2021-2022年高二数学1月月考试题文
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考(文、理)数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考（文、理）数学试题一、单选题1．已知a ，b ∈R ，且a b >，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11a b <B ．33a b >C ．2ab b >D ．22a b >【答案】B【分析】利用特殊值判断A 、C 、D ，根据幂函数的性质判断B ； 【详解】解：因为a ，b ∈R ，且a b >， 对于A ：若1a =，1b，显然11a b>，故A 错误； 对于B ：因为函数3y x =在定义域R 上单调递增，所以33a b >，故B 正确； 对于C ：若0b =，则20ab b ==，故C 错误； 对于D ：若1a =，1b ，则22a b =，故D 错误；故选：B2…，则 ）项． A ．6 B ．7C ．9D ．11【答案】D【分析】根据前几项写出数列的通项公式，由此可判断.【详解】，…，由此可归纳数列的通项为：n a，所以11n =，所以11项， 故选：D.3．若数列{an }满足：a 1＝19，an ＋1＝an －3，则数列{an }的前n 项和数值最大时，n 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【分析】先判断数列{an }为等差数列，写出通项公式，若前k 项和数值最大，利用10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩，解出k .【详解】∵a 1＝19，an ＋1－an ＝－3，∴数列{an }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则an 是递减数列．设{an }的前k 项和数值最大，则有10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩ 即()2230,22310,k k -≥⎧⎨-+≤⎩∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7． ∴满足条件的n 的值为7． 故选：B【点睛】求等差数列前n 项的最大（小）的方法： （1）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n 的值； （2）利用an 的符号①当a 1>0，d <0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn 的最大值，其n 的值由an ≥0且an+1≤0求得；②当a 1<0，d >0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn 的最小值，其n 的值由an ≤0且an+1≥0求得.4．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A．BC．D【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算出89,a a ，再根据等比中项的定义即可求出答案 【详解】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==，所以9143a =.89989a a ⋅=，所以8a 和9a的等比中项为故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+），以及等比中项，属于基础题。
2021-2022年高二数学上学期第一次月考试卷文
2021-2022年高二数学上学期第一次月考试卷文一．选择题（每小题5分，共12小题）1. 已知向量=(2, 4), =(-1, 1), 则2-=（）A.（5，7）B.（5，9）C.（3，7）D.（3，9）2. 已知x, yR, 向量=(x, 1), =(1, y), =(2, -4), 若，∥，则|+|=( )A. B. C. 2 D. 103. 已知+=，则（1+tan）(1+tan)=( )A. -1B. -2C. 2D. 34. 若sin(+)= -, 是第二象限角，sin(+)= -, 是第三象限角，则cos(-)的值是（）A. B. C. D.5. 已知向量=(sin, cos), =(cos, sin)，，[0，]，且∥，则+=（）A. 0B.C.D.6. 函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（）A. [-2，2]B. [-,]C. [-1, 1]D. [-,]7. 设 -3＜＜- ，则化简的结果是（）A. sinB. cosC. - cosD. - sin8. 函数f(x)=2是（）A. 最小正周期为2的偶函数B. 最小正周期为2的奇函数C. 最小正周期为的偶函数D. 最小正周期为的奇函数9. 在△ABC 中, 已知 a=8, B=, C=, 则b=( )A. B. C. D.10. 不解三角形,确定下列判断中正确的是（ ）A. 有两解,30,14,70===A b aB. 有一解,150,25,300===A b aC. 有两解,45A 9,b 6,a 0===D. 无解,60,10,90===B c b11. 在△ABC 中, 已知a=2, b=4, C=, 则A=( )A. B. 或 C. D. 或12. 在△ABC 中, B=, =ac, 则△ABC 的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形二．填空题（每题5分 共20分）13. - =____________.14. 已知, 都是锐角，sin=，cos(+)=, sin=_________.15. △ABC 的三边长分别为AB=7, BC=5, CA=6, 则的值为_____.16. 数列1,3,6,10，…的一个通项公式为__________.三．解答题（共70分）17．（10分）已知, 都是锐角，tan=, sin=, 求tan(+2)的值。
江苏省南京市某高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
2021-2022学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．1．抛物线24y x =的准线方程为____________． 【答案】1x =-【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为2p x =-2．双曲线29x －24y ＝1的渐近线方程是 ．【答案】 230x y ±=．【解析】由29x －24y ＝0得230x y ±=．3．若()xf x e x =-，则=)0('f ____________． 【答案】0【解析】由于'()()'()'11x x xf x e x e e =-=-=-，所以=)0('f 1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 【答案】－e【解析】由于y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′x ＝e ＝1e.又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e ＝－1，所以a ＝－e.5．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 【答案】(x －2)2＋(y ＋3)2＝5【解析】由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.6.已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则2z x y =+的最小值 ．【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙＡＢｘ目标函数：y x z +=2，则 z x y +-=2当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z 有最小值32min =+=y x Z .7．已知p ：0322≤-+x x ，q ：a x ≥．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__________．【答案】3-【解析】由0322≤-+x x 知13≤≤-x ，当3-≤a 时p 是q 的充分不必要条件，所以实数a 的最大值为3-．8．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为_________．【答案】215【解析】由题102=a ，由于点P 到左焦点的距离为4，所以点P 到右焦点的距离为6．设点P 到右准线的距离为d ，则有546==e d，即215=d ． 9.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上一点，则M 到直线l ：3420x y +-=的距离的最大值为 ．【答案】8【解析】圆心到直线距离为2555d ==，最大距离为538d r +=+=.10.若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．11.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.【答案】[]0,8【解析】作出可行域如图:22x y +表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y ≤+≤.12．