高三基础知识天天练 数学8-7人教版
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第7模块 第6节[知能演练]一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→， 所以选A. 答案：A2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0， 所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2， 所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.答案：C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝121→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3得M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 答案：A 二、填空题5．下列命题中不．正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →的夹角等于________； (2)CB →在CA →方向上的投影等于________． 解析：CB →＝(1,1,0)，CA →＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|＝－1＋0＋02·2＝－12，∴〈CB →，CA →〉＝2π3；(2)CB →在CA →方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.答案：(1)2π3 (2)－22三、解答题7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ， 此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )． ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0. ∴A 1F →⊥C 1E →.(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．视A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →， 即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[高考·模拟·预测]1．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解法一：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12＋12b ＋c ，∴选A.解法二：∵B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝(－a )＋c ＋a ＋b 2＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1＝CD →22＝12.∴AB →与CD →所成角为60°.答案：C3．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋12b ＋14c4．如右图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)， B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， ∴M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12×12＋(12)2＝25. 答案：255．在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝a ，∠ACD ＝90°，现将它沿对角线AC 折成60°的二面角．(1)求B 、D 两点间的距离；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的大小． 解：(1)∵AB ＝AC ＝CD ＝a ， ∴|AB →|＝|AC →|＝|CD →|＝a . ∵AB ∥CD ，∠ACD ＝90°. ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，AC ⊥CD .由于二面角B －AC －D 的度数为60°，∴〈AB →，CD →〉＝60°. ∴AB →·AC →＝0，AC →·CD →＝0， BA →·CD →＝a ·a ·cos120°＝－12a 2.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝|BA →|2＋|AC →|2＋ |CD →|2＋2(BA →·AC →＋AC →·CD →＋CD →·BA →) ＝a 2＋a 2＋a 2＋2(0＋0－12a 2)＝2a 2.∴|BD →|＝2a .故B 、D 两点间的距离为2a . (2)设异面直线AC 与BD 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC →，BD →〉|＝|AC →·BD →|AC →||BD →||.由于AC →·BD →＝AC →·(BA →＋AC →＋CD →)＝AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＝0＋a 2＋0＝a 2， ∴cos θ＝|AC →·BD →|AC →||BD →||＝|a 2a ·2a |＝22.由于0°<θ≤90°，∴θ＝45°.故异面直线AC 与BD 所成角的大小为45°.[备选精题]6．如右图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：如题图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．(1)解：BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)， 于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊆平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解：设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13·1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。
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第2模块 第7节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝－1x 2＋2x ＋1的图象是( )解析：间接法，只要抓住定义域{x |x ≠－1}及y <0，即可选出B. 如果用直接法，则把y ＝－1x 2＋2x ＋1变形为y ＝－(x ＋1)－2，它可看成是把y ＝x －2的图象向左平移1个单位，再作关于x 轴对称而得．答案：B2．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )解析：g (x )＝2－x ＋1＝2－(x －1)的图象是由y ＝2－x的图象右移1个单位而得．本题考查函数图象的平移法则．答案：C3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (1－x )的图象是( )解析：画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右移动1个单位，得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象，故选C.答案：C4．设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称解析：函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，y ＝f (1－x )＝f [－(x －1)]． 把y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象同时都向右平移一个单位，就得到y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象，对称轴y 轴向右平移一个单位得直线x ＝1，故选D.答案：D 二、填空题5．函数y ＝2－xx －1的图象关于点________对称．解析：y ＝2－x x －1＝－1＋1x －1，y ＝2－x x －1的图象是由y ＝1x 的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1)．答案：(1，－1)6．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根的个数是________．解析：a |x |＝|log a x |有意义，则x >0，问题即a x＝|log a x |.画出两个函数y ＝a x ，y ＝|log a x |的图象，则可以得到交点有2个．答案：2 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )同时满足以下五个条件： (1)f (x ＋1)的定义域是[－3,1]； (2)f (x )是奇函数； (3)在[－2,0)上，f ′(x )>0； (4)f (－1)＝0；(5)f (x )既有最大值又有最小值．请画出函数y ＝f (x )的一个图象，并写出相应于这个图象的函数解析式． 解：由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2， 故f (x )的定义域是[－2,2]．由(3)知，f (x )在[－2,0)上是增函数．