2019届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试数学文试题
2019届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．若命题“R x ∀∈，2210x mx -+≥”是真命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 2．已知集合{}1,,2A m =-，{}0,1,B n =，若{}1,2A B = ，则m n -= ▲ ． 3．函数0()lg(4)(3)f x x x =---的定义域为 ▲ ． 4．函数2cos 2cos ()y x x x x R =+∈的最小正周期是 ▲ ．5．已知函数cos ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π⎧=⎨-+>⎩≤，则7()6f 的值为 ▲ ．6．已知(1,)a λ= ，(2,1)b =，若向量2a b + 与(8,6)c = 共线，则实数λ的值为 ▲ ．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 ▲ ．8．设不等式组2201010x y x y x y --≤⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥表示的平面区域为D ，(),P x y 是区域D 上任意一点，的最大值与最小值之和是 ▲ ．9．定义在R 上的偶函数()f x x a x b =-+-（其中a 、b 为常数）的最小值为2，则22=a b + ▲ ．10．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，若3BC C E = ，AF AB λ= ，且1AE DF ⋅=-，则实数λ的值为 ▲ ．11．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x 、2x ，有12min3x x π-=，则ϕ= ▲ ．12．在等比数列{}n a 中，已知1423()()3a a a a +-+=，若1(N )n n a a n *+>∈，则65a a -的最小值是2018．11▲ ．13．在ABC ∆中，3BC =，12BA BC ⋅=，当角A 最大时，则ABC ∆的面积为 ▲ ．14．已知函数()31,13,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的函数()()221y f x mf x =++有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量(cos ,1)m α=- ，(2,sin )n α= ，其中(0,)2πα∈，且m ⊥n .⑴ 求cos 2α的值；⑵若sin()αβ-=(0,)2πβ∈，求角β.16．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ， 22AD AB BC ==，M 为边AD 的中点，1CB ⊥底面ABCD .⑴ 求证：1C M ∥平面11A ABB ； ⑵ 平面1B BM ⊥平面1ACB .1B 1A 1C 1D ABCM如图，在海岸线l 一侧P 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在l 上设立了M ，N 两个报名接待点，P ，M ，N 三点满足任意两点间的距离为20km ．公司拟按以下思路运作：先将M ，N 两处游客分别乘车集中到MN 之间的中转点Q 处(点Q 异于M ，N 两点)，然后乘同一艘游轮由Q 处前往P 岛．据统计，每批游客报名接待点M 处需发车2辆，N 处需发车4辆，每辆汽车的运费为20元/km ，游轮的运费为120元/km ．设∠PQM α=，每批游客从各自报名点到P 岛所需的运输总成本为T 元．⑴ 写出T 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； ⑵ 问：中转点Q 距离M 处多远时，T 最小？18．（本小题满分16分）已知函数32()21(R)f x x ax a =-+∈．⑴ 若函数()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，求此时函数()f x 的单调区间； ⑵ 当0a >时，若函数()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值的和为1，求实数a 的值．lNQMP在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ． ⑴ 求证：{}n n a b +是等比数列； ⑵ 求n a 及n S ；⑶ 设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．20．（本小题满分16分）已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，R a ∈． ⑴ 若3x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；⑵ 若函数()f x 在区间1(,3)2上为单调递减函数，求实数a 的取值范围； ⑶ 设,m n 为正实数，且m n >，求证：2ln ln nm n m n m +<--．2019届第一学期期中考试高三文科数学试题参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．[]1,1-, 2．1-, 3．[)()2,33,4 , 4．π,5．22-6．1, 7．47， 8．52+，9．2， 10．14， 11．6π， 2018．1112．12， 13．3， 14．(3,--，二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、(本题满分14分)解：(1)∵(cos ,1)m α=- ，(2,sin )n α=，且m ⊥n .∴2cos sin 0αα-=，即sin 2cos αα=， …………………………………2分又∵22sin cos 1αα+=，∴25cos 1α=，即cos α=， …………………3分又∵(0,)2πα∈，∴cos 5α=，sin 5α= ……………………………4分则223cos 22cos12(155αα=-=⨯-=-， …………………………………6分(2) ∵(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，∴(,)22ππαβ-∈-，即cos()0αβ-> ……………………………………8分又∵sin()10αβ-=∴cos()αβ-==……………………10分 则[]sin sin ()sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---5105102=-=， ………………………………………………13分 又∵(0,)2πβ∈，∴4πβ=， ……………………………………………………14分16、(本题满分14分)证明：（1）∵几何体1111ABCD A BC D -为四棱柱，∴四边形11BCC B 为平行四边形，即BC ∥11B C ，且BC =11B C ，……………2分 又∵底面ABCD 为等腰梯形，∴BC ∥AM ， 即AM ∥11B C ， ………………………3分 又∵22AD AB BC ==，且M 为边AD 的中点， ∴AM BC =，即AM =11B C ，……………4分则四边形11AMC B 为平行四边形，即1C M ∥1AB ， ………………………………5分 又∵1C M ⊄平面11A ABB ，1A B ⊂平面11A ABB ，∴1C M ∥平面11A ABB ， ……………………………………………………7分 （2）∵BC ∥AM ，且AM BC =， ∴四边形AMCB 为平行四边形， 又∵2ADAM AB ==，∴四边形AMCB 为茭形，则BM ⊥AC ， ……………9分 又∵1CB ⊥底面ABCD ，且BM ⊂底面ABCD ，∴BM ⊥1CB ， ……………11分又∵1AC CB C = ，且AC ⊂平面1ACB ，1CB ⊂平面1ACB ，∴BM ⊥平面1ACB ， ……………………………………………………13分 又∵BM ⊂底面1B BM ，∴平面1B BM ⊥平面1ACB ……………………………14分17、(本题满分14分)解：(1) 由题知在△MPQ 中，∠3PMQ π=，∠PQM α=，20PM =，∠23MPQ πα=-， 由正弦定理知202sin sin sin()33PQ MQ ππαα==-，…………………………………2分 即sin PQ α=220sin()3sin MQ παα-=， 则220sin()32020sin QN MQ παα-=-=-， ……………………………………4分 由题意可得4080120T MQ QN PQ =++2800sin()3sin παα-=+21600sin()31600sin παα--+， 3cos sin αα-=+，其中2(,)33ππα∈， …………………………………7分(2) 由T =3cos sin αα-+，其中2(,)33ππα∈得， T '=，令0T '=解得1cos 3α=， …………………………9分 ∵2(,)33ππα∈，∴存在唯一的02(,)33ππα∈，使得01cos 3α=， lN M Q P当1cos 3α>时，0T '<，即函数S 在区间0(,)3πα上为单调递减， 当1cos 3α<时，0T '>，即函数S 在区间02(,)3πα上为单调递增， 故当1cos 3α=（即0αα=）时，T 最小， …………………………………11分则sin α=220sin()10sin 310sin sin 2MQ πααααα-+===+ …13分 答：当中转点Q 距离M处10()2km +时，S 最小，…………………………14分18、(本题满分16分)解：（1）∵32()21(,(0,))f x x ax a R x =-+∈∈+∞，∴由2()622(3)0f x x ax x x a '=-=-=，得到10x =，23ax =， ……………1 分 ① 当0a ≤时，()2(3)0f x x x a '=->在区间(0,)+∞上恒成立， 即函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又因为函数()f x 的图象过点(0,1)，即(0)10f =>，所以函数()f x 在(0,)+∞内没有零点，不合题意， ……………………3分② 当0a >时，由()0f x '>得3a x >，即函数()f x 在区间(,)3a+∞上单调递增， 由()0f x '<得03a x <<，即函数()f x 在区间在(0,)3a上单调递减， …………4分且过点(0,1)，则由函数()f x 的图象（略）可知，要使函数()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则须()03af =，即33210279a a -+=，解得3a =， 综上可得函数()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点时3a =， ………………6分 此时函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)……7分 （2）当0a >时，函数()f x 在(,0)-∞，(,)3a +∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减，此时函数()f x 有两个极值点，极大值为(0)1f =，极小值为3()1327a a f =-，且(1)1f a -=--，(1)3f a =-， ………………………………………………8分1、 当013a<≤时，即03a <≤时， ①若(1)(0)f f ≥，即31a -≥，也即02a <≤时，此时max ()(1)3f x f a ==-，又∵3()10327a a f =->，(1)10f a -=--<∴min ()(1)1f x f a =-=-- 由max min ()()1f x f x +=可得(3)(1)1a a -+--=，即12a =，符合题意 …10分 ②若(1)(0)f f <，即31a -<，也即23a <≤时，此时max ()(0)1f x f ==，min ()(1)1f x f a =-=--，由max min ()()1f x f x +=可得1(1)1a +--=，即1a =-，不符合题意舍去 …12分 2、 当13a>时，即3a >时，max ()(0)1f x f ==， 又∵33327()(1)(1)(1)233272727a a a a f f a a a +--=----=+-=+-22(3)(39)(3)(6)(3)2727a a a a a a +-++-=+-=， …………………………13分①若()(1)3af f ≥-，即60a -≥，也即36a <≤时，此时min ()(1)1f x f a =-=--， 由max min ()()1f x f x +=可得1(1)1a +--=，即1a =-，不符合题意舍去 …15分②若()(1)3a f f <-，即60a -<，也即6a >时，此时3min ()()1327a a f x f ==-，由max min()()1f x f x +=可得31(1)127a +-=，即3a =，不符合题意舍去，综上所述可知所求实数a 的值为12。