如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF ∆是正三角形， 则椭圆的离心率为 ．【答案】33【解析】设m AF =1，则m AF 22=，a m 23=，即m a 23=，又c m F F 2321==，即mc 23=，所以33==a c e ．13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为 ． 【答案】6【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q . 若PQ ＝λAP ，则实数λ的取值范围为 ．【答案】0<λ<1【解析】 解法1 λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQAP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k (x ＋2)得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[](2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)＝0，所以x A ＝－2, x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2(2k 2＋1)2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.同理AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝AQ AP －1＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1.由于k 2>0，所以0<λ<1. 解法2 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x ＋2)消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k2k 2＋1，由解法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4kk 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由于k 2>0，所以0<λ<1。
南通市2021-2022学年(下)高二第一次月考数学试题(后附答案解析)
南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.()3,3-2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2- B.4- C.12-D.23.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A .3B.2C.1D.04.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③B.②③④C.②③D.①③5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.28.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.(][),11,-∞-+∞ 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有项选错得0 分．9. 为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭11.已知函数()2exax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.15.已知函数()ln xf x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用 7 百万元对 A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资x (1 ≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数iinx ynx yr -⋅=∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中5521111, 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-22.已知函数()ln .f x x x ax a =-+（1）若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞C.(3,)+∞ D.()3,3-【答案】A 【解析】【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写出区间形式即得到函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间．【详解】函数的定义域为x >0，∵9()f x x x'=-，令90x x-<，由于x >0，从而得0<x <3，∴函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是(0,3).故选：A .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的应用，要注意先确定函数定义域，属于基础题.2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2-B.4- C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】由导数的几何意义得函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，进而221a⨯=-即可得答案.【详解】解：因为()'cos xf x e x =+，()'0112f =+=，所以函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，因为切线与直线210x ay -+=互相垂直，21y x a a=+，所以221a⨯=-，解得4a =-.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据导数的几何意义求得函数在(0,1)处的切线的斜率为2，考查运算求解能力，是基础题.3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数3()3f x x x =-，则()()()222,22,33f f f x x '=-=-=-，由()()()()2222f f f c '--=+，得()1f c '=，即2331c -=，解得[]232,23c =±∈-，所以()f x 在[2-，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.4.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③ B.②③④C.②③D.①③【答案】A 【解析】【分析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【详解】解：命题①：设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；命题②：∵ξ服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =，()()()40.9400.1P X P X P X <=⇒>=<= ，()()02240.4P X P X ∴<<=<<=，正确；命题③：设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()()34443!43,44P AB P B ⨯⨯==，所以()()()29P AB P A B P B ==，正确；命题④：()()2323E X E X +=+正确，()()232D X D X +=错误，应该为()()234D X D X +=，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例.5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a 的取值范围.【详解】解：由2()(12)2ln 2ax f x a x x =+--，得2'2(12)2(2)(1)()(12)ax a x x ax f x ax a x x x+---+=+--==，（1）当0a =时，'2()x f x x-=，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，（2）当0a ≠时，令'()0f x =，则2x =或1x a=-，①当0a >时，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，②当0a <时，i)若12a ->，即102a -<<时，02x <<时，'()0f x <，当12x a <<-时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，ii)若12a -=，即12a =-时，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数无极值；iii)若1122a <-<，即122a -<<-时，当10x a<<-时，'()0f x <，当12x a -<<时，'()0f x >，所以1x a =-为1,32⎛⎫⎪⎝⎭上的极小值点，综上a 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e【答案】C 【解析】【分析】由题意可得122121ln ln x x x x x x -<-，变形得出1212ln 1ln 1x x x x ++>，构造函数()ln 1x g x x+=，可知函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，利用导数求得函数()y g x =的单调递减区间，由此可求得实数m 的最小值.