不定方程PPT课件
(4) 第二章 不定方程
8 6)
Z
x1 4 x3 x4 4(6 2 1 7 6 x6)
x1
1
1 76
(
7
3
1x3
8
6)
4
x3
1
1 7
6
(x3
8
6)
x4
1
1 7
6
(
2
7
x3
8
6)
Z
( 1 0 2 7 x6) 2 5 8 7 3 1x6 x3 7 x4 3 x5
x3
1 27
( 1 7 6 x4
8 6)
反 之 , 若 (a , b ) c , 则 c c1 (a , b ), c1是 整 数 . 由 第 一 章 §3 推 论1 .1 ,存 在 两 个 整 数 s,t 满 足 下 列 等 式
a s b t (a,b)
令 x0 s c1, y0 t c1, 即 得 a x0 b y0 c, 故 ( 1 ) 式 有 整 数 解
设x, y, z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目, 就得到下面的方程：
5x 3y 1 z 100, x y z 100. 3
消去z,再化简,即得7x 4 y 100. 我们要解决这个问题,就要求出上述方程的非负整数解
3
定理 1 设二元一次不定方程
ax by c
(1)
(其 中 a, b, c是 整 数 ,且 a, b都 不 是 0)有 一 整 数 解
7 x4
3
1 27
(1 3 x 4
5)
7( 1 0 2 7 x6) 3 ( 5 1 3 x6)
x5
1 27
(1 3 x 4
5)
Z
x4 (2 7 x5 5) /1 3 2 x5 (x5 5) /1 3
二元一次不定方程 PPT
学习目标
1.了解我国古代数学家在不定方程的研究方面取得的一 些成就； 2.理解二元一次不定方程有整数解的判别准则； 3.理解并掌握二元一次不定方程有整数解时，特解的求 法以及整数通解的表示。
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新知探究
二元一次不定方程是最简单的
不定方程合，它作的探一究般形式是为 ax by c (1)
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新知探究
设 a,b 1 ，则不定方程 ax by c 的 整所数有通解解为
x y
x0 y0
bt at
t
Z
x x0 , y y0 是不定方程 ax by c 的一个特解。
问题3
问题4
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新知反思
1、如何求一个不定方程的特解； 2、如何求一个不定方程的整数通解；
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人教A版选修4-6 第三讲
3.1 二元一次不定方程
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识一识
不定方程 是指未知数的个数多与方程个数的方程或方程组。
4x y 15
5x
3y
z 3
100
x y z 100
二元一次不定方程 三元一次不定方程
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预习反馈
问题1 问题2 问题3 问题4 问题5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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7x 4y 1 3x 6y 22
其中 a, b, c 为整数，且 a, b不等于零。
问问题题21
1 不定方程不（定1）方有程解（时1，）整不数一a定, b有, c整有数何解特点？ 2 整数 a, b, c的这种特征能否保证不定方程（1）有整数解？
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考一考
（1） 24x 66y 150 可化简为： 4x 11y 25 （2） 20x 12 y 40 可化简为： 5x 3y 10
小学奥数六年级上第7讲《不定方程》教学课件
巩固提升
mathematics
作业3：一张纸上写有25个1.21和25个1.3，现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总 和为20.08，那么应划去多少个1.3? 答案：17个
巩固提升
mathematics
作业4：樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃. (1)第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了；已知冬菜 包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子? (2)第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子，于是樱木邀请晴子一起去吃包子 到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串，已知羊肉串每串12元， 最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25；那么两人最多吃了多少串羊肉串? 答案：10；7
巩固提升
