第6章 变异指标
6第六讲 变异指标
10 20 40 30 8
550 1300 3000 2550 760
-21 -11 -1 9 19
441 121 1 81 361
4410 2420 40 2430 2888
合
计 ——
108
8160
第六讲 变异指标
——
——
12188
步骤：（同上）数据代到公式中：
δ=
∑（X－X）2· f
=
12188 108
第六讲 变异指标
全距的优点：在于计算简便，意义明 确，它是测量变异指标的简便方法。在实 际工作中，可用于工业产品质量的检查和 控制，（如产品强度、硬度、浓度、长度 等差距的波动程度。） 全距的缺点：它只考虑了两个极端值 的情况，因此计算的结果，只能说明标志 值的变动范围。却不能反映数列中各个标 志值的差异程度，因此，用全距测定离散 趋势，只是一种粗略的方法。（尤其在分 组情况下，全距更难准确地反映标志值的 变异程度。）一般在时间性很强的情况下 应用。
第六讲 变异指标
以上三个组学生年龄差异程度不同， 这样用平均数（20岁）分别代表每个组年 龄的一般水平，其代表性对每个组来说必 然不同。
平均年龄（20岁）对丙组具有完全的代表性； 对乙组的代表性比对甲组的代表性要大。
由此看出，用来表明离散趋势的变异 指标，是衡量平均指标代表性的尺度。
第六讲 变异指标
计算结果表明，甲组学生年龄标准差 比乙组大，其平均年龄20岁，对乙组的代 表性比对甲组的代表性大。 （也可说：计算结果表明，甲组学生年 龄的离散趋势比乙组大，因此，乙组学生 的年龄较甲组学生的年龄均匀。） 如果掌握的是分组资料，计算其标准 差要用加权式。
第六讲 变异指标
例2、某厂工人工资分组情况如下
第6章变异指标及答案
第6章变异指标及答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第六章变异指标一、本章重点1.平均指标描述的是总体的集中趋势，而变异指标描述的是总体的离中趋势。
它们从两方面来反映总体的分布特征。
其作用首先是衡量平均指标代表性大小的一种尺度，其次还可以反映社会经济活动过程的均衡性与协调性，第三是抽样方案设计的基本因素之一。
2.全距、全距系数；四分位差、四分位差系数；平均差、平均差系数是测定标志变异程度的最简便的方法。
但由于其数理依据欠科学，在反映标志差异程度方面代表性较差。
3.标准差与标准差系数是反映标志差异程度的主要指标。
它比前面介绍的其它指标都科学。
标准差就是标志值与其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。
标准差系数是标准差与其算术平均数之比，是反映标志差异程度方面目前最科学的统计指标之一。
4.要掌握是非标志的平均数与标准差的计算。
是非标志的最大值是。
二、难点释疑1.全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点。
前者计算简单、反映生动鲜明，但是不准确。
标准差比较准确，但计算过程复杂。
2.标准差系数的应用。
为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系数。
它是标志变异的相对指标。
它既消除了变量数列差异的影响，也消除了变量数列水平的影响。
三、练习题（一）填空题1.平均指标说明分布数列中变量值的（集中趋势），而标志变异指标则说明变量值的（离中趋势）。
2.（平均指标）反映总体各单位某一数量标志值的共性，也叫集中趋势。
（变异指标）可以反映他们之间的差异性，也叫（离中趋势）。
3.标志变异指标是衡量（平均指标代表性大小）的尺度，它还可以表明生产过程的（均衡性）或其它经济活动过程的（协调性）。
4.标志变动度与平均数的代表性成（反比）。
5.全距是总体中单位标志值的（最大值）与（最小值）之差。
第六章 变异度指标讲解
解：第一步：求出第一个四分位数和第三个四分位数的位次：
Q1的位次
n
1 4
12 1 4
3.25
Q3的位次
3(n 4
1)
9.75
第二步：求出第一个四分位数和第三个四分位数，得到四分 位数
Q1
ห้องสมุดไป่ตู้22 2
24
23
Q3
30 32 2
31
Q Q3 Q1 31 23 8
显然，只了解变量的集中趋势是不够的！
第一节 变异度指标
一、变异度指标的概念
