y ，指出下列方程的类型并化为标准形式。
1） u u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx该方程的一组特征微分方程为dy dx 积分得到特征曲线为1112222211122222111222sin 2sin 2sin 2sin 2sin 082x c c y x xy x x c c y x xy x xy x x U U UB a a a x x x y y x y y a a x x y ξηξηξηξηξηξηξηξξ+=−+⎧⎧⇒⎨⎨=−−+=++⎩⎩−+⎧⎨=++⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂=+∂∂∂1211121=于是令此时原方程可以转化为2A A 其中，A A ()()2221222211122212222sin 2sin 00a b y xy y B a a a b y xx x y y yU U Uu u u ξξηηηηξηξηξηξηξηξηξη∂∂++=−−∂∂∂∂∂∂=+++=−−∂∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠1所以16y+sinx y+sinx +由于y+sinx=，所以上式可以变为关于，得标准方程2+32()22222121122121122211122200.,().02xy y a a a xy x y a y a xyy cx c x x u u uB a a x x y ξηηξηηηη++=∆=−=−=====∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂⎛⎞=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠2xx xy yy 221122） x u u u 解：方程的判别式所以方程为抛物型。
dy 该方程的一组特征微分方程为解这个微分方程得到：dx 其中为常数，因此令=，选此时原方程可以转化为2A A 其中，A 22222221112222222211122222222222002000a y y a a a x x y y B a a a x x y yu uy y ηξξξηηηηη⎛⎞∂=⎜⎟∂⎝⎠∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂=≠=∂∂11A 最后得到，当时，()22121122111111111122222103053*3160.3133311333a a a y x c c y x y x c c y x y x ξ++=∆=−=−=>⎧⎪==⎪⎨⎪==⎪⎩=+=−⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=−⎪⎪⎩⎩−xx xy yy 3） 3u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx该方程的一组特征微分方程为dy dx积分得到特征曲线为=于是令21112222221112221222221112221221303232020y x U U UB a a a x x x y y x y y a a a b x x y y y B a a a b x x y y yηξηξηξηξηξηξηξξξξηηηη⎧⎪⎨=−⎪⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂∂12111211此时原方程可以转化为2A A 其中，A A 所以 20Uξη∂=∂∂()()()()()()()()()()()()()()()()0002112''1121211211122,0cos ,0cos ,0cos 1222cos 122xx t t xx xx xx a u x u x x u x e f x at f x at f x f x x u x af x af x e f x f x e d cx c f x e d a a x f x e d a ξξξ−−−−−⎧=−∞<<∞⎪⎨==⎪⎩=++−=+==−=−=+⎡⎤⎣⎦=++=−∫∫tt 确定初值问题u ，解：根据题意，令u x,t 由初始条件得u x,0，对上式积分得，a 于是得到，()()()()()()()()()()0011121212cos 1222cos 122211cos cos 22cos cos x at x x x at x at x atc a x at cf x at e d a a x at c f x at e d a a f x at f x at x at x at e d a t x at eξξξ+−−−+−−⎧⎪⎪⎨⎪−⎪⎩⎧++=++⎪⎪⇒⎨−⎪−=+−⎪⎩⇒=++−=++−+⎡⎤⎣⎦=+∫∫∫∫u x,t()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0'2'12'''1212'12'13,.,0,0,0122xx t t xx a a u x u x u x a f x at f x at f x f x u x afx af x a f x f x a d cf x ϕϕϕϕϕϕϕξϕϕ−⎧=−∞<<∞⎪⎨==−⎪⎩=++−=+==−=−−=−+⎡⎤⎣⎦=−∫tt 求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为x 初始速度为x 解：初值问题为u x ，x 根据题意，令u