全国中考数学反比例函数的综合中考真题汇总及答案

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中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)

中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)

中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题1.若点()1,2A x ,()2,1B x -和()3,4C x 都在反比例函数8y x=的图像上,则1x ,2x 和3x 的大小关系是( ) A.123x x x <<B.231x x x <<C.132x x x <<D.213x x x <<2.若点()26-,在反比例函数ky x=的图象上,则下列说法正确的是( ) A.该函数的图象经过点()34--,B.该函数的图象位于第一、三象限C.当0x >时,y 的值随x 值的增大而增大D.当1x >-时,4y >3.如图,在同一平面直角坐标系中函数y ax a =+与函数ay x=的图象可能是( ) A. B. C. D.4.如图,点A 是双曲线()160y x x =-<上的一点,点B 是双曲线()60y x x=-<上的一点,AB 所在直线垂直x 轴于点C ,点M 是y 轴上一点,连接MA 、MB ,则MAB △的面积为( )A.5B.6C.10D.165.如图,点A ,B 为反比例函数()0ky x x=>的图象上的两点,且满足45AOB ∠=︒,若点A 的坐标为()3,5,则点B 的坐标是( ).A.15215,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1010,2⎛ ⎝⎭C.()8,2D.()8,36.如图,已知点A 、B 分别在反比例函数y =1x (x >0),y =-4x(x >0)的图象上,且OA⊥OB ,则OBOA的值为( )A.4B.2C.14D.127.如图,在ABC 中2AC BC == 90ACB ∠=︒ AC x ∥轴 点D 是AB 的中点 点C 、D 在(k 0,x 0)ky x=≠>的图象上 则k 的值为( )A.1-B.2-C.1D.28.已知蓄电池的电压为定值(电压三星近总度阻) 使用蓄电池时 电流(单位:A )与电阻尺(单位:Ω)是反比例函数关系 它的图象如图所示 下列说法不正确的是( )A.函数解析式为60I R=B.蓄电池的电压是C.当6ΩR =时 8A I =D.当10A I ≤时 6R ≥Ω9.如图 在平面直角坐标系中直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点 以AB 为边在第一象限作正方形ABCD 点D 在双曲线()0ky k x=≠上.将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后 点C 恰好落在该双曲线上 则a 的值( )A.1B.2C.3D.410.如图 直线22y x =-与x 轴 y 轴分别交于点A B 与反比例函数()0ky k x=>图像交于点C .点D 为x 轴上一点(点D 在点A 右侧) 连接BD 以BA BD 为边作ABDE E 点刚好在反比例函数图像上 设(),E m n 连接EC DC 若1()2ACED S AD AD n =+四边形 则k 的值为( )A.8B.10C.12D.1611.如图 直线y kx =与双曲线3y x -=在同一坐标系中如图所示 则不等式3x-<的解集为( )A.01x <<B.1x <-C.1x <-或01x <<D.10x -<<或1x >12.智能手机已遍及生活中的各个角落 手机拍照功能也越来越强 高档智能手机还具有调焦(调整镜头和感光芯片的距离)的功能.为了验证手机摄像头的放大率(摄像头的放大率是指成像长度与实物长度的比值 也可计算为像距与物距的比值) 小明用某透镜进行了模拟成像实验 得到如图所示的像距v 随物距u 变化的关系图像 下列说法不正确的是( )A.当物距为45.0cm 时 像距为13.0cmB.当像距为15.0cm 时 透镜的放大率为2C.物距越大 像距越小D.当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm13.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪 其电路图如图1所示 其中定值电阻110ΩR =2R 是一个压敏电阻 用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中放入水箱底部 受力面水平 承受水压的面积S 为0.012m 压敏电阻的阻值随所受液体压力F 的变化关系如图2所示(水深h 越深 压力F 越大) 电源电压保持6V 不变 当电路中的电流为0.3A 时 报警器(电阻不计)开始报警 水的压强随深度变化的关系图象如图3所示(参考公式:UI R=1000Pa 1kPa =).则下列说法中不正确的是( )2R F pS =A.当水箱未装水()时 压强p 为0kPaB.当报警器刚好开始报警时 水箱受到的压力F 为40NC.当报警器刚好开始报警时 水箱中水的深度h 是0.8mD.若想使水深1m 时报警 应使定值电阻1R 的阻值为 二、填空题14.一个圆柱形蓄水池的底面半径为x cm 蓄水池的侧面积为40π2cm 则这个蓄水池的高h (cm )与底面半径x (cm )之间的函数关系式为_____.15.在反比例函数12my x-=的图象上的图象在二、四象限 则m 的取值范围是_______. 16.若点()11,A y -、21,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()31,C y 都在反比例函数21x k y +=(k 为常数)的图象上 则1y 、2y 、3y 的大小关系为_____.17.如图 点(3,1)P -是反比例函数m y x =的图象上的一点 设直线y kx =与双曲my x=的两个交点分别为P 和P 当mkx x>时 写出x 的取值范围_____.18.如图 在平面直角坐标系xOy 中正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA =10 点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点 将⊥OAD 沿直线OD 折叠后得到⊥OA ′D 若反比例函数y kx=(k ≠0)的图象经过A ′点 则k 的值为_____. 0m h =12Ω19.如图 在平面直角坐标系中直线12y k x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B 与双曲线2(0)k y x x=>交于点C 连接OC .若52,sin 5OBC S BOC =∠=△ 则12k +的值是______.20.如图 点1A 2A 3A …在反比例函数()10y x x=>的图象上 点1B 2B 3B … n B 在y 轴上 且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=直线y x =与双曲线1y x=交于点1A 111B A OA ⊥ 2221B A B A ⊥ 3323B A B A ⊥ … 则2023B 的坐标是________.三、解答题21.如图所示 一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于两点(1),A n (2,1)B -- 与y 轴相交于点C .(1)求反比例函数和一次函数解析式; (2)直接写出:不等式mkx b x+>解集是______; (3)依据相关数据求AOB 的面积.22.如图 菱形OABC 的边OA 在y 轴正半轴上 点B 的坐标为()48,.反比例函数11k y x=的图象经过菱形对角线AC OB ,的交点D 设直线OC 的解析式为22y k x =.(1)求反比例函数的解析式; (2)求菱形OABC 的边长;(3)请结合图象直接写出不等式120k k x x-<的解集. 23.如图▱OABC 的顶点O 与坐标原点重合 边OA 在x 轴正半轴上 60AOC ∠=︒2OC = 反比例函数()0ky x x=>的图像经过顶点C 与边AB 交于点D.(1)求反比例函数的表达式.(2)尺规作图:作OCB ∠的平分线交x 轴于点E.(保留作图痕迹 不写作法) (3)在(2)的条件下 连接DE 若DE CE ⊥ 求证:AD AE =. 24.如图 已知一次函数26y x =+与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A m 与x 轴交于点B .(1)填空:m 的值为______ 反比例函数的解析式为______; (2)直接写出当0x >时 26kx x+<的解集; (3)点P 是线段AB 上一动点(不与A 、B 点重合) 过P 作直线PM x ∥轴交反比例函数的图象于点M 连接BM .若PMB △的面积为S 求S 的取值范围.25.如图 已知抛物线2y x bx =+与x 轴交于O (4,0)A 两点 点B 的坐标为(0,3)-. (1)求抛物线的对称轴;(2)已知点P 在抛物线的对称轴上 连接OP BP .若要使OP BP +的值最小 求出点P 的坐标;(3)将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折 其余部分保持不变 得到一个新的图象.当直线(0)y x m m =+≠与这个新图象有两个公共点时 在反比例函数y mx=的图象中y 的值随x 怎样变化?判断并说明理由.26.如图 在平面直角坐标系中正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数()10,0ky k x x=>>的图象上 边AB 在x 轴上 点F 在y 轴上 已知23AB =.(1)判断点E 是否在该反比例函数的图象上 请说明理由;(2)求出直线EP :()20y ax b a =+≠的解析式 并根据图象直接写出当0x >时 不等式kax b x+>的解集. 27.如图① 有一块边角料ABCDE 其中AB BC DE EA 是线段 曲线CD 可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现:90A E ∠=∠=︒ 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4.(1)小宁把A B C D E 这5个点先描到平面直角坐标系上 记点A 的坐标为()1,0-;点B 的坐标为()1,1-.请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE ; (2)求直线BC 曲线CD 的函数表达式;(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP 其中M N 在AE 上(点M 在点N 左侧)点P 在线段BC 上 点Q 在曲线CD 上.若矩形的面积是53则=_________.参考答案1.答案:B解析:将三点坐标分别代入函数解析式8y x=得: 182x = 解得14x =; 28-1x =解得28x =-; 384x =解得; 824-<<故选:B. 2.答案:C解析:⊥点()26-,在函数ky x=的图象上 ⊥2(6)120k =⨯-=-< ⊥函数ky x=位于第二、四象限 在每个象限内 y 的值随x 的增大增大 ⊥()341212-⨯-=≠-⊥该函数的图象不经过点()34--,把=1x -代入12y x=求得12y = ⊥当10x -<<时 12y > 综上 只有选项C 说法正确 故选:C. 3.答案:A解析:当0a >时 一次函数图像经过第一、二、三象限 反比例函数图像位于一、三象限 可知A 符合题意;32x =231x x x ∴<<当0a <时 一次函数图像经过第二、三、四象限 反比例函数图像位于二、四象限 可知B C D 不符合题意.故选:A.4.答案:A解析:如图所示 作MN BA ⊥交BA 的延长线于N则12AMB S BA MN =⋅设点A 的坐标为16a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, <0aAB 所在直线垂直x 轴于点CB ∴点坐标为6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,16610AB a a a ⎛⎫∴=---=- ⎪⎝⎭ MN a =()11101105222ABM S AB MN a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⨯-⨯=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:A.5.答案:A解析:将OA 绕O 点顺时针旋转90︒到OC 连接AB 、CB作AM y ⊥轴于MCN x ⊥轴于N点A 的坐标为()3,53AM ∴= 5OM =45AOB ∠=︒45BOC ∠=︒∴在AOB 和COB △中OA OC AOB COBOB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AOB COB ∴△≌△AB CB ∴=90AOM AON CON AON ∠+∠=︒=∠+∠AOM CON ∴∠=∠ 在AOM 和CON 中AOM CON AMO ONCOA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (AAS)AOM CON ∴△≌△3CN AM ∴== 5ON OM == (5,3)C ∴-点A 为反比例函数(0)k y x x=>图象上的点 3515k ∴=⨯= 15y x ∴=设B 点的坐标为15(,)m m AB CB =22221515(3)(5)(5)(3)m m m m ∴-+-=-++解得215m =(负数舍去)15215,B ⎛∴ ⎝⎭故选A.6.答案:B解析:作AC y ⊥轴于C BD y ⊥轴于D 如图点A 、B 分别在反比例函数1(0)y x x => 4(0)y x x=->的图象上 11122OAC S ∆∴=⨯= 1|4|22OBD ∆=⨯-=OA OB ⊥90AOB ∠=︒∴90AOC BOD ∴∠+∠=︒AOC DBO ∴∠=∠Rt AOC Rt OBD ∴∆∆∽ ∴212()2AOC OBD S OA S OB ∆∆== ∴12OA OB =. ∴2OB OA=. 故答案为B. 7.答案:B解析:设(0,)A b 根据题意(2,)C b - (2,2)B b -+点D 是AB 的中点(1,1)D b ∴-+点C 、D 在(k 0,x 0)k y x=≠>的图象上 2(1)k b b ∴=-=-+解得1b =22k b ∴=-=-故选:B.8.答案:C解析:设图象过蓄电池的电压是A 、B 选项正确 不符合题意;当=6ΩR 时 (A 6010)6I ==∴C 选项错误 符合题意;当10I =时 6R =由图象知:当10A I ≤时 6R ≥Ω∴D 选项正确 不符合题意;故选:C.9.