【高三】江苏省常州市武进区届高三上学期期中考试数学文试题
【高三】江苏省常州市武进区届高三上学期期中考试数学文试题试卷说明：武进区第一学期中考尝试高三文科数学测试题1。
填空（这个大问题有14个小问题，每个小问题5分，共70分，请在答题纸的相应位置填写答案）1。
如果集合已知，则实数的值为▲. 2.函数的最小正周期为▲. 3.如果两条直线已知，则▲. 4.如果算术序列的前n项之和已知，则该值为▲.5.已知向量如果向量与向量共线，则为实数▲.6.如果直线平面和直线平面已知，则给出以下命题：① 如果，那么；② 如果是，那么；③ 如果是，那么；④ 如果是，则正确命题的序号为▲. （填写所有正确命题的序号）7。
上定义的函数满足：，和，然后=▲. 8.如果实数x和y满足，则的最大值为▲. 9.在直角三角形中，点是斜边上的三等分点，然后▲. 10.已知函数，其中。
是，那么值的范围是▲. 11.如图所示，在正三角形金字塔a-bcd中，a的边长为2，E点为AB的中点，⊥ 那么正三角形金字塔a-bcd的体积是▲. 12.给定点P的坐标，最小值为。
13如果通过点P的直线L和圆在域为r的函数的a点和B点相交，如果关于X的方程有五个不同的实数解，则等于▲. 14.曲线C：与原点轴线相交的对称点称为“观察点”，而“观察点”是圆的中心。
所有与曲线C有公共点的圆称为“看圆”。
当时，在所有“环视圈”中，面积最小的“希望圈”的面积是▲. 2.解答：（本大题共6道题，总分90分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）15分。
（本题满分为1分），角度的对边分别为，取最大值；如果是，结果是。
16.（这道题的满分是1分），底部是长方形的平面，⑴ 验证：平面；（2）边缘上是否有一点构成平面？如果是，请找出要点并加以证明；如果不存在，请解释原因。
17.（这个问题的满分是1分）定义字段是函数图像上的任意点的设定值。
通过点是直线和轴的垂直线，垂直脚是（1）它是固定值吗？如果是，计算固定值；若否,请解释原因;；（2）将该点设置为坐标原点，并找到四边形面积的最小值。
2019-2020学年江苏省常州市高三(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含答案)
2
2
2
又由当 0x1 时， f (x) 4x(1 x) ，
则 f (1 ) 4 1 (1 1 ) 1；
2
22
故答案为：1． 6．设函数 f (x) cos x( 0) ，将 y f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象
4 与原图象重合，则 的最小值等于 8 ． 【解答】解：函数 f (x) cos x( 0) ，将 y f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，
an1 an
a12 q2(n1)1 a12 q 2n1
q2 ，结果是不为零的常数，所
以④正确； 所以本题正确的应选①②④．
9．已知函数 f (x) x3 3x c(x R) ，若函数 f (x) 恰有一个零点，则实数 c 的取值范围是
( ， 2) (2 ， ) ．
( 15 ) 3 33
5 ． 3
故答案为： 5 ． 3
8．已知数列{an} 是等比数列，有下列四个命题：
①数列
{|
an
|}
是等比数列；②数列
1 an
是等比数列；
③数列 lg(an2 ) 是等比数列；④数列{an an1} 是等比数列．
其中正确命题的序号为 ①②④ ．
22 ．
【解答】解：设底面边长为 a ，则高 h SA2 ( 2a )2 24 a2 ，
2
2
所以体积 V 1 a2h 1 24a4 1 a6 ，
3
3
2
设 y 24a4 1 a6 ，则 y 96a3 3a5 3a3 (32 a2 ) ； 2
①数列
常州高级中学2019年-2020年第一学期高三年级数学期中模拟试卷
江苏省常州高级中学高三年级第一学期期中测试卷1. 已知集合}{4321、、、=A ，}{6420、、、=B ,则=⋂B A2. 若复数z 满足i*z=1+2i(其中i 为虚数单位),则z 的模为3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11S =13，3086=+a a ，则1a 的值为4. 上图是一个算法的流程图，则输出的n 为5. 如图，已知长方体棱长为1，点P 在1AA 上任意一点，则四棱锥P -11B BDD 的体积为6. 已知实数0,>y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则z=y x +2的最大值为 7. 在平行四边形ABCD 中，AB=3,AD=1,∠BAD=60°，若CE ⋅则2的值为 8. k ,4,9)2(3122则实数两点，若相交于）圆（直线==-+-+=AB B A y x kx y9. []_______2121-,4)()()32sin(2)(的最大值为，则π，π且，若π已知x x x f x f x x f -∈-=⋅-=10. _____2201010)6,0(程为切于原点的圆的标准方且与圆：过点=+++y x y x A11. ___________2a )()()()(=-+==则只有一个零点，上单调函数，若函数是已知奇函数x a f x f x g R x f y12. 的最大值为，则若的对边分别为中，在△A C b a c b a C B A ABC tan 0cos 3,,,,,=+,,,0442:13_______22成等比数列，则满足：内的点圆的中点为轴截得的弦被、已知圆PB PN PA P C N AB x y x y x C ⋅=-+-+的取值范围个不同实数解，则实数有且仅有的方程、若关于3)2(22142x x e x ae x a x -=---二、解答题1、(本题满分14分)的值求为垂足，若）设（的大小求角且的对边分别为中，在△AC AD c b D BC AD A B b c A b c b a C B A ABC ⋅==⊥-=,3,2,2).1(.tan )2(tan ,,,,,16、(本题满分14分)ABCCEF CC BB EF AB C A F E AC A C C AA ABC C C AA ABC C B A 平面平面平面的中点，求证、分别是，是菱形，侧面底面中，侧面如图，斜三棱柱⊥︒=∠⊥-)2(//)1(;.60,11111111111117、(本题满分14分)如图，某市有一天东西走向的公路l 现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路，l 、m 欲在建一条公路PQ ，Q P ,分别在公路的l 、m 上（点Q P ,分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切。
江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学试题 含答案
江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1．设集合}{2A x x =≤，2{1}y y B x ==-，则A B ⋂= ．2．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若a b ⊥，则实数x 的值为 ．3．设x ∈R ，则38x >是2x >的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23108a a a ++=，则9S = ． 5．已知()f x '是函数()sin cos f x x x =-的导函数，实数α满足()()3f f αα'= ，则tan 2α的值为 ．6．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则实数λ的值为 ．7．已知函数()(1)()f x x px q =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 ．8．在平面直角坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角α以Ox为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是 ． 9．函数()log 31a y x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为 ． 10．已知λ∈R ，函数()245,1,xx x x f x e x λλ⎧--<=⎨-≥⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则实数λ的取值范围是 ．11．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，若3BC CE =，AF AB λ=，且1AE DF ⋅=-，则实数λ的值为 ．12．已知不等边ABC ∆（三条边都不相等的三角形）的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若()()221cos cos 2a b B c C b c -=-，则A ∠的弧度数为 ． 13．已知定义在R 上的函数()xf x =，若存在实数a ，使得对任意实数x 都有()f x a k -<成立，则实数k 的最小值为 ．14．若正实数x 、y 满足229x xy y -+=，且229x y -<，则xy 的取值范围为 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()sin A B C += 8sin sin sin 7B C A +=，7=a .⑴ 求角A 的值； ⑵ 求ABC ∆的面积．16．（本题满分14分）已知O 为坐标原点，()cos ,1OA x =， ()2cos 2OB x x =，R x ∈， 若()f x OA OB =⋅.⑴ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．17．（本题满分14分）常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？18．（本题满分16分）已知函数22()ln f x x ax a x =--． ⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 19．（本题满分16分）设函数()()()3f x x t m x t =---，其中t ，R m ∈．⑴ 若1t =，0m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； ⑵ 若9m =，求()f x 的极值；⑶ 若曲线()y f x =与直线()y x t =---m 的取值范围．20．（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知()()*623N n n S n a n n =++∈错误！未找到引用源。
江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学试题(文)
