人教版高考数学一轮总复习课件-函数与方程
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高考数学(文)一轮复习课件：1-9函数与方程(人教A版)
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■ ·考点梳理· ■ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交 点⇔函数y＝f(x)有零点．
思考：上述等价关系在研究函数零点、方程的根及 图象交点问题时有什么作用？
思考：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲 线，且有f(a)·f(b)<0呢？
提示：不一定．由图(1)、(2)可知．
3．二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且ff((aa))··ff((bb)<0 的函数y＝ f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值 的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数零点近似解的步骤 第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0 ，给定精 确度ε；
观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－ log3|x|有4个零点．
3. [2012·徐州模拟]根据下面表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．
x
－1 0 1 2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4
5
答案：(1，2)
3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范 围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是 这个函数零点的近似值．
4. 要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的 选取和最后精确度的判断.
高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示课件新人教A版
考点三 分段函数
多维探究
角度1 分段函数求值
【例 3－1】 (2018·江苏卷)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，
f(x)＝cxo＋s π122x，，－0<2x<≤x≤2，0，则 f[f(15)]的值为________.
解析 因为函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为
(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则 f(x)＝________；
(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f1x· x－1，则 f(x)＝________.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1). (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 所以2aa＋＝b1＝，－1，即ab＝ ＝－ 12，32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.
5.(2020·九江联考)函数 f(x)＝
1－ln 2x－2
x的定义域是________.
解析 依题意，得12－ x－ln2≠x≥0，0，解得 0<x≤e，且 x≠1. 答案 (0，1)∪(1，e]
6.已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________________.
解得－1<x<0 或 0<x≤3，所
x＋1≠1，
以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为 f(x)的定义域为[0，2]，所以要使 g(x)有意义，x 满足0≤12x≤2，解得
高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程课件新人教A版
D.[1，2)
解析 依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点. 作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示. 又当 x≤1 时，f(x)＝12|x|∈(0，1]； 当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2， ∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2. 结合图象，当 a∈0，12∪[1，2)时，两图象有 2 个交点. 此时，方程a＝f(x)有两个不同实根. 答案 B
【训练3】 (1)(角度1)(202X·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零
点，则a＝( )
A.－12
1 B.3
1
C.2
D.1
(2)(角度2)若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.
解析 (1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋ e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称. 若 f(x)有唯一的零点，则只有 f(1)＝0，∴a＝12. 或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.
x0 所在的区间是________.
解析 (1)由函数 f(x)＝x－1 a为奇函数，可得 a＝0， 则 g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－2x. 又 g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－23>0，
所以g(2)·g(3)<0. 故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).
(2)设 f(x)＝x3－12x－2，则 x0 是函数 f(x)的零点，在同一坐 标系下画出函数 y＝x3 与 y＝12x－2的图象如图所示. 因为 f(1)＝1－12－1＝－1<0，f(2)＝8－120＝7>0， 所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2). 答案 (1)C (2)(1，2)
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，
函数与方程-高考数学复习课件
内无零点，在(1，e)内有零点.
2. (2024·山东滨州模拟)[ x ]表示不超过 x 的最大整数，例如[3.5]＝3，[－
0.5]＝－1.已知 x 0是方程ln x ＋3 x －15＝0的根，则[ x 0]＝(
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
C )
设 f ( x )＝ln x ＋3 x －15，显然 f ( x )在定义域(0，＋∞)上单调递增，
上存在零点，则实数 a 的取值范围是(
B. (－e，＋∞)
D. (－∞，e)
D
)
由题意知，函数 y ＝e－ x 与 g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象在(0，＋∞)上有交点.
当 a ＞0时， g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象是由函数 y ＝ln x 的图象向左平移 a
个单位长度得到的，
解得 x ＝0或 x ＝1或 x ＝2，
所以函数 f ( x )＝( x 2－ x )ln｜2 x －3｜在区间[－2，2]上的零点个数为3.
(2)设函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，当 x ＞0时， f ( x )＝e x ＋ x －3，
则 f ( x )的零点个数为( C )
A. 1
B. 2
－ x ＋1的零点所在的区间是(－2，－1).
4. 函数 f ( x )＝e x ＋3 x 零点的个数为(
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
B )
关键能力的区间
(1)(2024·陕西咸阳模拟)函数 f ＝log4 x －
C )
−
1
2
的零点所在的区间
过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼
2025年高考数学一轮复习课件第二章函数-2.7函数的应用-第1课时函数的零点与方程的解
解：（方法一）令 =
1
0，得
3
= ln .作出函数 =
1
和
3
1
e
= ln 的图象如图所示.显然 = 在( ,1)内无零点，在 1, e 内
有零点.
