图的匹配——匈牙利算法与KM算法

图的匹配

一、什么是图的匹配

1.图的定义

无向图：无向图G 是指非空有限集合V G ，和V G 中某些元素的无序对的集合E G ，构成的二元组(V G ，E G )。V G 称为G 的顶点集，其中的元素称为G 的顶点。E G 称为G 的边集，其中的元素称为G 的边。在不混淆的情况下，有时记V ＝V G ，E ＝E G 。如果V ＝{v 1,…,v n }，那么E 中的元素e 与V 中某两个元素构成的无序对(v i ，v j )相对应，记e ＝v i v j ，或e ＝v j v i 。在分析问题时，我们通常可以用小圆圈表示顶点，用小圆圈之的连线表示边。

二分图：设G 是一个图。如果存在V G 的一个划分X ，Y ，使得G 的任何一条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中，则称G 为二分图，记作G ＝(X ，Y ，E)。如果G 中X 的每个顶点都与Y 的每个顶点相邻，则称G 为完全二分图。

2.匹配的相关概念

设G ＝(V ，E)是一个图，E M ⊆，如果M 不含环且任意两边都不相邻，则称M 为G 的一个匹配。G 中边数最多的匹配称为G 的最大匹配。

对于图G ＝(V ，E)，在每条边e 上赋一个实数权w(e)。设M 是G 的一个匹配。定义∑∈=m

e e w M w )()(，并称之为匹配M 的权。G 中权最大的匹配称为G 的最大权匹配。如果

对一切，e ∈E ，w(e)=1,则G 的最大权匹配就是G 的最大匹配。

设M 是图G=(V ,E)的一个匹配，v i ∈V 。若v i 与M 中的边相关联，则称v i 是M 饱和点，否则称v i 为M 非饱和点。

如果G 中每个顶点都是M 饱和点，则称M 为G 的完美匹配。

设M 是G 的一个匹配，P 是G 的一条链。如果P 的边交替地一条是M 中的边，一条不是M 中的边，则称P 为M 交错链。类似地，我们可以定义G 的交错圈。易知，G 的交错圈一定是偶圈。

一条连接两个不同的M 非饱和点的M 交错链称为M 增广链。

两个集合S 1与S 2的“异或”操作S 1⊕S 2是指集合S 1⊕S 2＝（S 1∩S 2）\（S 1∪S 2） 容易看出，设M 是G 的匹配，P 是G 中的M 增广链、则M ⊕P 也是G 的匹配，而且1+=⊕M P M 。

图表 1 “异或”操作

可以证明，G 中匹配M 是最大匹配当且仅当G 中没有M 增广链。

二、匹配算法

1.二分图的最大匹配

设有M个工人x1, x2, …, x m，和N项工作y1, y2, …, y n，规定每个工人至多做一项工作，而每项工作至多分配一名工人去做。由于种种原因，每个工人只能胜任其中的一项或几项工作。问应怎样分配才能使尽可能多的工人分配到他胜任的工作。这个问题称为人员分配问题。

人员分配问题可以用图的语言来表述。令X={x1, x2, …, x m}，Y={y1, y2, …,y n}，构造二分图G=(X, Y, E)如下：

对于1≤i≤m，1≤j≤n，当且仅当工人x

i 胜任工作y

i

时，G中有一条边x

i

y

i

，于是人

员分配问题就成为在G中求一个最大匹配的问题。

求最大匹配常用匈牙利算法，它的基本思想是：对于已知的匹配M，从X中的任一选定的M非饱和点出发，用标号法寻找M增广链。如果找到M增广链，则M就可以得到增广；否则从X中另一个M非饱和点出发，继续寻找M增广链。重复这个过程直到G中不存在增广链结束，此时的匹配就是G的最大匹配。这个算法通常称为匈牙利算法，因为这里介绍的寻找增广链的标号方法是由匈牙科学者Egerváry最早提出来的。

图表2 匈牙利算法

理解了这个算法，就不难写出人员分配问题的解答了。在给出程序之前，先做一些假设：

为了简单起见，假设工人数等于工作数，即N=M，且N≤100，这里，N也可以看作是二分图的|X|和|Y|。

数据从文件input.txt中读入，首先是N和|E|，下面|E|行每行两个数(I, J)，表示工人I 可以胜任工作J，即二分图中的边x i y j。

结果输出到文件output.txt，第一行是最大匹配数s，下面s行每行两个数(I, J)，表示分配工人I做工作J，即匹配边x i y j。

下面是人员分配问题的参考解答，该算法的时间复杂度为O(n3)。

Program match;

const

maxn = 100;

var

map: array[1 .. maxn, 1 .. maxn] of boolean; {保存二分图} cover: array[1 .. maxn] of boolean; {标记一个点是否为饱和点} link: array[1 .. maxn] of integer; {保存匹配边}

n: integer; {顶点数}

procedure init; {读入}

var

i, e, x, y: integer;

begin

assign(input, 'input.txt'); reset(input);

readln(n, e);

for i := 1 to e do begin

readln(x, y); map[x, y] := true;

end;

close(input);

end;

function find(i: integer): boolean; {从i出发，找增广链}

var

k, q: integer;

begin

find := true;

for k := 1 to n do

if map[i, k] and not cover[k] then begin

q := link[k]; link[k] := i; cover[k] := true;

if (q = 0) or find(q) then exit;

link[k] := q;

end;

find := false;

end;

procedure main; {求匹配}

var

i: integer;

begin

for i := 1 to n do begin

fillchar(cover, sizeof(cover), 0);

find(i);

end;

end;

procedure print; {输出}

var