江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学试题（文）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若命题“R x ∀∈，2210x mx -+≥”是真命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 2．已知集合{}1,,2A m =-，{}0,1,B n =，若{}1,2A B =，则m n -= ▲ ．3．函数0()lg(4)(3)f x x x =---的定义域为 ▲ ．4．函数2cos 2cos ()y x x x x R =+∈的最小正周期是 ▲ ．5．已知函数cos ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π⎧=⎨-+>⎩≤，则7()6f 的值为 ▲ ．6．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则实数λ的值为 ▲ ． 7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 ▲ ．8．设不等式组2201010x y x y x y --≤⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥表示的平面区域为D ，(),P x y 是区域D 上任意一点，的最大值与最小值之和是 ▲ ．9．定义在R 上的偶函数()f x x a x b =-+-（其中a 、b 为常数）的最小值为2， 则22=a b + ▲ ．10．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，若3B C C E=，AF AB λ=，且1AE DF ⋅=-，则实数λ的值为 ▲ ．11．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x 、2x ，有12min3x x π-=，则ϕ= ▲ ．12．在等比数列{}n a 中，已知1423()()3a a a a +-+=，若1(N )n n a a n *+>∈，则65a a -的最小值是 ▲ ．13．在ABC ∆中，3BC =，12BA BC ⋅=，当角A 最大时，则ABC ∆的面积为 ▲ ．14．已知函数()31,13,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的函数()()221y f x mf x =++有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤）15．（本小题满分14分）已知向量(cos ,1)m α=-，(2,sin )n α=，其中(0,)2πα∈，且m ⊥n .⑴ 求cos2α的值； ⑵若sin()αβ-=(0,)2πβ∈，求角β.16．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，22AD AB BC ==，M 为边AD 的中点，1CB ⊥底面ABCD .⑴ 求证：1C M ∥平面11A ABB ； ⑵ 平面1B BM ⊥平面1ACB .17．（本小题满分14分）如图，在海岸线l 一侧P 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在l 上设立了M ，N 两个报名接待点，P ，M ，N 三点满足任意两点间的距离为20km ．公司拟按以下思路运作：先将M ，N 两处游客分别乘车集中到MN 之间的中转点Q 处(点Q 异于M ，N 两 点)，然后乘同一艘游轮由Q 处前往P 岛．据统计，每批游客报名接待点M 处需发车2辆， N 处需发车4辆，每辆汽车的运费为20元/km ，游轮的运费为120元/km ．设∠PQM α=， 每批游客从各自报名点到P 岛所需的运输总成本为T 元．⑴ 写出T 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； ⑵ 问：中转点Q 距离M 处多远时，T 最小？18．（本小题满分16分）已知函数32()21(R)f x x ax a =-+∈．⑴ 若函数()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，求此时函数()f x 的单调区间； ⑵ 当0a >时，若函数()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值的和为1，求实数a 的值．19．（本小题满分16分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ． ⑴ 求证： {}n n a b +是等比数列； ⑵ 求n a 及n S ；⑶ 设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．20．（本小题满分16分） 已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，R a ∈．⑴ 若3x =是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程； ⑵ 若函数在区间1(,3)2上为单调递减函数，求实数的取值范围；⑶ 设为正实数，且，求证：．()f x ()y f x =()1,(1)f ()f x a ,m n m n >2ln ln nm n m n m +<--【参考答案】一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．[]1,1-, 2．1-, 3．[)()2,33,4, 4．π,5．2-6．1, 7．47， 8．59．2， 10．14， 11．6π，12．12， 13．3， 14．(3,--， 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤）15.解：(1)∵(cos ,1)m α=-，(2,sin )n α=，且m ⊥n .∴2cos sin 0αα-=，即sin 2cos αα=， …………………………………2分又∵22sin cos 1αα+=，∴25cos 1α=，即cos 5α=±， …………………3分又∵(0,)2πα∈，∴cos α=，sin α=， ……………………………4分则223cos 22cos 1215αα=-=⨯-=-， …………………………………6分(2) ∵(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，∴(,)22ππαβ-∈-，即cos()0αβ-> ……………………………………8分又∵sin()αβ-=∴cos()10αβ-===，……………………10分 则[]sin sin ()sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---2==， ………………………………………………13分 又∵(0,)2πβ∈，∴4πβ=， ……………………………………………………14分16.（1）证明：∵几何体1111ABCD A B C D -为四棱柱， ∴四边形11BCC B 为平行四边形，即BC ∥11B C ，且BC =11B C ，……………2分 又∵底面ABCD 为等腰梯形，∴BC ∥AM ， 即AM ∥11B C ， ………………………3分 又∵22AD AB BC ==，且M 为边AD 的中点， ∴AM BC =，即AM =11B C ，……………4分则四边形11AMC B 为平行四边形，即1C M ∥1AB ， ………………………………5分 又∵1C M ⊄平面11A ABB ，1A B ⊂平面11A ABB ，∴1C M ∥平面11A ABB ， ……………………………………………………7分 （2）解：∵BC ∥AM ，且AM BC =， ∴四边形AMCB 为平行四边形， 又∵2ADAM AB ==，∴四边形AMCB 为茭形，则BM ⊥AC ， ……………9分 又∵1CB ⊥底面ABCD ，且BM ⊂底面ABCD ，∴BM ⊥1CB ， ……………11分 又∵1ACCB C =，且AC ⊂平面1ACB ，1CB ⊂平面1ACB ，∴BM ⊥平面1ACB ， ……………………………………………………13分 又∵BM ⊂底面1B BM ，∴平面1B BM ⊥平面1ACB ……………………………14分 17.解：(1) 由题知在△MPQ 中，∠3PMQ π=，∠PQM α=，20PM =，∠23MPQ πα=-， 由正弦定理知202sin sin sin()33PQ MQ ππαα==-， …………………………………2分即PQ =220sin()3sin MQ παα-=， 则220sin()32020sin QN MQ παα-=-=-， ……………………………………4分 由题意可得4080120T MQ QN PQ =++2800sin()3sin παα-=+21600sin()31600sin παα--+，3cos sin αα-=，其中2(,)33ππα∈， …………………………………7分(2) 由T=3cos 3(sin αα-+，其中2(,)33ππα∈得，23cos )sin T αα-'=，令0T '=解得1cos 3α=， …………………………9分 ∵2(,)33ππα∈，∴存在唯一的02(,)33ππα∈，使得01cos 3α=， 当1cos 3α>时，0T '<，即函数S 在区间0(,)3πα上为单调递减， 当1cos 3α<时，0T '>，即函数S 在区间02(,)3πα上为单调递增， 故当1cos 3α=（即0αα=）时，T 最小， …………………………………11分则sin α=，220sin()310sin MQ παα-=== …13分 答：当中转点Q 距离M处10()2km +时，S 最小，…………………………14分 18.解：（1）∵32()21(,(0,))f x x ax a R x =-+∈∈+∞，∴由2()622(3)0f x x ax x x a '=-=-=，得到10x =，23ax =， ……………1 分 ①当0a ≤时，()2(3)0f x x x a '=->在区间(0,)+∞上恒成立， 即函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又因为函数()f x 的图象过点(0,1)，即(0)10f =>，所以函数()f x 在(0,)+∞内没有零点，不合题意， ……………………3分②当0a >时，由()0f x '>得3a x >，即函数()f x 在区间(,)3a+∞上单调递增， 由()0f x '<得03a x <<，即函数()f x 在区间在(0,)3a上单调递减， …………4分且过点(0,1)，则由函数()f x 的图象（略）可知，要使函数()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则须()03af =，即33210279a a -+=，解得3a =，综上可得函数()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点时3a =， ………………6分 此时函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)……7分 （2）当0a >时，函数()f x 在(,0)-∞，(,)3a +∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减，此时函数()f x 有两个极值点，极大值为(0)1f =，极小值为3()1327a a f =-，且(1)1f a -=--，(1)3f a =-， ………………………………………………8分当013a<≤时，即03a <≤时， ①若(1)(0)f f ≥，即31a -≥，也即02a <≤时，此时max ()(1)3f x f a ==-，又∵3()10327a a f =->，(1)10f a -=--<∴min ()(1)1f x f a =-=--由max min ()()1f x f x +=可得(3)(1)1a a -+--=，即12a =，符合题意 …10分 ②若(1)(0)f f <，即31a -<，也即23a <≤时，此时max ()(0)1f x f ==，min ()(1)1f x f a =-=--，由max min ()()1f x f x +=可得1(1)1a +--=，即1a =-，不符合题意舍去 …12分 当13a>时，即3a >时，max ()(0)1f x f ==， 又∵33327()(1)(1)(1)233272727a a a a f f a a a +--=----=+-=+-22(3)(39)(3)(6)(3)2727a a a a a a +-++-=+-=， …………………………13分 ①若()(1)3af f ≥-，即60a -≥，也即36a <≤时，此时min ()(1)1f x f a =-=--， 由max min ()()1f x f x +=可得1(1)1a +--=，即1a =-，不符合题意舍去 …15分②若()(1)3a f f <-，即60a -<，也即6a >时，此时3min ()()1327a a f x f ==-，由max min ()()1f x f x +=可得31(1)127a +-=，即3a =，不符合题意舍去， 综上所述可知所求实数a 的值为12。
江苏常州武进区2019高三上学期年中考试-数学文