1
e
1
3
1
（方法二）当 ∈ ( ,e)时，函数图象是连续的，且′ = − =
1
e
在( ，e)上单调递减.又
值范围是(
1
A.( ,+∞)
5
1
C.(−1, )
5
)
B. −∞, −1
√
∪
1
( ,+∞)
5
D. −∞, −1
解：显然 ≠ 0.因为 在 −1,1 上为单调函数，且在区间 −1,1 上存在一个零点，
所以 −1 1 < 0，即 + 1 −5 + 1 < 0，解得 >
1
或
5
< −1.故选B.
1 = e + 1 − 9 < 0， 2 = e2 + 8 − 9 > 0，
可得 1 2 < 0，
所以函数的零点所在区间为 1,2 .故选B.
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2 + 2 − 3, ≤ 0,
4.函数 = ቊ
的零点个数为(
−2 + ln , > 0
A.0
B.1
)
C.2
√
D.3
连续不
（3）函数零点存在定理:如果函数 = 在区间[, ]上的图象是一条________
<0
断
___的曲线，且有_____________，那么，函数
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第9节函数与方程
g(x)=log3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.
作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区
间为(1,2).故选B.
(2)(2024·北大附中模拟)已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为( B )
1
A.(0, )
4
1 1
B.( , )
4 2
1
C.( ,1)
(1)函数零点的定义
实数α 处的函数值等于零,即
一般地,如果函数y=f(x)在
称 α 为函数y=f(x)的零点.
f(α)=0 ,则
误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域,零点必须是定义域中的实
数,例如,不能说0是函数f(x)= -1 的零点,事实上该函数不存在零点.
(2)等价关系
方程f(x)=0的实数根⇔函数f(x)图象与x轴交点的横坐标⇔函数f(x)的零点.
− 1 的图象(如图所示),由图象知,函数 y=log2x 与 y=
有唯一的公共点,所以函数 f(x)=
1
(2)
1
(2)
− 1 的图象
− 1 -log2x 的零点个数为 1,故选 B.
(3)(2024·广东肇庆模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,2)时,
3 1 2
图象法
否有交点来判断
考点二 判断函数零点的个数
例2(1)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个
数是( A )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 令f(x)=(x2-x)ln|2x-3|=0,得x2-x=0或ln|2x-3|=0,解得x=0或x=1或x=2,所
作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区
间为(1,2).故选B.
(2)(2024·北大附中模拟)已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为( B )
1
A.(0, )
4
1 1
B.( , )
4 2
1
C.( ,1)
(1)函数零点的定义
实数α 处的函数值等于零,即
一般地,如果函数y=f(x)在
称 α 为函数y=f(x)的零点.
f(α)=0 ,则
误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域,零点必须是定义域中的实
数,例如,不能说0是函数f(x)= -1 的零点,事实上该函数不存在零点.
(2)等价关系
方程f(x)=0的实数根⇔函数f(x)图象与x轴交点的横坐标⇔函数f(x)的零点.
− 1 的图象(如图所示),由图象知,函数 y=log2x 与 y=
有唯一的公共点,所以函数 f(x)=
1
(2)
1
(2)
− 1 的图象
− 1 -log2x 的零点个数为 1,故选 B.
(3)(2024·广东肇庆模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,2)时,
3 1 2
图象法
否有交点来判断
考点二 判断函数零点的个数
例2(1)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个
数是( A )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 令f(x)=(x2-x)ln|2x-3|=0,得x2-x=0或ln|2x-3|=0,解得x=0或x=1或x=2,所
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B．x0>a
C．x0<b
D．x0<c
答案
解析 由f(x)＝2x－log
1 2
x，可知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递
增．因为实数a>b>c>0满足f(a)f(b)·f(c)<0，所以f(a)，f(b)，f(c)可能都小于0
或有1个小于0,2个大于0，如图，则A，B，C可能成立，D不可能成立．故
－b)>0.由零点存在性定理得函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)
内．
解析 答案
3．(2019·青岛二中模拟)已知函数f(x)＝2x－log12x，且实数a>b>c>0满足
f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成
立的是( )
A．x0<a
解析 因为f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，所以方程x2＋kx＋k＝0无实 根，所以Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4.