答案:B解析:作CE y ⊥轴于点E 交双曲线于点G 作DF x ⊥轴于点F在24y x =-+中令0x = 解得4y =∴B 的坐标是(0,4)令0y = 解得2x =∴A 的坐标是(2,0)kI R =(5,12)60k ∴=60I R ∴=∴60V ∴4OB ∴= 2OA =90BAD ∠=︒90BAO DAF ∴∠+∠=︒直角ABO △中90BAO OBA ∠+∠=︒DAF OBA ∴∠=∠在OAB △和FDA △中DAF OBA BOA AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)OAB FDA ∴≌△△同理 OAB FDA BEC ≌≌△△△ 4AF OB EC ∴=== 2DF OA BE ===∴D 的坐标是(6,2) C 的坐标是(4,6)点D 在双曲线(0)k y k x=≠上 6212k ∴=⨯=∴函数的解析式是:12y x =把6y =代入12y x=得:2x = 422a ∴=-=故选B.10.答案:C解析:直线与x 轴 y 轴分别交于点A B(1,0)A ∴ (0,2)B -作EF x ⊥轴于F 如图所示:22y x =-四边形是平行四边形在和中E 点刚好在反比例函数图像上设C 的纵坐标为hABDE AE BD ∴=//DE AB DAE ADB ∴∠=∠AEF △DBO △EAF BDO AFE DOB AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)AEF DBO ∴≌△△2EF OB ∴==AF OD =1DF OA ∴==(,)E m n 2m AD ∴=+2n =2(2)k mn AD ∴==+122AD k ∴=-//DE BC AED CED S S ∴=△△()11122222ACD CED ACD AED ACED S S S S S AD h AD AD h ∴=+=+=⋅+⋅=+四边形△△△△()12ACED S AD AD n =+四边形122h AD k ∴==-C 的纵坐标为代入得解得反比例函数图像经过点C 解得 20k =(舍去) 12k∴=故选:C.11.答案:D解析:有题意可知 当3y =时 33x= 解得=1x - ∴直线y kx =与双曲线3y x=在第二象限交点的坐标为1,3)- 由中心对称可得 直线y kx =与双曲线3y x=在第四象限交点的坐标为3)- ∴观察图象可得 不等式3kx x<的解集为10x <<或1x >. 故选:D.12.答案:B解析:由函数图象可知:当物距为45.0cm 时 像距为13.0cm 故选项A 说法正确;由函数图象可知:当像距为15.0cm 时 物距为300cm . 放大率为15.00.530.0= 故选项B 说法错误;由函数图象可知:物距越大 像距越小 故选项C 说法正确;由题意可知:当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm 故选项D 说法正确 故选:B.13.答案:B解析:A.由图3得:当0h =时 0p = 故此项说法正确;122-22y x =-12222x -=-14x k =11(,2)42C k k ∴-(0)k y k x=>11(2)42k k k ∴-=112k =B.当报警器刚好开始报警时 260.310R =+ 解得210R =Ω 由图2可求得:2800R F =80010F∴= 解得80F N = 故此项说法错误; C.当报警器刚好开始报警时 由上得80F N = 则有800.01p =⨯ 8P p k a ∴= 由图3求得10p h = 810h = 解得:0.8h = 故此项说法正确;D.当报警器刚好开始报警时:1260.3R R =+ 1220R R ∴+=Ω 当1h =时 10110kPa p =⨯= 100000.01100F N ∴=⨯= 28008100R ==Ω 120812R ∴=-=Ω 故此项说法正确. 故选:B.14.答案:20h x = 解析:根据题意 得240x h ππ⋅= ⊥20h x=. 故答案为:20h x=. 15.答案:12m > 解析:由题意得 反比例函数12m y x -=的图象在二、四象限内 则120m -< 解得12m >. 故答案为12m >. 16.答案:213y y y << 解析:反比例函数2(1k k y x+=为常数) 210k +> ∴该函数图象在第一、三象限 在每个象限内y 随x 的增大而减小点1(1,)A y -、1(4B 2)y 、3(1,)C y 都在反比例函数2(1k k y x +=为常数)的图象上 114-<- 点A 、B 在第三象限 点C 在第一象限213y y y ∴<<故答案为:213y y y <<.17.答案:-3<x <0或x >3 解析:⊥直线y =kx 与双曲线y =m x的两个交点分别为P 和P ′ P (-3 1) ⊥P ′的坐标为(3 -1)当mx >kx 时 x 的取值范围为-3<x <0或x >3故答案为:-3<x <0或x >3. 18.答案:48解析:如图所示:过A '作EF OC ⊥于F 交AB 于E⊥90OA D '∠=︒90OA F DA E ∴∠'+∠'=︒⊥90A F AOF O ∠'+∠'=︒D AOF AE ∴'=∠'∠D A FO AE '=∠∠'A OF DA E ∴''∠△△设A '(m n )OF m ∴= A F n '=.正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA =10点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点∴ 103DE m = 10A E n '=-.310103m n m m ==-- 解得:m =6 n =8. ∴A '(6,8) ∴ 反比例函数中k =xy (0k ≠)=48 故答案为:48.19.答案:9解析:据题意可知(0,2)B 设(,)Cx y 52,sin OBC S BOC =∠=△1222x ∴⨯= 52xOC = 解得2,25x OC ==2225OC x y =+=即2425y +=得4y = 故(2,4)C 将(2,4)C 代入直线12y k x =+ 双曲线2(0)k y x x => 得到 121,8k k == 故12189k k +=+= 故答案为:9.20.答案:(0,22023解析:联立1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =由题意可知145AOB ∠=︒111B A OA ⊥11OA B ∴△为等腰直角三角形1122OB OA ∴==过2A 作22A H OB ⊥交y 轴于H 则容易得到21A H B H = 设21A H B H x == 则()2,2A x x +()21x x ∴+=解得121x = 221x =-(舍去)2121A H B H ∴== 1212222B B B H ==2222222OB ∴=+=同理可得323OB =则2n OB n =即(0,2n B n(20230,22023B ∴故答案为:(0,22023. 21.答案:(1)2y x = 1y x =+ (2)1x >或20x -<<(3)32解析:(1)反比例函数m y x =的图象过(2,1)--∴反比例函数的解析式为:2y x = 点(1),A n 在反比例函数图象上∴12n ⨯=∴2n =∴点A 的坐标为(1,2)将点A B 坐标代入一次函数y kx b =+中得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为:1y x =+.(2)根据图象可知 不等式0m kx b x+>>的解集是:1x >或20x -<<. 故答案为:1x >或20x -<<; (3)过点A 作AG y ⊥轴于点G 过点B 作BH y ⊥轴于点H 如下图所示:一次函数1y x =+与y 轴相交于点C∴C 点坐标为(0,1)∴1OC =A 点坐标为(1,2)∴1AG =B 点坐标为(2,1)--∴2BH =∴11123222AOB AOC BOC S S S ⨯⨯=+=+=△△△. 22.答案:(1)18y x = (2)5 (3)463x <或63x << 解析:(1)⊥菱形OABC 的对角线交于点D⊥OD DB =⊥点B 的坐标为()48,⊥点D 的坐标为()24, 又⊥反比例函数11k y x=经过点D ⊥1248k =⨯= ⊥18y x =; (2)过点B 作BE y ⊥轴于点E设OA AB a == 则8AE a =- 4BE =在Rt ABE 中222BE AE AB += 即()22248x x +-= 解得:5x =⊥菱形OABC 的边长为5;(3)⊥点B 的坐标为()48, 5BC =⊥点C 的坐标为()43,代入22y k x =得:234k = 解得:234k =⊥234y x =令1y y = 则834x x = 解得:63x =±结合图象 不等式120k k x x -<的解集为463x <或463x <<.23.答案:(1))30y x =>(2)见解析(3)见解析解析:(1)过点C 作CF OA ⊥于点F 如解图所示.在Rt COF △中2OC = 60COF ∠=︒30sin 6023CF C ∴=⋅==︒1cos60212OF OC =⋅︒=⨯=.(1,3C ∴. 把(3C 代入反比例函数()0ky x x =>中得3k =∴反比例函数的表达式为)30y x =>.(2)如解图所示 所作射线CE 即为所求.(3)证明:在OABC 中//OC AB //CB OA .60AOC ∠=︒120OCB OAB ∴∠=∠=︒. CE 平分OCB ∠60OCE BCE OEC ∴∠=∠=∠=︒.DE CE ⊥90CED ∴∠=︒.180609030AED ∴∠=︒-︒-︒=︒.1801203030ADE ∴∠=︒-︒-︒=︒.AED ADE ∴∠=∠.AD AE ∴=.24.答案:(1)8 8y x= (2)01x << (3)S 的取值范围是2504S <≤ 解析:(1)⊥一次函数26y x =+的图象经过点()1,A m ⊥268m =+=⊥点()18A ,⊥反比例函数()0k y x x =>的图象经过点()18A , ⊥188k =⨯=⊥反比例函数的解析式为8y x=; 故答案为:8 8y x =;(2)观察图象得 26k x x+<的解集为1x <<; (3)设点P 的纵坐标为n ⊥点P 在线段AB 上 点M 在8y x =的图象上 ⊥0n << 点P 的横坐标为62n -⊥PM x ∥轴⊥点M 的坐标为8n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⊥862n MP n -=. ⊥()21186125322244PMBn S MP n n n n -⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=--+ ⎪⎝⎭. ⊥08n << 且104-<⊥当03n <<时 S 随n 的增大而增大 当38n ≤<时 S 随n 的增大而减小. ⊥当3n =时 △的面积最大 最大值为254 ⊥S 的取值范围是2504S <≤. 25.答案:(1)抛物线的对称轴为直线2x =(2)点P 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)y 的值随x 的增大而增大解析:(1)由题意得:2440b +=4b ∴=-∴函数关系式为:24y x x =-∴对称轴为:4222b x a -=-=-=; (2)由题意得:OP PB +的值最小 实际就是在同一直线一旁有两点 在直线上求点只要取O 点关于直线2x =对称的点 过AB 的直线与直线的交点就是点P设过AB 的直线为 由在上()4,0A 2x =3y kx =-()4,0B 3y kx =-得34k =334AB y x =-P 在直线2x =上332342y ∴=⨯-=-32,2P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭; (3)24y x x =-在x 轴下方的部分沿x 轴翻转当直线()0y x m m =+≠有两个不相同的解0∴∆> 2340m -⨯> 得94m <又0> 904m ∴<< 在反比例函数m y x=中 904m k <=< y 随x 的增大而减小. 26.答案:(1)点E 在该反比例函数的图象上 理由见解析(2)39y x =+ 323x <<解析:(1)六边形ABCDEF 为正六边形 23AB =23AB AF ∴== 60FAO =︒cos 603OA AF ∴=⋅︒= sin603AF =⋅︒=()0,3F ∴ )3,0A 连接PF PA六边形ABCDEF 为正六边形PE PF PA PB ∴=== 60EPF FPA APB ∠=∠=∠=︒EFP ∴△ FAP △ ABP △为等边三角形23AF PF ∴==()23,3P ∴ 把()23,3P 代入1k y x =得:23=解得:63k =043k ∴=-∴反比例函数表达式为163y x=. EFP △ FAP △为等边三角形∴点E 和点A 关于PF 对称)3,6E ∴ 把3x =代入163y x =得:13663y == ∴点E 在该反比例函数的图象上; (2)把()3,6E ()23,3P 代入()20y ax b a =+≠得: 6333a b a b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 解得:39a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴直线EP 的解析式为:39y x =+()3,6E ()23,3P由图可知 当323x <<时 k b x +>. 27.答案:(1)见解析(2)直线BC 的函数表达式3522y x =曲线的函数表达式4y x= (3)72 解析:(1)根据点A 的坐标为()1,0- 点B 的坐标为()1,1- 补全x 轴和y 轴 90A E ∠︒∠== 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4 ()1,4C ∴ ()4,1D根据AB BC DE EA 是线段 曲线CD 是反比例函数图象的一部分 画出图形ABCDE如图所示 (2)设线段BC 的解析式为y kx b =+ 把()1,1B - ()1,4C 代入得 14k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得 3252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3522y x ∴=+设曲线CD 的解析式为'k y x =把()1,4C 代入得 '41k = '4= 4y x ∴=; (3)设(),0M m 则35,22P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 435,352222Q m m ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭3522PM m ∴=+ 43522m m =-+354352222PM PQ m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭23554223m m ∴--= 2915140m m ∴+-= 23m ∴= 或73m =-(舍去) 32572322PM ∴=⨯+=. 故答案为:72.。

