第2章 信号的时域分析
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第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
第二章 连续信号的时域分析
第二章连续信号的时域分析所谓信号的时域分析，指的是整个分析过程都在时间域内进行，分析过程中所有的信号都用以时间t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示。
本章首先介绍几个典型的连续时间信号，以及对这些信号的基本运算。
此外，连续信号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算，本章将详细介绍卷积积分的定义及其运算方法。
2.1 基本要求1．基本要求♦了解基本的连续信号及其相关参数和描述；♦了解信号的基本运算；♦掌握阶跃信号和冲激信号的定义、性质及作用；♦掌握卷积积分的定义、性质及计算。
2．重点和难点♦冲激信号的定义及性质♦含有阶跃和冲激函数的信号的求导和求积分运算♦卷积积分的计算2.2 知识要点1．基本的连续信号了解正弦信号、实指数信号、复简谐信号、门信号及抽样函数信号的函数表达式、时间波形及其相关参数。
2．信号的基本运算从数学意义上看，系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算。
一个复杂的运算可以分解为一些基本运算的组合。
本章主要了解信号的加减乘除运算、翻转平移和尺度变换、微积分等几种基本的运算。
所有运算既可以利用信号的时间函数表达式进行，也可以在时间波形图上进行运算。
注意与数学上相关运算的区别。
这里强调，作为信号基本运算之一的积分运算，运算结果得到的是一个新的以t 为自变量的函数，具体表示符号和定义为⎰∞--=tf t fττd )()()1( （2-1）3．阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号是对实际系统中的某类信号进行理想近似后得到的两个特殊信号，这两种信号用于描述一类特殊的物理现象，对于信号特性和系统性能的分析，起着十分重要的作用。
阶跃信号和冲激信号的时间波形如图2-1所示。
在信号与系统的分析过程中，经常利用阶跃函数将分段信号的时间函数表达式统一为一个解析表达式，以简化信号的运算。
利用阶跃函数还可以方便地表示因果、非因果信号等。
由于阶跃函数和冲激函数是两个特殊的函数，因此在进行求导和求积分等运算时，必须根据其定义和性质对函数表达式进行分析，以便化为普通函数的运算。
3信号分析基础2(时域相关分析)
因此，有
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与线性系统分析第2章
t r ( Pmt m Pm1t m1 P 0的特征根） 1t P 0 )(有r重为
e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根） t （P t P )e (等于特征单根） 1 0
（Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根）
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * ) d
▲ ■ 第 13 页
2 .任意信号作用下的零状态响应
f ( t) 根据h(t)的定义： δ(t)
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
由时不变性：
e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根） t （P t P )e (等于特征单根） 1 0
（Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根）
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * ) d
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2 .任意信号作用下的零状态响应
f ( t) 根据h(t)的定义： δ(t)
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
由时不变性：
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2．单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示，如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度，其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明，以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ，以符号 δ (t t 0 ) 表示，定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明，一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ，复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号，波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ，其实部﹑虚部为增幅正弦信号，波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4．抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数，其定义如下：
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质：
Sa(0) = 1， Sa(kπ) = 0 ，k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号，可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如，图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )
信号与系统第二章ppt课件
解 先画出f1(t－τ)|t=0, 即f1(－τ)和f2(τ)波形如题解图2.6(a)所 示。再令t从－∞ 开始增长，随f1(t－τ)波形右移，分区间计算卷 积积分：
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
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第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
第2章信号与系统的时域分析
f 1 ( )
2012-8-10
f 2 ( t ) dt f 2 ( )
f 1 ( t ) dt 0
30
性质4 卷积时移连续信号与系统的时域分析 第2章
2012-8-10
31
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：
若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则
n 1
( n 1 )!