mathematics
作业5：甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其 余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人 各捐7册，其余各捐9册，已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班 捐赠的册数都在400与600之间；各班各有多少人? 答案：甲班51人，乙班53人，丙班49人
六年级上第7讲
不定方程
• Culture
知识树
mathematics
• Culture
知识树
mathematics
• Culture
知识树
mathematics
数学知识点
mathematics
• Culture
1.知识精讲 3.极限挑战
2.例题讲解 4.巩固提升
数学知识点
mathematics
不定方程ppt课件
解：因为（107，37）=1，所以有解；故
y 2x 25 33x 37
令y1
25 33x 37
,即7 y1
33x
25
x
y1
25 4 y1 33
令
25 4 y1 33
x1有 33 x1
4 y1
25
故y1
6 8x1
1 x1 4
,令1 x1 4
y2令x1
4y2
1
令y2 t, x1 1 4t 故
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条件是
(a,b)|c
证：设方程有解 x0 , y0则有 ax0 by0 c
程有无穷解，其一切解可表示成
x y
x0 y0
b1t a1t
t 0,1,2,
其中
证 是：方把程的y解x 。yx00
b1t a1t
代入不定方程成立，所以
又设 x, y 是不定方程的任一解，又因为 x0 , y0
是一特解
则有 a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ,即有 a1(x x0 ) b1( y y0 ) 有 a1 | b1( y y0 )
a1x1 a2 x2 d2t2 , d2t2 a3x3 d3t3, d t n1 n1 an xn c
先解最后一个方程的解，得 tn1, xn 然后把其代入倒数第二个方程求得一 切解，如此向上重复进行，求 得所有 方程的解。
例1：求不定方程 25x 13y 7z 4的整数解.
§2不定方程课件
43 x 27 y -4的特解x0 (5) (4) 20, y0 8 (4) 32
所以258 x 162 y 24的一切整数解为 x 20 - 27t , y 32 43t (t Z )
2013-12-20 四川文理学院 数财系
ax by c , a , b, c Z , a , b 0 (1)
的方程称为二元一次不定方程
2013-12-20 四川文理学院 数财系
4
例1.判断哪些是不定方程
(1) 7 x 4 y 100 ( x, y Z ) (2) 4 x1 6 x2 10 x3 20 x4 15 ( x1 , x4 Z ) (3) x 2 y 3 z 7 ( x, y, z Z ) (4) 3m 15 n 17 (5) 3 x 2 7 xy 2 x 5 y 17 0( x, y Z ) ( 6) (7 ) x y z ( x, y , z Z )
所以7 x 4 y 100的特解x0 - 1 100 -100 , （ ） y0 2 100 200
所以7 x 4 y 100的一切整数解为 x -100 - 4t , y 200 7t
2013-12-20
(t Z )
四川文理学院 数财系
16
例4 求方程 258 x 162 y 24 的一切整数解
变量代换法 解：原方程可化为 88 x 81 y 1
令 x y z， 则方程可化为 7 x 81z 1.
再令u x 11z，则方程可化为 7u 4z 1
x y z 100 1 5 x 3 y 3 z 100
《二元一次不定方程》课件1
设(a, b) d , a a1d , b b1d , 如果( x0 , y0 )是方程ax by c的一组解, 则它 x x0 b1t 所有整数解都可写成 , 其中t为任意整数. y y0 a1t
定理3
证明 : (1)显然, x x0 b1t , y y0 a1t是不定方程的解. (2)设x x, y y是不定方程的任一组整数解, 则 ax by c, 又ax0 by0 c, ax by ax0 by0 , 即a( x - x0 ) -b( y - y0 ), a1d ( x - x0 ) -b1d ( y - y0 ). a1 ( x - x0 ) -b1 ( y - y0 ). (a, b) d , a a1d , b b1d , (a1 , b1 ) 1, a1 | y - y0 . 设y - y0 a1t , 即, y y0 a1t. 从而x x0 b1t. 故x, y可表示为定理中的形式. 综合(1), (2)定理得证.
注意
下面先研究方程7 x 4 y 100的整数解.
7 x 4 y 100, 4 y 100 7 x, 100 7 x x y 25 2 x , 4 4 x 令 t , 则x 4t , 从而y 25 7t. 4 x 4t , (t是任意整数) y 25 7t
另解:逐步回代
1=33-4×8=33-(37-33)
×8
=33×9-37×8
=(107-37×2பைடு நூலகம் ×9-37×8
=107×9-37×26
即37×(-26)+107×9=1,以下过程略.