全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总含答案

全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总含答案

全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总含答案一、反比例函数1.如图,直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A(1,4),B两点,延长AO交反比例函数图象于点C,连接OB.(1)求k和b的值;(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;(3)在y轴上是否存在一点P,使S△PAC= S△AOB?若存在请求出点P坐标,若不存在请说明理由.【答案】(1)解:将A(1,4)分别代入y=﹣x+b和得:4=﹣1+b,4= ,解得:b=5,k=4(2)解:一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为:x>4或0<x<1(3)解:过A作AN⊥x轴,过B作BM⊥x轴,由(1)知,b=5,k=4,∴直线的表达式为:y=﹣x+5,反比例函数的表达式为:由,解得:x=4,或x=1,∴B(4,1),∴,∵,∴,过A作AE⊥y轴,过C作CD⊥y轴,设P(0,t),∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP(CD+AE)=|t|=3,解得:t=3,t=﹣3,∴P(0,3)或P(0,﹣3).【解析】【分析】(1)由待定系数法即可得到结论;(2)根据图象中的信息即可得到结论;(3)过A作AM⊥x轴,过B作BN⊥x轴,由(1)知,b=5,k=4,得到直线的表达式为:y=﹣x+5,反比例函数的表达式为:列方程,求得B(4,1),于是得到,由已知条件得到,过A作AE⊥y轴,过C作CD⊥y轴,设P(0,t),根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.2.如图,已知A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?(2)求一次函数解析式及m的值;(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.【答案】(1)解:当﹣4<x<﹣1时,一次函数大于反比例函数的值;(2)把A(﹣4,),B(﹣1,2)代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y= x+ ,把B(﹣1,2)代入y= 得m=﹣1×2=﹣2;(3)解:如下图所示:设P点坐标为(t,t+ ),∵△PCA和△PDB面积相等,∴• •(t+4)= •1•(2﹣t﹣),即得t=﹣,∴P点坐标为(﹣,).【解析】【分析】(1)观察函数图象得到当﹣4<x<﹣1时,一次函数图象都在反比例函数图象上方;(2)先利用待定系数法求一次函数解析式,然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值;(3)设P点坐标为(t, t+ ),利用三角形面积公式可得到• •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣),解方程得到t=﹣,从而可确定P点坐标.3.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:正方形ABCD的边长为.(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:设正方形边长为a,易得3a= ,解得a= ,此时正方形的边长为.∴所求“伴侣正方形”的边长为或(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,易证△ADE≌△BAO≌△CBF.∵点D的坐标为(2,m),m<2,∴DE=OA=BF=m,∴OB=AE=CF=2﹣m.∴OF=BF+OB=2,∴点C的坐标为(2﹣m,2).∴2m=2(2﹣m),解得m=1.∴反比例函数的解析式为y=(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D 的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.4.如图,点P( +1,﹣1)在双曲线y= (x>0)上.(1)求k的值;(2)若正方形ABCD的顶点C,D在双曲线y= (x>0)上,顶点A,B分别在x轴和y轴的正半轴上,求点C的坐标.【答案】(1)解:点P(,)在双曲线上,将x= ,y= 代入解析式可得:k=2;(2)解:过点D作DE⊥OA于点E,过点C作CF⊥OB于点F,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC,∠CBA=90°,∴∠FBC+∠OBA=90°,∵∠CFB=∠BOA=90°,∴∠FCB+∠FBC=90°,∴∠FBC=∠OAB,在△CFB和△AOB中,,∴△CFB≌△AOB(AAS),同理可得:△BOA≌△AED≌△CFB,∴CF=OB=AE=b,BF=OA=DE=a,设A(a,0),B(0,b),则D(a+b,a)C(b,a+b),可得:b(a+b)=2,a(a+b)=2,解得:a=b=1.所以点C的坐标为:(1,2).【解析】【分析】(1)由待定系数法把P坐标代入解析式即可;(2)C、D均在双曲线上,它们的坐标就适合解析式,设出C坐标,再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB,代入解析式得b(a+b)=2,a(a+b)=2,即可求出C坐标.5.如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2).(1)求反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】(1)解:设反比例函数的解析式为(k>0)∵A(m,﹣2)在y=2x上,∴﹣2=2m,∴解得m=﹣1。

全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总附答案解析

全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总附答案解析

全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总附答案解析一、反比例函数1.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,m)和B(﹣8,﹣2),与y轴交于点C.(1)m=________,k1=________;(2)当x的取值是________时,k1x+b>;(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:S△ODE=3:1时,求点P的坐标.【答案】(1)4;(2)﹣8<x<0或x>4(3)解:由(1)知,y1= x+2与反比例函数y2= ,∴点C的坐标是(0,2),点A 的坐标是(4,4).∴CO=2,AD=OD=4.∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12,∵S四边形ODAC:S△ODE=3:1,∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4,即OD•DE=4,∴DE=2.∴点E的坐标为(4,2).又点E在直线OP上,∴直线OP的解析式是y= x,∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4 ,2 ).【解析】【解答】解:(1)∵反比例函数y2= 的图象过点B(﹣8,﹣2),∴k2=(﹣8)×(﹣2)=16,即反比例函数解析式为y2= ,将点A(4,m)代入y2= ,得:m=4,即点A(4,4),将点A(4,4)、B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+b,得:,解得:,∴一次函数解析式为y1= x+2,故答案为:4,;(2)∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,4)和B(﹣8,﹣2),∴当y1>y2时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4,故答案为:﹣8<x<0或x>4;【分析】(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将B坐标代入反比例函数解析式中,求出k2的值,确定出反比例解析式,再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值,确定出A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值;(2)由A与B 横坐标分别为4、﹣8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可;(3)先求出四边形ODAC的面积,由S四边形ODAC:S△ODE=3:1得到△ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得.2.阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值。

中考数学反比例函数的综合题试题附答案

中考数学反比例函数的综合题试题附答案

中考数学反比例函数的综合题试题附答案一、反比例函数1.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(﹣2,3)和点B(m,﹣2).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)直线x=1上有一点P,反比例函数图象上有一点Q,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,直接写出点Q的坐标.【答案】(1)解:∵点A(﹣2,3)在反比例函数y= 的图形上,∴k=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数的解析式为y=﹣,∵点B在反比例函数y=﹣的图形上,∴﹣2m=﹣6,∴m=3,∴B(3,﹣2),∵点A,B在直线y=ax+b的图象上,∴,∴,∴一次函数的解析式为y=﹣x+1(2)解:∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,∴AB=PQ,AB∥PQ,设直线PQ的解析式为y=﹣x+c,设点Q(n,﹣),∴﹣ =﹣n+c,∴c=n﹣,∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣,∴P(1,n﹣﹣1),∴PQ2=(n﹣1)2+(n﹣﹣1+ )2=2(n﹣1)2,∵A(﹣2,3).B(3,﹣2),∴AB2=50,∵AB=PQ,∴50=2(n﹣1)2,∴n=﹣4或6,∴Q(﹣4. )或(6,﹣1)【解析】【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点B的坐标,再用待定系数法求出直线解析式;(2)先判断出AB=PQ,AB∥PQ,设出点Q的坐标,进而得出点P的坐标,即可求出PQ,最后用PQ=AB建立方程即可得出结论.2.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(2)若某函数是反比例函数y= (k>0),他的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________,写出符合题意的其中一条抛物线解析式________,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________.【答案】(1)解:如图1,当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴上时,∵OC=0D=1,∴正方形ABCD的边长CD= ;∠OCD=∠ODC=45°,当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,设小正方形的边长为a,易得CL=小正方形的边长=DK=LK,故3a=CD= .解得a= ,所以小正方形边长为,∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或(2)解:如图2,作DE,CF分别垂直于x、y轴,易知△ADE≌△BAO≌△CBF此时,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m,∴OF=BF+OB=2,∴C点坐标为(2﹣m,2),∴2m=2(2﹣m),解得m=1.反比例函数的解析式为y= .(3)(3,4);y=﹣ x2+ ;偶数【解析】【解答】解:(3)实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合①当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;②当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,③当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在④当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;⑤当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时,另一个顶点C的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣;⑥当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;∵由抛物线的伴侣正方形的定义知,一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的,∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.【分析】解答此题时,要特别注意认真读题,分析题意,注意已知条件点A,B分别是x 轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点。

