极限及其运算一
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的四则运算(1)
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
极限的6种运算方法有哪些
极限的6种运算方法有哪些极限运算是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某个点趋近于一个特定值时的行为。
在微积分中，我们通常使用符号"lim"表示极限运算，其中lim表示极限，而x表示自变量，a表示函数趋近的值。
极限运算有多种不同的方法和技巧，下面将介绍六种常见的极限运算方法以及它们的应用场景。
1. 代入法：代入法是一种最基本的极限运算方法，它适用于一些简单的函数，可以直接将自变量的值代入到极限表达式中，计算出函数在该点的极限值。
例如，计算函数f(x) = x²在x = 2的极限值，可以将x = 2代入到函数中，得到f(2) = 2²= 4。
2. 四则运算法：四则运算法是一种常见的极限运算方法，它适用于可以通过四则运算得到的函数。
对于一个由多个函数通过加减乘除组合而成的复合函数，可以通过将每个函数的极限运算分别进行，并利用加法、减法、乘法和除法的性质，计算得到整个函数在某个点的极限值。
3. 复合函数法：复合函数法是一种适用于复合函数的极限运算方法。
对于一个复合函数，可以先计算内部函数的极限值，然后再计算外部函数的极限值。
通过逐层计算，最终可以得到整个复合函数在某个点的极限值。
4. 代入无穷法：代入无穷法是一种适用于函数趋向于无穷大或无穷小的极限运算方法。
当函数在某个点趋势无穷大或无穷小时，可以将无穷代入到函数中，计算函数在无穷处的极限值。
例如，计算函数f(x) = 1/x在x趋向于无穷大时的极限值，可以将x替换为无穷大，得到f(∞) = 1/∞= 0。
5. 夹逼定理：夹逼定理是一种适用于函数无法直接计算极限的方法，它适用于通过找到两个函数，其中一个函数的极限值小于待求函数的极限值，另一个函数的极限值大于待求函数的极限值。
通过夹逼定理，可以确定待求函数的极限值。
夹逼定理在计算一些复杂的极限时非常有用，例如计算正弦函数和余弦函数的极限值。
6. 等价无穷小替换法：等价无穷小替换法是一种适用于一些函数在某个点的极限值难以计算的情况下的方法。
极限的四则运算
1.3.1极限(de)四则运算一、极限运算法则定理1lim (),lim (),f x A g x B ==设则(1)lim[()()];f x g x A B ±=±(2)lim[()()];f x g x A B ⋅=⋅()(3)lim,0()f x AB g x B=≠其中 推论 1 ).(lim )](lim [,,)(lim x f c x cf c x f =则为常数而存在如果即：常数因子可以提到极限记号外面.推论2.)]([lim )](lim [,,)(lim n n x f x f n x f =则是正整数而存在如果定理2 （复合函数(de)极限）. )(lim ))((lim , )(lim , )( ),(U ˆ, )(lim , )( )( ))(( 000a u f x f a u f u x x u x x u u f y x f y u u x x u u x x ===≠====→→→→ϕϕδϕϕϕ则又有内去心邻域且在若复合而成及是由设二、求极限方法举例常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.（一）多项式与分式函数代入法求极限则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=-n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(0x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应用若=x Q例1 ).53(lim 22+-→x x x 求解：)53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x 52322+⋅-=.3=例2 求.35123lim 2232+-++-→x x x x x x 解：35123lim 2232+-++-→x x x x x x 3163252122223223-=+⋅-++⋅-⋅=nn n a x a x a +++=- 1100例3 求)14135115131(lim 2-++++∞→n n 解：=-+=-)12)(12(1141 2n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--12112121n n)12)(12(175153131114135115131 2+-+⋅+⋅+⋅=-++++∴n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211217151513131121n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-=121121n . 21121121lim )14135115131(lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++++∞→∞→n n n n 例4 ).21(lim 222nnn n n +++∞→ 求 解：当．是无限多个无穷小之和时,∞→n 先变形再求极限. 222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ 2)1(21lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= (二))0(型消去零因子法求极限消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法 （1）因式分解例1 .321lim 221-+-→x x x x 求 )0(型 解：.,,1分母的极限都是零分子时→x .)1(后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x)1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim 1++=→x x x .21= 练习：求hx h x h 330)(lim -+→解：原式=hx x h x h x x h x h ])())[((lim220++++-+→])()[(lim 220x x h x h x h ++++=→23x = （2）有理化法,将分子或分母有理化,约去极限为零(de)因式. 