综合(2)和(4)知，f (x )在(0,2]上也是增函数，且f (－1)＝f (1)＝0，f (0)＝0. 故函数y ＝f (x )的一个图象如右图所示，与之相应的函数解析式是f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，x －1，0<x ≤2.8．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －8|－|x －4|>2. 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2， 由－2x ＋12＝2，得x ＝5.由函数f (x )的图象可知原不等式的解集为(－∞，5)．[高考·模拟·预测]1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )解析：∵0<12<1，∴y ＝log 12f (x )的图象在(0,1]上递增，在[1,2)上递减(同增异减)．故选C.答案：C2．下列三件事与如下图中吻合最好的顺序为( )①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一段时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A ．(1)(2)(4) B ．(4)(2)(3) C ．(4)(1)(3) D ．(4)(1)(2)解析：根据其速度的变化判断函数图象的单调性可得①②③对应图象为(4)(1)(2)，选D. 答案：D3．如右图所示，一质点P (x ，y )在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x,0)的运动速度V ＝V (t )的图象大致为( )解析：由图可知，当质点P (x ，y )在两个封闭曲线上运动时，投影点Q (x,0)的速度先由正到0，到负，到0，再到正，故A 错误；投影点Q (x,0)在终点的速度是由大到小接近0，故D 错误；质点P (x ，y )在开始时沿直线运动，故投影点Q (x,0)的速度为常数，因此C 是错误的，故选B.答案：B4．把函数f (x )＝x 3－3x 的图象C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图象C 2，若对任意u >0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：C 2的解析式为y ＝(x －u )3－3(x －u )－v .由题意对于关于x 的方程(x －u )3－3(x －u )－v ＝x 3－3x ，即3ux 2－3u 2x －3u ＋u 3＋v ＝0对于任意u >0至多只有一个实数解，∴Δ＝9u 4－12u (u 3－3u ＋v )≤0，即v ≥－14u 3＋3u ，令f (u )＝－14u 3＋3u ，则f ′(u )＝－34u 2＋3＝－34(u 2－4)，∴当u ＝2时f (u )取得最大值f (2)＝4.∴v ≥4.故选B.答案：B5．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析：由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如下：记y ＝k (x ＋1)＋1，∴y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1有四个交点，故k AB <k <0.∴－13<k <0.答案：(－13，0)6．已知函数f (x )＝m (x ＋1x )的图象与h (x )＝12(x ＋1x )＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a2x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)解法一：设P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，则点P 关于A 点的对称点(x ′，y ′)在函数f (x )的图象上．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋x ＝0，y ′＋y ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y .于是有2－y ＝m (－x －1x )，即得y ＝m (x ＋1x )＋2，∴m ＝12.解法二：易知h (x )经过点(1,3)，故f (x )经过点(－1，－1)，代入得m ＝12.(2)由(1)得f (x )＝12(x ＋1x)，故有g (x )＝12(x ＋1x )＋a 2x ＝12(x ＋a ＋1x)，解法一：g ′(x )＝12(1－a ＋1x 2)．当0<x ≤a ＋1(a ≥－1)时，g ′(x )≤0，∵g (x )在区间(0,2]上为减函数，故有a ＋1≥2，得a ≥3. 即a 的取值范围为[3，＋∞)．解法二：任意取x 1，x 2∈(0,2]，不妨设x 1<x 2. 则g (x 1)－g (x 2)＝12(x 1－x 2)x 1x 2－(a ＋1)x 1x 2>0恒成立．故x 1x 2－(a ＋1)<0，对0<x 1<x 2≤2恒成立． ∴1＋a ≥4，∴a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．。
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单元质量检测(七)一、选择题1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．答案：B2．如下图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是()解析：由三视图及空间想象可知选A.答案：A3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．答案：D4．已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是()A．(4＋2π)cm2B．(6＋2π)cm2C．(4＋3π)cm2D．(6＋3π)cm2解析：由三视图可知，该几何体是底面直径和高均为2 cm的放倒的半个圆柱，其中轴截面的面积为4 cm2，半个侧面的面积为2πcm2，两底面的面积之和为π cm2，所以这个几何体的表面积是(4＋3π)cm2，故应选C.答案：C5．用平行于圆锥底面的截面去截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是12，则小圆锥的高与大圆锥的高的比是() A.12B．1C.22 D. 2解析：设小圆锥的高，底面半径，母线长分别为h，r，l，大圆锥的高，底面半径，母线长分别为H，R，L，则122πrl122πRL＝12，∴rlRL＝(rR)2＝12，∴rR＝22，∴hH＝rR＝22.答案：C6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，则l⊥β，又直线m⊂平面β，∴l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m相交和异面的情况，故②错误；对于③，可知正确．故正确命题的个数为2.答案：C7．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β解析：对于选项A：垂直于同一平面的两个平面也可以相交，如正方体相邻的两个平面，故A错；对于选项B：设平面α与平面β相交于直线l，则在这两个平面内都存在与交线平行的直线，此时这两直线也平行，故B也错；对于选项C：应有n∥α或n⊂α两种情形；对于选项D：由线面垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故D正确．答案：D8．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为() A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶2解析：由题意可知三棱锥V B－GAC＝V P－GAC，V B－GAC＝V G－BAC，V D－GAC＝V G－ADC，又因为三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝1∶2，综上可知V D－GAC∶V P－GAC＝2∶1，故选C.答案：C9．如右图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等解析：选项A 、B 、C 均可推出EF ⊥平面ABCD ，从而可推出BD ⊥EF ；而由选项D 并不能推出BD ⊥EF ，故选D.答案：D10．若二面角M －l －N 的平面角大小为2π3，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是( )A ．[π6，π2]B ．[π4，π2]C ．[π3，π2]D ．[0，π2]解析：直线m 与平面N 内的直线所成角最小为m 与平面N 所成的角π6，显然m 与N 内直线所成角最大为π2，因为N 内一定有直线与m 垂直．答案：A11．如下图所示，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是下图中的( )A ．四个图形都正确B ．只有(2)(3)正确C ．只有(4)错误D ．只有(1)(2)正确解析：在面ABCD 上的射影为图(2)；在面B 1BCC 1上的射影为图(3)，在任何一个面上的射影都不会是图(1)和图(4)．答案：B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，其棱长为1，下列命题中，正确的命题个数为( )①A 1C 1和AD 1所成角为π3；②点B 1到截面A 1C 1D 的距离为233；③正方体的内切球与外接球的半径之比为1∶ 2 A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∴∠A 1C 1B 为异面直线A 1C 1与AD 1所成角，显然∠A 1C 1B ＝π3. 