【详解】对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，可得122121ln ln x x x x x x -<-，1212ln 1ln 1x x x x ++∴>，构造函数()ln 1x g x x+=，则函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，()2ln xg x x'=-，令()0g x '<，解得1x >，即函数()y g x =的单调递减区间为()1,+∞，()(),1,m ∴+∞⊆+∞，则m 1≥，因此，实数m 的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为函数的单调性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可.【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥，所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-，所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥，则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=，当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-，所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-，故选：A.【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C【解析】【分析】由F (x ) =0 得 f (x ) =1或 f (x ) =a ，而x <0 时， f (x ) =1无解，需满足 f (x ) =a 有两个解．利用导数求得()f x 在0x <时的性质，由奇函数得0x >时的性质，然后可确定出a 的范围．【详解】()(()1)(())0F x f x f x a =--=，()1f x =或()f x a =，0x <时，()11x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 的极小值为1(1)1f e-=-，又()1f x <，因此()1f x =无解．此时()f x a =要有两解，则111a e-<<，又()f x 是奇函数，∴0x >时，()1f x =仍然无解，()f x a =要有两解，则111x e-<<-．综上有111,11,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为()1f x =或()f x a =，然后用导数研究0x <时()f x 的性质，同理由奇函数性质得出0x >廛()f x 的性质，从而得出()1f x =无解，()f x a =有两解时a 范围．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．9.为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A 可判断，由题意可得3~4,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断选项B ，根据独立重复事件的概率问题可判断C ，D 选项.【详解】选项A.该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 正确;选项B.由A 可得每件产品能销售的概率为34一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则3~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确;选项C.由题意()334312734464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选项C 不正确;选项D.由题意80X =-，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售,所以()222427128318044P X C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确.故选：ABD.10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又 当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞，∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值，∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11.已知函数()2e xax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，求导后通过求出函数的单调区间，从而可求出其最值，对于B ，分0a >和0a <两种情况求函数的极值，对于C ，利用导数的几何意义求解，对于D ，由已知可得()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，构造函数()()2e 12e 12exx x g x -++-=，利用导数求得其()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，构造函数()ln h x x x =-，利用导数求得()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，从而可得结论【详解】对于A 选项，当0a =时，()exx f x =，求导得()1e x xf x -'=，令()0f x '=，解得x =1.当x <1时，f (′x > )0，f (x )在,∞−(1 )上单调递增；当x >1时，f (′x < )0，f (x )在(1)∞+,上单调递减，所以当x =1时， f (x )有最大值1e，故选项 A 错误；对于 B 选项，当a ≠0时，对 f (x )求导得()f x '=()()()211211e e xxx ax a ax a x a---⎡⎤---+⎣⎦-=-，当0a >时，令()0f x '=，解得111x a=-，21x =且12x x <，当1,1x a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在11x a=-时取极小值，在1x =时取极大值.当0a <时，令()0f x '=，解得11x =，211x a=-且12x x <，当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，当11,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1x =时取极大值，在11x a=-时取极小值，所以当0a ≠时，()f x 有两个极值点，故选项B 正确；对于C 选项，因为()()2211exax a x af x ---+'=-，所以()01f a '=-，又()0f a =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()()10y a a x -=--，即()10a x y a -+-=，故选项C 正确；对于D 选项，当e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2ex xx x ax x a f x -++-++=≤，令()()2e 12e 12e xx x g x -++-=，()0,x ∈+∞，则()()()2e 12e 2e 32e xx x g x ---+-'=-()()()1e 1e 32e xx x ----⎡⎤⎣⎦=-，显然当0x >时，()()e 1e 30x --->，所以当01x <<时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，令()ln h x x x =-，求导得()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，所以()ln f x x x ≤-，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，对于选项D 解题的关键是由e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，然后构造()()2e 12e 12exx x g x -++-=，然后利用导数求出其最大值，再利用导数求出()ln h x x x =-的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤【答案】ACD 【解析】【分析】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+,2ln 1()ln x f x x -'=，利用导数研究函数的单调性和极值，画出图象．A ．由上述分析即可判断出正误；．B ．