江苏常州武进区2019高三上学期年中考试-数学文高三文科数学试题【一】填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上〕1、集合{}24M x x =<，{}ln 0N x x x =>，那么集合M N = ▲ 、2、向量(cos35,sin 35),(cos 65,sin 65)a b =︒︒=︒︒，那么向量a 与b 的夹角为 ▲ 、 3、设直线l 是曲线3()2f x x =+上的一条切线，那么切线l 斜率最小时对应的倾斜角为 ▲ 、4、2sin 2sin cos y x x x =+的周期是 ▲ 、5、公比为2的等比数列{}n a 的各项基本上正数，且41016a a =，那么10a = ▲ 、6、假设实数x 满足2cos log 2=+θx ，那么28++-x x = ▲ 、7、向量,a b 满足||5,||13a b ==，65cos ,a b <>=.假设ka b +与3a b -垂直，那么k = ▲ 、8、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm 的球面上.假如正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为 ▲ 2cm 、9、等差数列{}n a 中，27a ≤，69a ≥，那么10a 的取值范围是 ▲ 、10、A 、B 、C是直线l 上的三点，向量,,OA OB OC 满足()[2'(1)]l n O A f x f x O B xO C=+-⋅，那么函数()y f x =的表达式为▲ 、11、3()log (3)f x x =-，假设实数,m n 满足()(3)2,f m f n +=那么m n +的最小值为▲ 、12、过点C (2，5)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，那么12r r += ▲ 、〔1〕在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的必要不充分条件；A 1〔2〕在△ABC中，假设tantan tan0 A BC++>，那么△ABC一定为锐角三角形；〔3〕函数y={}sin,1y x xπ=∈是同一个函数；〔4〕函数(21)y f x=-的图象能够由函数(2)y f x=的图象按向量(1,0)a=平移得到.那么其中正确命题的序号是▲〔把所有正确的命题序号都填上〕、14、数列{}na满足1(1)nn na a n++-=，那么{}na的前40项和为▲、【二】解答题：〔本大题共6道题，计90分、解承诺写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕15、〔此题总分值14分〕设函数)0π()2sin()(<<-+=ϕϕxxf.()y f x=图像的一条对称轴是直线8π=x、〔1〕求函数()f x的解析式；〔2〕假设3(),(0,)25fααπ=∈，试求5()8fπα+的值.16、〔此题总分值14分〕长方体1111ABCD A B C D-中，1AD=，AB =P、Q分别是1CD和1A A的中点，求证：〔1〕PQ ABCD面；〔2〕面DPQ⊥面()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，其中e 是自然常数，.a R ∈(1)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； (2)假设()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 18、〔此题总分值16分〕曲线C ：2222(-1)120x y ax a y a +---+=. 〔1〕证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；〔2〕当1a ≠时，假设曲线C 与直线21y x =-相切，求a 的值.；〔3〕对所有的a R ∈且1a ≠，是否存在直线l 与曲线C 总相切？假如存在，求出l 的方程；假如不存在，请说明理由.各项均为正数的数列{}n a 中，前n 项和212n na S+⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设12231111n n k a a a a a a ++++<恒成立，求k 的取值范围；(3)对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和mS .20、〔此题总分值16分〕设函数32()fx ax bx cx d =+++是奇函数，且当x =时，()f x 取得极小值〔1〕求函数()f x 的解析式； 〔2〕求使得方程11()4033f x nx n '--++=仅有整数根的所有正实数n 的值； 〔3〕设()|()(31)|g x f x t x =+-，〔[1,1]x ∈-〕，求()g x 的最大值()F t 、武进区2018～2018学年度第一学期期中调研测试高三文科数学试题评分标准【一】填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1、()1,22、30︒3、120︒4、π5、326、107、198、89、[)11,+∞10、()2ln 13x f x x =-+11、412、1413、〔2〕、〔3〕14、420 【二】解答题：〔本大题共6道题，计90分〕 15、〔本小题总分值14分〕 解：〔1〕∵8π=x 是函数()y f x =的图象的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴Zk k ∈+=+,24ππϕπ，………………2分∵－0<<ϕπ，∴43πϕ-=，………………4分 故3()sin(2)4f x x π=-………………6分〔2〕因为3(),(0,)25f ααπ=∈， 因此33sin()45πα-=，34cos()45πα-=………………8分故333333sin sin[()]sin()cos cos()sin444444ππππππαααα=-+=-⋅+-⋅43()55-=………………11分而553()sin[2()]sin(2)cos 28842f ππππαααα+=+-=+=＝222412sin 11025α-=-=.因此，524()825f πα+=.………………14分16、〔此题总分值14分〕证明：⑴取CD 中点M ，连接AM 、PM.P 、Q 分别是1CD 和1A A 的中点，112PM D D ∴，112PM D D=，………………2分PMAQ ∴，PM AQ =，∴四边形AMPQ 是平行四边形，PQ AM ∴， (5)分 又AM ABCDPQ ABCD⊂⎧⎨⊄⎩面面，PQ ABCD ∴面.………………………7分⑵1AD=，AB=2DM =，2AD AB DM ∴=⋅，ADM BAD ∴∆∆～，DAM ABD ∴∠=∠，AM BD ∴⊥，1 PQ AM，PQ BD∴⊥，………………10分又长方体1111ABCD A B C D-，1B B ABCD∴⊥面，AM ABCD⊂面，1B B AM∴⊥，AM PQ，1PQ B B∴⊥，………………12分又111111BD B B BBD BB D DB B BB D D=⎧⎪⊂⎨⎪⊂⎩面面，11PQ BB D D∴⊥面，PQ DPQ⊂面∴面11DPQ BB D D⊥面.………………………14分17、〔此题总分值14分〕解：(1)()'11ln()1xf x x x f xx x-=-=-=…………………………2分∴当01x<<时，()'0f x<，如今()f x为单调递减；当1x e<<时，()'0f x>，如今()f x为单调递增.………………4分∴当()f x的极小值为()11f=，()f x无极大值………………………………6分〔2〕法一：∵()(]ln,0,f x ax x x e=-∈，∴ln3ax x-≥在(]0,x e∈上恒成立，即3ln xax x≥+在(]0,x e∈上恒成立，………………8分令3ln()xg xx x=+，(]0,x e∈，∴'22231ln2ln()x xg xx x x-+=-+=-………………10分令'()0g x=，那么21xe=，当210xe<<时，()'0f x>，如今()f x为单调递增，当21x ee<<时，()'0f x<，如今()f x为单调递减，………………12分∴222max21()()32g x g e e ee==-=， ∴2a e ≥.………………14分法二：由条件：ln 30ax x --≥在(]0,x e ∈上恒成立令()ln 3g x ax x =--，(]0,x e ∈，'11()ax g x a x x-=-=，………………8分11a e≤时，'()0g x ≤恒成立，∴()g x 在(]0,e 上递减，∴min()()4g x g e ae ==-；由条件知40ae -≥∴4a e ≥与1a e<矛盾.………………10分 12a e >时，令'()0g x =，∴1x a=当10x a<<时，()'0f x <，如今()f x 为单调递增，当1x ea<<时，()'0f x >，如今()f x 为单调递减，max1()()ln 2g x g a a==-， ∴ln 20,a -≥………………12分 即2a e ≥.………………14分 18、〔此题总分值16分〕 解：(1)证明:曲线C 的方程可变形为()()22212220x y y x y a ++-+--+=，由222102220x y y x y ⎧++-=⎨--+=⎩，………………2分解得10x y =⎧⎨=⎩，点()1,0满足C 的方程，故曲线C 过定点()1,0.………………4分(2)原方程配方得()()()222121x a y a a -+-+=-;由于1a ≠，因此()2210a ->，因此C 的方程表示圆心是(),1a a -1-的圆.………………6分由题意得圆心到直线距离d =8分1-=，解得a =………………10分〔3〕法一：由〔2〕知曲线C 表示圆设圆心坐标为()y x ,，那么有1x a y a =⎧⎨=-⎩，消去a 得1y x =-，故圆心必在直线1y x =-上.又曲线C 过定点()1,0，因此存在直线l 与曲线C 总相切，………………12分直线l 过点()1,0且与直线1y x =-垂直；∴l 方程为(1)y x =--即1y x =-+.………………16分法二：假设存在直线l 满足条件，显然l 不垂直于x 轴，设:l y kx b =+，圆心到直线距离d =1=-对所有的a R ∈且1a ≠都成立，………………12分即22222(1)2(21)2(1)(1)0k a k k kb b a k b +-++-+++-+=恒成立 ∴2222(1)02102(1)(1)0k k k kb b k b ⎧+=⎪++-+=⎨⎪+-+=⎩∴11k b =-⎧⎨=⎩∴存在直线l ：(1)y x =--即1y x =-+与曲线C 总相切.………………16分 19、〔此题总分值16分〕 解：(1)212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭，2-1-11,22n n a S n +⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，两式相减得22-111,222n n n a a a n ++⎛⎫⎛⎫=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………2分整理得()()-1-120n n n n a a a a +--=，数列{}n a 的各项均为正数，-12,2n n a a n ∴-=≥，{}n a ∴是公差为2的等差数列，………………4分又21112a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭得11a =，∴21n a n =-.………………5分〔2〕由题意得12231max111n n k a a a a a a +⎛⎫>+++ ⎪⎝⎭，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12231111111111123352121n n a a a a a a n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭………………8分 ∴12k ≥………………10分 (3)对任意m N +∈，22212m m n <-<，那么121112222m m n --+<<+， 而*N n ∈，由题意可知21122m m m b --=-，………………12分因此132101112222(222)m m m m S b b b --=+++=+++-+++()2121212221222232121121233m m m m m m+++----⋅+=-=--=--， 即2123213m m mS +-⋅+=.………………16分 20、〔此题总分值16分〕 解：〔1〕()f x 为奇函数，0b d ∴==，………………2分 又由(0f '=及(f =，得1,1a c =-=， 3()f x x x ∴=-+；………………4分当x <()0f x '<，当x <<时()0f x '>，()f x ∴在x =3()f x x x ∴=-+为所求………………5分〔2〕方程11()4033f x nx n '--++=化简得：240x nx n -+=， 因为方程仅有整数解，故n 为整数，又由2(4)x n x =-及0n >知，40x ->.………………7分 又216(4)84(4)x n x x x ==-++--，故4x -为16的正约数，………………9分因此41,2,4,8,16x -=，进而得到16,18,25n =.………………10分〔3〕因为3()|3|,[1,1]g x x tx x =-∈-是偶函数，因此只要求出()g x 在[0,1]上的最大值即可.记3()3h x x tx =-，22()333()h x x t x t '=-=-，〔1〕0t ≤时，()0h x '≥，()h x 在[0,1]上单调增且()(0)0h x h ≥=.∴()()g x h x =，故()(1)13F t h t ==-；………………12分〔2〕0t >时，由()0h x '=得，x =和x =，1≥即1t ≥时，()h x 在[0，1]上单调减， ∴()(0)0h x h ≤=，故()()g x h x =-，()(1)31F t h t =-=-；………………14分1<即01t <<时，()h x在单调减，单调增，1<≤114t ≤<时，|||(1)|h h >，∴()2F t h =-=〔Ⅱ〕当1<，即104t <<时，(1)2h >，∴()(1)13F t h t ==-，综上可知，113,41()21431,1t t F t t t t ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩.………………16分。