到平面A 1C 1D 的距离为233的点是B 不是B 1.正方形的内切球与外接球半径之比为1232＝1∶ 3.答案：C 二、填空题13．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．解析：由三视图可知，原几何体为底面直径为1，母线长也为1的圆柱，故由圆柱侧面积公式可得S ＝2π×12×1＝π.答案：π14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上移动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是________．解析：由题意，当P 点移动时，AP 确定的平面与BD 1垂直，∴点P 应在线段B 1C 上． 答案：线段B 1C15．如下图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．解析：取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，由题中条件易得四边形ABEF 为平行四边形，从而进一步可推出BE ∥AF ，根据线面平行的判定定理可得BE ∥平面P AD (或取CD 的中点M ，连接EM ，BM ，由条件可推出平面BEM ∥平面P AD ，进一步也可得出BE ∥平面P AD )．答案：平行16．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动．则MN 中点P 的轨迹与该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为________．解析：连接PD ，可得PD ＝1，即点P 的轨迹为以点D 为球心，半径为1的球截直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的部分(如右图所示)．由DD 1⊥平面ABCD 及∠ADC ＝2π3，可得该几何体为球体的13×12＝16，所以其体积为V ＝16×43π×13＝2π9. 答案：2π9三、解答题17．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：设正方体棱长为a . 如右图作出组合体的轴截面． 则OS ＝h ，OP ＝r ，OA ＝2a 2， ∵△SO ′A ′∽△SOP ， ∴O ′A ′OP ＝SO ′SO ，即2a 2r ＝h －ah，∴a ＝2rh 2r ＋2h ，即正方体的棱长为2rh2r ＋2h.18．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3.(1)求证：AC ⊥DE ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC .而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PDB .E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PDB ，所以AC ⊥DE . (2)连接EF .由(1)知AC ⊥平面PDB ， EF ⊂平面PDB ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .此时S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1.由△PDB ∽△FEB ，得PD EF ＝PBFB .由于EF ＝1，FB ＝4，所以PB ＝4PD .又PB ＝PD 2＋64，∴PD 2＋64＝4PD ， 解得PD ＝81515.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PD＝13×24×81515＝641515.图甲19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直(右图甲)，图乙为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图乙所给的正视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积．图乙(2)图丙中，E 为棱PB 上的点，F 为底面对角线AC 上的点，且BE EP ＝CFF A ，求证：EF ∥平面PDA .图丙解：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如下图．其面积为36 cm 2.(2)连接BF 并延长交AD 于G ，连接PG ， 则在正方形ABCD 中，BF FG ＝CF F A .又CF F A ＝BE EP ，∴BF FG ＝BE EP， ∴在△BGP 中，EF ∥PG .又EF ⊄平面PDA ，PG ⊂平面PDA ， ∴EF ∥平面PDA .20．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求证：平面SCD ⊥平面SCE . 证明：(1)连结AC 、AF 、BF 、EF . ∵SA ⊥平面ABCD ，∴AF 为Rt △SAC 斜边SC 上的中线， ∴AF ＝12SC .又∵ABCD 是正方形，∴CB ⊥AB . 而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA ， 又AB ∩SA ＝A ，∴CB ⊥平面SAB .∴CB ⊥SB ， ∴BF 为Rt △SBC 斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC . ∴△AFB 为等腰三角形，EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝CE ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .21．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中点，点F ，G 分别是棱C 1D 1，AA 1的中点．设点E 1，G 1分别是点E ，G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解：(1)由题意知EE 1⊥平面DCC 1D 1，且四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为四边形FG 1DE 1.∵点E 是正方形BCC 1B 1的中心，∴EE 1＝1.∵SFG 1DE 1＝SDCC 1D 1－S △FD 1G 1－S △E 1C 1F －S △DCE 1， 由题设知点E 1、G 1分别是CC 1、DD 1的中点，∴SFG 1DE 1＝22－12×1×1－12×1×1－12×1×2＝2. 故所求的四棱锥体积为VE －FG 1DE 1＝13SFG 1DE 1×EE 1＝13×2×1＝23. (2)由(1)知，△E 1C 1F 与△G 1D 1F 均为等腰直角三角形，∴∠G 1FE 1＝π2⇒G 1F ⊥FE 1. ∵EE 1⊥平面DCC 1D 1，FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.又∵EE 1∩FE 1＝E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)由(1)的解答知E 1G 1∥AB ，∴∠EAB 即为E 1G 1与EA 所成的角． 连接EB ，由题意得EB ＝ 2.∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴△EBA 为直角三角形， ∴EA ＝EB 2＋AB 2＝(2)2＋22＝6，∴sin ∠EAB ＝EB EA ＝26＝33. 22．已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1(如右图)中，底面ABCD 是正方形，且DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)试在平面ADD 1A 1中确定一个点F ，使得FB 1⊥平面BCC 1B 1；(3)求二面角F －CC 1－B 的余弦值(F 满足(2))． 解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，D 1(0,0，a )，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，C 1(0，a ，a )．(1)∵AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0,0，a )，∴cos 〈AB 1→，DD 1→〉＝AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝a 23a 2 a 2＝33，即直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)设F (x,0，z )，∵BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a,0,0)，FB 1→＝(a －x ，a ，a －z )，由FB 1⊥平面BCC 1B 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ FB 1→·BB 1→＝0FB 1→·BC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a (a －x )－a 2＋a (a －z )＝0－2a (a －x )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a z ＝0， ∴F (a,0,0)，即F 为DA 的中点．(3)由(2)知FB 1→＝(0，a ，a )为平面BCC 1B 1的一个法向量．设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的一个法向量， CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a,2a,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ay 1＋az 1＝0－ax 1＋2ay 1＝0. 令y 1＝1得x 1＝2，z 1＝1，∴n ＝(2,1,1)，cos 〈n ，FB 1→〉＝n ·FB 1→|n ||FB 1→|＝ a ＋a 6·2a2＝33，即二面角F －CC 1－B 的余弦值为33.。