中考数学《反比例函数》专项复习综合练习题-附含答案

中考数学《反比例函数》专项复习综合练习题-附含答案

中考数学《反比例函数》专项复习综合练习题-附含答案一、单选题1.已知反比例函数y=- 12x,则()A.y随x的增大而增大B.当x>-3且x≠0时,y>4C.图象位于一、三象限D.当y<-3时,0<x<42.甲、乙、丙三位同学分别正确指出了某一个函数的一个性质.甲:函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:每第一个象限内 y值随x值的增大而减小.根据他们的描述这个函数表达式可能是()A.y=2x B.y= 2x C.y=﹣1xD.y=2x23.反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内的图象如图,点M是图象上一点 MP垂直x轴于点P 如果△MOP 的面积为1 那么k的值是( )A.1 B.2 C.4 D.√24.如图,反比例函数y=kx(x<0)交边长为10的等边△ OAB的两边于C、D两点,OC=3BD,则k的值()A.−9√3B.9√3C.-10√3D.10√35.抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示,则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y= a+b+cx在同一坐标系内的图象大致为()A.B.C.D.√3 6.如图,点D是▱OABC内一点,AD与x轴平行,BD与y轴平行,BD=√3∠BDC=120°S△BCD=92 (x<0)的图象经过C、D两点,则k的值是()若反比例函数y=kxA.−6√3B.-6 C.−12√3D.-127.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,点A是函数y=1(x<0)图象上一点,AO的延长x(x>0 k是不等于0的常数)的图象于点C,点A关于y轴的对称点为A′,点C关于x 线交函数y=k2x轴的对称点为C′,交于x轴于点B 连结AB AA′、 A′C′.若△ABC的面积等于6,则由线段AC CC′C′A′ A′A所围成的图形的面积等于()A.8 B.10 C.3√10D.4√68.如图,反比例函数y=kx与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象相交于A B两点其中A(﹣1 3)直线y=kx﹣k+2与坐标轴分别交于C D两点下列说法:①k<0;②点B的坐标为(3 ﹣1);③当x<﹣1时kx <kx﹣k+2;④tan∠OCD=﹣1k其中正确的是()A.①③B.①②④C.①③④D.①②③④二、填空题9.已知反比例函数y=﹣2x若y≤1,则自变量x的取值范围是.10.在平面直角坐标系中若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=﹣6x 和y= 2x于A B两点 P是x轴上的任意一点,则△ABP的面积等于11.如图,在平面直角坐标系中正方形ABCD的面积为20 顶点A在y轴上顶点C在x轴上顶点D在双曲线y=kx(x>0)的图象上边CD交y轴于点E 若CE=ED,则k的值为.12.如图,点 P 是反比例函数图象上的一点 过点 P 向 x 轴作垂线 垂足为 M 连结 PO 若阴影部分面积为 6 ,则这个反比例函数的关系式是 .13.如图,已知A ( 12 y 1) B (2 y 2)为反比例函数y = 1x 图象上的两点 动点P (x 0)在x 轴正半轴上运动 当线段AP 与线段BP 之差达到最大时 点P 的坐标是 .三、解答题14.如图,反比例函数y =kx (x >0)的图像分别交正方形OABC 的边AB 、BC 于点D 、E 若A 点坐标为(1,0) 若△ODE 是等边三角形 求k 的值.15.某水果生产基地在气温较低时 用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果 如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后 大棚内的温度y(℃)与时间x(ℎ)之间的函数关系 其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启后阶段 双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段........... 请根据图中信息解答下列问题:(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃;(2)求全天的温度y(℃)与时间x(ℎ)之间的函数表达式;(3)若大棚内的温度低于10℃时 蔬菜会受到伤害.问:这天内恒温系统最多可以关闭多少小时 才能避免水果生长受到影响?16.如图,已知点A在反比函数y=kx(k<0)的图象上点B在直线y=x−3的图象上点B的纵坐标为-1 AB⊥x轴且S△OAB=4.(1)求点A的坐标和k的值;(2)若点P在反比例函数y=kx(k<0)的图象上点Q在直线y=x−3的图象上P、Q两点关于y轴对称设点P的坐标为(m,n)求nm +mn的值.17.如图,点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上AB⊥x轴于点B AB的垂直平分线PD交双曲线与点P.(1)若点A的坐标为(1 8),则点P的坐标为.(2)若AP⊥BP点A的横坐标为m.①求k与m之间的关系式;②连接OA OP若△AOP的面积为6 求k的值.18.如图,一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A(2 m) B(n ﹣2)两点.过点B作BC⊥x轴垂足为C 且S△ABC=5.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)根据所给条件请直接写出不等式k1x+b>k2x的解集;(3)若P(p y1) Q(﹣2 y2)是函数y=k2x 图象上的两点且y1≥y2求实数p的取值范围.答案1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C9.x ≤﹣2或x >0 10.4 11.4 12.y =−12x 13.(52, 0)14.解:由题意可得△OAD ≅△OCE 设AD =x ,则:DB =EB =1−x 因为OD 2=x 2+1 且△ODE 是等边三角形所以 x 2+1=(1−x)2+(1−x)2 x 1=2+√3 x 2=2−√3 2+√3>1舍去 所以x =2−√3则K =1∗(2−√3)=2−√315.(1)解:设线段AB 表达式为y =kx +b(k ≠0) ∵线段AB 过点(0,10) (2,14)∴{b =102k +b =14解得{b =10k =2∴线段AB 的表达式为:y =2x +10(0≤x ≤5) 当x =5时 y =2×5+10=20 ∴恒定温度为:20℃; (2)解:由(1)可知:线段AB 的表达式为:y =2x +10(0≤x ≤5) B 坐标为(5,20) ∴根据图象可知线段BC 的表达式为:y =20(5<x ≤10)设双曲线CD 解析式为:y =m x(m ≠0)∵C(10,20)∴可得:m10=20 解得:m =200∴双曲线CD 的解析式为:y =200x(10<x ≤24)∴y 关于x 的函数表达式为:y ={2x +10(0≤x ≤5)20(5<x ≤10)200x (10<x ≤24);(3)解:把y =10代入y =200x中得10=200x解得:x =20∴20−10=10(小时)∴恒温系统最多可以关闭10小时. 16.(1)解:由题意B(2,−1)∵12×2×AB =4 ∴AB =4∵AB//y 轴∴A(2,−5)∵A(2,−5)在y =kx 的图象上 ∴k =−10.(2)解:设P(m ,−10m ),则Q(−m ,−10m ) ∵点Q 在y =x −3上∴−10m=−m −3 整理得:m 2+3m −10=0 解得m =−5或2 当m =−5 n =2时 n m +m n =−2910 当m =2 n =−5时 nm +m n=−2910故n m +m n=−2910.17.(1)(2 4)(2)解:①由题意得 点A 的纵坐标为km 即AB =km ∵PD 垂直平分AB ∴PA =PB ∵AP ⊥BP∴△PAB 是等腰直角三角形 ∴∠PAB =∠PBA =45° ∵PD ⊥AB∴△DAP 和△DBP 是等腰直角三角形 ∴DA =DB =DP =k2m ∴P (m +k2m ,k 2m )将P (m +k2m ,k2m )代入y =kx 可得:(m +k2m )⋅k2m =k 整理得:k =2m 2;②过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,则四边形PABC 是梯形∵S △AOB =S △POC =k2 ∴S △AOE =S 四边形PEBC ∴S △AOP =S 梯形PABC =6 ∴(k 2m +k m )⋅k2m2=6 整理得:k 2=16m 2∵k =2m 2 ∴k 2=8k解得:k =8或k =0(舍去) ∴k =8.18.(1)把 A(2,m) B(n ,−2) 代入 y =k 2x得: k 2=2m =−2n即m=−n则A(2,−n)过A作AE⊥x轴于E过B作BF⊥y轴于F延长AE、BF交于D ∵A(2,−n)B(n,−2)∴BD=2−n AD=−n+2BC=|−2|=2∵SΔABC=12·BC·BD∴12×2×(2−n)=5解得:n=−3即A(2,3)B(−3,−2)把A(2,3)代入y=k2x得:k2=6即反比例函数的解析式是y=6x;把A(2,3)B(−3,−2)代入y=k1x+b得:{3=2k1+b−2=−3k1+b解得:k1=1b=1即一次函数的解析式是y=x+1;(2)∵A(2,3)B(−3,−2)∴不等式k1x+b>k2x的解集是−3<x<0或x>2;(3)分为两种情况:当点P在第三象限时要使y1⩾y2实数p的取值范围是p⩽−2当点P在第一象限时要使y1⩾y2实数p的取值范围是p>0即P的取值范围是p⩽−2或p>0。