方程(|1|)f x k +=有4个不等的实根，结合函数奇偶性以及图象特点可知四个根两两关于直线1x =-对称，可判断出正误；．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，即可判断出正误；D ．设函数()g x 的值域为G ，函数()f x 的值域为E ．若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，可得G E ⊆，即可判断出正误．【详解】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+．2ln 1()ln x f x x-'=，可得函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，其大致图象如图：A ．由上述分析可得A 不正确．B ．函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，则(|1|)y f x =+的图象关于1x =-对称，故(|1|)f x k +=的有4个不等实根时，则这四个实根必两两关于1x =-对称，故12344x x x x +++=-，因此B 正确．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，因此当1201x x <<<时，1212ln ln x x x x <，即1221ln ln x x x x >，因此C 不正确；D ．设函数()()g x x R ∈的值域为G ，函数()((1f x x ∈，))+∞的值域为E ，2()g x x a =+，对x R ∀∈，[G a =，)∞+．(1,)x ∀∈+∞，[e E =，)∞+．2()g x x a =+，若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，则G E ⊆．e a ∴,因此D 不正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．【答案】4413025【解析】【分析】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，求出()i P A ，再应用全概率公式求P (B )即可．【详解】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，则3303121()220C P A C ==，2139131227()220C C P A C ==，12392312108()220C C P A C ==，39331284()220C P A C ==，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++=3333987633331212121212710884441.2202202202203025C C C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：4413025.14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分析出函数()f x 为偶函数，再利用导数分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，由()()21f x f x ≤-可得出()()21f x f x ≤-，进而得出21x x ≤-，进而可求得x 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos xxf x e x e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x '=-≥-≥，所以，函数()f x 在区间[)0,+∞为增函数，由()()21f x f x ≤-可得()()21fx f x ≤-，所以21x x ≤-，则有()2241x x ≤-，可得23210x x +-≤，解得113x -≤≤.因此，使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】利用偶函数的基本性质解不等式，可充分利用性质()()f x f x =，同时注意分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性.15.已知函数()ln x f x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】利用导数可求得()f x 单调性和()max 1ef x =，将问题转化为()()max min 1ef x f x -≤；分别在e a ≥和0e a <<的情况下，确定最小值，由此构造不等式求得a 的范围，进而得到最小值.【详解】()21ln xf x x-'= ，∴当()0,e x ∈时，()0f x '>；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，()()max 1e ef x f ∴==；若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121e f x f x -≤成立，则()()max min 1e f x f x -≤；当e a ≥时，()0f x >恒成立，又()()max 1e e f x f ≤=，()()max min 1ef x f x ∴-≤恒成立；当0e a <<时，()f x 在[),e a 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则只需()ln 0af a a=≥即可，即1e a ≤<；综上所述：a 的取值范围为[)1,+∞；a ∴的最小值为1.故答案为：1.16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．【答案】1[,)8-+∞【解析】【分析】根据对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min minf xg x ≥求解即可.【详解】因为()3ln 44x f x x x=-+，所以()()()222213113434444x x x x f x x x x x ---+-'=--==-，当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，所以()()min 112f x f ==，因为()224g x x ax =--+开口方向向下，所以在区间[]1,2上的最小值的端点处取得，所以要使对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min min f x g x ≥，即()112g ≥或()122g ≥，即11242a ≥--+或14442a ≥--+，解得18a ≥-，所以a 的取值范围是1[,)8-+∞，故答案为：1[,)8-+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4a =，0b =；（2）()12,11--.【解析】【分析】（1）求出导函数'()f x ，确定极大值和极小值，由题意可求得,a b ；（2）设切点()()00,P x f x ，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，由切线过点()1,M m ，得()233200003422312m x x x x x =--=-+-，从而此方程有 3 个实数根，问题转化为函数g (x = )2x 3 −3x 2+m +12 有 3 个零点，再由导数研究g (x ) 的极大值和极小值可得出结论．【详解】（1）函数()()330f x x ax b a =-+>，()(2333f x x a x x '=-=+-.可得：函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减.∴x =时函数()f x 取得极大值16，x =时函数()f x 取得极小值－16.∴(316f b =-=，316f b ==-，联立解得：4a =，0b =，（2）由（1）可知()312f x x x =-，设切点()()00,P x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，因为切线过点()1,M m ，所以()233200003422312m x x x x =--=-+-，由于有3条切线，所以方程有3个实数根，设()322312g x x x m =-++，则只要使()g x 有3个零点，令()2660g x x x '=-=，解得1x =或0x =，当(),0x ∈-∞，()1,+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =时，()g x 取极大值，1x =时，()g x 取极小值，所以要是曲线()g x 与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-，即实数m 的取值范围为()12,11--.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数零点个数问题，本题对计算能力的要求较高，属于难题．18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资()16x x ≤≤百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii n i i x ynx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数1222211()()iii i i i i nn nx ynx yr x nx y n y ===-⋅=--∑∑∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中5521111, 2.24, 4.4 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．