广西高考数学一轮复习 考点规范练8 指数与指数函数 文-人教版高三全册数学试题
考点规范练8 指数与指数函数一、基础巩固6(x<0,y<0)得()1.化简√64x6y4A.2x y23B.2x y32C.-2x y32D.-2x y232.(2018湖北武汉月考)已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为()A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+∞)f(x)过点(2,1)可知b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,所以f(x)min=f(2)=32-2=1,f(x)4-2=9.故选C.max=f(4)=33.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为()A.4B.-4C.6D.-6,f(0)=30+m=0,解得m=-1,故x≥0时,f(x)=3x-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(3log35-1)=-4,故选B.4.函数y=yy y(0<a<1)的图象的大致形状是()|y|{x|x ∈R ,x ≠0},且y=yy y |y |={y y ,y >0,-y y ,y <0.当x>0时,函数y 是一个指数函数,其底数0<a<1,所以函数y 在(0,+∞)内单调递减;当x<0时,函数y 的图象与指数函数y=a x (x<0)的图象关于x 轴对称,可知函数y 在(-∞,0)内单调递增,故选D . 5.已知x>0,且1<b x <a x ,则( )A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<bx>0,1<b x <a x ,∴b>1,a>1. ∵b x <a x ,∴(y y )y >1,∴y y>1,即a>b ,故选C . 6.若函数f (x )=a|2x-4|(a>0,a ≠1)满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( ) A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]f (1)=19得a 2=19,故a=13(y =-13舍去),即f (x )=(13)|2y -4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,故f (x )在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选B .7.函数y=2x -2-x是( )A.奇函数,在区间(0,+∞)内单调递增B.奇函数,在区间(0,+∞)内单调递减C.偶函数,在区间(-∞,0)内单调递增D.偶函数,在区间(-∞,0)内单调递减f (x )=2x -2-x ,则f (x )的定义域为R ,且f (-x )=2-x -2x =-f (x ),所以函数f (x )是奇函数,排除C,D .又函数y=-2-x ,y=2x 均是R 上的增函数,所以y=2x -2-x 在R 上为增函数.8.已知偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x|f (x-2)>0}=( )A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}f (x )为偶函数,所以当x<0时,f (x )=f (-x )=2-x -4.所以f (x )={2y -4,y ≥0,2-y -4,y <0. 当f (x-2)>0时,有{y -2≥0,2y -2-4>0或{y -2<0,2-y +2-4>0, 解得x>4或x<0.9.曲线y=2a|x-1|-1(a>0,a ≠1)过定点 .|x-1|=0,即x=1,此时y=1,故函数恒过定点(1,1).10.函数y=a x -b (a>0,且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a b 的取值范围为 .y=a x -b 的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=a x -b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上.令x=0,得y=a 0-b=1-b ,则需{0<y <1,1-y <0,即{0<y <1,y >1.故a b ∈(0,1). 11.函数y=(14)y −(12)y +1在x ∈[-3,2]上的值域是 .[34,57]t=(12)y ,由x ∈[-3,2],得t ∈[14,8].则y=t 2-t+1=(y -12)2+34(y ∈[14,8]). 当t=12时,y min =34;当t=8时,y max =57.故所求函数的值域为[34,57].12.已知函数f (x )=a x +b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . -32当a>1时,f (x )在[-1,0]上单调递增,则{y -1+y =-1,y 0+y =0,无解. ②当0<a<1时,f (x )在[-1,0]上单调递减,则{y -1+y =0,y 0+y =-1,解得{y =12,y =-2,∴a+b=-32. 二、能力提升13.当x ∈(-∞,-1]时,不等式(m 2-m )·4x -2x <0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-1,2)D.(-3,4)m 2-m<(12)y.∵函数y=(12)y在(-∞,-1]上是减函数,∴(12)y≥(12)-1=2.当x∈(-∞,-1]时,m2-m<(12)y恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2.14.(2018河南信阳质检)已知a>0,且a≠1,若函数y=|a x-2|与y=3a的图象有两个交点,则实数a的取值范围是.0,23)当0<a<1时,作出函数y=|a x-2|的图象,如图1.图1若直线y=3a与函数y=|a x-2|(0<a<1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,所以0<a<23.②当a>1时,作出函数y=|a x-2|的图象,如图2.图2若直线y=3a与函数y=|a x-2|(a>1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,此时无解.所以a的取值范围是(0,23).15.若函数f(x)=a x-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.(1,+∞)a x -x-a=0,即a x=x+a.若0<a<1,则y=a x 与y=x+a 的图象只有一个公共点;若a>1,则y=a x 与y=x+a 的图象有如图所示的两个公共点.故a 的取值范围是(1,+∞). 16.记x 2-x 1为区间[x 1,x 2]的长度,已知函数y=2|x|,x ∈[-2,a ](a ≥0),其值域为[m ,n ],则区间[m ,n ]的长度的最小值是 .f (x )=y=2|x|,则f (x )={2y ,0≤y ≤y ,2-y ,-2≤y <0. (1)当a=0时,f (x )=2-x在[-2,0]上为减函数,值域为[1,4].(2)当a>0时,f (x )在[-2,0)上为减函数,在[0,a ]上为增函数, ①当0<a ≤2时,f (x )max =f (-2)=4,值域为[1,4];②当a>2时,f (x )max =f (a )=2a >4,值域为[1,2a ].综上(1)(2),可知[m ,n ]的长度的最小值为3.三、高考预测17.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<ay=0.6x 在定义域R 上为单调递减函数, ∴1=0.60>0.60.6>0.61.5.而函数y=1.5x为单调递增函数,∴1.50.6>1.50=1,∴b<a<c.。
人教版高中数学高二-数学天天练 第7课时 正、余弦定理(三角函数)