2020-2021全国中考数学反比例函数的综合中考真题汇总及答案

2020-2021全国中考数学反比例函数的综合中考真题汇总及答案

2020-2021全国中考数学反比例函数的综合中考真题汇总及答案一、反比例函数1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图1,把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y= ,得k=4.解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),则点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.设直线AP的解析式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,求得直线AP的解析式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15;(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),∴H(m,0),∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,∴MH=NH,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形;(3)解:∠PAQ=∠PBQ.理由如下:过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.当y=0时, x+ ﹣1=0,解得:x=c﹣4,∴D(c﹣4,0).同理可得E(c+4,0),∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,∴DT=ET,∴QT垂直平分DE,∴QD=QE,∴∠QDE=∠QED.∵∠MDA=∠QDE,∴∠MDA=∠QED.∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,∴∠PAQ=∠PBQ.【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.2.如图,反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4,点P(1,m)在反比例函数y1= 的图象上.(1)求反比例函数的表达式;(2)观察图象回答:当x为何范围时,y1>y2;(3)求△PAB的面积.【答案】(1)解:把x=4代入y2= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y1= ,得k=4.反比例函数的表达式为y1=(2)解:∵点A与点B关于原点对称,∴A的坐标为(﹣4,﹣1),观察图象得,当x<﹣4或0<x<4时,y1>y2(3)解:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图,∵点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.y1= 中,当x=1时,y=4,∴P(1,4).设直线AP的函数关系式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,则,解得.故直线AP的函数关系式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15.【解析】【分析】(1)把x=4代入y2= x,得到点B的坐标,再把点B的坐标代入y1=,求出k的值,即可得到反比例函数的表达式;(2)观察图象可知,反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1>y2的解集;(3)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,由点A与点B关于原点对称,得出OA=OB,那么S△AOP=S△BOP,S△PAB=2S△AOP.求出P点坐标,利用待定系数法求出直线AP的函数关系式,得到点C的坐标,根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP= ,则S△PAB=2S△AOP=15.3.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b 时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;(3)若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解:是“相邻函数”,理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”(2)解:y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),∴顶点坐标为:(1,a﹣1),又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴0≤a≤1(3)解:y1﹣y2= ﹣(﹣2x+4)= +2x﹣4,构造函数y= +2x﹣4,∵y= +2x﹣4∴当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,即a﹣2≤y≤ ,∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴1≤a≤2;∴a的最大值是2,a的最小值1【解析】【分析】(1)y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,所以当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,因为y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),所以顶点坐标为:(1,a﹣1),又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,所以当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即0≤a≤1;(3)当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,﹣1≤y1﹣y2≤1,即1≤a≤2,所以a的最大值是2,a 的最小值1.4.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点,点A的坐标为(2,3n),点B的坐标为(5n+2,1).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点,求a的值;(3)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=5,则点E的坐标为________.【答案】(1)解:∵A、B在反比例函数的图象上,∴2×3n=(5n+2)×1=m,∴n=2,m=12,∴A(2,6),B(12,1),∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,∴,解得,∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ,y=﹣ x+7.(2)解:设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a,由,消去y得到x2+(2a﹣14)x+24=0,由题意,△=0,(21a﹣14)2﹣4×24=0,解得a=7±2 .(3)(0,6)或(0,8)【解析】【解答】(3)设直线AB交y轴于K,则K(0,7),设E(0,m),由题意,PE=|m﹣7|.∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5,∴ ×|m﹣7|×(12﹣2)=5.∴|m﹣7|=1.∴m1=6,m2=8.∴点E的坐标为(0,6)或(0,8).故答案为(0,6)或(0,8).【分析】(1)由A、B在反比例函数的图象上,得到n,m的值和A、B的坐标,用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式;(2)由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,得到平移后的一次函数的解析式,由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点,得到方程组求出a的值;(3)由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5,求出点E的坐标.5.如图,点P( +1,﹣1)在双曲线y= (x>0)上.(1)求k的值;(2)若正方形ABCD的顶点C,D在双曲线y= (x>0)上,顶点A,B分别在x轴和y 轴的正半轴上,求点C的坐标.【答案】(1)解:点P(,)在双曲线上,将x= ,y= 代入解析式可得:k=2;(2)解:过点D作DE⊥OA于点E,过点C作CF⊥OB于点F,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC,∠CBA=90°,∴∠FBC+∠OBA=90°,∵∠CFB=∠BOA=90°,∴∠FCB+∠FBC=90°,∴∠FBC=∠OAB,在△CFB和△AOB中,,∴△CFB≌△AOB(AAS),同理可得:△BOA≌△AED≌△CFB,∴CF=OB=AE=b,BF=OA=DE=a,设A(a,0),B(0,b),则D(a+b,a)C(b,a+b),可得:b(a+b)=2,a(a+b)=2,解得:a=b=1.所以点C的坐标为:(1,2).【解析】【分析】(1)由待定系数法把P坐标代入解析式即可;(2)C、D均在双曲线上,它们的坐标就适合解析式,设出C坐标,再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB,代入解析式得b(a+b)=2,a(a+b)=2,即可求出C坐标.6.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3,).(1)求反比例函数的表达式和m的值;(2)将矩形OABC的进行折叠,使点O于点D重合,折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F,G,求折痕FG所在直线的函数关系式.【答案】(1)解:∵反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点E(3,),∴k=3× =2,∴反比例函数的表达式为y= .又∵点D(m,2)在反比例函数y= 的图象上,∴2m=2,解得:m=1(2)解:设OG=x,则CG=OC﹣OG=2﹣x,∵点D(1,2),∴CD=1.在Rt△CDG中,∠DCG=90°,CG=2﹣x,CD=1,DG=OG=x,∴CD2+CG2=DG2,即1+(2﹣x)2=x2,解得:x= ,∴点G(0,).过点F作FH⊥CB于点H,如图所示.由折叠的特性可知:∠GDF=∠GOF=90°,OG=DG,OF=DF.∵∠CGD+∠CDG=90°,∠CDG+∠HDF=90°,∴∠CGD=∠HDF,∵∠DCG=∠FHD=90°,∴△GCD∽△DHF,∴=2,∴DF=2GD= ,∴点F的坐标为(,0).设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b,∴有,解得:.∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+【解析】【分析】(1)由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值,再由点B在反比例函数图象上,代入即可求出m值;(2)设OG=x,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解方程即可求出x值,从而得出点G的坐标.再过点F作FH⊥CB于点H,由此可得出△GCD∽△DHF,根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度,从而得出点F的坐标,结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论.7.理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路:思路一如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC= .tanD=tan15°= = = .思路二利用科普书上的和(差)角正切公式:tan(α±β)= .假设α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)= == .思路三在顶角为30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题(上述思路仅供参考).(1)类比:求出tan75°的值;(2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°,求这座电视塔CD的高度;(3)拓展:如图3,直线与双曲线交于A,B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)解:方法一:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC= .tan∠DAC=tan75°= = = = ;方法二:tan75°=tan(45°+30°)= = = =(2)解:如图2,在Rt△ABC中,AB= = = ,sin∠BAC= ,即∠BAC=30°.∵∠DAC=45°,∴∠DAB=45°+30°=75°.在Rt△ABD中,tan∠DAB= ,∴DB=AB•tan∠DAB= •()= ,∴DC=DB﹣BC= = .答:这座电视塔CD的高度为()米(3)解:①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后,与双曲线相交于点P,如图3.过点C 作CD∥x轴,过点P作PE⊥CD于E,过点A作AF⊥CD于F.解方程组:,得:或,∴点A(4,1),点B(﹣2,﹣2).对于,当x=0时,y=﹣1,则C(0,﹣1),OC=1,∴CF=4,AF=1﹣(﹣1)=2,∴tan∠ACF= ,∴tan∠PCE=tan(∠ACP+∠ACF)=tan(45°+∠ACF)= = =3,即 =3.设点P的坐标为(a,b),则有:,解得:或,∴点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3);②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后,与x轴相交于点G,如图4.由①可知∠ACP=45°,P(,3),则CP⊥CG.过点P作PH⊥y轴于H,则∠GOC=∠CHP=90°,∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH,∴△GOC∽△CHP,∴.∵CH=3﹣(﹣1)=4,PH= ,OC=1,∴,∴GO=3,G(﹣3,0).设直线CG的解析式为,则有:,解得:,∴直线CG的解析式为.联立:,消去y,得:,整理得:,∵△= ,∴方程没有实数根,∴点P 不存在.综上所述:直线AB绕点C旋转45°后,能与双曲线相交,交点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3).【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°,tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中,由勾股定理求出AB,由三角函数得出∠BAC=30°,从而得到∠DAB=75°,在Rt△ABD中,可求出DB,DC=DB﹣BC.分两种情况讨论,设点P的坐标为(a,b),根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a,b的方程组,求出a,b.利用已知证明△GOC∽△CHP,根据相似三角形的性质可求出G的坐标,设出直线CG的解析式,与反比例函数组成方程组消元,△<0 点P不存在.8.如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线相交于点A(,6)和点B(-3,),直线AB与轴交于点C.(1)求直线AB的表达式;(2)求的值.【答案】(1)解:∵点A(,6)和点B(-3,)在双曲线,∴m=1,n=-2,∴点A(1,6),点B(-3,-2),将点A、B代入直线,得,解得,∴直线AB的表达式为:(2)解:分别过点A、B作AM⊥y轴,BN⊥y轴,垂足分别为点M、N,则∠AMO=∠BNO=90°,AM=1,BN=3,∴AM//BN,∴△ACM∽△BCN,∴【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值,利用待定系数法求一次函数的表达式;作辅助线,构建平行线,根据平行线分线段成比例定理可得结论.9.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折现”)(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;(2)如图2,双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点(不包括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.①试求△PAD的面积的最大值;②探索:在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?若能,求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)解:如图1,新函数的性质:1.函数的最小值为0;2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得,点A的坐标为(-3,0),分两种情况:①当x-3时,y=x+3;②当x<-3时,设函数解析式为y=kx+b,在直线y=x+3中,当x=-4时,y=-1,则点(-4,-1)关于x轴的对称点为(-4,1),把点(-4,1),(-3,0),代入y=kx+b中,得:,解得:,∴y=-x-3.综上,新函数的解析式为y=.(2)解:如图2,①∵点C(1,a)在直线y=x+3上,∴a=4,∵点C(1,4)在反比例函数y=上,∴k=4,∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点,∴设点D的坐标为(m,m+3),且-3<m<1,∵DP∥x轴,且点P在双曲线上,∴点P的坐标为(,m+3),∴PD=-m,∴S△PAD=(-m)(m+3)=m2-m+2=(m+)2+,∵a=<0,∴当m=时,S有最大值,最大值为,又∵-3<<1,∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中,四边形PAEC不能为平行四边形,理由如下:当点D为AC的中点时,其坐标为(-1,2),此时点P的坐标为(2,2),点E的坐标为(-5,2),∵DP=3,DE=4,∴EP与AC不能互相平分,∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】(1)根据一次函数的性质,结合函数图象写出新函数的两条性质;利用待定系数法求新函数解析式,注意分两种情况讨论;(2)①先求出点C的坐标,再利用待定系数法求出反比例函数解析式,设出点D的坐标,进而得到点P的坐标,再根据三角形的面积公式得出函数解析式,利用二次函数的性质求解即可;②先求出A的中点D的坐标,再计算DP、DE的长度,如果对角线互相平分,则能成为平行四边形,如若对角线不互相平分,则不能成为平行四边形.10.如图,在矩形OABC中,OA=6,OC=4,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少?【答案】(1)解:∵在矩形OABC中,OA=6,OC=4,∴B(6,4),∵F为AB的中点,∴F(6,2),又∵点F在反比例函数(k>0)的图象上,∴k=12,∴该函数的解析式为y= (x>0)(2)解:由题意知E,F两点坐标分别为E(,4),F(6,),∴,==== ,∴当k=12时,S有最大值.S最大=3【解析】【分析】)当F为AB的中点时,点F的坐标为(3,1),由此代入求得函数解析式即可;根据图中的点的坐标表示出三角形的面积,得到关于k的二次函数,利用二次函数求出最值即可.11.如图1,已知双曲线y= (k>0)与直线y=k′x交于A、B两点,点A在第一象限,试回答下列问题:(1)若点A的坐标为(3,1),则点B的坐标为________;当x满足:________时,≤k′x;(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y= (k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.四边形APBQ一定是________;(3)若点A的坐标为(3,1),点P的横坐标为1,求四边形APBQ的面积.(4)设点A,P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出m,n应满足的条件;若不可能,请说明理由.【答案】(1)(﹣3,﹣1);﹣3≤x<0或x≥3(2)平行四边形(3)∵点A的坐标为(3,1),∴k=3×1=3,∴反比例函数的解析式为y= ,∵点P的横坐标为1,∴点P的纵坐标为3,∴点P的坐标为(1,3),由双曲线关于原点对称可知,点Q的坐标为(﹣1,﹣3),点B的坐标为(﹣3,﹣1),如图2,过点A、B分别作y轴的平行线,过点P、Q分别作x轴的平行线,分别交于C、D、E、F,则四边形CDEF是矩形,CD=6,DE=6,DB=DP=4,CP=CA=2,则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16.(4)解:mn=k时,四边形APBQ是矩形,不可能是正方形,理由:当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形,此时点A、P在坐标轴上,由于点A,P可能达到坐标轴故不可能是正方形,即∠POA≠90°.因为mn=k,易知P、A关于直线y=x对称,所以PO=OA=OB=OQ,所以四边形APBQ是矩形.【解析】【解答】解:(1)∵A、B关于原点对称,A(3,1),∴点B的坐标为(﹣3,﹣1).由图象可知,当﹣3≤x<0或x≥3时,≤k′x.故答案为(﹣3,﹣1),﹣3≤x<0或x≥3;(2)∵A、B关于原点对称,P、Q关于原点对称,∴OA=OB,OP=OQ,∴四边形APBQ是平行四边形.故答案为:平行四边形;=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16.【分析】(1)根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称,即可解决问题,利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方,即可确定自变量x的范围.(2)利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.(3)利用分割法求面积即可.(3)根据矩形的性质、正方形的性质即可判定.12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;(3)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+ QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),即:3a=3,解得:a=1,故抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+3,则顶点D(2,﹣1);(2)解:将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:直线BC的表达式为:y=﹣x+3,过点P作y轴的平行线交BC于点H,设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),则S△PBC=PH×OB=(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=(﹣x2+3x),∵﹣<0,故S△PBC有最大值,此时x=,故点P(,﹣);(3)解:存在,理由:如上图,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,过点A作AH⊥CH,垂足为H,则HQ=CQ,Q+ QC最小值=AQ+HQ=AH,直线HC所在表达式中的k值为,直线HC的表达式为:y=x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣,则直线AH的表达式为:y=﹣x+s,将点A的坐标代入上式并解得:则直线AH的表达式为:y=﹣x+ …②,联立①②并解得:x=,故点H(,),而点A(1,0),则AH=,即:AQ+ QC的最小值为 .【解析】【分析】(1)将坐标(1,0),B(3,0)代入计算即可得出抛物线的解析式,即可计算出D的坐标.(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算,设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),求出x的值即可.(3)存在,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,过点A作AH⊥CH,垂足为H,则HQ=CQ,Q+ QC最小值=AQ+HQ=AH,求出k值,再将A的坐标代入计算即可解答.。