变异度指标又称标志变动度指标，是综合反 映总体各单位标志值及其分布的差异程度的 指标。
如：七个人的工资分别为：320元，320元， 400元，400元，500元，500元，2000元。
平均工资为634.29元（平均指标 ，集中趋势） 最高和最低之差为1680元（变异度指标，内
三、变异度指标的种类 1、全距 2、四分位差 3、平均差 4、标准差 5、方差 6、离散系数 7、偏度 8、峰度
第二节 变异度指标的计算
一、全距（极差） 1、全距是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，又称
极差。 全距 R=最大值－最小值 R xmax xmin
二、四分位差
1、四分位差是四分位数中间两个分位之差。 四位差Q=第三个四分位数Q3—第一个四分位数Q1 实质上是两端各去掉四分之一的数据以后的极差，表示占全
部数据一半的中间数据的离散程度。四分位差越大，表示数 据离散程度越大。
2、适用条件：四分位差是一种顺序统计量，适用于定序数 据和定量数据。尤其是当用中位数来测度数据集中趋势时。
第六章平均指标和标志变异指标
【实例6.2】 服装商店要销售100件毛衣，其中20件 大号毛衣，每件200元，50件中号毛衣，每件190元， 30件小号毛衣，每件180元。计算每件毛衣平均价格。
解：根据题意，可列出计算表如下
销售价格（元） 200 190 180
x
件数 f 20 50 30
销售总价值（元） 4000 9500 5400
2.加权调和平均数
加权调和平均数是各个标志值倒数的 加权算术平均数的倒数 其计算公式为
m1 m2 m3 mn xh mn m1 m2 m3 x1 x2 x3 xn
m m x
【例6.6】学校食堂购进某种蔬菜，相关资料如表5.5 所示，求蔬菜的平均价格。
f2
X n
f
fn
令
i
则有
X X11 X 22 X nn X ii
加权算术平均数的特征
加权算术平均数受两个因素的影响： ①变量值的大小； ②权数的结构。 权数有绝对数权数和相对数权数两种。绝 对数权数就是变量值个数以绝对数形式 表示，即次数或频数；相对数权数则是 变量值个数以相对数形式表示，即频率。
6.2
数值平均数
6.2.1 算术平均数
1.算术平均数（arithmetic mean）的意义
是总体标志总量与总体单位总量对比的结果 基本计算公式
总体标志总量 算术平均数 总体单位总量
算术平均数与强度相对指标都是比值，都有 “平均”含义，但两者明显区别在于 算术平均数的分子和分母是同一个总体的两 个总量指标，分子是标志总量，分母是单位 总量，而且分子、分母位置不能互换
强度相对指标分子和分母分属两个不同 总体的总量指标，且分子分母位置颠倒 有意义，它有正、逆指标之分
第六章 变异指标
计算方法
可得到:全距系数, 可得到:全距系数,平均差系数 ,标准差系数 使用最多的是标准差系数. 使用最多的是标准差系数. 标准差系数 V = σ
σ x
例题3:已知甲乙两个班组工人生产资料如下: 例题3
甲 日产量 (件) 5 7 9 10 13 合计 班 工人数 (人) 6 10 12 8 4 40 乙 日产量 (件) 8 12 14 15 16 合计 班 工人数 (人) 11 14 7 6 2 40
甲班: x = 甲班
= 8.5(件) 件 = 11.9(件) 件
σ =
∑x f ∑f
2
∑ xf ∑ f
2
甲班: 甲班 σ = 2.22(件) 件 乙班: σ = 2.69(件) 乙班 件
2 .22 = × 100 % = 26 .12 % 8 .5 2 .69 = × 100 % = 22 .61 % 11 .9
要求: 要求:比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高? 产量的代表性高?
解题过程如下: 解题过程如下:
甲 日产量 工人数 班 乙 班 工人数 日产量
x
5 7 9 10 13 合 计
f
6 10 12 8 4 40
xf
30 70 108 80 52 340
x f
150 490 972 800 676 3088
3,计算变异系数:
ν
σ
=
σ
甲班: 甲班: ν σ 乙班: 乙班: ν σ
∵乙班变异系数小于甲班
∴乙班工人的平均日产量代表性高. 乙班工人的平均日产量代表性高.