正、余弦定理 （三角函数）1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .又由c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－ac 2ac＝5a 2－2a 24a 2＝34. 2．(2008年高考四川卷)△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )A.53B.54C.55D.56解析：选B.由正弦定理sin A a ＝sin B b ，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin2B 52b＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0， ∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.故选B. 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A.∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14<0.所以△ABC 是钝角三角形．故选A.4.在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：选A.依题意由正弦定理得sin C ＝3sin A ，又B ＝30°，∴sin C ＝3sin(150°－C )＝32cos C ＋32sin C ，即－12sin C ＝32cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，因此C ＝120°.5．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．不确定解析：选A.由正弦定理a sin A ＝c sin C得sin C ＝c sin A a ＝6×222＝32.∵c >a ，∴C >A ＝45°，∴C ＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4.6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且a b ＝3，则角C 的值为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选C.由b 2＋c 2－bc ＝a 2得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.又a b ＝3，∴sin A sin B ＝3，∴sin B ＝33sin A ＝33×32＝12，∴B ＝30°，∴C ＝180°－A －B ＝90°.7．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________.解析：由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝sin B sin A ·BC ＝2232·12＝23·12＝2·43＝4 6.答案：4 68．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于________．解析：根据三角形内角和定理知∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°.根据正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ， 即BC sin45°＝3sin60°，∴BC ＝3sin45°sin60°＝3×2232＝ 6. 答案： 69．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：如图由余弦定理得：cos B ＝22＋(1＋3)2－(6)22×2×(1＋3)＝12⇒ B ＝π3，故AD ＝AB sin π3＝2×32＝3.答案： 310．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1.BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积＝12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13.由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， ∴C ＝60°.11．(2009年高考全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .解：由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝32，sin A sin C ＝34.又由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，故sin 2B ＝34，sin B ＝32或sin B ＝－32(舍去)，于是B ＝π3或B ＝2π3.又由b 2＝ac 知b ≤a 或b ≤c ，所以B ＝π3.12.△ABC 中，角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，且a (cos B ＋cos C )＝b ＋c .(1)求证：A ＝π2；(2)若△ABC 外接圆半径为1，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)证明：∵a (cos B ＋cos C )＝b ＋c∴由余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c . ∴整理得(b ＋c )(a 2－b 2－c 2)＝0.∵b ＋c >0，∴a 2＝b 2＋c 2.故A ＝π2.(2)∵△ABC 外接圆半径为1，A ＝π2，∴a ＝2.∴b ＋c ＝2(sin B ＋cos B )＝22sin(B ＋π4)．∵0<B <π2，∴π4<B ＋π4<3π4，∴2<b ＋c ≤2 2.∴4<a ＋b ＋c ≤2＋22，故△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．。
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第8模块 第8节[知能演练]一、选择题1．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y解析：由题意知P 到F (0,2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x 2＝8y . 答案：C2．设F 为抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点，点P 在抛物线上，且其到y 轴的距离与到点F 的距离之比为1∶2，则|PF |等于( )A.a4 B ．a C.a 8 D.a 2解析：设P (x 0，y 0)，则y 20＝ax 0，由抛物线定义知|PF |＝x 0＋a4，由已知得x 0x 0＋a 4＝12，解得x 0＝a4，∴|PF |＝a 4＋a 4＝a2.答案：D3．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点的弦AB 被焦点分成长为m 、n (m ≠n )的两段，那么( ) A ．m ＋n ＝mn B ．m －n ＝mn C ．m 2＋n 2＝mn D ．m 2－n 2＝mn 解析：由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1， mn ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1 ＝x 1＋x 2＋2＝m ＋n . 答案：A4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：焦点F 坐标为(1,0)，准线方程x ＝－1，设A 、B 、C 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，A 、B 、C 在准线上的射影分别为A ′，B ′，C ′.∴F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3) ∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3 ∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝|AA ′|＋|BB ′|＋|CC ′| ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6. 答案：B 二、填空题5．已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析：由抛物线y ＝ax 2－1的焦点坐标为(0，14a －1)为坐标原点，得a ＝14，则y ＝14x 2－1与坐标轴的交点为(0，－1)，(－2,0)，(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为12×4×1＝2.答案：26．点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22，则这样的点P 的个数为__________．解析：由抛物线定义，知点P 的轨迹为抛物线，其方程为y 2＝4x ，设点P 的坐标为(y 204，y 0)，由点到直线的距离公式，知|y 204－y 0|2＝22，即y 20－4y 0±4＝0，易知y 0有三个解，故点P个数有三个．答案：3 三、解答题 7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ，所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x y 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8p y ＝－4p ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为(p2，p )和(8p ，－4p )．∴(p2－8p )2＋(p ＋4p )2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .8．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .抛物线方程为y 2＝4cx .∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1. ∴94a 2－61－a 2＝1.∴a 2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.[高考·模拟·预测]1．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析：如右图，过点N 向准线引垂线，垂足为P ，由抛物线的定义知|NF |＝|NP |，又|NF |＝32|MN |，即|NP |＝32|MN |，所以，在Rt △NMP 中， sin ∠NMP ＝|NP ||NM |＝32，即∠NMP ＝π3，故∠NMF ＝π6，答案为A.