中考数学真题分类函数专题(反比例函数)试题及答案详解

中考数学真题分类函数专题(反比例函数)试题及答案详解

中考数学真题分类之函数专题——反比例函数一.反比例函数的定义(共2小题) 1.已知反比例函数的解析式为y =|a|−2x,则a 的取值范围是( )A .a ≠2B .a ≠﹣2C .a ≠±2D .a =±2 2.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是( )A .正比例函数B .一次函数C .反比例函数D .二次函数二.反比例函数的图象(共1小题)3.已知ab <0,一次函数y =ax ﹣b 与反比例函数y =ax在同一直角坐标系中的图象可能( )A .B .C .D .三.反比例函数的性质(共2小题)4.反比例函数y =2x的图象位于( )A .第一、三象限B .第二、三象限C .第一、二象限D .第二、四象限5.关于反比例函数y =5x 的图象,下列说法正确的( ) A .经过点(2,3) B .分布在第二、第四象限 C .关于直线y =x 对称D .x 越大,越接近x 轴四.反比例函数系数k 的几何意义(共3小题)6.如图,矩形OABC 的边AB 与x 轴交于点D ,与反比例函数y =kx(k >0)在第一象限的图象交于点E ,∠AOD =30°,点E 的纵坐标为1,△ODE 的面积是4√33,则k 的值是 .7.如图,矩形ABCD 的顶点A ,B 在x 轴上,且关于y 轴对称,反比例函数y =k1x(x >0)的图象经过点C ,反比例函数y =k 2x(x <0)的图象分别与AD ,CD 交于点E ,F ,若S △BEF =7,k 1+3k 2=0,则k 1等于 .8.如图,菱形ABCD 的边AB 在x 轴上,点A 的坐标为(1,0),点D (4,4)在反比例函数y =k x(x >0)的图象上,直线y =23x +b 经过点C ,与y 轴交于点E ,连接AC ,AE .(1)求k ,b 的值; (2)求△ACE 的面积.五.反比例函数图象上点的坐标特征(共8小题)9.如图,点A ,B 是直线y =x 上的两点,过A ,B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线y =1x(x >0)于点C ,D .若AC =√3BD ,则3OD 2﹣OC 2的值为( )A .5B .3√2C .4D .2√310.、若点(﹣1,y 1),(2,y 2),(3,y 3)在反比例函数y =kx(k <0)的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A .y 1>y 2>y 3B .y 3>y 2>y 1C .y 1>y 3>y 2D .y 2>y 3>y 111.如图,点A ,B 在双曲线y =3x(x >0)上,点C 在双曲线y =1x(x >0)上,若AC ∥y 轴,BC ∥x 轴,且AC =BC ,则AB 等于( ) A .√2 B .2√2 C .4 D .3√212.反比例函数y =k x(x <0)的图象如图所示,下列关于该函数图象的四个结论:①k >0;②当x <0时,y 随x 的增大而增大;③该函数图象关于直线y =﹣x 对称;④若点(﹣2,3)在该反比例函数图象上,则点(﹣1,6)也在该函数的图象上.其中正确结论的个数有 个.13.已知:函数y 1=|x |与函数y 2=1|x|的部分图象如图所示,有以下结论:①当x <0时,y 1,y 2都随x 的增大而增大; ②当x <﹣1时,y 1>y 2;③y 1与y 2的图象的两个交点之间的距离是2; ④函数y =y 1+y 2的最小值是2. 则所有正确结论的序号是 . 14.如图,在平面直角坐标系中,反比例y =kx(k >0)的图象和△ABC 都在第一象限内,AB =AC =52,BC ∥x 轴,且BC =4,点A 的坐标为(3,5).若将△ABC 向下平移m 个单位长度,A ,C 两点同时落在反比例函数图象上,则m 的值为 .15.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球,球上分别标有数字﹣1,1,2.第一次从袋中任意摸出一个小球(不放回),得到的数字作为点M 的横坐标x ;再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球,得到的数字作为点M 的纵坐标y .(1)用列表法或树状图法,列出点M (x ,y )的所有可能结果;(2)求点M (x ,y )在双曲线y =−2x上的概率.16.如图,已知菱形ABCD 的对称中心是坐标原点O ,四个顶点都在坐标轴上,反比例函数y =k x(k ≠0)的图象与AD 边交于E (﹣4,12),F (m ,2)两点. (1)求k ,m 的值;(2)写出函数y =kx图象在菱形ABCD 内x 的取值范围.六.待定系数法求反比例函数解析式(共3小题) 17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,A (﹣1,2).(1)将点A 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到点B ,则点B 的坐标是 .(2)点C 与点A 关于原点O 对称,则点C 的坐标是 . (3)反比例函数的图象经过点B ,则它的解析式是 . (4)一次函数的图象经过A ,C 两点,则它的解析式是 .18.如图,已知平行四边形OABC 中,点O 为坐标原点,点A (3,0),C (1,2),函数y =kx (k ≠0)的图象经过点C . (1)求k 的值及直线OB 的函数表达式: (2)求四边形OABC 的周长.19.如图,直线AB 与x 轴交于点A (1,0),与y 轴交于点B (0,2),将线段AB绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ,反比例函数y =kx(k ≠0,x >0)的图象经过点C .(1)求直线AB 和反比例函数y =kx (k ≠0,x >0)的解析式;(2)已知点P 是反比例函数y =kx (k ≠0,x >0)图象上的一个动点,求点P 到直线AB 距离最短时的坐标.七.反比例函数与一次函数的交点问题(共5小题)20.如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y 1=kx +b (k 、b 是常数,且k ≠0)与反比例函数y 2=cx(c 是常数,且c ≠0)的图象相交于A (﹣3,﹣2),B (2,3)两点,则不等式y 1>y 2的解集是( )A .﹣3<x <2B .x <﹣3或x >2C .﹣3<x <0或x >2D .0<x <221.如图,一次函数y 1=(k ﹣5)x +b 的图象在第一象限与反比例函数y 2=kx的图象相交于A ,B 两点,当y 1>y 2时,x 的取值范围是1<x <4,则k = .22.已知直线y =ax (a ≠0)与反比例函数y =kx(k ≠0)的图象一个交点坐标为(2,4),则它们另一个交点的坐标是 .23.如图,已知反比例函数y =k x(x >0)的图象与一次函数y =−12x +4的图象交于A 和B (6,n )两点. (1)求k 和n 的值;(2)若点C (x ,y )也在反比例函数y =kx(x >0)的图象上,求当2≤x ≤6时,函数值y 的取值范围.24.如图,一次函数y =mx +b 的图象与反比例函数y =kx的图象交于A (3,1),B (−12,n )两点.(1)求该反比例函数的解析式;(2)求n 的值及该一次函数的解析式.八.反比例函数的应用(共1小题)25.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设.玉林良睦隧道是全线控制性工程,首期打通共有土石方总量为600千立方米,设计划平均每天挖掘土石方x 千立方米,总需用时间y 天,且完成首期工程限定时间不超过600天. (1)求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围;(2)由于工程进度的需要,实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米,工期比原计划提前了100天完成,求实际挖掘了多少天才能完成首期工程?九.反比例函数综合题(共1小题)26.在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点坐标为A(0,0),B(6,0),C(6,8),D(0,8),AC,BD交于点E.(1)如图(1),双曲线y=k1x过点E,直接写出点E的坐标和双曲线的解析式;(2)如图(2),双曲线y=k2x 与BC,CD分别交于点M,N,点C关于MN的对称点C′在y轴上.求证△CMN~△CBD,并求点C′的坐标;(3)如图(3),将矩形ABCD向右平移m(m>0)个单位长度,使过点E的双曲线y=k3x与AD交于点P.当△AEP为等腰三角形时,求m的值.参考答案与试题解析一.反比例函数的定义(共2小题) 1.【解答】解:根据反比例函数解析式中k 是常数,不能等于0,由题意可得:|a |﹣2≠0, 解得:a ≠±2, 故选:C . 2.【解答】解:设等腰三角形的底角为y ,顶角为x ,由题意,得y =−12x +90°, 故选:B .二.反比例函数的图象(共1小题)3.【解答】解:若反比例函数y =ax经过第一、三象限,则a >0.所以b <0.则一次函数y =ax ﹣b 的图象应该经过第一、二、三象限;若反比例函数y =ax经过第二、四象限,则a <0.所以b >0.则一次函数y =ax ﹣b 的图象应该经过第二、三、四象限. 故选项A 正确; 故选:A .三.反比例函数的性质(共2小题) 4.【解答】解:∵k =2>0,∴反比例函数经过第一、三象限; 故选:A .5.【解答】解:A 、把点(2,3)代入反比例函数y =5x得2.5≠3不成立,故A 选项错误;B 、∵k =5>0,∴它的图象在第一、三象限,故B 选项错误;C 、反比例函数有两条对称轴,y =x 和y =﹣x ;当x <0时,x 越小,越接近x 轴,故C 选项正确;D 、反比例函数有两条对称轴,y =x 和y =﹣x ;当x <0时,x 越小,越接近x 轴,故D 选项错误. 故选:C .四.反比例函数系数k 的几何意义(共3小题) 6.【解答】解:如图,作EM ⊥x 轴于点M ,则EM =1. ∵△ODE 的面积是4√33, ∴12OD •EM =4√33,∴OD =8√33. 在直角△OAD 中,∵∠A =90°,∠AOD =30°, ∴∠ADO =60°,∴∠EDM =∠ADO =60°.在直角△EMD 中,∵∠DME =90°,∠EDM =60°, ∴DM =EM tan60°=√3=√33, ∴OM =OD +DM =3√3, ∴E (3√3,1).∵反比例函数y =kx(k >0)的图象过点E ,∴k =3√3×1=3√3. 故答案为3√3.7.【解答】解:设点B 的坐标为(a ,0),则A 点坐标为(﹣a ,0) 由图象可知,点C (a ,k 1a),E (﹣a ,−k 2a),D (﹣a ,k 1a),F (−a3,k 1a) 矩形ABCD 面积为:2a •k 1a=2k 1∴S △DEF =DE⋅DF 2=23a×(−2k 2a)2=−23k 2S △BCF =CF⋅BC2=43a×k 1a2=23k 1S △ABE =AB⋅AE2=2a×(−k 2a)2=−k 2∵S △BEF =7∴2k 1+23k 2−23k 1+k 2=7 ①∵k 1+3k 2=0∴k 2=−13k 1代入①式得43k 1+53×(−13k 1)=7解得k 1=9 故答案为:9 8.【解答】解:(1)由已知可得AD =5, ∵菱形ABCD ,∴B (6,0),C (9,4),∵点D (4,4)在反比例函数y =kx(x >0)的图象上, ∴k =16,将点C (9,4)代入y =23x +b ,∴b =﹣2;(2)E (0,﹣2),直线y =23x ﹣2与x 轴交点为(3,0), ∴S △AEC =12×2×(2+4)=6;五.反比例函数图象上点的坐标特征(共8小题) 9.【解答】解:延长CA 交y 轴于E ,延长BD 交y 轴于F . 设A 、B 的横坐标分别是a ,b , ∵点A 、B 为直线y =x 上的两点, ∴A 的坐标是(a ,a ),B 的坐标是(b ,b ).则AE =OE =a ,BF =OF =b .∵C 、D 两点在交双曲线y =1x (x >0)上,则CE =1a,DF =1b. ∴BD =BF ﹣DF =b −1b,AC =1a−a .又∵AC =√3BD , ∴1a−a =√3(b −1b),两边平方得:a 2+1a2−2=3(b 2+1b2−2),即a 2+1a 2=3(b 2+1b2)﹣4,在直角△ODF 中,OD 2=OF 2+DF 2=b 2+1b2,同理OC 2=a 2+1a2, ∴3OD 2﹣OC 2=3(b 2+1b 2)﹣(a 2+1a2)=4.故选:C .10.【解答】解:∵k <0,∴在每个象限内,y 随x 值的增大而增大, ∴当x =﹣1时,y 1>0, ∵2<3, ∴y 2<y 3<y 1 故选:C .11.【解答】解:点C在双曲线y=1x上,AC∥y轴,BC∥x轴,设C(a,1a ),则B(3a,1a),A(a,3a),∵AC=BC,∴3a −1a=3a﹣a,解得a=1,(负值已舍去)∴C(1,1),B(3,1),A(1,3),∴AC=BC=2,∴Rt△ABC中,AB=2√2,故选:B.12.【解答】解:观察反比例函数y=kx (x<0)的图象可知:图象过第二象限,∴k<0,所以①错误;因为当x<0时,y随x的增大而增大;所以②正确;因为该函数图象关于直线y=﹣x对称;所以③正确;因为点(﹣2,3)在该反比例函数图象上,所以k=﹣6,则点(﹣1,6)也在该函数的图象上.所以④正确.所以其中正确结论的个数为3个.故答案为3.13.【解答】解:补全函数图象如图:①当x<0时,y1随x的增大而减小,y2随x的增大而增大;故①错误;②当x<﹣1时,y1>y2;故②正确;③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2;故③正确;④∵(x﹣1)2≥0,∴x2+1≥2|x|,∵y=y1+y2=|x|+1|x|=x2+1|x|≥2,∴函数y =y 1+y 2的最小值是2. 故④正确.综上所述,正确的结论是②③④. 故答案为②③④.14.【解答】解:∵AB =AC =52,BC =4,点A (3,5). ∴B (1,72),C (5,72), 将△ABC 向下平移m 个单位长度,∴A (3,5﹣m ),C (5,72−m ), ∵A ,C 两点同时落在反比例函数图象上,∴3(5﹣m )=5(72−m ), ∴m =54;故答案为54;15.【解答】解:(1)用树状图表示为: 点M (x ,y )的所有可能结果;(﹣1,1)(﹣1,2)(1,﹣1)(1,2)(2,﹣1)(2,1)共六种情况.(2)在点M 的六种情况中,只有(﹣1,2)(2,﹣1)两种在双曲线y =−2x上, ∴P =26=13;因此,点M (x ,y )在双曲线y =−2x上的概率为13.16.【解答】解:(1)∵点E (﹣4,12)在y =k x上,∴k =﹣2,∴反比例函数的解析式为y =−2x, ∵F (m ,2)在y =−2x上,∴m =﹣1.(2)函数y =kx图象在菱形ABCD 内x 的取值范围为:﹣4<x <﹣1或1<x <4.六.待定系数法求反比例函数解析式(共3小题) 17.【解答】解:(1)将点A 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到点B ,则点B 的坐标是(2,3);(2)点C 与点A 关于原点O 对称,则点C 的坐标是(1,﹣2);(3)设反比例函数解析式为y =kx, 把B (2,3)代入得:k =6,∴反比例函数解析式为y =6x;(4)设一次函数解析式为y =mx +n ,把A (﹣1,2)与C (1,﹣2)代入得:{−m +n =2m +n =−2,解得:{m =−2n =0,则一次函数解析式为y =﹣2x .故答案为:(1)(2,3);(2)(1,﹣2);(3)y =6x;(4)y =﹣2x .18.【解答】解:(1)依题意有:点C (1,2)在反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上,∴k =xy =2, ∵A (3,0) ∴CB =OA =3, 又CB ∥x 轴, ∴B (4,2),设直线OB 的函数表达式为y =ax , ∴2=4a ,∴a =12,∴直线OB 的函数表达式为y =12x ;(2)作CD ⊥OA 于点D , ∵C (1,2),∴OC =√12+22=√5, 在平行四边形OABC 中, CB =OA =3,AB =OC =√5,∴四边形OABC 的周长为:3+3+√5+√5=6+2√5, 即四边形OABC 的周长为6+2√5.19.【解答】解:(1)将点A(1,0),点B(0,2),代入y=mx+b,∴b=2,m=﹣2,∴y=﹣2x+2;∵过点C作CD⊥x轴,∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,∴△ABO≌△CAD(AAS),∴AD=OB=2,CD=OA=1,∴C(3,1),∴k=3,∴y=3x ;(2)设与AB平行的直线y=﹣2x+h,联立﹣2x+h=3x ,∴﹣2x2+hx﹣3=0,当△=h2﹣24=0时,h=2√6或﹣2√6(舍弃),此时点P到直线AB距离最短;∴P(√62,√6);七.反比例函数与一次函数的交点问题(共5小题)20.【解答】解:∵一次函数y1=kx+b(k、b是常数,且k≠0)与反比例函数y2=c x (c是常数,且c≠0)的图象相交于A(﹣3,﹣2),B(2,3)两点,∴不等式y1>y2的解集是﹣3<x<0或x>2.故选:C.21.【解答】解:由已知得A、B的横坐标分别为1,4,所以有{k −5+b =k4(k −5)+b =k 4解得k =4, 故答案为4. 22.【解答】解:∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称,∴另一个交点的坐标与点(2,4)关于原点对称, ∴该点的坐标为(﹣2,﹣4). 故答案为:(﹣2,﹣4).23.【解答】解:(1)当x =6时,n =−12×6+4=1, ∴点B 的坐标为(6,1). ∵反比例函数y =kx 过点B (6,1),∴k =6×1=6. (2)∵k =6>0,∴当x >0时,y 随x 值增大而减小, ∴当2≤x ≤6时,1≤y ≤3.24.【解答】解:(1)∵反比例函数y =kx的图象经过A (3,1), ∴k =3×1=3,∴反比例函数的解析式为y =3x;(2)把B (−12,n )代入反比例函数解析式,可得 −12n =3, 解得n =﹣6,∴B (−12,﹣6),把A (3,1),B (−12,﹣6)代入一次函数y =mx +b ,可得{1=3m +b−6=−12m +b,解得{m =2b =−5,∴一次函数的解析式为y =2x ﹣5.八.反比例函数的应用(共1小题)25.【解答】解:(1)根据题意可得:y =600x, ∵y ≤600, ∴x ≥1;(2)设实际挖掘了m天才能完成首期工程,根据题意可得:600 m −600m+100=0.2,解得:m=﹣600(舍)或500,检验得:m=500是原方程的根,答:实际挖掘了500天才能完成首期工程.九.反比例函数综合题(共1小题)26.【解答】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴DE=EB,∵B(6,0),D(0,8),∴E(3,4),∵双曲线y=k1x 过点E,∴k1=12.∴反比例函数的解析式为y=12x.(2)如图2中,∵点M,N在反比例函数的图象上,∴DN•AD=BM•AB,∵BC=AD,AB=CD,∴DN•BC=BM•CD,∴DNBM =CDBC,∴DNCD =BMCB,∴CNCD =CMCB,∵∠MCN =∠BCD , ∴△MCN ∽△BCD , ∴∠CNM =∠CDB , ∴MN ∥BD ,∴△CMN ∽△CBD . ∵B (6,0),D (0,8),∴直线BD 的解析式为y =−43x +8, ∵C ,C ′关于MN 对称, ∴CC ′⊥MN , ∴CC ′⊥BD , ∵C (6,8),∴直线CC ′的解析式为y =34x +72, ∴C ′(0,72).(3)如图3中,①当AP =AE =5时,∵P (m ,5),E (m +3,4),P ,E 在反比例函数图象上, ∴5m =4(m +3), ∴m =12.②当EP =AE 时,点P 与点D 重合,∵P (m ,8),E (m +3,4),P ,E 在反比例函数图象上, ∴8m =4(m +3), ∴m =3.③显然PA ≠PE ,若相等,点P 在点E 的下方,显然不可能. 综上所述,满足条件的m 的值为3或12.。