�
∑|x-x| D = n
特
点
计 算 方 法
加权平均差公式: 加权平均差公式:
统计学 第六章 平均指标和标志变异指标概论
20—30
10
25
250
30—40
70
35
2450
40—50
90
45
4150
50—60
30
55
1650
合 计 200
—
8400
求平均日产量？
平均日产量 8400
200
42公斤
3、加权算术平均数使用条件
如果调查所得的原始资料已经经过分组整理，形成了变量 数列，则计算算术平均数要采用加权算术平均数。
四、几何平均数
几何平均数（geometric mean）是若干项变量值的连乘积开若干次项数
的方根。它是计算平均数的另一种形式。它主要用于计算比率或速 度的平均。根据所掌握的资料不同，几何平均数分为简单几何平均
数和加权几何平均数。
1、 简单几何平均数
如果资料未分组，直接将n项变量值连乘，然后对其连乘积开n次方 所得的平均数即为简单几何平均数。其计算公式为：
二
12
200 2400
三
15
300 4500
四
20
300 6000
五
30
200 6000
合计 —
1100 19900
平均劳动生产率
车间产品产量( xf ) 车间实际工时( f )
19900 1100
18.09(件工时)
第三节、调和平均数和几何平均数
一、定义。调和平均数（harmonic mean）是各个标志值倒数 的算术平均数的倒数，故又称为倒数平均数。根据给定的材 料不同，调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两 种。
三、平均指标的种类
平均
指标
时间 范围 不同
第6章 变异度指标
某车间50名工人日加工零件标准差计算表
按零件数分组 105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 组中值(Xi) 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5 132.5 137.5 频数(Fi) 3 5 8 14 10 6 4 | Xi- X | 15.7 10.7 5.7 0.7 4.3 9.3 14.3 |Xi-X |Fi 47.1 53.5 45.6 9.8 43.0 55.8 57.2
合计
AD
—
50
X i X Fi
—
312
i 1
K
F
i 1
K
312 6.24 （个） 50
8
i
组中值(Xi)
107.5 112.5 117.5 122.5 127.5
频数(Fi)
3 5 8 14 10
Xi*Fi
322.5 562.5 940 1715 1275
132.5
26
年份
2001 2002 2003 2004
城镇居民 7520 7644 8235 8921
居民收入。湛江城镇居民收入水平高过茂名 7.9%；农村居民收入水平则低于茂名10.0%， 这收入水平方面验证湛江市县域经济不如茂名。
27
2003年湛江和茂名市区主要经济指标表
指标 GDP 人均GDP 总人口 非农业人口 全社会工业总产值 固定资产投资 使用外资 财政收入 社会消费品零售总额
2
第一节 变异度指标的意义
变异度指标:是指综合反映总体各单位标志值及其分布的差 异程度的指标,也称标志变动度指标. 作用: 1.是衡量平均数代表性的重要尺度. 【例1】三个工作组的生产情况 x 24 甲 甲组：24 24 24 24 24 x乙 24 乙组：20 22 25 26 27 x丙 24 丙组：10 20 25 30 35 • 变异度指标越大,平均数的代表性越小,变异度指标越小,平均 数的代表性越大 2.衡量社会变动的稳定性和均衡程度 3.是计算抽样误差和确定样本量的依据.
第六章平均指标和变异指标
二、平均指标的特点 1、总体同质性 2、数量抽象性 3、一般代表性
第5页，本讲稿共143页
【思考】
1、计算平均指标的基本要求是所要计算的平均指标的
总体单位应是（
）
A.大量的 B.同质的 C.有差异的 D.不同总体的
2、平均指标反映的是同质总体（
）
A.各单位不同标志值的一般水平
（）
A.组的次数必须相等
B.各组的变量值必须相等
C.各组变量值在组内呈均匀分布 D.各组必须是封闭组
5、组距式变量数列计算出来的算术平均数具有什么特点？
第19页，本讲稿共143页
【思考】
6、由组距数列计算算术平均数（
）
A.用组中值代表各组标志值是假定各组标志值变化均匀
B.用组中值代表各组标志值不考虑各组标志值是否变化 均匀
第37页，本讲稿共143页
【练习】某农产品收购部门，本月购进三批同 种产品，每批价格及收购金额见下表，求三批 产品的平均价格。
第一批 第二批 第三批
合计
价格（元/千克） 收购金额（元）
50
11000
55
27500
60
18000
---
56500
第38页，本讲稿共143页
第四节
第39页，本讲稿共143页
1、调和平均数在形式上是根据标志值的倒数 计算的，但计算结果并不是算术平均数的倒 数，只不过是作为算术平均的变形来使用的。 2、如果数列中有一标志值等于零，则无法计 算调和平均数。
第36页，本讲稿共143页
【练习】某市场有三种不同品种的苹果， 每千克价格分别为4元、6元和8元，试计 算:(1)各买1千克，平均每千克多少钱? (2)各买1元钱，平均每千克多少钱?