【答案】（1）0.95r >，用线性回归方程ˆ0.2y x =对该组数据进行拟合合理；（2）对A 、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【解析】【分析】(1)根据给定数表，计算出,x y ，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.【详解】（1）对项目A 投资的统计数据进行计算得：3x =，0.6y =，52155ii x==∑，于是得5512221511530.60.255535i ii i i x y x ybx x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ，ˆˆ0.60.230a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为：ˆ0.2yx =，线性相关系数550.95340.95iix yx yr -⋅=>∑，这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程ˆ0.2yx =对该组数据进行拟合合理；（2）设对B 项目投资()16x x ≤≤百万元，则对A 项目投资()7x -百万元，所获总利润0.490.490.160.490.2(7) 1.930.04(1)11w x x x x x ⎡⎤=-++-=-++⎢⎥++⎣⎦1.93 1.65≤-=，当且仅当0.490.04(1)1x x +=+，即 2.5x =时取等号，所以对A 、B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列见解析，18481；（2）11206561【解析】【分析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；（2）设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，由两队积分相等，可推出123X X +=，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，312312111(0)()()33339P X C ==+⋅⋅⋅=，22242118(1)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，222421216(2)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，2233212216(3)()()333327P X C ==⋅⋅⋅+=，所以X 的分布列为X0123P1988116811627所以数学期望181616184()0123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A ，设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即1212(3)(3)X X X X +=-+-，则123X X +=，所以P （A ）12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==1168161681611120927818181812796561=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围【答案】（1）当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞（2）2(e ,).+∞【解析】【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21()ax g x x-'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案．（2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()((21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案．【小问1详解】依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e ()e (ln 1)axaxf x a x x'=++,则()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a=，所以，当1(0,)x a ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞【小问2详解】因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点，由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()((21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()(0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1(0g a=，()g x 有一个零点1a，不合题意；当2e a >时，1()0g a <，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21(0g a>，所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =；又因为1(e 0eg =>，所以存在211(,ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()'f x +0-0+()f x 递增极大值递减极小值递增所以当2e a >时，()f x 有两个极值点，综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】。
2021年高二上学期1月月考试题 数学(文) 含答案
2021年高二上学期1月月考试题数学（文）含答案一.选择题（本大题有10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的。
）1. i是虚数单位，复数1+i3=（）A.iB.-iC.1+iD.1-i2.是的（）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3.已知，，∈，命题“若=3，则≥3”，的否命题是（）A若++≠3，则<3 B若++=3，则<3C若++≠3，则≥3 D若≥3，则++=34.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．15.设圆C与圆外切，与直线相切，则C的圆心轨迹为( )A双曲线 B 抛物线 C椭圆 D圆6.以x24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1 D.x24＋y216＝17.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f (x) 可能为（）8.回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )A.越小B.越大C.可能大也可能小D.以上都不对9.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：A B C D男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由算得0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”10.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A 60件B 80件C 100件D 120件二.填空题（本大题有5个小题，每小题5分，共25分。
2021-2022年高二数学下学期第一次月考试题(I)