2
( t ), ,
t
2
( t ), t ( t ), ( t ), ( t ),
n
2
d (t ) d (t ) d (t ) , , , , 2 n 2012-8-10 dt dt dt
3
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
,
f 1 ( t t1 ) f 2 ( t t 2 ) y ( t t1 t 2 )
式中，t1和t2为实常数。
(2.2-21)
2012-8-10
32
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
例 2.2 – 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解 直接按卷积定义， 可得
K f (t ) f (t ) K
性质3 卷积的微分和积分
证
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第 2 章 连续信号与系统的时域分析
(2) 应用式(2.2 - 8)及卷积运算的结合律， 可得
2012-8-10
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第 2 章 连续信号与系统的时域分析
(3) 因为
2012-8-10
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第 2 章 连续信号与系统的时域分析
同理，可将f2(t)表示为
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第2章 信号的时域分析
2.1 信号幅值域分析
这里我们研究的对内容包括，周期信号的各种强 度分析和随机信号的统计分析。
2.1.1 周期信号的强度
周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平 均功率来表示。 • 峰值Xp 是信号在一个周期T内所能出现的最大 值，即
x p x(t ) max
•
峰-峰值Xp-p 是一个周期中最大瞬时值Xp+与最 小瞬时值Xp-之差。 在实际应用中要对峰-峰值 有足够的估计，信号的峰-峰值不能超过测试系 统允许输入的上限值与下限值，前一个要求是 保证系统正常工作，后一个要求是保证足够小 的非线性误差。 周期信号的均值mx 它的表达式
• 均值 表示集合平均或数学期望，各态历经信号的均值 可以用观测时间T内的幅值平均来表示，记为mx 或E[x(t)]， 1 T mx E[ x(t )] lim x(t )dt T T 0 • 均方值 表示信号的强度。各态历经信号的均方值可以用 2 观测时间内的幅值平均来表示，记为 x 或 E[ x 2 (t )]
相关分析的应用实例2
• 左图是原信号，右图是相关函数
相关分析表明：
• 相关函数变化迅速，说明原信号中是宽带噪声。 • 相关函数中含有交流成分，说明原信号中由周期信号。 • 相关函数的均值不为0，说明原信号中有直流成分。
2.3.2 互相关分析
• 互相关函数的计算
1 R xy ( ) T
T
0
根据不同的实际需要，可以从不同的角度出发将 信号分解成为若干个简单信号的和
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) x3 (t )
反之则可以进行信号的合成。通常进行如下的分解： • 交直流分解 将信号x(t)分解成为 实际中经常进行这种分解，例如：分析各种整 流滤波或稳压电源的输出，我们需要其直流成 分，其交流波动分量应设法抑制与消除。 虚实分解 x(t ) xR (t ) jxI (t ) 直角坐标表示 XR(t)—实部，有功部分，只有实部的电能能够 转化为能量。 XI(t)—虚部，无功部分。只能储存(电容)和转换 (电感)。
•
1 mx x (t ) dt T0 0
它是信号的恒定分量，也就是直流分量。
T0
周期信号的强度
• 有效值 是信号的均方根值xrms，即
xrms
1 T0
T0
0
x 2 (t )dt
• 均方值 是信号的平均功率，即
1 T0 2 Pav x (t )dt T0 0
2.1.2 随机信号的幅值特性参数
x(t ) y (t )dt
Rxy (n) x(n) x(n m)
n 0
N
• 互相关函数的性质
性质1 互相关函数不是偶函数 性质2 互相关函数在T＝0处的值Rxy(0)未必是最大 值。 性质3 互相关函数的最大值可能出现在T的某一个 值，其位置与信号的特点有关。
(我儿子和我现在不是最像)
1 T 2 E[ x (t )] lim x (t )dt T T 0 均方值是信号平均能量的一种表示。 • 方差 2 表示信号的波动分量，记为 x ，即 1 T 2 2 x E[(x(t ) mx ) ] lim [ x(t ) mx ]2 dt T T 0 2 E[(x 2 (t ) mx 2 x(t )mx ]
• 由于幅值间隔不可能 无穷的小，观测时间 也不可能无穷的大， 因此由实际观测数据 获得的概率密度函数 只能使估计值。
2.2信号的时间域分析
• 信号的时域描述是以时间为横坐标变量来描述信 号随时间的变化规律。对时域信号x(t)的分析可包 含信号分解、合成及参数求取两方面。
2.2.1 信号的分解与合成
由图可见，其相关函数陡峭。
（2）宽带信号（小惯性信号，使用了白噪声信号驱 动＝0.3，0.5的一阶惯性环节，获得的有色噪声）
（3）窄带信号（大惯性信号，使用了白噪声信号 驱动＝0.9 的一阶惯性环节，获得的有色噪声）
相关分析的应用实例1
（1）左图是原信号，右图是相关函数
相关分析表明： • 相关函数变化缓慢，说明原信号中是窄带噪声。 • 相关函数中含有交流成分，说明原信号中由周期信号。 • 相关函数的均值为0，说明原信号中无直流成分。
Tx t1 t2 tn
当样本函数的观测时间趋于无穷大时，的比值就 是幅值落在(x，x+Δx)区间内的概率，即
Tx P[ x x(t ) x x] lim T T
概率密度函数的计算 • 概率密度函数的p(x)的定义式
p( x) lim
x 0
P[ x x(t ) x x] x
2 x 2
2 E[ x 2 (t )] E (mx ) 2mx E[ x(t )] 2 2 x mx
因此，有
m
2 x 2 x
2 x
由于实际记录的时间不可能无限长，故只能在有 2 2 ˆ ˆ 限的时间内求得估计值，记为 m x x x 。 • 概率密度函数 随机信号的概率密度函数是指信号落在指定区域 的概率，对于下图来说就是x(t)值落在(x，x+Δx) 区间内的时间为Tx
2.3.3 相关分析的实例
• 例1、超声波流速检测
这种超声波方法可以用于测量自来水、气体或含有 颗粒的液体。 工作原理：对两个超声波信号做互相关分析，在相 关函数出现峰值的时刻T，就是流体由前一个超声波 发生器达到后一个超声波发射器，如果两个超声波 发射器的距离是L，那么流体的流速为
L v T
该方法具有极高的测量精度。
③白噪声信号
白噪声信号
④宽带随机信号
④随机信号:x(n)=0.4x(n-1)+w(n)
随机信号:x(n)=0.4x(n-1)+w(n)
有色噪声x(n)=0.6x(n-1)+w(n)
有色噪声x(n)=0.8x(n-1)+w(n)
有色噪声x(n)=0.9x(n-1)+w(n)
有色噪声x(n)=0.9x(n-1)+w(n) 窄带噪声
上图的源程序
• • • • • t=0.1:0.1:200000 x=1.0*sin(0.2*t)+0*randn(1,2000000) subplot([121]),plot(x) [f,xi]=ksdensity(x) subplot([122]),plot(xi,f)
②正弦波加随机噪声信号
• 例2、1/f噪声的精确测量及其在太阳能电 池可靠性筛选中的应用超声波流速检测.