最新精品江苏省常州市2019届高三上学期期中教学质量调研数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由命题“，是真命题，利用判别式不大于零，即可求出实数的取值范围．【详解】因为命题“，”是真命题，所以，即．即所求的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查的知识点是全称命题的真假判断与应用，以及一元二次不等式恒成立问题，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题．2.已知集合m，，1，，若，则______．【答案】【解析】【分析】由集合，，，求出，，由此能求出．【详解】集合，，，，，．故答案为．【点睛】本题主要考查交集定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.3.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，0的指数幂的底数不为0，联立不等式组求解．【详解】要使函数有意义，则，解得且．函数的定义域为．故答案为．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于简单题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期．【详解】函数的最小正周期是，故答案为．【点睛】本题主要二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.已知函数，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出的值，即可得结果．【详解】因为当时，，所以，因为时，，所以，则，故答案为．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值．6.已知，，若向量与共线，则实数的值为______．【答案】1【解析】【分析】先求出的坐标，然后根据向量的共线得到的值．【详解】因为，，所以.又向量与共线，所以，解得．故答案为1．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的坐标表示．7.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______．【答案】【解析】【分析】利用底面半径都是3且高都是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．【详解】圆柱与圆锥的底面半径，圆柱与圆锥的高，可得圆锥的母线长为，则圆锥的全面积为：；圆柱的全面积为：．圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为．【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．8.设不等式组表示的平面区域为D，是区域D上任意一点，则的最大值与最小值之和是______．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，表示可行域内的点到原点的距离，由可行域求出最大值与最小值，从而可得到结果．【详解】做出不等式组表示的平面区域，如图，的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，由图可知，的最小值为原点到直线的距离，为，由，解得的最大值为．则的最大值与最小值之和．故答案为．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.定义在R上的偶函数其中a、b为常数的最小值为2，则______．【答案】2【解析】【分析】由偶函数的定义可得，运用绝对值不等式的性质可得最小值为，可得的值，进而得到所求和．【详解】定义在上的偶函数，可得，即，且，恒成立，可得，由，可得的最小值为，且，从而得，，则，故答案为2．【点睛】本题考查绝对值函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的性质，考查偶函数的定义,意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．10.在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为______．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∵∴∴故答案为.11.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的、有，则______．【答案】【解析】【分析】函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论，与，两种情况，分别求出值，检验是否符合条件即可.．【详解】因为函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．满足的可知，一个取最大值一个取最小值因为，若，，在取最大值，在取得最小值，，此时，不合题意，，，在取最小值，在，取得最大值，，此时，满足题意．故答案为．【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数的最值以及三角函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.在等比数列中，已知，若，则的最小值是______．【答案】12【解析】【分析】利用等比数列的通项公式化简，可得根据可判断将变形为，利用基本不等式的性质即可得出结果．【详解】在等比数列中，，，化为：．若，则，当且仅当时取等号．若，则，与矛盾，不合题意综上可得，的最小值是，故答案为12．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 13.在中，，，当角A最大时，则的面积为______．【答案】3【解析】【分析】建立坐标系，设，，，，，根据向量的几何意义可得，分别求出，，根据两角和的正切公式，利用基本不等式求出的最大值，即可求出的面积．【详解】中，，，，即，过作，垂足为，可得，设，，，，，，，，当且仅当即时去等号当时，角即最大，此时边上的高，的面积,故答案为3.【点睛】本题考查了向量的几何意义，以及解三角形和正切函数的和差公式，基本不等式的应用，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14.已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据的图象判断的解的情况，从而得出关于的方程根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组可解出的范围．【详解】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为【点睛】本题考查了方程根的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于难题．函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知向量，，其中，且．求的值；若，且，求角．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由得，从而，进而，由此能求出；由，，得，，由，且，；利用两角差的正弦公式化简可得，结合平方关系，可得，由此能求出的值．【详解】向量，，其中，且．，，，．，，，，，且，，，，，解得或舍，，．【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.16.如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形，为边的中点，底面.（1）求证：平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由图得到四边形为平行四边形，所以，所以平面；（2），，所以平面，所以平面平面 .试题解析：证明：因为四棱柱为四棱柱，所以且，又为边的中点，所以，即，又，所以，即，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.(2)由（1）知四边形为平行四边形，且，所以四边形为菱形，所以，又底面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面 .17.如图，在海岸线l一侧P处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在l上设立了M，N两个报名接待点，P，M，N三点满足任意两点间的距离为公司拟按以下思路运作：先将M，N两处游客分别乘车集中到MN之间的中转点Q处点Q异于M，N两点，然后乘同一艘游轮由Q处前往P岛据统计，每批游客报名接待点M处需发车2辆，N处需发车4辆，每辆汽车的运费为20元，游轮的运费为120元设，每批游客从各自报名点到P岛所需的运输总成本为T元．写出T关于的函数表达式，并指出的取值范围；问：中转点Q距离M处多远时，T最小？【答案】（1），其中；（2）【解析】【分析】利用正弦定理求得，，则，由利润与运费的关系可求出函数的解析式；由（1）可得，其中，通过函数的导数判断函数的单调性，利用单调性求解函数的最值即可．【详解】由题知在中，，，，，由正弦定理知，即，，则，由题意可得，，其中，由，其中得，，令解得，，存在唯一的，使得，当时，，即函数S在区间上为单调递减，当时，，即函数S在区间上为单调递增，故当即时，T最小，则，答：当中转点Q距离M处时，S最小.【点睛】本题考查函数与导数的实际应用，考查利用导数求函数的最值的求法，属于难题．利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可求得函数的最值.18.已知函数．若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】求出函数的导数，得到极值点，当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，利用函数的极值结合函数的零点推出函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数有两个极值点，推出，.若，由可得的值；若，由可得，不符合题意舍去，通过若；若，转化求解即得到实数的值．【详解】，由，得到，，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又因为函数的图象过点，即，所以函数在内没有零点，不合题意，当时，由得，即函数在区间上单调递增，由得，即函数在区间在上单调递减，且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，即，解得，综上可得函数在内有且只有一个零点时，此时函数的单调递增区间为，，单调递减区间为当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，且，，，若，即，也即时，此时，又，由可得，即，符合题意若，即，也即时，此时，，由可得，即，不符合题意舍去，又，若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去，综上所述可知所求实数a的值为【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19.在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．求证：是等比数列；设m是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．【答案】（1）详见解析；（2），；【解析】试题分析：（1）由已知条件构造数列的递推关系，从而根据定义证得等比数列；（2）由已知构造数列的递推关系，从而求得通项公式，结合数列的通项公式求得数列的通项公式，代入已知关系式化简为形如的不定方程，由的范围得的范围，从而得到可能的取值；试题解析：（1）由，，成等差数列可得，，①由，，成等差数列可得，，②①+②得，，所以是以6为首项、为公比的等比数列．（2）由（1）知，，③①-②得，，④③④得，，代入，得，所以，整理得，，所以，由是不超过100的正整数，可得，所以或，当时，，此时，则，符合题意；当时，，此时，则，符合题意．故使成立的所有数对为，．考点：1.等比数列的概念及通项公式；2.不定方程的整数解问题；20.已知函数，．若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；设m，n为正实数，且，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程；由知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围；利用分析法证明，要证，只需证，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论．【详解】，．是函数的极值点，，解得，经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意此时切线的斜率为，切点为，则所求切线的方程为由知因为函数在区间上为单调递减函数，所以不等式在区间上恒成立即在区间上恒成立，当时，由可得，设，，，当且仅当时，即时，，又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，且，，所以当时，恒成立，即，也即则所求实数a的取值范围是，n为正实数，且，要证，只需证即证只需证设，，则在上恒成立，即函数在上是单调递增，又，，即成立，也即成立.【点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．。