2021-2022年高二数学下学期第一次月考试题(I) 一、选择题．共12小题，每小题5分，共60分．1．设集合，，则( )A． B． C． D．2．复数的实部为( )A．B．C． 1 D． 03．等差数列{an }中，a3，a7是函数f(x)=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于( )A．﹣18 B．9 C．18 D．36 4．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是( ) A．[-3，-1] B．[-1，3]C．[ -3，1] D．5．若如图框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是( )A．i＞6？B．i≤6？C．i＞5？D．i＜5？6．若函数()2sin(2)()2f x xπϕϕ=+<的图像向右平移个单位后经过点，则=( )A． B. C. 0 D.7．设函数,若从 [-2，4]上任取一实数，则满足的概率为( )A ． B. C. D.8．如下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．16B ．12C ．D ． 9．下列命题中，是真命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x0≤0 B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．已知a ，b 为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D ．已知a ，b 为实数，则ab ＞1是a ＞1且b ＞1 的必要不充分条件10．设样本数据的平均值和方差分别为2和5，若（为非零实数，），则的均值和方差分别为( )A. 2,5B.C.D.11．表面积为20π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且△ABC 是边长为2的等边三角形，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ﹣ABC 体积的最大值是( ) A ． B ． C ． D ．12．函数的导函数为，且对任意的恒成立，则不等式均成立的是( ) A ．()()()()2ln 220,20f f f e f << B ．()()()()2ln 220,20f f f e f >>C ．()()()()2ln 220,20f f f e f <> D ．()()()()2ln 220,20f f f e f ><二、填空题．本题共5小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．数列1,12-,13,14-,15,……的一个通项公式n a =（ ）A ．(1)nn -B ．1n -C ．1(1)n n --D ．1n【答案】C【分析】根据分母的特征和每项的正负性特征,可以选出答案. 【详解】因为数列的正负交替,分母是正整数的次序,所以na =1(1)n n--. 故选C【点睛】本题考查了已知数列求数列的通项公式,本题也可采用根据四个选项中数列通项公式求出前几项,看是否符合已知的数列的前几项.2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab等于（ ）A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】C【分析】根据等差数列的性质，得到x b a =-，再根据()2b a x a =+-，即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ， ∴2a x x b +=+，解得x b a =-．又()()22223b a x a a x a b a b a =+-=-+=-+-=-．∴3b a =，∴13a b =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，属于基础题型. 3．已知{}n a 为等差数列，若34812a a a ++=，则9S =（ ） A ．24 B ．27 C ．36 D ．54【答案】C【解析】计算得到54a =，根据1995992a a S a +=⨯=得到答案. 【详解】3485465312a a a a a a a ++=++==，故54a =，199599362a a S a +=⨯==. 故选：C .【点睛】本题考查了根据等差数列性质求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos cos a B b A =，则ABC 为（ ） A ．等腰且直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形【答案】D【分析】由题意结合余弦定理化简得22a b =，即可得解.【详解】由cos cos a B b A =结合余弦定理可得22222222a c b b c a a b ac bc +-+-⋅=⋅， 化简得22a b =，即a b =，所以ABC 为等腰三角形. 故选：D.5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6．在ABC 中，30a =，25b =，150A =，则ABC 的解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．无解 D ．无法确定【答案】A【分析】利用正弦定理求出sin B 的值，再由小边对小角即可判断. 【详解】在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin a bA B=， 所以sin 25sin1505sin 3012b A B a ⋅===， 因为b a <，所以B A <，所以角B 是锐角，进而可得角C 和边c 都是唯一的， 所以ABC 的解的个数为1， 故选：A.7．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c+-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【详解】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．8．在锐角三角形ABC 中，已知2A C =，则ac 的范围是A ．()0,2B ．()2,2 C ．()2,3D ．()3,2【答案】C【分析】根据正弦定理得到2cos aC c =，计算64C ππ<<，得到答案. 【详解】sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===，又A B C π++=，2A C =，锐角三角形ABC ， ∴64C ππ<<，故23cos ,22C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故23ac <<. 故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC DB =，则sin C 的值为（ ）A 3B 3C 6D 6【答案】D【分析】根据题中条件，在ABD △中先由余弦定理求出cos A ，利用同角三角函数关系求出sin A ，利用正弦定理可求出sin BDC ∠，然后在BDC 中利用正弦定理求解sin C 【详解】解：设AB x =，则,,33AD x BD x BC x ===， 在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅， 所以 222sin 1cos -A A ， 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BDADB A=∠，则sin sin2AB xADB AxBD∠===，所以sin BDC∠=在BDC中，由正弦定理得，sin sinBD BCC BDC=∠，则sinsinxBD BDCCBC⋅∠===故选：D【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．设n S是等差数列{}n a的前n项和，若3613SS=，则612SS=（）A．310B．13C．18D．19【答案】A【分析】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，根据题意可将69,S S都用3S表示，可求得结果.【详解】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，∵3613SS=，即633S S=，()6333S S S S--=，∴9633S S S-=，12934S S S-=，∴936S S=，31210S S=，∴63123331010S SS S==.故选：A.11．若数列{}n a满足119a=，()*13Nn na a n+=-∈，则数列{}n a的前n项和最大时，n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为119a=，13n na a+-=-，所以数列{}n a是以19为首项，3-为公差的等差数列，所以()()1913223na n n=+-⨯-=-．要使{}n a的前n项和最大，则需1nnaa+≥⎧⎨≤⎩，即2230223(1)0nn-≥⎧⎨-+≤⎩，所以192233n ≤≤，又*n ∈N ，所以7n =， 故选：B12．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ） A ．90︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒【答案】B【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ， 有余弦定理可得，cosθ=25644912582+-=⨯⨯，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B ．二、填空题13．ABC 中，60,2A a b =︒==，则c =______． 【答案】3【分析】根据余弦定理，建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，由60,2A a b =︒==，得22224cos 60c c =+-⋅︒，即2742c c =+-，2230c c ∴--=，解得：1c =-（舍）或3c =. 故答案为：3.14．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos )c A A b =，b =c =，则ABC 的面积为______．【解析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式化sin sin()B A C =+，展开后可求得tan C ，即C 角，再由余弦定理求得a ，最后由三角形面积公式求得面积．