答案：A2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：不论a 值正负，抛物线的焦点坐标都是(a 4，0)，故直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0得y ＝－a 2，故△OAF 的面积为12×|a 4|×|－a 2|＝a216＝4，故a ＝±8.答案：B3．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为__________．解析：设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x 得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)是AB 的中点，从而有a ＝4，故所求抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝__________.解析：设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －p 2，把x ＝y ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝42，∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2，∴(2p )2－4×(－p 2)＝32，又p >0，∴p ＝2.答案：25．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)由e ＝c a ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63.又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径，得b ＝2，a ＝ 3. (2)解法一：由c ＝a 2－b 2＝1得F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设M (x ，y )，则P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，y 2＝ －4x ，此轨迹是抛物线．解法二：因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以 |MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点、l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .[备选精题]6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>x 2，y 1>0，y 2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使AF →＋λBF →＝0，|AB →|＝254.(1)求直线AB 的方程；(2)求△AOB 的外接圆的方程．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，F (1,0)． ∵AF →＋λBF →＝0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB →|＝x 1＋x 2＋2.由题知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB ：y ＝k (x －1)，而k ＝y 1－y 2x 1－x 2，x 1>x 2，y 1>0，y 2<0，∴k >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2x 1x 2＝1，|AB →|＝x 1＋x 2＋2＝2(k 2＋2)k 2＋2＝254，∴k 2＝169. 从而k ＝43，故直线AB 的方程为y ＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －4＝0y 2＝4x ，求得A (4,4)，B (14，－1)．设△AOB 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋H ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧H ＝016＋16＋4D ＋4E ＋H ＝0116＋1＋14D ＋(－E )＋H ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－294E ＝－34，H ＝0故△AOB 的外接圆的方程为x 2＋y 2－294x －34y ＝0.。
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天天练 8 导数的概念与几何意义、导数的运算小题狂练⑧ 小题是基础 练小题 提分快 一、选择题1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，那么lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 答案：B 解析：lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋h－f x 0－h 2h＝2lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)．应选B.2．[2019·河南平顶山调研]设f (x )＝x ln x ，假设f ′(x 0)＝2，那么x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2 答案：B解析：f ′(x )＝ln x ＋1.因为f ′(x 0)＝2，因此ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.应选B.3．[2019·河南濮阳中学检测]已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，那么实数a 的值为( ) A.23 B.12 C.34D ．1 答案：B解析：由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，得22－22a ＝24，解得4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且知足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，那么f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案：B解析：由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，那么f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，因此选B.5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，那么f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215 答案：C解析：f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，因此f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.应选C.6．以下函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是( ) A ．y ＝3ln x －x B ．y ＝e x ＋xC ．y ＝3x ＋2D ．y ＝x 3－x 2＋2x 答案：B解析：关于A ，因为y ＝3ln x －x ，因此y ′＝3x －1在(0，＋∞)上是单调递减函数；关于B ，因为y ＝e x ＋x ，因此y ′＝e x ＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数；关于C ，因为y ＝3x ＋2，因此y ′＝3在(0，＋∞)上是常函数；关于D ，因为y ＝x 3－x 2＋2x ，因此y ′＝3x 2－2x ＋2在(0，＋∞)上不单调．应选B.7.已知函数f (x )的图象如下图，f ′(x )是f (x )的导函数，那么以下选项正确的选项是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案：C解析：由题意知，(2，f (2))，(3，f (3))两点连线的斜率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，而f′(2)、f′(3)别离表示函数f(x)的图象在点(2，f(2))，(3，f＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)若是过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，那么切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，因此(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，那么g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，那么结合图象可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．。