中考数学反比例函数综合题汇编附答案解析

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中考数学反比例函数综合题汇编附答案解析一、反比例函数1.如图,点A在函数y= (x>0)图象上,过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B,C,直线BC与坐标轴的交点为D,E.(1)当点C的横坐标为1时,求点B的坐标;(2)试问:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,△ABC的面积是否发生变化?若不变,请求出△ABC的面积,若变化,请说明理由.(3)试说明:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,线段BD与CE的长始终相等.【答案】(1)解:∵点C在y= 的图象上,且C点横坐标为1,∴C(1,1),∵AC∥y轴,AB∥x轴,∴A点横坐标为1,∵A点在函数y= (x>0)图象上,∴A(1,4),∴B点纵坐标为4,∵点B在y= 的图象上,∴B点坐标为(,4);(2)解:设A(a,),则C(a,),B(,),∴AB=a﹣ = a,AC= ﹣ = ,∴S△ABC= AB•AC= × × = ,即△ABC的面积不发生变化,其面积为;(3)解:如图,设AB的延长线交y轴于点G,AC的延长线交x轴于点F,∵AB∥x轴,∴△ABC∽△EFC,∴ = ,即 = ,∴EF= a,由(2)可知BG= a,∴BG=EF,∵AE∥y轴,∴∠BDG=∠FCE,在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF(AAS),∴BD=EF.【解析】【分析】(1)由条件可先求得A点坐标,从而可求得B点纵坐标,再代入y= 可求得B点坐标;(2)可设出A点坐标,从而可表示出C、B的坐标,则可表示出AB和AC的长,可求得△ABC的面积;(3)可证明△ABC∽△EFC,利用(2)中,AB和AC的长可表示出EF,可得到BG=EF,从而可证明△DBG≌△CFE,可得到DB=CF.2.已知反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1).(1)试确定此反比例函数的解析式;(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;(3)已知点P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0),过P点作x轴的垂线,交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2﹣2 n+9的值.【答案】(1)解:由题意得1= ,解得k=﹣,∴反比例函数的解析式为y=﹣(2)解:过点A作x轴的垂线交x轴于点C.在Rt△AOC中,OC= ,AC=1,∴OA= =2,∠AOC=30°,∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,∴∠AOB=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.在Rt△BOD中,BD=OB•sin∠BOD= ,OD= OB=1,∴B点坐标为(﹣1,),将x=﹣1代入y=﹣中,得y= ,∴点B(﹣1,)在反比例函数y=﹣的图象上(3)解:由y=﹣得xy=﹣,∵点P(m, m+6)在反比例函数y=﹣的图象上,其中m<0,∴m( m+6)=﹣,∴m2+2 m+1=0,∵PQ⊥x轴,∴Q点的坐标为(m,n).∵△OQM的面积是,∴OM•QM= ,∵m<0,∴mn=﹣1,∴m2n2+2 mn2+n2=0,∴n2﹣2 n=﹣1,∴n2﹣2 n+9=8.【解析】【分析】(1)由于反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1),运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;(2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度,∠AOC的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出点B的坐标,进而判断点B是否在此反比例函数的图象上;(3)把点P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由△OQM的面积是,根据三角形的面积公式及m<0,得出mn的值,最后将所求的代数式变形,把mn的值代入,即可求出n2﹣2 n+9的值.3.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A(﹣1,2),B(2,n),与y轴交于C 点.(1)求反比例函数和一次函数解析式;(2)如图1,若将y=kx+b向下平移,使平移后的直线与y轴交于F点,与双曲线交于D,E两点,若S△ABD=3,求D,E的坐标.(3)如图2,P为直线y=2上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q,交双曲线于R,若QR=2QP,求P点坐标.【答案】(1)解:点A(﹣1,2)在反比例函数y= 的图象上,∴m=(﹣1)×2=﹣2,∴反比例函数的表达式为y=﹣,∵点B(2,n)也在反比例函数的y=﹣图象上,∴n=﹣1,即B(2,﹣1)把点A(﹣1,2),点B(2,﹣1)代入一次函数y=kx+b中,得,解得:k=﹣1,b=1,∴一次函数的表达式为y=﹣x+1,答:反比例函数的表达式是y=﹣,一次函数的表达式是y=﹣x+1;(2)解:如图1,连接AF,BF,∵DE∥AB,∴S△ABF=S△ABD=3(同底等高的两三角形面积相等),∵直线AB的解析式为y=﹣x+1,∴C(0,1),设点F(0,m),∴AF=1﹣m,∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= (1﹣m)×(1+2)=3,∴m=﹣1,∴F(0,﹣1),∵直线DE的解析式为y=﹣x+1,且DE∥AB,∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①.∵反比例函数的表达式为y=﹣②,联立①②解得,或∴D(﹣2,1),E(1,﹣2);(3)解:如图2由(1)知,直线AB的解析式为y=﹣x﹣1,双曲线的解析式为y=﹣,设点P(p,2),∴Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),PQ=|2+p+1|,QR=|﹣p﹣1+ |,∵QR=2QP,∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|,解得,p= 或p= ,∴P(,2)或(,2)或(,2)或(,2).【解析】【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值,从而可得到反比例函数的解析式;把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式;(2)依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3,再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标,即可得出直线DE的解析式,即可求出交点坐标;(3)设点P(p,2),则Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),然后可表示出PQ与QR的长度,最后依据QR=2QP,可得到关于p的方程,从而可求得p的值,从而可得到点P的坐标.4.如图,四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形,对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上(n≥1的整数),点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,P n(x n, y n)在反比例函数y= (x>0)的图象上,并已知B1(﹣1,1).(1)求反比例函数y= 的解析式;(2)求点P2和点P3的坐标;(3)由(1)、(2)的结果或规律试猜想并直接写出:△P n B n O的面积为 ________ ,点P n的坐标为________ (用含n的式子表示).【答案】(1)解:在正方形OP1A1B1中,OA1是对角线,则B1与P1关于y轴对称,∵B1(﹣1,1),∴P1(1,1).则k=1×1=1,即反比例函数解析式为y=(2)解:连接P2B2、P3B3,分别交y轴于点E、F,又点P1的坐标为(1,1),∴OA1=2,设点P2的坐标为(a,a+2),代入y=得a=-1,故点P2的坐标为(-1,+1),则A1E=A2E=2-2,OA2=OA1+A1A2=2,设点P3的坐标为(b,b+2),代入y=(>0)可得b=-,故点P3的坐标为(-,+)(3)1;(-,+)【解析】【解答】解:(3)∵=2=2×=1,=2=2×=1,…∴△P n B n O的面积为1,由P1(1,1)、P2(﹣1, +1)、P3(﹣,+ )知点P n的坐标为(﹣,+ ),故答案为:1、(﹣, +).【分析】(1)由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称,得出点P1(1,1),然后利用待定系数法求解即可;(2)连接P2B2、P3B3,分别交y轴于点E、F,由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2,设P2的坐标为(a,a+2),代入解析式求得a的值即可,同理可得点P3的坐标;(3)先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值,然后找出其中的规律,最后依据规律进行计算即可.5.如图,已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B,过点A作AD⊥轴于点D,连接AO,其中点A的横坐标为,△AOD 的面积为2.(1)求的值及 =4时的值;(2)记表示为不超过的最大整数,例如:,,设 ,若,求值【答案】(1)解:设A(x0, y0),则OD=x0, AD=y0,∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2,∴k=x0y0=4;当x0=4时,y0=1,∴A(4,1),代入y=mx+5中得4m+5=1,m=-1(2)解:∵,∴=mx+5,整理得,mx2+5x-4=0,∵A的横坐标为x0,∴mx02+5x0=4,当y=0时,mx+5=0,x=- ,∵OC=- ,OD=x0,∴m2•t=m2•(OD•DC),=m2•x0(- -x0),=m(-5x0-mx02),=-4m,∵- <m<- ,∴5<-4m<6,∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1)根据反比例函数比例系数k的几何意义,即可得出k的值;根据反比例函数图像上的点的坐标特点,即可求出A点的坐标,再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值;(2)解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组,得出mx2+5x-4=0,将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4,根据直线与x轴交点的坐标特点,表示出OC,OD的长,由m2•t=m2•(OD•DC)=-4m,根据m的取值范围得出5<-4m<6,从而答案。