高三数学上学期期中试题 文(含解析)
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2019学年高三上学期期中试卷数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，，则下列命题中为真命题的是( )A. p∧qB. ¬p∧qC. p∧¬qD. ¬p∧¬q【答案】B【解析】当时，，所以命题为假命题；令，∵，且为连续函数，∴，使得，即，成立，所以为真命题，所以为真命题，故选B.2. 函数的定义域是( )A. (－3,0)B. (－3,0]C. (－∞，－3)∪(0，＋∞)D. (－∞，－3)∪(－3,0)【答案】A【解析】∵，∴要使函数有意义，需使，解得，即函数的定义域为，故选A.点睛：本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.3. 已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]，存在x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是( )A. B. C. [3，＋∞) D. (0,3]【答案】A【解析】由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤，又a>0，故a的取值范围是(0，]．4. 函数y＝a x与函数(a>0且a≠1)的图象关系是( )A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于直线x－y＝0对称D. 关于x＋y＝0对称【答案】D【解析】取作出与的图象如图：由图象知与的图象关于直线对称，故选D.5. 函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②；③f(1－x)＝1－f(x)．则( )A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】由③，令，可得，由②，令，可得，令，可得，由③结合，可知，令，可得，因为且函数在上为非减函数，所以，所以，故选B................6. 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有，则等于( )A. 2或0B. －2或2C. 0D. －2或0【答案】B【解析】因为函数对任意都有，所以该函数图象关于直线对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以或，故选B.7. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝2，，则b的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】在锐角中，，，∴，，∴，①；由余弦定理得，∴，∴②；由①②得，故选A.8. 已知函数，且f(a)＝－2，则f(7－a)＝( )A. －log37B.C. D.【答案】D【解析】当时，无解；当时，由，解得，所以，故选D.点睛：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用；分段函数的本质即在不同的定义区间内，对应的解析式不同，当已知函数值为时，需注意对自变量的值进行讨论.9. 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由函数y=xf′（x）的图象可知：当x＜-1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当-1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增考点：函数导数与函数图像10. 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A. 10元B. 20元C. 30元D. 元【答案】A【解析】依题意可设s A(t)＝20＋kt，s B(t)＝mt，又s A(100)＝s B(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是s A(150)－s B(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，选A.11. 已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)>0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x>0)的零点个数为( )A. 0B. 1C. 0或1D. 无数个【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，则在为增函数，且，即函数的零点个数为0；故选A．考点：1.函数的零点；2.导数在研究函数单调性的应用．12. 为了得到函数的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】，故为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度，选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n＋m＝_________.【答案】【解析】根据已知函数的图象知，，所以，根据函数图象易知，当时取得最大值，所以，又，解得，再结合求得，所以，故答案为.点睛：本题主要考查对数函数的图象和性质，图象的变换，属于基础题；的图象是由按照“上不动，下翻上”的变换方式得到，先结合函数的图象和性质，由最大值为2得，再由，得到的值，进而可求出结果.14. 函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________________．【答案】单调递增【解析】在上有，所以在单调递增，故答案为单调递增.15. 已知定义在R上的函数f(x)满足：(1)函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；(2)∀x∈R，；(3)当时，f(x)＝log2(－3x＋1)．则________.【答案】【解析】由(1)知为奇函数，又由(2)可得是以3为周期的周期函数，所以，故答案为.16. 下列有关命题（1）若¬p是q的充分条件，则p是¬q的必要条件（2）若p且q为假命题，则p，q均为假命题（3）命题“∀x∈R，x2－x>0”的否定是“∃x∈R，x2－x≤0”（4）“x>2”是“”的充分不必要条件其中叙述正确的命题有 ____________【答案】（1）（3）（4）【解析】易知（1）正确；且为假，p，q至少有一个为假，故（2）错误；“”的否定是“”，“”的否定是“”，故（3）正确；“”一定能推出“”，但当时，满足，但不满足，所以“”是“”的充分不必要条件，故（4）正确，故答案为（1），（3），（4）.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知集合A＝{y|y＝2x－1,0<x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）分别求出集合和，即，列出不等式组解出；（2）根据数形结合列出不等式，解出实数的范围.试题解析：因为集合是函数的值域，所以，．(1)，即，故当时，的取值范围是．(2)当时，结合数轴知，或，即或.故当时，的取值范围是．18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)·cos C＝c(3cos B－cos A)．(1)求的值；(2)若，求角C的大小．【答案】（1）3；（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，利用两角和的正弦公式整理化简条件式子，得出和的关系；（2）利用（1）中的结论，将用表示，使用余弦定理求出的值，进而求出角.试题解析：(1)由正弦定理得，∴，即，即，∴.(2)由(1)知，∵，∴，∵，∴.19. 已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数的零点个数．【答案】（1）；（2）1个【解析】试题分析：（1）根据是二次函数，且关于的不等式的解集为，设出函数解析式，利用函数的最小值为，可求函数的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当时，，，结合单调性由此可得结论.试题解析：(1)∵是二次函数，且关于的不等式的解集为，∴，且.∴，.故函数的解析式为.(2)∵，∴，令，得，.当变化时，，的取值变化情况如下：当时，，又因为在上单调递增，因而在上只有1个零点，故在上仅有1个零点．点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数.20. 已知函数 (a∈R)，当时，讨论f(x)的单调性．【答案】见解析【解析】试题分析：（1）求函数的导数，可得导函数的零点为1，，根据一元二次不等式的解法可确定函数的单调性．试题解析：因为，所以，，令，可得两根分别为1，，因为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．21. 已知函数，x>1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过在上恒成立，得到的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到的范围；（2）利用，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．试题解析：(1)，由题意可得在上恒成立，∴.∵，∴，∴当时函数的最小值为，∴.故实数的取值范围为.(2)当时，，，令得，解得或(舍)，即.当时，，当时，，∴的极小值为.22. 如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？【答案】（1）；（2）【解析】略。
江苏省常州市2019届高三上学期期中教学质量调研数学(文)试题(含精品解析)