另解 : 即解方程37 x -107 y 25. 先将绝对值较小的系数对应的变数x解出, 得 33 y 25 x 2y , 37 33 y 25 因x, y是整数, 故 也为整数, 37 33 y 25 设 x1 , x1是整数, 37 即33 y 25 37 x1. (1) 再将(1)中绝对值较小的系数对应的变数y解出, 4 x1 25 得y x1 . 33
不定方程[下学期] 华师大版 (PPT)5-2
![不定方程[下学期] 华师大版 (PPT)5-2](https://img.taocdn.com/s3/m/89fb9ca94b73f242326c5f0d.png)
摘自《Newton传记》
〈书〉用荆条、竹子等编成的篱笆或其他遮拦物。 【筚篥】同“觱篥”。 【筚路蓝缕】ǚ《左传?宣公十二年》：“筚路蓝缕，以启山林。”意思是说驾着柴 车，穿着破旧的衣服去开辟山林（筚路：柴车；蓝缕：破衣服）。形容创业的艰苦。也作荜路蓝缕。 【湢】〈书〉浴室。 【愊】［愊忆］（）〈书〉形烦闷。 也作腷臆。 【愎】〈书〉乖戾；执； 好运吧； 拗：刚～自用。 【弼】（弻）〈书〉辅助：辅～。 【蓖】［蓖麻］（）名一年生 或多年生草本植物，叶子大，掌状分裂。种子叫蓖麻子，榨的油叫蓖麻油，医上做泻，工业上做润滑油。也叫大麻子（）。 【跸】（蹕）〈书〉帝王出行时， 开路清道，禁止通行；泛指跟帝王行止有关的事情：驻～（帝王出行时沿途停留暂住）。 【腷】［腷臆］（）同“愊忆”。 【痹】（痺）痹症：风～｜ 寒～｜湿～。 【痹症】名中医指由风、寒、湿等引起的肢体疼痛或麻木的病。 【煏】〈方〉动用火烘干。 【滗】（潷）动挡住渣滓或泡着的东西，把液体 倒出：～汤｜把汤～出去。 【裨】〈书〉益处：～益｜无～于事（对事情没有益处）。 【裨益】〈书〉①名益处：学习先进经验，对于改进工作，大有～。 ②动使受益：植树造林是～当代、造福子孙的大事。 【辟】①〈书〉君主：复～。②（）名姓。 【辟】〈书〉①排除：～邪。②同“避”。 【辟】〈书〉 帝王召见并授与官职：～举（征召和荐举）。 【辟谷】动不吃五谷，方士道家当做修炼成仙的一种方法。 【辟邪】∥动避免或驱除邪祟。一般用作迷信语， 表示降伏妖魔鬼怪使不侵扰人的意思。 【辟易】〈书〉动退避（多指受惊吓后控制不住而离开原地）：～道侧｜人马俱惊，～数里。 【碧】①〈书〉青绿色 的玉石。②青绿色：～草｜澄～。③（）名姓。 【碧波】名碧绿色的水波：～荡漾｜～万顷。 【碧空】名青蓝色的天空：～如洗。 【碧蓝】形状态词。青 蓝色：～的大海｜天空～～的。 【碧绿】ǜ形状态词。青绿色：～的荷叶｜田野一片～。 【碧螺春】名绿茶的一种，蜷曲呈螺状，产于太湖洞庭山。 【碧落】 〈书〉名天空。 【碧血】名《庄子?外物》：“苌弘死于蜀，藏其血，三年而化为碧。”后多用“碧血”指为正义事业而流的血：～丹心。 【碧油油】（口 语中也读）（～的）形状态词。绿油油：～的麦苗。 【碧玉】名绿色或暗绿色的软玉。 【蔽】遮盖；挡住：掩～｜遮～｜衣不～体｜浮云～日。 【蔽芾】 〈书〉形形容树干树叶微小。 【蔽塞】①〈书〉动堵塞；壅塞。②形不开通；闭塞。 【蔽障】①动遮蔽；阻挡：浓雾～了数共20，问鸡兔各几何？
第8讲 不定方程-完整版
第八讲不定方程内容概述学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程.典型问题兴趣篇：1．求下列方程的正整数解．(1)25x y+=； (2)238x y+=；(3)321x y+=； (4)4530x y+=．答案：（1）12xy=⎧⎨=⎩（2）12xy=⎧⎨=⎩（3）无解（4）52xy=⎧⎨=⎩2．小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有多少张？答案：3张【解析】设小高有8分邮票x张，墨莫有15分邮票y张，依题意得：81599x y+=,解得35 xy=⎧⎨=⎩所以小高有3张8分邮票.3．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶，问：大、小油桶各多少个？答案：大油桶3个，小油桶4个【解析】设有x个大油桶，y个小邮桶，依题意得：8544x y+=,解得34 xy=⎧⎨=⎩所以有3个大油桶，4个小邮桶.4．有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个【解析】设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：127150x y+=,解得96xy=⎧⎨=⎩或218xy=⎧⎨=⎩所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个.5．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候，若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？ 答案：27声【解析】设它们白天相遇了x 次，晚上相遇了y 次，依题意得：3561x y +=．为使得波斯猫叫的少，x 应尽量大，y 尽量小，且x 、y 均不能超过15，符合的解为125x y =⎧⎨=⎩对应的波斯猫叫了12×1+5×3=27声．6．A 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有{的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有多少名男职工？