x,t 由初始条件得u x,0x ，x 对上式积分得，a x x x 于是得到，()()()()()()()()()()()()()()()()()0000'2'1'212'21222122212221122x x xx x at x x x at x atx at cd a c f x d a x at c f x at d a x at c f x at d a f x at f x at x at x at d x at ξϕϕξϕϕξϕϕξϕϕϕξξϕ+−+−⎧+⎪⎪⎨⎪=+−⎪⎩⎧++=−+⎪⎪⇒⎨−⎪−=+−⎪⎩⇒=++−=++−−⎡⎤⎣⎦=−∫∫∫∫∫x x x x u x,t()()()()()()()()()()()()()2222304,0,00,,00,,0,,1,,.21,6t t x a t x a t ta x at x t u x u x h a h x t h x u x x a h x t at d a at x xt a u x t a at x xt d at τττττττξξτττττ+−−−⎧=++−∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩⎧=−∞<<∞>⎪⎨==+⎪⎩=+=−+−++⎡⎤=−+−++=+⎣⎦∫∫tt xx tt xx 求定解问题u u 解：根据齐次化原理，可将问题转化为求解问题由达朗贝尔公式得到2.2x t ()()()()()()()()()()()()()()2005,0,0,,0sin 11,221,,:2111,sin 222t x atx atx a t tx a t x attx at a x at x t u x x u x xu x t x at x at d a d f d a u x t x at x at d d a a a ττϕϕφξξτξτξξξτξτ+−+−−−+−⎧=++−∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩=++−+⎡⎤⎣⎦+=++−+++⎡⎤⎣⎦∫∫∫∫∫tt xx 求定解问题u u 解：利用公式该非齐次方程的初值问题可以写成如下的的形式()()3211sin sin 62x a t x a t d x x x at at ta ττξ+−−−=+++∫()()()()()()()()()()()2222222222260,0,000,u u a x t tx u x x u ua u u t x t a t x u u a xt x f x at f x x f x at x at x at ϕϕϕϕ∂∂⎧+=−∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪=⎩⎧∂∂+=⎪∂∂⎪∂∂∂⇒=⎨∂∂∂∂⎪+=⎪∂∂∂⎩=−=−=−=−求右行单波方程初值问题解：方程两边分别对x,y求导得到：由于为右行波，故可以令：u x,t 根据初值条件得到，，于是得到所以u x,t ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()07,0,,,0,,000000000,0,yx yx uf x y x yu y y u x x u x y h x g y d f d h g y y h g h x g x h x g x h x g y x y h g x y u x y x y d f d ϕφξξηηϕϕφφφϕφϕϕφϕϕξξηη⎛∂=⎜∂∂⎜⎜==⎝=+++=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩⇒+=+−+=+−⎡⎤⎣⎦=+−+∫∫∫∫2求定解问题解：方程两边同时对x,y进行积分得代入初始条件得所以，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1212211212211128,0,,,022*******,02x t u x x x u x x x f x t f x t f f x x f x x f f x f x f x x f x t f x t f u x t f x t f x t f x t f ϕφϕϕφφϕφ=−∞<<∞>⎧⎪⎨−==⎪⎩=++−+==−⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==−⎪⎪⎩⎩⎧−⎛⎞−=−⎜⎟⎪⎪⎝⎠⇒⇒=++⎨+⎛⎞⎪+=−⎜⎟⎪⎝⎠⎩tt xx 求解弦振动的古尔沙问题u u 解：根据题意，可令u x,t 代入初始条件得()()()()2210002222x t x t x t x t x t f f ϕφϕφϕ−−+−+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−+=+−⎡⎤⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠()()()()()()()()()()()()()()()()()()()20000209,0,00,0,0010,0,0,00,0,0,00tt xx x x t at tx tt xx t x u a u x t uh x t xu x u x h x a h d at d a h d a u t u t u a u x t u t a h d t u x u x µττϕφξξττττ=⎧=<<∞>⎪∂⎪=≤<∞⎨∂⎪⎪==⎩=−++=−⎧=<<∞>⎪=−≤<∞⎨==∫∫∫∫求定解问题其中为已知连续可微函数。