2018-2019学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由命题“，是真命题，利用判别式不大于零，即可求出实数的取值范围．【详解】因为命题“，”是真命题，所以，即．即所求的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查的知识点是全称命题的真假判断与应用，以及一元二次不等式恒成立问题，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题．2.已知集合m，，1，，若，则______．【答案】【解析】【分析】由集合，，，求出，，由此能求出．【详解】集合，，，，，．故答案为．【点睛】本题主要考查交集定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.3.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，0的指数幂的底数不为0，联立不等式组求解．【详解】要使函数有意义，则，解得且．函数的定义域为．故答案为．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于简单题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期．【详解】函数的最小正周期是，故答案为．【点睛】本题主要二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.已知函数，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出的值，即可得结果．【详解】因为当时，，所以，因为时，，所以，则，故答案为．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值．6.已知，，若向量与共线，则实数的值为______．【答案】1【解析】【分析】先求出的坐标，然后根据向量的共线得到的值．【详解】因为，，所以.又向量与共线，所以，解得．故答案为1．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的坐标表示．7.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______．【答案】【解析】【分析】利用底面半径都是3且高都是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．【详解】圆柱与圆锥的底面半径，圆柱与圆锥的高，可得圆锥的母线长为，则圆锥的全面积为：；圆柱的全面积为：．圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为．【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．8.设不等式组表示的平面区域为D，是区域D上任意一点，则的最大值与最小值之和是______．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，表示可行域内的点到原点的距离，由可行域求出最大值与最小值，从而可得到结果．【详解】做出不等式组表示的平面区域，如图，的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，由图可知，的最小值为原点到直线的距离，为，由，解得的最大值为．则的最大值与最小值之和．故答案为．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.定义在R上的偶函数其中a、b为常数的最小值为2，则______．【答案】2【解析】【分析】由偶函数的定义可得，运用绝对值不等式的性质可得最小值为，可得的值，进而得到所求【详解】定义在上的偶函数，可得，即，且，恒成立，可得，由，可得的最小值为，且，从而得，，则，故答案为2．【点睛】本题考查绝对值函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的性质，考查偶函数的定义,意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．10.在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为______．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∴∴故答案为.11.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的、有，则______．【答案】【解析】【分析】函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论，与，两种情况，分别求出值，检验是否符合条件即可.．【详解】因为函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．满足的可知，一个取最大值一个取最小值因为，若，，在取最大值，在取得最小值，，此时，不合题意，，，在取最小值，在，取得最大值，，此时，满足题意．故答案为．【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数的最值以及三角函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.在等比数列中，已知，若，则的最小值是______．【答案】12【解析】【分析】利用等比数列的通项公式化简，可得根据可判断将变形为，利用基本不等式的性质即可得出结果．【详解】在等比数列中，，，化为：．若，则，当且仅当时取等号．若，则，与矛盾，不合题意综上可得，的最小值是，故答案为12．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.13.在中，，，当角A最大时，则的面积为______．【答案】3【解析】【分析】建立坐标系，设，，，，，根据向量的几何意义可得，分别求出，，根据两角和的正切公式，利用基本不等式求出的最大值，即可求出的面积．【详解】中，，，，即，过作，垂足为，可得，设，，，，，，，，当且仅当即时去等号当时，角即最大，此时边上的高，的面积,故答案为3.【点睛】本题考查了向量的几何意义，以及解三角形和正切函数的和差公式，基本不等式的应用，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14.已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据的图象判断的解的情况，从而得出关于的方程根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组可解出的范围．【详解】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为【点睛】本题考查了方程根的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于难题．函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知向量，，其中，且．求的值；若，且，求角．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由得，从而，进而，由此能求出；由，，得，，由，且，；利用两角差的正弦公式化简可得，结合平方关系，可得，由此能求出的值．【详解】向量，，其中，且．，，，．，，，，，且，，，，，解得或舍，，．【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.16.如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形，为边的中点，底面.（1）求证：平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由图得到四边形为平行四边形，所以，所以平面；（2），，所以平面，所以平面平面 .试题解析：证明：因为四棱柱为四棱柱，所以且，又为边的中点，所以，即，又，所以，即，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.(2)由（1）知四边形为平行四边形，且，所以四边形为菱形，所以，又底面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面 .17.如图，在海岸线l一侧P处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在l上设立了M，N两个报名接待点，P，M，N三点满足任意两点间的距离为公司拟按以下思路运作：先将M，N两处游客分别乘车集中到MN之间的中转点Q处点Q异于M，N两点，然后乘同一艘游轮由Q处前往P岛据统计，每批游客报名接待点M处需发车2辆，N处需发车4辆，每辆汽车的运费为20元，游轮的运费为120元设，每批游客从各自报名点到P岛所需的运输总成本为T元．写出T关于的函数表达式，并指出的取值范围；问：中转点Q距离M处多远时，T最小？【答案】（1），其中；（2）【解析】【分析】利用正弦定理求得，，则，由利润与运费的关系可求出函数的解析式；由（1）可得，其中，通过函数的导数判断函数的单调性，利用单调性求解函数的最值即可．【详解】由题知在中，，，，，由正弦定理知，即，，则，由题意可得，，其中，由，其中得，，令解得，，存在唯一的，使得，当时，，即函数S在区间上为单调递减，当时，，即函数S在区间上为单调递增，故当即时，T最小，则，答：当中转点Q距离M处时，S最小.【点睛】本题考查函数与导数的实际应用，考查利用导数求函数的最值的求法，属于难题．利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可求得函数的最值.18.已知函数．若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】求出函数的导数，得到极值点，当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，利用函数的极值结合函数的零点推出函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数有两个极值点，推出，.若，由可得的值；若，由可得，不符合题意舍去，通过若；若，转化求解即得到实数的值．【详解】，由，得到，，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又因为函数的图象过点，即，所以函数在内没有零点，不合题意，当时，由得，即函数在区间上单调递增，由得，即函数在区间在上单调递减，且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，即，解得，综上可得函数在内有且只有一个零点时，此时函数的单调递增区间为，，单调递减区间为当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，且，，，若，即，也即时，此时，又，由可得，即，符合题意若，即，也即时，此时，，由可得，即，不符合题意舍去，又，若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去，综上所述可知所求实数a的值为【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19.在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．求证：是等比数列；设m是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．【答案】（1）详见解析；（2），；【解析】试题分析：（1）由已知条件构造数列的递推关系，从而根据定义证得等比数列；（2）由已知构造数列的递推关系，从而求得通项公式，结合数列的通项公式求得数列的通项公式，代入已知关系式化简为形如的不定方程，由的范围得的范围，从而得到可能的取值；试题解析：（1）由，，成等差数列可得，，①由，，成等差数列可得，，②①+②得，，所以是以6为首项、为公比的等比数列．（2）由（1）知，，③①-②得，，④③④得，，代入，得，所以，整理得，，所以，由是不超过100的正整数，可得，所以或，当时，，此时，则，符合题意；当时，，此时，则，符合题意．故使成立的所有数对为，．考点：1.等比数列的概念及通项公式；2.不定方程的整数解问题；20.已知函数，．若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；设m，n为正实数，且，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程；由知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围；利用分析法证明，要证，只需证，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论．【详解】，．是函数的极值点，，解得，经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意此时切线的斜率为，切点为，则所求切线的方程为由知因为函数在区间上为单调递减函数，所以不等式在区间上恒成立即在区间上恒成立，当时，由可得，设，，，当且仅当时，即时，，又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，且，，所以当时，恒成立，即，也即则所求实数a的取值范围是，n为正实数，且，要证，只需证即证只需证设，，则在上恒成立，即函数在上是单调递增，又，，即成立，也即成立.【点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．。
江苏省常州市2019届高三上学期期中教学质量调研数学(文)试题