答案：12名【解析】设有x 名男职工，y 名女职工，则孩子有()13x y +名，依题意得： ()1131062163x y x y ++⨯+=，整理得：1512216x y +=，化简得：5472x y +=，解得：123x y =⎧⎨=⎩或88x y =⎧⎨=⎩或413x y =⎧⎨=⎩，其中只有123x y =⎧⎨=⎩时，()13x y +才是整数，所以有12名男职工.7．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完．问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？答案：老师3名，男生3名，女生8名【解析】设搬书的老师有x 名，男生有y 名，女生有z 名，依题意得： 128510014x y z x y z ⎧⎨++=++=⎩,消去z 得7x+3y=30，解得33x y =⎧⎨=⎩所以z=14-3-3=8，所以搬书的老师有3名，男生3名，女生8名.8．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3无的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？答案：20分的邮票3张．40分的邮票3张，50分的邮票13张【解析】设买了x 张20分的邮票，y 张40分的邮票，z 张50分的邮票，依题意得：0.20.40.58.3589156x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩,消y 得z-x=10，解得010x z =⎧⎨=⎩，111x z =⎧⎨=⎩…，同时还要满足y 为整数，经验证当313x z =⎧⎨=⎩时，y=3符合题意，所以买了20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张．9．小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？ 答案：9封【解析】设她寄了x 封平信，y 封航空信，z 封挂号信，依题意得：81020122x y z ++=，化简得：451061x y z ++=.要想三种信的总和最少，很明显最贵的挂号信应该多．先令z=6，此时x 、y无自然数解；再令z=5，此时x 、y 无自然数解；再令z=4，解得41x y =⎧⎨=⎩以此类推，最后发现三种信的总和最少是9封信．10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元．小明去快餐店买汉堡．他付款100元？找回8元，请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？答案：4个【解析】设小明买了x 个鱼肉汉堡，y 个鸡肉汉堡，z 个牛肉汉堡，依题意得：79141008x y z ++=- ，解得只有x=4时，y 、z 有自然数解，所以小明买了4个鸡肉汉堡.拓展篇：1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问：张明共买了多少支铅笔？答案：10支或14支【解析】设张明买了x 支甲级铅笔，y 支乙级铅笔，根据题意列出方程：7350x y +=，由于方程两边除以3的余数相同，()733x y x mod +≡， ()5023mod ≡，所以x 除以3余2．又因为7x ≤50，所以x 是不超过7的自然数，只能取2或5．当x=2时，y=(50-2×7)÷3=12，x+y=14;当x=5时，y=(50 -5×7)÷3=5，x+y=10.所以张明共买了14支或10支铅笔.2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，请问：他一共要买多少盒？答案：26盒【解析】设买了大盒鸡蛋x 盒，小盒鸡蛋y 盒，则23x+16y=500.考虑方程两边除以16的余数，得：7x 除以16的余数是4．首先要求7x 是4的倍数，所以x 是4的倍数，验证x=4、8、12、…发现满足7x 除以16的余数是4的最小x值是12，相应的y 的值是14，即1214x y =⎧⎨=⎩由于12<16且14<23，所以方程没有其他自然数解，采购员一共买了12+14=26盒鸡蛋.3．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有27.1万人，如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？答案：15个步兵师，17个航空兵师【解析】设苏军参与战斗的有x 个步兵师，y 个航空兵师，依题意得：90008000271000x y +=,即98271x y +=，解得1517x y =⎧⎨=⎩． 所以苏军参与战斗的有15个步兵师，17个航空兵师．（当然本题中可以直接看做1个步兵师9千人，1个航空兵师8千人，总人数为271千人）．4．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？答案：76人【解析】设甲、乙两小队分别有x 人和y 人．则两队植树棵数分别为13x-1棵和lOy-2棵，由分析得：lOy-13x=1．将y=0、1、2、…代人方程验证x 是否是自然数，可以求出方程的y 值最小的一组自然数解43y x =⎧⎨=⎩此时每队的植树棵数均为38棵．方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y 值增加13且同时x值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是1713y x =⎧⎨=⎩，3023y x =⎧⎨=⎩，4333y x =⎧⎨=⎩…），每次“y 值增加13且同时x 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是4333y x =⎧⎨=⎩，所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有33+43=76人.5．