式中P[(x<x(t)<x+Δx)表示落入区间(x，x+Δx)的概 率。
• 概率密度函数的物理意义 概率密度函数的p(x)唯一地由幅值确定，对于平稳 随机过程，p(x)与时间无关。 不同的信号具有不同的p(x)-x图，因此根据不同的 p(x)-x图形可以识别不同的信号。 ①正弦信号
海量数据的正弦信号
x(t ) xt ) b0 sin 0t b1 sin 1t b2 sin 2t b3 sin 3t b0 cos0t b1 cos1t b2 cos 2t b3 cos3t
Fourier（1768-1830）
2.3 信号的相关分析
2.3.1 自相关分析
x(信号)＝mx(直流部分)＋x (t)(周期信号)＋r(随机信号)
T
• 直流信号的相关函数： 也就是幅值的平方。
R(mx mx ) m
2 x
• 周期信号的相关函数仍然是周期函数，周期不变， 但函数可能改变了。例如下图：
• 随机信号的相关函数 （1）宽带信号（无惯性信号，使用了白噪声信号）
2.1 信号幅值域分析
这里我们研究的对内容包括，周期信号的各种强 度分析和随机信号的统计分析。
2.1.1 周期信号的强度
周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平 均功率来表示。 • 峰值Xp 是信号在一个周期T内所能出现的最大 值，即
x p x(t ) max
•
峰-峰值Xp-p 是一个周期中最大瞬时值Xp+与最 小瞬时值Xp-之差。 在实际应用中要对峰-峰值 有足够的估计，信号的峰-峰值不能超过测试系 统允许输入的上限值与下限值，前一个要求是 保证系统正常工作，后一个要求是保证足够小 的非线性误差。 周期信号的均值mx 它的表达式
• 均值 表示集合平均或数学期望，各态历经信号的均值 可以用观测时间T内的幅值平均来表示，记为mx 或E[x(t)]， 1 T mx E[ x(t )] lim x(t )dt T T 0 • 均方值 表示信号的强度。各态历经信号的均方值可以用 2 观测时间内的幅值平均来表示，记为 x 或 E[ x 2 (t )]
相关分析的应用实例2
• 左图是原信号，右图是相关函数
相关分析表明：
• 相关函数变化迅速，说明原信号中是宽带噪声。 • 相关函数中含有交流成分，说明原信号中由周期信号。 • 相关函数的均值不为0，说明原信号中有直流成分。
2.3.2 互相关分析
• 互相关函数的计算
1 R xy ( ) T
T
0
根据不同的实际需要，可以从不同的角度出发将 信号分解成为若干个简单信号的和
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) x3 (t )
反之则可以进行信号的合成。通常进行如下的分解： • 交直流分解 将信号x(t)分解成为 实际中经常进行这种分解，例如：分析各种整 流滤波或稳压电源的输出，我们需要其直流成 分，其交流波动分量应设法抑制与消除。 虚实分解 x(t ) xR (t ) jxI (t ) 直角坐标表示 XR(t)—实部，有功部分，只有实部的电能能够 转化为能量。 XI(t)—虚部，无功部分。只能储存(电容)和转换 (电感)。
•
1 mx x (t ) dt T0 0
它是信号的恒定分量，也就是直流分量。
T0
周期信号的强度
• 有效值 是信号的均方根值xrms，即
xrms
1 T0
T0
0
x 2 (t )dt
• 均方值 是信号的平均功率，即
1 T0 2 Pav x (t )dt T0 0
2.1.2 随机信号的幅值特性参数
x(t ) y (t )dt
Rxy (n) x(n) x(n m)
n 0
N
• 互相关函数的性质
性质1 互相关函数不是偶函数 性质2 互相关函数在T＝0处的值Rxy(0)未必是最大 值。 性质3 互相关函数的最大值可能出现在T的某一个 值，其位置与信号的特点有关。
(我儿子和我现在不是最像)
1 T 2 E[ x (t )] lim x (t )dt T T 0 均方值是信号平均能量的一种表示。 • 方差 2 表示信号的波动分量，记为 x ，即 1 T 2 2 x E[(x(t ) mx ) ] lim [ x(t ) mx ]2 dt T T 0 2 E[(x 2 (t ) mx 2 x(t )mx ]