江苏省常州市2019届高三（上）期中考试数学试卷（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由命题“，是真命题，利用判别式不大于零，即可求出实数的取值范围．【详解】因为命题“，”是真命题，所以，即．即所求的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查的知识点是全称命题的真假判断与应用，以及一元二次不等式恒成立问题，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题．2.已知集合m，，1，，若，则______．【答案】【解析】【分析】由集合，，，求出，，由此能求出．【详解】集合，，，，，．故答案为．【点睛】本题主要考查交集定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.3.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，0的指数幂的底数不为0，联立不等式组求解．【详解】要使函数有意义，则，解得且．函数的定义域为．故答案为．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于简单题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期．【详解】函数的最小正周期是，故答案为．【点睛】本题主要二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.已知函数，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出的值，即可得结果．【详解】因为当时，，所以，因为时，，所以，则，故答案为．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．6.已知，，若向量与共线，则实数的值为______．【答案】1【解析】【分析】先求出的坐标，然后根据向量的共线得到的值．【详解】因为，，所以.又向量与共线，所以，解得．故答案为1．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的坐标表示．7.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______．【答案】【解析】【分析】利用底面半径都是3且高都是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．【详解】圆柱与圆锥的底面半径，圆柱与圆锥的高，可得圆锥的母线长为，则圆锥的全面积为：；圆柱的全面积为：．圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为．【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．8.设不等式组表示的平面区域为D，是区域D上任意一点，则的最大值与最小值之和是______．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，表示可行域内的点到原点的距离，由可行域求出最大值与最小值，从而可得到结果．【详解】做出不等式组表示的平面区域，如图，的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，由图可知，的最小值为原点到直线的距离，为，由，解得的最大值为．则的最大值与最小值之和．故答案为．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.定义在R上的偶函数其中a、b为常数的最小值为2，则______．【答案】2【解析】【分析】由偶函数的定义可得，运用绝对值不等式的性质可得最小值为，可得的值，进而得到所求和．【详解】定义在上的偶函数，可得，即，且，恒成立，可得，由，可得的最小值为，且，从而得，，则，故答案为2．【点睛】本题考查绝对值函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的性质，考查偶函数的定义,意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．10.在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为______．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∵∴∴故答案为.11.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的、有，则______．【答案】【解析】【分析】函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论，与，两种情况，分别求出值，检验是否符合条件即可.．【详解】因为函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．满足的可知，一个取最大值一个取最小值因为，若，，在取最大值，在取得最小值，，此时，不合题意，，，在取最小值，在，取得最大值，，此时，满足题意．故答案为．【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数的最值以及三角函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.在等比数列中，已知，若，则的最小值是______．【答案】12【解析】【分析】利用等比数列的通项公式化简，可得根据可判断将变形为，利用基本不等式的性质即可得出结果．【详解】在等比数列中，，，化为：．若，则，当且仅当时取等号．若，则，与矛盾，不合题意综上可得，的最小值是，故答案为12．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.13.在中，，，当角A最大时，则的面积为______．【答案】3【解析】【分析】建立坐标系，设，，，，，根据向量的几何意义可得，分别求出，，根据两角和的正切公式，利用基本不等式求出的最大值，即可求出的面积．【详解】中，，，，即，过作，垂足为，可得，设，，，，，，，，当且仅当即时去等号当时，角即最大，此时边上的高，的面积,故答案为3.【点睛】本题考查了向量的几何意义，以及解三角形和正切函数的和差公式，基本不等式的应用，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14.已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据的图象判断的解的情况，从而得出关于的方程根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组可解出的范围．【详解】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为【点睛】本题考查了方程根的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于难题．函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知向量，，其中，且．求的值；若，且，求角．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由得，从而，进而，由此能求出；由，，得，，由，且，；利用两角差的正弦公式化简可得，结合平方关系，可得，由此能求出的值．【详解】向量，，其中，且．，，，．，，，，，且，，，，，解得或舍，，．【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.16.如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形，为边的中点，底面.（1）求证：平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由图得到四边形为平行四边形，所以，所以平面；（2），，所以平面，所以平面平面 .试题解析：证明：因为四棱柱为四棱柱，所以且，又为边的中点，所以，即，又，所以，即，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.(2)由（1）知四边形为平行四边形，且，所以四边形为菱形，所以，又底面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面 .17.如图，在海岸线l一侧P处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在l上设立了M，N两个报名接待点，P，M，N三点满足任意两点间的距离为公司拟按以下思路运作：先将M，N两处游客分别乘车集中到MN之间的中转点Q处点Q异于M，N两点，然后乘同一艘游轮由Q处前往P岛据统计，每批游客报名接待点M处需发车2辆，N处需发车4辆，每辆汽车的运费为20元，游轮的运费为120元设，每批游客从各自报名点到P岛所需的运输总成本为T元．写出T关于的函数表达式，并指出的取值范围；问：中转点Q距离M处多远时，T最小？【答案】（1），其中；（2）【解析】【分析】利用正弦定理求得，，则，由利润与运费的关系可求出函数的解析式；由（1）可得，其中，通过函数的导数判断函数的单调性，利用单调性求解函数的最值即可．【详解】由题知在中，，，，，由正弦定理知，即，，则，由题意可得，，其中，由，其中得，，令解得，，存在唯一的，使得，当时，，即函数S在区间上为单调递减，当时，，即函数S在区间上为单调递增，故当即时，T最小，则，答：当中转点Q距离M处时，S最小.【点睛】本题考查函数与导数的实际应用，考查利用导数求函数的最值的求法，属于难题．利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可求得函数的最值.18.已知函数．若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】求出函数的导数，得到极值点，当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，利用函数的极值结合函数的零点推出函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数有两个极值点，推出，.若，由可得的值；若，由可得，不符合题意舍去，通过若；若，转化求解即得到实数的值．【详解】，由，得到，，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又因为函数的图象过点，即，所以函数在内没有零点，不合题意，当时，由得，即函数在区间上单调递增，由得，即函数在区间在上单调递减，且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，即，解得，综上可得函数在内有且只有一个零点时，此时函数的单调递增区间为，，单调递减区间为当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，且，，，若，即，也即时，此时，又，由可得，即，符合题意若，即，也即时，此时，，由可得，即，不符合题意舍去，又，若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去，综上所述可知所求实数a的值为【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 19.在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．求证：是等比数列；设m是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．【答案】（1）详见解析；（2），；【解析】试题分析：（1）由已知条件构造数列的递推关系，从而根据定义证得等比数列；（2）由已知构造数列的递推关系，从而求得通项公式，结合数列的通项公式求得数列的通项公式，代入已知关系式化简为形如的不定方程，由的范围得的范围，从而得到可能的取值；试题解析：（1）由，，成等差数列可得，，①由，，成等差数列可得，，②①+②得，，所以是以6为首项、为公比的等比数列．（2）由（1）知，，③ ①-②得，，④③④得，，代入，得，所以，整理得，，所以，由是不超过100的正整数，可得，所以或，当时，，此时，则，符合题意；当时，，此时，则，符合题意．故使成立的所有数对为，．考点：1.等比数列的概念及通项公式；2.不定方程的整数解问题；20.已知函数，．若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；设m，n为正实数，且，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程；由知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围；利用分析法证明，要证，只需证，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论．【详解】，．是函数的极值点，，解得，经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意此时切线的斜率为，切点为，则所求切线的方程为由知因为函数在区间上为单调递减函数，所以不等式在区间上恒成立即在区间上恒成立，当时，由可得，设，，，当且仅当时，即时，，又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，且，，所以当时，恒成立，即，也即则所求实数a的取值范围是，n为正实数，且，要证，只需证即证只需证设，，则在上恒成立，即函数在上是单调递增，又，，即成立，也即成立.【点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．。