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米【解析】设已经截出了x 根长36厘米的管子和y 根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长36x+24y 厘米．由(36，24)=l2，得：36x+24y 一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以36x+24y=380是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于36x+24一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而36x+24y=372的自然数解是存在的，如114x y =⎧⎨=⎩，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米，所以剩余部分最少是380-372=8厘米．6．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对l 题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分．请问：这次比赛共考了多少道题？答案：24道或21道【解析】设这个考生答对了x 道题，没答y 道题，答错z 道题，依题意得：527140371x y x z +=+-=⎧⎨⎩ ,化简并消去x 得6y+ 5z=58. 解得38y z =⎧⎨=⎩，82y z =⎧⎨=⎩代入原方程组得1338x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，1182x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以这次比赛共考了13+3+8=24道题或11+8+2=21道题．7．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头．请问：庙里共有多少个和尚？答案：718个【解析】设庙里有x 个大和尚，y 个小和尚，依题意得：()44160719x y x y ⨯+=⨯+⨯， 化简得247112x y =.所以112247x y =⎧⎨=⎩，224494x y =⎧⎨=⎩由于和尚总数是七百多人，所以庙里共有224+494=718个和尚.8．我国古代数学家张丘建在《算经>一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？答案：公鸡、母鸡、小鸡分别买0只、25只、75只；或者4只、18只、78只；或者8只、11只、81只；或者12只、4只、84只【解析】设公鸡、母鸡和小鸡分别买了x 只、y 只和z 只．依题意得： 1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩要求这个方程的自然数解，我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然数解的问题．我们选择“消去”z ：将第二个方程乘以3，然后减去第一个方程，得：14x+8y=200，即7x+4y=100，它的所有自然数解是025x y =⎧⎨=⎩,418x y =⎧⎨=⎩,811x y =⎧⎨=⎩,124x y =⎧⎨=⎩,它们对应的z 值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所有自然数解是：02575x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩和12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以我们有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只、母鸡25只、小鸡75只；公鸡4只、母鸡18只、小鸡78只；公鸡8只、母鸡11只、小鸡81只；公鸡12只、母鸡4只、小鸡84只．9．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买，钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔，请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒【解析】设圆珠笔买了x 盒，铅笔买了y 盒，钢笔买了z 盒，依题意得： 610490?67597x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩消去x 得z-3y=7． 解得110y z =⎧⎨=⎩，213y z =⎧⎨=⎩，……将y 、z 代入原方程组，发现只有213y z =⎧⎨=⎩时，x 有自然数解x=3．所以买了圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒.10．在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图8-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可似扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数，试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？