【详解】由正弦定理得：sin (cos )sin C A A B -=，因为sin sin()B A C =+所以sin (cos )sin cos sin cos C A A A C C A -=+，因为sin 0A ≠，所以cos C C =，5tan 6C C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即21333a a =++，解得2a =，所以1sin 2S ab C ==【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，解题关键是用正弦定理化边为角，然后由三角函数公式变形求出角C ．15．在数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =_________.【答案】12.【分析】先设等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到{}n a 的通项，从而得出结果.【详解】设数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，因为732,1a a ==，则731114116=-=++d a a ，所以124=d ， 所以311135(3)1132424-+=+-=+=++n n n n d a a ， 因此2415=-+n a n ，解得1112=a .故答案为12【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型. 16．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，首项12015,a =-且20142012220142012S S -=,则2015S =______． 【答案】2015-【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由20142012220142012S S -=可求得2d =，然后利用等差数列的求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由20142012220142012S S -=可得1120142013201220112014201222220142012a d a d⨯⨯++-= 解得2d =， 又因为12015,a =- 所以()20151201520142015201520152015201420152S a d ⨯+=⨯-+⨯==- 故答案为：2015-三、解答题17．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc +-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c= 由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）1313sin 362222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为57+【解析】正余弦定理解三角形.19．为如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3c =，1b =，3BAC π∠=，M 为线段BC 上一点.（1）若3sin 7AMB ∠=，求AM 的长； （2）若BM AM =，求AMC 的面积. 【答案】（121；（233【分析】（1）利用余弦定理求得BC 、cos B ，从而求得sin B ，利用正弦定理求得AM . （2）求得三角形ABM 的高，通过求ABM 的面积来求得AMC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，因为3c =，1b =，3BAC π∠=，由余弦定理2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠= 所以22257cos 2AB BC AC B AB BC +-==⋅， 因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221sin 1cos 14B B =-=， 在ABM 中，由正弦定理sin sin AM ABB AMB=∠33217=，所以212AM =.（2）取AB 的中点H ，因为MB MA =，所以MH AB ⊥， 因为21sin 14B =、57cos 14B =，所以3tan 5B =，所以13333tan tan 22510HM HB B AB B =⋅=⋅=⨯=， 193220ABMSAB HM =⋅=， 所以AMCABCABMSSS=-=19333sin 22010AB AC BAC ⋅⋅∠-=.20．已知{n a }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且55S =，63=-S ．求数列{n a }的通项n a 及n S .【答案】2317310,22n n a n S n n =-+=-+．【分析】先用基本元的思想将已知条件转化为1,a d 的形式，解方程组求得1,a d ，由此求得数列的通项公式及前n 项和.【详解】由55S =，有63S =-有1151056153a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得173a d =⎧⎨=-⎩ ，()()713310n a n n =+--=-+，∴ ()27310317222n n S n n n +-+==-+．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.属于基础题. 21．已知数列{}n a 满足()1144,42n n a a n a -==-≥，令12n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）()21n n a n+=.【分析】（1）由题设1422n n a a --=-，得到12n a -=12+112n a --，进而得到112n n b b --=，由此可知数列{}n b 为等差数列. （2）由（1）求得122n n a =-，两边同时取倒数，进而求得求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）因为()1442n n a n a -=-≥，可得12(2)422(1)n n n n a a n a a +--=-=≥， 所以111122(2)22n n n n a a a a +==+---，即1111222n n a a +-=--， 又因为12n n b a =-，即()1112n n b b n +-=≥， 又由14a =，可得111122b a ==-， 所以数列{}n b 构成首项为12，公差为12的等差数列. （2）由（1）可得数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭构成首项为12，公差为12的等差数列， 所以1111(1)2222n n n a a =+-⨯=--，所以()2221n n n na +==+， 即数列{}n a 的通项公式()21n n a n +=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，注意数列n 的取值，解题时要注意等差数列的性质的应用和判断，着重考查推理与运算能力.22．已知{}n a 是一个等差数列，且251,5a a ==-．(1)求{}n a 的通项公式n a ;(2)求{}n a 的前n 项和n S 的最大值．【答案】(1)25n a n =-+(2)4【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出方程组即可求解；（2）利用等差数列的前n 项和公式可得关于n 的二次函数，利用配方法即可求解.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由已知条件得11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得132a d =⎧⎨=-⎩， ∴1(1)25n a a n d n =+-=-+．（2）221(1)4(2)42n n n S na d n n n -=+=-+=--+， ∴当2n =时， n S 取得最大值4．。
2021-2022年高二数学下学期第一次月考试题(理重)
2021-2022年高二数学下学期第一次月考试题（理重）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=（ ）A ．｛-1，0｝B ．｛0，1｝C ．｛-1，0，1｝D ．｛0，1，2｝ 2．（ ）A. B. C. D.3 .根据下面给出的xx 年至xx 我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是( )2013年2012年2011年2010年2009年2008年2007年2006年2005年2004年2 5002 4002 3002 2002 1002 0001 900A ．逐年比较，xx 年减少二氧化硫排放量的效果最显著.B ．xx 年我国治理二氧化硫排放显现成效.C ．xx 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.D ．xx 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.4.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．845.设函数21log (2),1(),2,1xx x f x x +-⎧=⎨≥⎩ ＜ 则（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6.直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D.47．在复平面内，复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则实数的值为（ ）A.0B.1C.2D.0或28.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．149.已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，则下列关于的叙述正确的是（ ）A. 恒大于0B. 在定义域上单调递增C. 在定义域上单调递减D. 在定义域上有极小值10.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，＜0，则使得f (x) >0成立的x 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。