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第六章变异指标一、本章重点1.平均指标描述的是总体的集中趋势，而变异指标描述的是总体的离中趋势。
它们从两方面来反映总体的分布特征。
其作用首先是衡量平均指标代表性大小的一种尺度，其次还可以反映社会经济活动过程的均衡性与协调性，第三是抽样方案设计的基本因素之一。
2.全距、全距系数；四分位差、四分位差系数；平均差、平均差系数是测定标志变异程度的最简便的方法。
但由于其数理依据欠科学，在反映标志差异程度方面代表性较差。
3.标准差与标准差系数是反映标志差异程度的主要指标。
它比前面介绍的其它指标都科学。
标准差就是标志值与其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。
标准差系数是标准差与其算术平均数之比，是反映标志差异程度方面目前最科学的统计指标之一。
4.要掌握是非标志的平均数与标准差的计算。
是非标志的最大值是0.25。
二、难点释疑1.全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点。
前者计算简单、反映生动鲜明，但是不准确。
标准差比较准确，但计算过程复杂。
2.标准差系数的应用。
为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系数。
它是标志变异的相对指标。
它既消除了变量数列差异的影响，也消除了变量数列水平的影响。
三、练习题（一）填空题1.平均指标说明分布数列中变量值的（），而标志变异指标则说明变量值的（）。
2.（）反映总体各单位某一数量标志值的共性，也叫集中趋势。
（）可以反映他们之间的差异性，也叫（）。
3.标志变异指标是衡量（）的尺度，它还可以表明生产过程的（）或其它经济活动过程的（）。
4.标志变动度与平均数的代表性成（）。
5.全距是总体中单位标志值的（）与（）之差。
6.如果资料为组距数列，全距可以用（）和（）之差来近似地表示全距，他比实际的全距（）。
7.全距受（）的影响最大。
8.是非标志的平均数为（），标准差为（）。
9.标准差的大小不仅取决于变量值之间（）大小，还取决于（）高低。
10.平均数与标准差的计算都是以（）为中心。
11.标准差系数是（）与（）之比，其计算公式为（）。
（二）名词解释1.标志变动度2.全距3.四分位差4.平均差5.标准差6.全距系数7.平均差系数8.标准差系数（三）判断题1.标志变异指标是标志值的分配。
（）2.同质总体标志变异指标是反映离中趋势的。
（ ）3.标志变异指标与平均数存在着正比关系。
（ ）4.标志变异指标中易受极端值影响的是全距。
（ ）5.平均差的主要缺点是不符合代数方法的演算。
（ ）6.标准差和平均差就其实质而言属于总量指标。
（ ）7.计算标准差一般所依据的中心指标是众数。
（ ）8.标准差的取值范围是0=σ。
（ ）9.是非标志的平均数是q p +。
（ ）10.标准差系数抽象化了标志变异程度的影响。
（ ） （四）单项选择题1.标志变异指标中易受极端变量值影响的指标有（ ）。
A 、全距 B 、标准差 C 、平均差 D 、平均差系数2.标准差与平均差的主要区别是（ ）。
A 、计算条件不同 B 、计算结果不同 C 、数学处理方法不同 D 、意义不同3.标志变异指标中的平均差是（ ）。
A 、A 、各标志值对其算术平均数的平均离差 B 、B 、各变量值离差的平均数C 、C 、各变量值对其算术平均数离差的绝对值的绝对值D 、D 、各标志值对其算术平均数离差绝对值的平均数 4.平均差的主要缺点是（ ）。
A 、与标准差相比计算复杂B 、易受极端变量值的影响C 、不符合代数方法的演算D 、计算结果比标准差数值大 5.用是非标志计算平均数，其计算结果为（ ）。
A 、q p + B 、q p - C 、p -1 D 、p6.计算平均差时对每个离差取绝对值是因为（ ）。
A 、离差有正有负 B 、计算方便 C 、各变量值与其算术平均数离差之和为零 D 、便于数学推导7．标准差是其各变量值对其算数平均数的（ ）。
A 、离差平均数的平方根B 、离差平方平均数的平方根C 、离差平方的平均数D 、离差平均数平方的平方根 8．计算离散系数是为了比较（ ）。
A 、A 、不同分布数列的相对集中程度B 、B 、不同水平的数列的标志变动度的大小C 、C 、相同水平的数列的标志变动度的大小D 、D 、两个数列平均数的绝对离差 9．变量的方差等于（ ）。