• 由于幅值间隔不可能 无穷的小，观测时间 也不可能无穷的大， 因此由实际观测数据 获得的概率密度函数 只能使估计值。
2.2信号的时间域分析
• 信号的时域描述是以时间为横坐标变量来描述信 号随时间的变化规律。对时域信号x(t)的分析可包 含信号分解、合成及参数求取两方面。
2.2.1 信号的分解与合成
由图可见，其相关函数陡峭。
（2）宽带信号（小惯性信号，使用了白噪声信号驱 动＝0.3，0.5的一阶惯性环节，获得的有色噪声）
（3）窄带信号（大惯性信号，使用了白噪声信号 驱动＝0.9 的一阶惯性环节，获得的有色噪声）
相关分析的应用实例1
（1）左图是原信号，右图是相关函数
相关分析表明： • 相关函数变化缓慢，说明原信号中是窄带噪声。 • 相关函数中含有交流成分，说明原信号中由周期信号。 • 相关函数的均值为0，说明原信号中无直流成分。
Tx t1 t2 tn
当样本函数的观测时间趋于无穷大时，的比值就 是幅值落在(x，x+Δx)区间内的概率，即
Tx P[ x x(t ) x x] lim T T
概率密度函数的计算 • 概率密度函数的p(x)的定义式
p( x) lim
x 0
P[ x x(t ) x x] x
2 x 2
2 E[ x 2 (t )] E (mx ) 2mx E[ x(t )] 2 2 x mx
因此，有
m
2 x 2 x
2 x
由于实际记录的时间不可能无限长，故只能在有 2 2 ˆ ˆ 限的时间内求得估计值，记为 m x x x 。 • 概率密度函数 随机信号的概率密度函数是指信号落在指定区域 的概率，对于下图来说就是x(t)值落在(x，x+Δx) 区间内的时间为Tx
2.3.3 相关分析的实例
• 例1、超声波流速检测
这种超声波方法可以用于测量自来水、气体或含有 颗粒的液体。 工作原理：对两个超声波信号做互相关分析，在相 关函数出现峰值的时刻T，就是流体由前一个超声波 发生器达到后一个超声波发射器，如果两个超声波 发射器的距离是L，那么流体的流速为
L v T
该方法具有极高的测量精度。
③白噪声信号
白噪声信号
④宽带随机信号
④随机信号:x(n)=0.4x(n-1)+w(n)
随机信号:x(n)=0.4x(n-1)+w(n)
有色噪声x(n)=0.6x(n-1)+w(n)
有色噪声x(n)=0.8x(n-1)+w(n)
有色噪声x(n)=0.9x(n-1)+w(n)
有色噪声x(n)=0.9x(n-1)+w(n) 窄带噪声
上图的源程序
• • • • • t=0.1:0.1:200000 x=1.0*sin(0.2*t)+0*randn(1,2000000) subplot([121]),plot(x) [f,xi]=ksdensity(x) subplot([122]),plot(xi,f)
②正弦波加随机噪声信号
• 例2、1/f噪声的精确测量及其在太阳能电 池可靠性筛选中的应用超声波流速检测.
式中P[(x<x(t)<x+Δx)表示落入区间(x，x+Δx)的概 率。
• 概率密度函数的物理意义 概率密度函数的p(x)唯一地由幅值确定，对于平稳 随机过程，p(x)与时间无关。 不同的信号具有不同的p(x)-x图，因此根据不同的 p(x)-x图形可以识别不同的信号。 ①正弦信号
海量数据的正弦信号
x(t ) xt ) b0 sin 0t b1 sin 1t b2 sin 2t b3 sin 3t b0 cos0t b1 cos1t b2 cos 2t b3 cos3t
Fourier（1768-1830）
2.3 信号的相关分析
2.3.1 自相关分析
x(信号)＝mx(直流部分)＋x (t)(周期信号)＋r(随机信号)
T
• 直流信号的相关函数： 也就是幅值的平方。
R(mx mx ) m
2 x
• 周期信号的相关函数仍然是周期函数，周期不变， 但函数可能改变了。例如下图：
• 随机信号的相关函数 （1）宽带信号（无惯性信号，使用了白噪声信号）