例2 . 22325lim2--+→x x x 求 解： . , 0)22(lim 2故不能直接用公式计算由于=-→x x )22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22+-+++++-+=--+→→x x x x x x x x x x )42)(325()22)(42(lim2-+++-=→x x x x x . 32)325(lim )22(lim 32522lim 222=+++=+++=→→→x x x x x x x 练习：求xx x x --+→11lim⎪⎭⎫ ⎝⎛00解：原式=)1()1()11(limx x x x x x --+--+→x x x x x 2)11(lim 0-++=→2)11(lim 0x x x -++=→=1 （3）变量替换法 例5. 11lim 31--→x x x ⎪⎭⎫⎝⎛00 解：令11,66→→==t x x t t x ，时且则 原式=11lim 231--→t t t )1)(1()1)(1(lim 21+-++-=→t t t t t t )1()1(lim 21+++=→t t t t 23= (三) )(型∞∞无穷小因子分出法 为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 0110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当无穷小因子分出法:以分母中自变量(de)最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例1 .147532lim 2323-+++∞→x x x x x 求 解：.,,分母的极限都是无穷大分子时∞→x .,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x 332323147532lim 147532lim x xx x x x x x x x -+++=-+++∞→∞→.72= 练习：求下列极限12423lim 133-++∞→x x x x 、23= 1242lim 254-++∞→x x x x 、=0 1213lim 334-++∞→x x x x 、∞= （四）利用无穷小运算性质求极限 1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小 例1 求xxx sin lim∞→.解：,1,为无穷小时当xx ∞→.sin 是有界函数而x .0sin lim=∴∞→x xx 2、利用无穷小与无穷大(de)关系（倒数关系） 例2 .3214lim21-+-→x x x x 求 解)32(lim 21-+→x x x ,0=商(de)法则不能用 )14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== xxy sin =由无穷小与无穷大(de)关系,得 .3214lim 21∞=-+-→x x x x （五）)(型∞-∞两个无穷大量相减(de)问题,我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限.也就是说,要将型型或转化为型∞∞∞-∞00)(.具体有通分法、分子有理化.例1 求)1311(lim 31---→x x x 解：原式=131lim321--++→x x x x )1)(1()2)(1(lim 21++-+-=→x x x x x x 1)1()2(lim 21=+++=→x x x x 例2 ))3((lim x x x x -+∞→解：原式=[]xx x x x x x ++-+∞→)3()3(lim2xx x x x ++=∞→)3(3lim1)31(3lim++=∞→xx 23=练习： . )2( 1lim x x x x -+++∞→求解： )2( 1limx x x x -+++∞→xx x x x x x x ++++-++=+∞→2)2)(2( 1limx x x x +++=+∞→212lim. 11111112lim=+-+++=+∞→x x x（六）利用左右极限与极限(de)关系例1设, 0,0,1)(⎩⎨⎧≤+>+=x b x x e x f x 问 b 取何值时, )(lim 0x f x →存在, 并求其值.. 解 =+→)(lim 0x f x 2)1(lim 0=++→x x e =-→)(lim 0x f x b b x x =+-→)(lim 0\ 由函数(de)极限与其左、右极限(de)关系, 得b = 2 , . 2)(lim 0=→x f x练习：).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解：两个单侧极限为是函数的分段点,0=x )1(lim )(lim 00x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等,.1)(lim 0=→x f x 故（七）复合函数求极限方法 例1.lim sin 0x x e →求解：0sin , 0 →=→x u x 时因为 所以,由复合函数求极限法则 , 1lim 0=→u u e . 1lim sin 0=→x x e注：这类复合函数(de)极限通常可写成 . 1lim 0sin lim sin 0===→→e ee xx x x例2 .lim cos x x x π→求 解：x x x x x e x ln cos cos lim lim ππ→→= . 1ln ln cos lim πππ===-→e exx x1.3.2两个重要(de)极限:1sin lim0使用时须注意对=→x x x 型；类型是00)1( 推广形式)2(1)()(sin lim )x (0=→∞→x x x x ϕϕ或0)(lim )x (0=→∞→x x x ϕ或其中单位是弧度。
极限的运算