答案：7个10个【解析】(1)第一问相当于求：当17x+lly+4z=100（其中x 、y 、z 是自然数）时，x+y+z 的最小值．令x+y+z=a ，用x+y+z 的17倍减去17x+lly+4z ，得6y+13z=17a-100.由17a-100是自然数，所以n 不能小于6．当a=6时，6y+13z=2，此方程无自然数解；当a=7时，6y+13z=19，此方程有自然数解11y z =⎧⎨=⎩相应的x=a-y-z=5．所以100分能获奖时，最少只要7个飞镖就够了，对应的中奖方案是：17分的靶子中5个，11分的靶子中1个，4分的靶子中1个．(2)第二问，同样设x+y+z=a ，由17x+lly+4z=120，用z+y+z 的17倍减去17x+lly+4z ，得6y+13z=17a-120.由17a-120是自然数，所以a 不能小于8．当a=8时，6y+13z=16，此方程无自然数解；当a=9时，6y+13z=33，此方程无自然数解；当a=10时，6y+13z=50，此方程有自然数解42y z =⎧⎨=⎩,相应的x=a-y-z=4．所以120分能获奖时，最少只要10个飞镖就够了，对应的中奖方案是：17分的靶子中4个，11分的靶子中4个，4分的靶子中2个．11.有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是10O 元？答案：不能【解析】设1分的有x 张，1角的有y 张，1元的有z 张，10元的有w 张，依题意得6010100100010000x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩①②由②-①得9y+99z+999w=9940，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元．12.妻妻卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了，请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包【解析】设卡莉娅买了巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y 包、z 包和w 包，则13x+17y+7.8z+10.4w=360．把系数都化成整数，得：65x+85y+39z+52w=1800．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数y 分为一组，其余未知数分为另一组：（65x+39z+52w ）+85y=l800．也就是13(5x+3y+4w)+85y=1800．令“u=5x+3y+4w ，则13u+85y=1800．它的自然数解只有6012u y =⎧⎨=⎩,所以卡莉娅共买了12包奶糖.13．卡莉娅、小高去超市买水果．卡莉娅买了2千克橘子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，小高买了3千克橘子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克橘子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱？答案：26.1元【解析】设1千克橘子x 元，1千克苹果y 元，1千克梨z 元，依题意得： 23428.535747.7x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②只要求6x+3y ，所以没必要把3个未知数都解出来．注意到7×①-4×②能把z 消掉，得2x+y=8.7，那么6x+3y=3×8.7=26.1．所以老师花了26.1元.14．红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．答案：12元【解析】设红笔的单价为a 元，蓝笔的单价为b 元，红笔买了x 支，蓝笔买了y 支，依题意得a+b=23且ax+bv=109无自然数解．解法一：枚举a 从12元到22元，发现只有1211a b =⎧⎨=⎩时，ax+by=109无解，所以红笔的单价是12元．解法二：利用结论：对于不定方程ax+by=c(a 、b 均为正整数且a 、b 互质)， 当c<ab-a-b 时，可能有自然数解，也可能没有自然数；当c=ab-a-b 时，无自然数解；当c>ab-a-b 时，一定有自然数解，有时为了计算方便还可以将ab-a-b 写成(a-1)（b-1）-1．本题中a+b=23是定值，那么如果a 、b 的乘积太小，ax+by=109就一定有自然数解，发现盘a 、b 的乘积最大时，即1211a b =⎧⎨=⎩时，12×11-12-11=109恰好是109，此时ax+by=109无自然数解，所以红笔的单价是12元.超越篇1．求不定方程35641625x y +=的所有自然数解．答案：x=19，y=15【解析】很明显y 一定是5的倍数，枚举5，10，15，…，可发现当y=15时有解1915x y =⎧⎨=⎩，很容易看出无其他自然数解.2．一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤，其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70%购入这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？