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解得:

∵ OM= ,
∴ 12+(﹣ )2=( )2 ,
a=± (3)解:当 a=﹣2 时,y=﹣2x+2,
∴ 点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(0,2),
∵ 将 Rt△ AOB 在第一象限内沿直线 y=x 平移 ∴ A′(2,1),B′(1,3),
个单位得到 Rt△ A′O′B′,
∴ 0<m< ,,DANG


﹣3x+2= ,
当 x=m 时,﹣3m+2= ,
∴ k=﹣3m2+2m(0<m< )
(2)解:由题意得:

ax+2= , ax2+2x﹣k=0,
∵ 直线 y=ax+2(a≠0)与双曲线 y= ∴ △ =4+4ak=0, ak=﹣1,
有唯一公共点 M 时,
∴ k=﹣ ,
(4)解:①当 m<2 时,有 2(2﹣m)2+m﹣2=1, 解得:m1=1,m2= (舍去);②当 2≤m≤4 时,有 m﹣2=1, 解得:m3=3;③当 m>4 时,有 2(4﹣m)2+m﹣2=1, 整理得:2m2﹣15m+29=0.
∵ △ =(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,无解. ∴ m 的值为 1 或 3. ①当 k>0 时,如图得当 0<x≤2 时,y= 无最大值,有最小值 ,同 理当 a<0 时,且 a≤x<0 时,y≤ 有最大值 ,无最小值,②当 k<0 时,如图得当 0< x≤2 时,y= 无最小值,有最大值 ,同理当 a<0 时,且 a≤x<0 时,y≤ 有最小值 ,无 最大值,∴ 当 k<0,a<0 时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a 的取值 范围是 a<0;
P1、P2 的一次函数的函数值大于反比例函数 y= 【答案】(1)减小 (2)解:①如图所示,作 P1B⊥OA1 于点 B,
的函数值.
∵ A1 的坐标为(2,0), ∴ OA1=2, ∵ △ P1OA1 是等边三角形, ∴ ∠ P1OA1=60°, 又∵ P1B⊥OA1 , ∴ OB=BA1=1, ∴ P1B= , ∴ P1 的坐标为(1, ), 代入反比例函数解析式可得 k= ,
解得:x= ,
∴ 点 G(0, ). 过点 F 作 FH⊥CB 于点 H,如图所示.
由折叠的特性可知:∠ GDF=∠ GOF=90°,OG=DG,OF=DF. ∵ ∠ CGD+∠ CDG=90°,∠ CDG+∠ HDF=90°, ∴ ∠ CGD=∠ HDF, ∵ ∠ DCG=∠ FHD=90°, ∴ △ GCD∽ △ DHF,
∴ 反比例函数的解析式为 y= ; ②如图所示,过 P2 作 P2C⊥A1A2 于点 C, ∵ △ P2A1A2 为等边三角形, ∴ ∠ P2A1A2=60°, 设 A1C=x,则 P2C= x, ∴ 点 P2 的坐标为(2+x, x), 代入反比例函数解析式可得(2+x) x= , 解得 x1= ﹣1,x2=﹣ ﹣1(舍去), ∴ OC=2+ ﹣1= +1,P2C= ( ﹣1)= ﹣ , ∴ 点 P2 的坐标为( +1, ﹣ ),
2.如图 1,已知一次函数 y=ax+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B,反比例函数 y= 经过点 M.
(1)若 M 是线段 AB 上的一个动点(不与点 A、B 重合).当 a=﹣3 时,设点 M 的横坐标 为 m,求 k 与 m 之间的函数关系式. (2)当一次函数 y=ax+2 的图象与反比例函数 y= 的图象有唯一公共点 M,且 OM= ,求 a 的值.
值范围,由﹣3x+2= ,由 X=m 得 k=﹣3m2+2m(0<m< );(2)由 ax+2= 得 ax2+2x﹣
k=0,直线 y=ax+2(a≠0)与双曲线 y= 有唯一公共点 M 时,△ =4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股 定理即可;(3)当 a=﹣2 时,y=﹣2x+2,从而求出 A、B 两点的坐标,由平移的知识知 A′,B′点的坐标,从而得到 k 的取值范围。

=2,
∴ DF=2GD= ,
∴ 点 F 的坐标为( ,0). 设折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=ax+b,
∴有
,解得:

∴ 折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=﹣ x+ 【解析】【分析】(1)由点 E 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值, 再由点 B 在反比例函数图象上,代入即可求出 m 值;(2)设 OG=x,利用勾股定理即可得 出关于 x 的一元二次方程,解方程即可求出 x 值,从而得出点 G 的坐标.再过点 F 作 FH⊥CB 于点 H,由此可得出△ GCD∽ △ DHF,根据相似三角形的性质即可求出线段 DF 的长 度,从而得出点 F 的坐标,结合点 G、F 的坐标利用待定系数法即可求出结论.
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于 A、B 两点,点 A 的坐标 为(2,3n),点 B 的坐标为(5n+2,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式; (2)将一次函数 y=kx+b 的图象沿 y 轴向下平移 a 个单位,使平移后的图象与反比例函数
(3)当 a=﹣2 时,将 Rt△ AOB 在第一象限内沿直线 y=x 平移 个单位长度得到 Rt△ A′O′B′,如图 2,M 是 Rt△ A′O′B′斜边上的一个动点,求 k 的取值范围.
【答案】(1)解:当 a=﹣3 时,y=﹣3x+2, 当 y=0 时,﹣3x+2=0,
x= , ∵ 点 M 的横坐标为 m,且 M 是线段 AB 上的一个动点(不与点 A、B 重合),
点 M 是 Rt△ A′O′B′斜边上一动点, 当点 M′与 A′重合时,k=2, 当点 M′与 B′重合时,k=3, ∴ k 的取值范围是 2≤k≤3 【解析】【分析】(1)当 a=﹣3 时,直线解析式为 y=﹣3x+2,求出 A 点的横坐标,由于 点 M 的横坐标为 m,且 M 是线段 AB 上的一个动点(不与点 A、B 重合)从而得到 m 的取
4.如图,矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上,点 D 为 BC 边上的点,反比
例函数 y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点 D(m,2)和 AB 边上的点 E(3,
). (1)求反比例函数的表达式和 m 的值; (2)将矩形 OABC 的进行折叠,使点 O 于点 D 重合,折痕分别与 x 轴、y 轴正半轴交于点 F,G,求折痕 FG 所在直线的函数关系式.


解得

∴ 反比例函数与一次函数的表达式分别为 y= ,y=﹣ x+7.
(2)解:设平移后的一次函数的解析式为 y=﹣ x+7﹣a,

,消去 y 得到 x2+(2a﹣14)x+24=0,
由题意,△ =0,(21a﹣14)2﹣4×24=0,
解得 a=7±2 .
(3)(0,6)或(0,8)
【解析】【解答】(3)设直线 AB 交 y 轴于 K,则 K(0,7),设 E(0,m),
3.如图,P1、P2(P2 在 P1 的右侧)是 y= (k>0)在第一象限上的两点,点 A1 的坐标为 (2,0).
(1)填空:当点 P1 的横坐标逐渐增大时,△ P1OA1 的面积将________(减小、不变、增 大) (2)若△ P1OA1 与△ P2A1A2 均为等边三角形, ①求反比例函数的解析式; ②求出点 P2 的坐标,并根据图象直接写在第一象限内,当 x 满足什么条件时,经过点
(2)解:令 y= ≤2, 解得:x<0 或 x≥1. ∴ 符合条件的 x 的范围为 x<0 或 x≥1
(3)解:①当 k>0 时,如图得当 0<x≤2 时,y= 无最大值,有最小值 ,同理当 a<0 时,且 a≤x<0 时,y≤ 有最大值 ,无最小值,②当 k<0 时,a≤x<0 时,y≤ 有最小值 ,无最大值,∴ 当 k<0,a<0 时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a 的取值范围是 a<0
y= 的图象有且只有一个交点,求 a 的值; (3)点 E 为 y 轴上一个动点,若 S△ AEB=5,则点 E 的坐标为________. 【答案】(1)解:∵ A、B 在反比例函数的图象上, ∴ 2×3n=(5n+2)×1=m, ∴ n=2,m=12, ∴ A(2,6),B(12,1), ∵ 一次函数 y=kx+b 的图象经过 A、B 两点,
且 a≤x<0 时,得到 y≤ 有最大值 ,无最小值,②当 k<0 时,如图得当 0<x≤2 时,y=
无最小值,有最大值 ,同理当 a<0 时,且 a≤x<0 时,y≤ 有最小值 ,无最大值,于 是得到结论;(4)分 m<2、2≤m≤4 和 m>4 三种情况考虑,根据二次函数的性质结合当 2≤x≤4 时有最小值为 1 即可得出关于 m 的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出 结论.
∴ 当 1<x< +1 时,经过点 P1、P2 的一次函数的函数值大于反比例函数 y= 的函数值 【解析】【解答】解:(1)当点 P1 的横坐标逐渐增大时,点 P1 离 x 轴的距离变小,而
OA1 的长度不变, 故△ P1OA1 的面积将减小, 故答案为:减小; 【分析】(1)当点 P1 的横坐标逐渐增大时,点 P1 离 x 轴的距离变小,而 OA1 的长度不 变,故△ P1OA1 的面积将减小;(2)①由 A1 的坐标为(2,0),△ P1OA1 是等边三角形, 求出 P1 的坐标,代入反比例函数解析式即可;②由△ P2A1A2 为等边三角形,求出点 P2 的 坐标,得出结论.
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