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第2模块 第8节[知能演练]一、选择题1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由f (x )＝(x －1)ln xx －3＝0得：x ＝1，∴f (x )＝(x －1)ln xx －3只有一个零点，故选B.答案：B 2．若函数f (x )在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次解析：设对区间(1,2)至少二等分n 次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为12，第2次二等分后区间长为122，第3次二等分后区间长为123，…，第n 次二等分后区间长为12n ，依题意得12n <0.01，∴n >log 2100由于6<log 2100<7，∴n ≥7，即n ＝7为所求．答案：C3．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0.则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.答案：B4．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令g (x )＝x 3－22－x ，可求得：g (0)<0，g (1)<0，g (2)>0，g (3)>0，g (4)>0，易知函数g (x )的零点所在区间为(1,2)．答案：B二、填空题5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式a ·f (－2x )>0的解集是________．解析：由于f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3， 即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3，因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a －2·3＝b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，因此f (x )＝x 2－x －6， 所以不等式a ·f (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0，即2x 2＋x －3<0，解集为{x |－32<x <1}．答案：{x |－32<x <1}6．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根x 1、x 2满足m <x 1<n <x 2<p ，则f (m )·f (n )·f (p )________0(填“>”、“＝”或“<”)．解析：∵a >0，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．∴f (m )>0，f (n )<0，f (p )>0. 答案：< 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.解：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18，∴g (0)·g (12)<0.又函数g (x )在[0，12]上连续，所以存在x 0∈(0，12)，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0.8．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5－λ在区间[－1,2]上有三个零点，求λ的值．解：设g (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，则g ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∴g (x )在(－1，－23)和(1,2)上单调递增，在(－23，1)上单调递减．又g (－1)＝112，g (－23)＝15727，g (1)＝72，g (2)＝7，由题意知g (x )＝λ有三个根，∴λ∈[112，15727)． [高考·模拟·预测]1．为了求函数f (x )＝2x －x 2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0) 解析：∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.24)<0， ∴零点在(1.8,2.2)上．故选C. 答案：C2．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0.则f (x 1)的值为( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：∵f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减，当x →0时，f (x )→＋∞， ∵f (x 0)＝0，∴f (x )＝0只有一个实根． ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>0恒成立，故选A. 答案：A3．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －12)解析：∵g ′(x )＝4x ln4＋2>0，∴g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．又g (0)＝1－2＝－1<0，g (12)＝2＋1－2＝1>0，∴g (x )只有一个零点x 0，且x 0∈(0，12)．对于选项A ：f (x )＝4x －1，其零点为x ＝14，∴|14－x 0|<14，故选项A 符合．答案：A4．已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个实根且小于0，则a 的取值范围为________．解析：利用数形结合判断显然有a ≥1. 答案：a ≥15．已知函数f (x )＝e x －k －x ，其中x ∈R . (1)k ＝0时，求函数f (x )的值域；(2)当k >1时，函数f (x )在[k,2k ]内是否存在零点，并说明理由． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝0.又x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(－∞，0)内单调递减． x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)内单调递增． ∴x ＝0时，f (x )取到极小值．又∵这个极小值是R 上的唯一的极小值， ∴x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝1. 即函数f (x )的值域为[1，＋∞)．(2)f (k )·f (2k )＝(e k －k －k )·(e 2k －k －2k ) ＝(1－k )·(e k －2k )． ∵k >1，∴1－k <0.令g (k )＝e k －2k ，g (1)＝e 1－2>0， 又g ′(k )＝e k －2，当k >1时，g ′(k )>e 1－2>0， ∴k ∈(1，＋∞)，g (k )为增函数． ∴g (k )>g (1)>0.∴k >1时，e k －2k >0. ∴f (k )·f (2k )<0.∴即函数f (x )当k >1时在[k,2k ]内存在零点．[备选精题]6．已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0)．设f (x )＝g (x )x. (1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值． (2)k (k ∈R )如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点． 解：设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵y ＝g ′(x )＝2ax ＋b 的图象与直线y ＝2x 平行， ∴a ＝1.又∵y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1， ∴－b2a＝－1，g (－1)＝a (－1)2＋b (－1)＋c ＝m －1，∴b ＝2，c ＝m ， 从而f (x )＝g (x )x ＝mx＋x ＋2.(1)已知m ≠0，设曲线y ＝f (x )上点P 的坐标为P (x ，y )，则点P 到点Q (0,2)的距离为 |PQ |＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(mx＋x )2＝2x 2＋m 2x2＋2m≥22x 2·m 2x2＋2m ＝22|m |＋2m ，当且仅当2x 2＝m 2x 2⇒x ＝±|m |2时等号成立． ∵|PQ |的最小值为2，∴22|m |＋2m ＝2⇒2|m |＋m ＝1. ①当m >0时，解得m ＝12＋1＝2－1. ②当m <0时，解得m ＝11－2＝－2－1. 故m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)y ＝f (x )－kx 的零点即方程mx ＋(1－k )x ＋2＝0的解，∵m ≠0，∴mx ＋(1－k )x ＋2＝0与(k －1)x 2－2x －m ＝0有相同的解． ①若k ＝1，(k －1)x 2－2x －m ＝0⇒x ＝－m2≠0，∴函数y ＝f (x )－kx 有零点x ＝－m2.②若k ≠1，(k －1)x 2－2x －m ＝0的判别式Δ＝4[1＋m (k －1)]． 若Δ＝0⇒k ＝1－1m ，此时函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝－m .若Δ>0⇒1＋m (k －1)>0，∴当m >0，k >1－1m ，或m <0，k <1－1m 时，方程(k －1)x 2－2x －m ＝0有两个解 x 1＝1＋1＋m (k －1)k －1和x 2＝1－1＋m (k －1)k －1.此时函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x 1和x 2. ③若Δ<0⇒1＋m (k －1)<0，∴当m >0，k <1－1m ，或m <0，k >1－1m时，方程(k－1)x2－2x－m＝0无实数解．此时函数y＝f(x)－kx没有零点．。