答案：苹果10筐；梨8筐；桃子7筐【解析】设批发市场运进苹果x 筐，梨y 筐，桃子z 筐，依题意得： ()605545135530% 1.560 1.555 1.845638.1x y z x y z ++=⎧⎪⎨⨯⨯+⨯+⨯=⎪⎩化简得：121192713027.527709x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②①×3-②得6x+5.5y=104，整理得12x+lly=208，解得唯一的一组自然数解108x y =⎧⎨=⎩代入①得z=7．所以批发市场运进苹果10筐，梨8筐，桃子7筐(当然本题中，②-2.5×①可以直接解出z).3．雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四入桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其他两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位，请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张，三人桌19张，四人桌12张【解析】设图书馆有三人桌x 张，四人桌y 张，则两人桌有2y 张，依题意得：223111223417y x y y x y +++=⨯++ 化筒得3y=x+17，解得16x y =⎧⎨=⎩,47x y =⎧⎨=⎩…为符合三种桌子共五十多张，发现只有1912x y =⎧⎨=⎩这组解符合，因此图书馆两人桌有24张，三人桌19张，四人桌12张．4．采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A 种商品和若干个单价670元的B 种商品，其中B 种商品多于A 种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票，如果把A 、B 两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？答案：A 种商品3个，B 种商品12个【解析】设买了x 个A 种商品，y 个B 种商品，找回了z 张100元钞票，w 张10元钞票，依题意得：5906701901000067059091010000x y x y ++=⎧⎨++=⎩ (其中y>x ，O<w<10)两式相减得80x-80y+90w-90z=O ，即80(x-y)+90(w-z)=O ，亦即90(w-z)=80(y-x)，两边除以10得9(w-z)=8(y-x).由于等式的两边不等于O ，且w 比10小，所以w-z=8，依题意只能是w=9,z=1，代入原方程得：59067019010000 67059091010000x y x y ++++⎧⎨⎩== 解得312x y =⎧⎨=⎩，所以A 种商品买了3个，B 种商品买了12个.5．娄妻有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元，现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元【解析】设购买甲一件要x 元，乙一件要y 元，丙一件要z 元，丁一件要w 元，依题意得：531952421832665375x y z w x y z w x y z w +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩①②③注意到题目要求的是x+y+z+w ，所以完全可以不求x 、y 、z 、w 分别是多少，想办法整体求出．观察发现要直接接凑出x+y+z+w 或它的倍数并不容易，一个比较明显归显的是①+②-③可以求出x-z=3 ④可以用来调整x 和z 的系数．接着②+③可以让y 和w 的系数变的一样， 4x+7y+10z+7w=558． ⑤⑤+3×④得7x+7y+7z+7w=567，所以x+y+z+w=81．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元(当然本题可以直接看出3×①+4×②-2×③得到7x+7y+7z+7w=567).6．国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A 、B 、C 、D 、E 五种商品，并且必须正好把礼券用完．已知这五种商品每盒的价格和重量如下表，如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D 商品，共有多少种不同的买法？答案：3种【解析】很明显D 商品只能恰好买一盒，那么还要买10千克价值710元的物品，设买了A 商品a 件，B 商品b 件，C 商品c 件，E 商品e 件，依题意得1.5231070110190310710a b c e a b c e +++≤⎧⎨+++=⎩ 解得：0320a b c e =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩,2030a b c e =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩,3011a b c e =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以共有3种不同的买法．7．现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的同一边）答案：191克【解析】设用了x 个13克的砝码，y 个17克的砝码，要称的重量为c 克，依题意，就是求使13x+17y=c 无自然数解的c 的最大值．