极限的运算一 极限的四则运算法则定理：若()A x f =lim ，()B x g =lim ，则有 （１）()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± （２）()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ （３）()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==，（0≠B ） 注意：法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。
另外，法则(2)还有三个推论。
推论：（１）()()x f k x kf lim lim =， (k 为常数)（２）()[]()[]n x f nx f lim lim =，（n 为正整数） （３）()[]()[]nnx f x f 11lim lim =，（n 为正整数）例１()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x＝-→22lim 5x x +→x x 2lim 3２＝-→22)lim (5x x +⨯23２＝26252+-⨯＝16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若()x f 是多项式，则()()00lim x f x f x x =→。
例２3512222lim +--+→x x x x x ＝()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x ＝3252122222+⨯--+⨯＝39-＝3- 例３222123lim x x x x -+-→＝()()2222123lim lim x x xx x -+-→→＝０从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。
极限的运算法则总结
极限的运算法则总结
在数学中，极限是一种重要的概念，用来描述函数在某一点趋近于某个值的行为。
极限的运算法则是一组规则，用于计算或简化满足特定条件的极限。
这些法则将在以下几个方面进行总结和讨论。
1. 四则运算法则：根据四则运算法则，如果两个函数的极限都存在，那么它们
的和、差、乘积以及商的极限也存在，并且等于相应运算的极限结果。
2. 乘法法则：该法则说明了两个函数极限的乘积是等于各自极限的乘积。
根据
这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，则 f(x) * g(x) 的极限
为 A * B。
3. 除法法则：该法则说明了两个函数极限的商等于各自极限的商。
按照这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，并且 B 不等于 0，则 f(x) /
g(x) 的极限为 A / B。
4. 幂函数法则：幂函数法则用于处理具有指数的函数。
根据这个法则，如果函
数 f(x) 的极限为 A，则 f(x)^n 的极限等于 A^n，其中 n 是一个常数。
5. 复合函数法则：复合函数法则适用于复合函数的极限计算，也称为链式法则。
根据这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 在 A 的附近连续，则复合函
数 g(f(x)) 的极限等于 g(A)。
这些极限运算法则在求解极限问题时起到了重要的作用。
通过应用这些法则，
我们可以更简单地计算极限，并获得更准确的结果。
然而，在实际应用中，我们仍需注意特殊情况和条件，以确保运算正确性。
极限的性质及运算法则
去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1
高等数学 第一章 第五节 极限运算法则
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
5 3 x 2. 1 7 x3
4 x2 2 例． lim 3 。 答：[ ]型， I 0 。 2 x 7 x 5 x 3 2 x3 x 2 5 例． lim 2 。 答：[ ]型， I 。 x 3 x 2 x 1
2
解
x 时, 两个因子的极限分别是 0、.
通过分子有理化，先将极限式变成分式，然后 再求极限。
x[( x 2 2 x 3 ) 2 ( x 1) 2 ] 原式 lim x [ x 2 2 x 3 ( x 1)] 2x x lim x 2 2 x 3 ( x 1) (分子分母同除x) 2 x lim 1 2 3 1 1 2 (1 ) x x x
x 1
一般:
设 f ( x) a0 xn a1x n1
x x0 x x0
n
an , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
n 1
an
f ( x0 ).
f ( x ) A lim f ( x ) ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B lim g( x )
教学：展开讨论，条件与结论，例外情形与结论，作用意义。
证明的三种方法：用极限定义证明、用极限与无穷小 的关系证明、用无穷小性质 证明（2）用极限定义，
0, fg AB fg Ag Ag AB g f A A gB
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定义1。12左极限当 ，有 或
右极限当 ，有 或
结论： = 且 。
例2、
解： = =
注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。
例3：⑴ 求
⑵ 求
解：⑴ ， ，
。
（2） ， ，
∴函数在指定点的极限不存在。
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
三、课堂练习
补充：求下列极限
1、 2、 3、
四、小结
掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限。特别情形： 时， 型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之； 型经常可通过分母、分子有理化解决.