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第8模块 第7节[知能演练]一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左边一支C ．双曲线右边一支D ．一条射线解析：∵|PM |－|PN |＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又∵|PM |>|PN |， ∴动点P 的轨迹为双曲线的右支． 答案：C2．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1解析：由MF 1→·MF 2→＝0，可知MF 1→⊥MF 2→.可设|MF 1→|＝t 1，|MF 2→|＝t 2，则t 1t 2＝2.在△MF 1F 2中，t 21＋t 22＝40，∴|t 1－t 2|＝t 21＋t 22－2t 1t 2＝40－4＝6＝2a .∴a ＝3.∴所求双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：A3．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点恰好是抛物线y 2＝4x 的焦点，则此双曲线的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C ．3x ±y ＝0D ．x ±3y ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)． ∴m ＋n ＝1.又双曲线的离心率为2，∴1m＝2. ∴m ＝14，n ＝34.∴双曲线的方程为4x 2－4y 23＝1.∴其渐近线方程为3x ±y ＝0.故选A. 答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：如右图，设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ≤π)， 当P 在右顶点处，θ＝π，e ＝2c 2a＝ m 2＋(2m )2－4m 2cos θm＝5－4cos θ.∵－1<cos θ≤1，∴e ∈(1,3]． 答案：B 二、填空题5．已知双曲线x 2n －y212－n＝1的离心率为3，则n ＝________.解析：a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12，离心率e ＝c a ＝12n ＝3，所以n ＝4.答案：46．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，由方程知与y 轴没有交点， 再令y ＝0⇒x 2－6x ＋8＝0，得圆C 与x 轴的交点分别为(2,0)，(4,0)， 则a ＝2，c ＝4，b 2＝12，所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1三、解答题7．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点(154，3)，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0.(2)P (0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.解：(1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为(154，－5)，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧(154)2a 2－32b 2＝1，b 2a 2＝(－43)2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上， ∴PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6， ∴2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，∴c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，∴a ＝|OP |·tan π6＝23，∴b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.8．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解：设双曲线的方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，在△PF 1F 2中， 由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－ 2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23， ∴12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝23， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8,4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23，∴所求双曲线的方程为3x 22－y 22＝1.[高考·模拟·预测]1．双曲线x 24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y ＝±3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A2．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2，点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝(2－3，－1)·(－2－3，－1)＝3－4＋1＝0.答案：C3．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为__________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋4＋|P A |＝ |PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9. 答案：94．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为__________．解析：如下图，∵c >b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，∠B 1F 1O ＝30°，在△B 1OF 1中，b c ＝tan30°，∴b c ＝33，∴c 2－a 2c 2＝13，∴1－a 2c 2＝13⇒a 2c 2＝23，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴e ＝62.答案：625．已知双曲线x 2－2y 2＝2的左、右两个焦点为F 1、F 2，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求动点P 的轨迹E 的方程； (2)设D (32，0)，过F 2且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，若以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形，求直线l 的方程．解：(1)双曲线方程可化为x 22－y 2＝1，则|F 1F 2|＝23，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|，所以P 点的轨迹E 为以F 1、F 2为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设l 的方程为y ＝k (x －3)，k ≠0，代入椭圆方程可得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－23)＝－23k 1＋4k 2. ∵以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形， ∴(DA →＋DB →)⊥AB →.∵DA →＋DB →＝(x 1－32，y 1)＋(x 2－32，y 2)＝(x 1＋x 2－3，y 1＋y 2)＝(83k 21＋4k 2－3，－23k 21＋4k 2)，AB →的方向向量为(1，k )，∵(DA →＋DB →)·AB →＝0，∴83k 21＋4k 2－3－23k 21＋4k2＝0，解得k ＝±22，∴l 的方程为y ＝±22(x －3)． [备选精题]6．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2. 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1整理得 (1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0， 可得m 2>3k 2－1且k 2≠13①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)． 则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2， y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2.由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)．整理得3k 2＝4m ＋1②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4. 又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14.∴m 的取值范围是(－14，0)∪(4，＋∞)．。