利用拓展篇第14题解法二中提到的结论，c 最大取(13-1)（17-1）-1=191时，13x+17y=c 无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克．8．现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次【解析】依题意，模拟倒几次后会发现，本题和不定方程：1.7x-4y=1和4y-1.7x=1的解有关系．先解出这两个不定方程：1.741x y -=解为：104x y =⎧⎨=⎩,5021x y =⎧⎨=⎩…4 1.71y x -=的解为：3013x y =⎧⎨=⎩,7030x y =⎧⎨=⎩… 其中104x y =⎧⎨=⎩这个解明显要小，下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1.倒满1.7升；2.1.7升倒入4升；3.倒满1.7升；4.1.7升倒人4升；5.倒满1.7升；6.1.7升倒入4升中，还剩1.1升；7.4升的倒人大桶里；8.1.1升倒人4升；9.倒满1.7升；10.1.7升倒入4升；11.倒满1.7升；12.1.7升倒人4升，还剩0.5升；13.4升的倒人大桶里；14.0.5升倒入4升；15.倒满1.7升；16.1.7升倒人4升；17．倒满1.7升；18.1.7升倒人4升；19.倒满1.7升；20.1.7升倒入4升，还剩1.6升；21.4升的倒人大桶里；22.1.6升倒入4升；23.倒满1.7升；24.1.7升倒入4升；25.倒满1.7升；26.倒入4升，还剩1升，可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的1.7x 减去倒出的4y 的差，那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．。
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热他爱以数几学乎，神就一是般热的爱数生学活； 思研维究力数,最学先，用就方是程享说受明人了生。 行星的运动和图象,慧星的 ------法国数学家、文学家、哲学家，解析几何创始人： 轨道和大海的潮汐.
摘自《Newton传记》
2020年1元，小客车每
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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辆需付款300元，则怎样派车比较合理？
本周六预备12、13班100人春 游，乘坐大、小两种客车。每 辆大客车20座，每辆小客车10 座，试问：在每辆车都乘满的 情况下，正好一次运走全体师 生应派大、小车各几辆？
2020年10月2日
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问题2
今有货物10吨，要用大、小两 种卡车运走，如果每辆大车能装2 吨货物，每辆小车只能装1吨货物， 试问：在每辆车都装满的情况下， 正好一次运走全部货物应派大小 车各几辆？
人去一家餐馆吃饭,共花去50 元,其中每位先生花3元,每位 女士花2元,小孩每人花1元。 问：先生、女士、小孩各几人？
摘自德国哲学家卡尔·马克思《数学手稿》
2020年10月2日
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问题7:用60米长的铁丝网 围成一个长方形的小花园, 为便于测量,要求长与宽都 是整数,怎样围才能使面积 最大？
2020年10月2日
（2）用方程思想设计一个招生方案，使男女
生比例恰当，说明你的设计理由。
2020年10月2日
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含有两个未知数的一次方程叫做 二元一次方程。通常有无数组解 能够使二元一次方程两边的值相等 的未知数x，y的一组值，
叫做这个方程的一个解
二元一次方程2x+y=10的 解的表示方法
概念
数值组：
（4,2),（5,0),
(3,4),(1.2,4.4)… 大括号： x=4 x=5
y=2 y=0…… 列表： x 4 5 …… y 2 0 ……
2020年10月2日
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问题5:
把一根长10米的铁丝结成 0.8米和 0.6米两种不同规格 的小段且没有剩余（ 不计损 失 ），问有多少种不同的截 法？
2020年10月2日
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问题6: 先生、女士、小孩30
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演讲完毕，谢谢观看！
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2020年10月2日
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问题3
今有鸡兔同笼，脚 数共20，问鸡兔各几何？
2020年10月2日
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问题4
建平实验预备13班应当是一个管理严格、 实行流动、培养自理自学能力的超常教育实验 班，稳定人数42人，试用方程解决下列问题：
（1）若88年生的学生比89年生的2倍还多6人，
则分别在这两年生的学生各几人？