五、布ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作业
习题1.2 2，3
4、任务训练
5、课后作业
教案（首页）
课题序号
5
授课班级
授课课时
2
授课形式
新授课
授课章节
名称
§1.2极限及其运算（一）
使用教具
尺
教学目的
1.理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
2.熟练掌握 和 时f(x)的极限存在的充要条件
教学重点
函数极限与数列极限的概念
教学难点
1.函数极限的定义及 、 的含义
教学过程
一、导入新课
1.写出下列函数的复合过程
（1） （2）
思考：若无限增大时，数列 的变化趋势怎样？
§1.2极限及其运算（一）
(一)数列的极限
定义1.8对于数列{}，如果当无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数，则称为数列的极限，或称数列{}收敛于，记为 =A或A（ ）
例1、下列数列当 时的极限是否存在？写出其极限。
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
定义1。9当 时， ，记为 =
定义1。10当 时， ，记为 =
当 时， ，记为 =
结论： = =且 =
2、当 时，函数 的极限
函数 当 时的极限是否存在，与 在点处是否有定义无关.
注意：f(x)= 在 处无定义,但当 时,函数f(x)= 无限趋近于一个确定的常数2,所以 =2。
5、 6、
（2） 型
例7求
解： = =
小结： 时， 型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之
练习2、计算
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
（3）-型， 型，
例8求下列函数极限
1、 （ - ）2、
解：1、 （ - ）=
= = =1
2、 =
= = =
小结：1题可看成直接代值的特殊情况
2题是“ 型”经常可通过分母、分子有理化解决
（1） ；（2） ；（3） ；（4） （为常数）
解：当 时，
（1） =（2） 不存在
（3） 不存在（4） =.
（二）函数的极限
1、当 时，函数 的极限
举例说明： 时，函数无限接近于多少？
观察：
当： 时， = ，无限接近2
当： 时，g(x)= ，无限接近2
在 有定义， 在 处无定义
2、教学指导
3、学生活动
（三）极限的运算法则
定理1.1设 , ,则
1、 =
2、 = =
3、 = =
提示：法则的证明不作要求.
推论1.1 =
推论1.2 =
(1)直接代入求值
例4求
解： =
例5求
解： = = -
例6求
解： = = =
小结： 时，可直接代入（若代入后令分母为零。可先约分后再代入）
练习1：1、 6x 2、 （6x+5）3、 4、
定义1。12左极限当 ，有 或
右极限当 ，有 或
结论： = 且 。
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
1、学习任务
能力目标：理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；熟练掌握 和 时f(x)的极限存在的充要条件
知识目标：极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 和 时f(x)的极限存在的充要条件
情感目标：培养学生的空间想象能力、数形结合的能力，学生不要墨守成规，要创新，要有自己的思想。通过联系生活，让学生认识到学习数学的实际需要，从而提高学习数学的积极性，形成积极的学习态度。
为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习，使本节课能在生动、有趣、高效中进行，使用“任务驱动法”、“启发教学法”、“协作学习法”和“探究学习法”等共同完成教学任务。
2.分段函数在 时的极限的讨论方法
更新、补
充、删减
内容
无
课外作业
习题1.2 2，3
教学后记
授课主要内容或板书设计
§1.2极限及其运算（一）
(一)数列的极限
（二）函数的极限
1、当 时，函数 的极限
定义1。9当 时， ，记为 =
定义1。10当 时， ，记为 =
当 时， ，记为 =
结论： = =且 =
2、当 时，函数 的极限定义1。11当 时， ，记为 =