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2021-2022年高二数学1月月考试题文一、选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。
每题5分，满分60分）1．设x ＞0，y ∈R ，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．若命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＜0，则：（ ）A ．∃x 0∈R ，x 02+1＞0B ．∃x 0∈R ，x 02+1≥0C ．∀x ∈R ，x 2+1＞0D ．∀x ∈R ，x 2+1≥03．命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．14．曲线在点处的切线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若直线l与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是N (1，－2)，则直线l 的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π36．已知命题：若，则函数的最小值为；命题：若，则．则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )A.2B.6C.2 3D.2158．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ9．已知椭圆的长轴的两个端点分别为A 1、A 2，点P 在椭圆E 上，如果△A 1PA 2的面积等于9，那么( )A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知圆，圆()()222:349C x y -+-=，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实数根分别是，则点到原点的距离为（ ） A ．2 B ． C ． D ． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．已知函数f （x ）=ln x 图象在点（x 0，f （x 0））处的切线经过（0，1）点，则x 0的值为 ． 14．设0为坐标原点，点M 坐标为(2，1)，点N(x ， y)满足不等式组：43021201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则的最大值为_________ 15．下列四个命题:①“ ”是“”成立的充分条件； ②抛物线的准线方程是；③若命题“p ”与命题“p 或 q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ④若命题“,”是假命题，则实数的取值范围是．其中正确命题的序号是 .(把所有正确命题的序号都填上)16．如图，A 1，A 2为椭圆的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2= _____ ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）17．(本小题满分10分) 在直角坐标中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线的极坐标议程为点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线的相交于两点，求的值.18．(本小题满分12分)已知直线l1为曲线f(x)＝x2＋x－2在点P(1,0)处的切线，l2为曲线的另一条切线，且l2⊥l1.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积S.19．（本小题满分12分）设命题：函数的定义域为；命题对一切的实数恒成立，如果命题“且”为假命题，求实数的取值范围.20．（本小题满分12分）求下列函数的导数： (1)y ＝e x＋1e x －1； (2) y ＝ln 11＋x 2.21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22．直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . （1）求椭圆C 的方程； （2）当△AMN 的面积为103时，求k 的值．22．(本小题满分12分)已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使.（1）求曲线的方程；（2）求实数的值；（3）求实数的值． 一、选择题（每题5分，满分60分） 1——6 CBCBB 7——12 ACCAD AB 二、填空题（每小题5分，共20分） 13． e2 14．12 15． ②③ 16.14三、解答题（共70分）17【解】 解：（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为点的极坐标为，化为直角坐标为..........3分直线的参数方程为cos ,33sin ,3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即1,2(3x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）. .......5分（2）将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得，整理得显然有△＞0，则121248,PA PB t t t t PA PB ===+1212t t t t =+=-==所以.18【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，..... 2分由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，. .....5分故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0. .....6分(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，.....8分联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，.....10分故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.....12分19．解：命题：对于任意的，恒成立， 则需满足，.....4分21111:()39(3)2444x x x q g x a =-=--+≤⇒> .....9分若“”为真，可得：, 所以, “”为假时，有：...12分20. [解析] (1)y′＝(e x＋1)′(e x－1)－(e x＋1)(e x－1)′(e x －1)2＝－2ex(e x －1)2 . ....6分(2)y′＝－x1＋x2..12分21解：(1) 椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. . .....4分 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. .....6分设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k2. ，.....7分所以|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k2.，.....8分 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. ，.....12分22．解：（1）曲线的方程为 （2）（3） 解析（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知, 故曲线的方程为 . ..........3分 （2）设，由题意建立方程组，消去，得，又已知直线与双曲线左支交于两点，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪-⎨+=<⎪-⎪-⎪=>⎪-⎩，解得，.....6分又∵依题意得 ，整理后得 ，..........8分 ∴或，但 ∴，（3）设，由已知，得，......10分 ∴，又，()21212222222811k y y k x x k k +=+-=-==--， 又点曲线上，所以，将点的坐标代入曲线的方程，得， ∴......12分I33733 83C5 菅37390 920E 鈎Q 32478 7EDE 绞uc37221 9165 酥U632840 8048 聈Q%38114 94E2 铢。