A 、A 、变量平方的平均数减变量平均数的平方B 、B 、变量平均数的平方减变量平方的平均数C 、C 、变量平方平均数减变量平均数平方的开平方D 、D 、变量平均数的平方减变量平方平均数的开平方10．两组工人加工同样的零件，甲组工人每人加工的零件分别为：25、26、28、29、32；乙组工人每人加工的零件分别为：22、25、27、30、36。
哪组工人加工零件数的变异较大（ ）。
A 、甲组B 、乙组C 、一样D 、无法比较11．甲数列的标准差为7.07平均数为70；乙数列的标准差为3.41，平均数为7，则（ ）。
A 、甲数列平均数代表性高B 、乙数列的平均数代表性高C 、两数列的平均数代表性相同D 、甲数列离散程度大12．甲乙两个数列比较，甲数列的标准差大于乙数列的标准差，则两个数列平均数的代表性（ ）。
A 、甲数列大于乙数列B 、乙数列大于甲数列C 、相同D 、并不能确定哪一个更好13．已知甲数列的平均数为1X ，标准差为1σ；乙数列的平均数为2X ;标准差为2σ，则（ ）。
A 、A 、若21X X ， 21σσ ，则1X 的代表性高；B 、B 、若21X X ， 21σσ ，则1X 的代表性高；C 、C 、若21X X ， 21σσ≠，则1X 的代表性高；D 、D 、若21X X ， 21σσ=，则1X 的代表性高；14.某数列变量值平方的平均数等于9，而变量值平均数的平方等于5，则标准差为（ ）。
A 、4;B 、－4；C 、2;D 、14。
（五）多项选择题1.标志变异指标可以反映（ ）。
A 、平均数代表性的大小B 、总体单位标志值分布的集中趋势C 、总体单位标志值的离中趋势D 、生产过程的均衡性E 、E 、产品质量的稳定性2.有些标志变异指标是用无名数表示的，如（ ）。
A 、全距 B 、平均差 C 、标准差 D 、平均差系数 E 、标准差系数3.同一总体中，平均数与标准差、标准差系数的关系是（ ）。
A 、A 、标准差愈大，平均数的代表性愈大 B 、B 、标准差系数与平均数的代表性成正比 C 、C 、标准差的大小与平均数代表性成反比 D 、D 、标准差系数愈大，平均数代表性愈小 E 、E 、标准差系数愈小，平均数的代表性愈大4.是非标志的标准差是（ ）。
A 、q p +B 、pqC 、q p -D 、)1)(1(q p --E 、)1(p p -5.标准差与平均差相同的地方是（ ）。
A 、A 、不受极端变量值的影响B 、B 、计算方法在数学处理上都是合理的C 、都不能直接用来对比两个总体的两个不等的平均数代表性的大小D 、反映现象的经济内容相同E 、反映现象的经济内容不同6.在两个总体的平均数不等的情况下，比较它们的代表性大小，可以采用的标志变异指标是（ ）。
A 、全距B 、平均差C 、平均差系数D 、标准差E 、标准差系数7.不同总体间的标准差不能进行简单对比，这是因为（ ）。
A 、标准差不一致 B 、平均数不一致C 、计量单位不一致D 、总体单位数不一致E 、上述原因都对8.下列哪几组数值可以算出标准差（ ）。
A 、602=∑n X5=∑n XB 、5=X 30=σVC 、()4020=-∑nX X()1020=-X XD 、92=X 52=XE 、42=X%15=σV（六）简答题1.为什么要研究标志变异指标？2.为什么说标准差是各种标志变异指标中最常用的指标？3.在比较两个数列的两个平均数代表性大小时，能否直接用标准差进行对比？4.用全距测定标志变异度有那些优缺点？5.简要说明平均指标与变异指标在说明同质总体特征方面的联系与区别？ （七）计算题工资更具有代表性。
2.某工厂生产一批零件共10万件，为了解这批产品的质量，采取不重复抽根据质量标准，使用寿命800小时及以上者为合格品。
试计算这批零件的平均合格率、标准差及标准差系数。
3.某车间有两个小组，每组都是7名工人每人日产零件数如下： 第一组：20 40 60 70 80 100 120 第二组：67 68 69 70 71 72 73试计算两个小组每人平均日产量、全距、平均差、标准差，并比较哪一组的平均数代表性大？4.两个不同小麦品种分别在四块田地上试种，其产量资料如下：性和推广价值。
5.根据平均数和标准差的关系。
（1）（1）设%25,600==σV x ，则标准差为多少？（2）（2）设450,202==x x ，则标准差系数为多少？ （3）（3）设360,3622==x σ，则平均数为多少？（4）（4）设174%,2.172==x V σ，则平均数为多少？。