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型 一 求函数的零点或判断其所在的区间
2x－1，x≤1， 1．(2019·广州模拟)已知函数f(x)＝1＋log2x，x>1，
则函数f(x)的零点为( )
x2－2x，x≤0， 1．已知函数f(x)＝ 1＋1x，x>0，
则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是
() A．0
B．1
C．2
D．3
答案
解析
x2＋x，x≤0， 由已知得y＝f(x)＋3x＝ 1＋1x＋3x，x>0.
令x2＋x＝0，解得x＝
0或x＝－1.令1＋1x＋3x＝0(x>0)可得3x2＋x＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方 程3x2＋x＋1＝0无实根．所以y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
解析 答案
3．函数f(x)＝1x2＋＋lxg，x，x≤x>00， 的零点是__－__1_,_0_，__11_0____． 解析 当x>0时，由1＋lg x＝0，解得x＝110；当x≤0时，由x2＋x＝0， 解得x＝0或－1.所以函数f(x)的零点是－1,0，110.
解析
题型 二 函数零点个数的判定
数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.
解析
判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零 点．如举例说明1. (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判 断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函 数的图象，图象交点的个数，就是函数零点的个数．如举例说明2.
－12x＝0的解的个数，即方程x12＝12x的解的个数，
也就是函数y＝x12与y＝12x图象的交点个数．在同一
坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.故函数f(x)＝x12－12x零点 的个数为1.
解析 答案
(4)若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是 __(_0_,_4_) __．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)
的图象
与x轴的交点
01 __2__
02 __1__
无
零点个数
03 __2__
04 __1__
0
1．概念辨析 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b) ＜0.( ) (3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没 有零点．( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且 只有一个零点．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C.2，52
D.2，130
解析
由题意知方程ax＝x2＋1在
12，3
上有解，即a＝x＋
1 x
在
12，3
上
有解，设t＝x＋ 1x ，x∈ 12，3 ，则t的取值范围是 2，130 .∴实数a的取值范围
是2，130.
解析 答案
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等 式确定参数范围． (2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，然后数形结合求解．如举例说明1. (3)分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解 决．如举例说明2.
1
PART ONE
基础知识过关
1.函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 01 __f_(_x_)＝__0___的实数x叫做函 数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．用二分法求函数f(x)零点近似值 (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1) ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； ②若 01 ___f_(a_)_·_f(_x_1)_<_0___，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))； ③若 02 ___f_(x_1_)_·f_(b_)_<_0___，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)； 否则重复(2)～(4)．
两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析 由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因
为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c
1．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是 ____－__14_，__2____．
解析 ∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点， ∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解， 即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解． 方程a＝4x－2x， 可变形为a＝2x－122－14， ∵x∈[－1,1]，∴2x∈12，2， ∴2x－122－14∈－14，2. ∴实数a的取值范围是－14，2.
1．(2020·河南南阳月考)函数f(x)＝ x－cosx在[0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
解析
先研究f(x)在区间[0,1]内的零点．因为f′(x)＝
1 2x
＋sinx，
x
>0，sinx>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)
(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点 的是( )
解析 能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符 号相反，由图象可得，只有A不满足此条件．故选A.
解析 答案
(3)函数f(x)＝x12－12x零点的个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 函数f(x)＝x12－12x零点的个数是方程x12
解析
2．已知函数f(x)＝
|x|，x≤m， x2－2mx＋4m，x>m，
其中m>0.若存在实数b，使
得关于x的方程f(x)＝b有∞_)___．
解析 f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三
个不同的根，只需4m－m2<m，又因为m>0，所以m>3.
第二章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程
[考纲解读] 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能 够判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(重点、难点) 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数 零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在．预测 2021年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要 命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现.
选D.
解析
函数零点所在区间的判断方法及适合题型
方法
解读
适合题型
解方 可先解对应方程，然后看所求 当对应方程f(x)＝0易解时．如
程法 的根是否落在给定区间上
举例说明1
利用函数零点的存在性定理进 能够容易判断区间端点值所对
定理法
行判断
应函数值的正负．如举例说明2
画出函数图象，通过观察图象 容易画出函数的图象．如举例
解析 答案
题型 三 函数零点的应用
角度1 根据函数的零点(或方程的根)的个数 求参数
－ex，x≤0，
1．(2019·衡水模拟)已知函数f(x)＝
ln
x，x>0
(e为自然对数的底
数)，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是
() A．a>－1
B．－1<a<1
C．0<a≤1
D．a<1
答案
2．小题热身