等腰三角形证明专题(汇编)
专题23等腰三角形与等边三角形(优选真题60道)-学易金卷：三年(2021-2023)中考
14．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）
A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）
15．（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．85°B．75°C．65°D．30°
20．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（ ）
A． B． C．2D．3
21．（2021•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
6．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
56．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
57．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
部编数学八年级上册专题04等腰三角形的判定(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04 等腰三角形的判定考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）V中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使1．（2分）（2022八上·西湖期末）如图，在ABCPA PB BC+=，下列作法正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【完整解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，∴PA＝PC，∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.故答案为：C.【思路引导】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.2．（2分）（2021八上·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C【完整解答】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M 1，M 2，交BC 有一点M 3，（此时AB ＝AM ）；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M 5，M 4，交AC 有一点M 6（此时BM ＝BA ）．③AB 的垂直平分线交AC 一点M 7（MA ＝MB ），交直线BC 于点M 8；∴符合条件的点有8个．故答案为：C ．【思路引导】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．（2分）（2021八上·昌平期末）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【完整解答】解：以点A 、B 为圆心，AB 长为半径画弧，交直线BC 于两个点12P P ，，然后作AB 的垂直平分线交直线BC 于点3P ，如图所示：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴60ABC ∠=︒，∵33AP BP =，∴3ABP V 是等边三角形，∴点32P P ，重合，∴符合条件的点P 有2个；故答案为：B ．【思路引导】先求出60ABC ∠=︒，再求出3ABP V 是等边三角形，最后求解即可。
“等腰三角形”中考试题分类汇编(含答案)
要点一、等腰三角形的性质及判定 一、选择题1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；2、（2009·威海中考）如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（ ）A ．20B ．30C ．35D ．40【解析】选B.由AB=AC, 40A ∠=,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC 得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=40, ABD ∠=∠ABC-∠DBC =70°-40=30. 3.（2009·聊城中考）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（ ）A ．62ºB ．38ºC ．28ºD ．26º【解析】选C.在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º， 又∠AED ＝62º ,∴∠EAC=62º -45 º =17 º ,又CE ＝AF ，∴△ABF ≌△CAE, ∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF ＝45 º-17 º=28º.4、(2009·黔东南中考)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则∠A 等于（ ）A 、30oB 、40oC 、45oD 、36o 【解析】选D.∵AB=AC ，BD=BC=AD ，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=x o ,则∠ABD=x o , ∠C=∠ABC=∠BDC=2x o , 在△ABC 中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o5、（2009· 武汉中考）如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO+∠DCO 的大小是（ ） A ．70°B ．110C ．140°D ．150°【解析】选D ∠BAO+∠BCO ＝∠ABO+∠CBO ＝∠ABC ＝70°， 所以∠BOA+∠BOC ＝360°－140°＝220°，所以∠AOC ＝140°， 所以∠AOC ＋∠ADC ＝140°＋70°＝210°， 所以∠DAO+∠DCO ＝360°－210°＝150°；6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ） A ．32B ．23C ．12D ．34【解析】选B 因为∠APD ＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD ，AD CPB60° BCOA又因为∠BPA ＝60°＋∠PAD ，所以∠PDC=∠BPA ， 又因为∠B ＝∠C ，所以△ABP ∽△PCD ， 所以23==PC AB CD BP ,所以CD ＝23.二、填空题8. (2009·达州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B ＝____________.【解析】由AB ＝AC 得∠B=∠C=21∠DAC=21×80°=40°. 答案：40°.12、（2007·江西中考）如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= 度．答案：25 三、解答题要点二、线段的垂直平分线的性质 一、选择题1、（2009·怀化中考）如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60【解析】选B ．由 90=∠B ， 10=∠BAE 得∠AEB=80°，由ED 是AC 的垂直平分线得EA=EC ，所以∠EAC=∠ECA=21∠AEB=21×80°=40°.2、（2009·钦州中考）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【解析】选A。
新人教版八年级数学(上)三角形——边、角关系及有关的证明汇编
新人教版八年级数学(上)三角形——边、角关系及有关的证明汇编新人教版八年级数学(上)三角形——边、角关系及有关的证明汇编三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个角所构成。
在数学中，我们常常研究三角形的各种边、角之间的关系，并通过证明来验证这些关系。
本文将汇编介绍新人教版八年级数学(上)关于三角形边、角关系及有关的证明。
1. 三角形的边关系三角形的边有特定的关系，包括等边、等腰、直角等。
下面我们来逐一介绍。
1.1 等边三角形等边三角形是指三个边长相等的三角形。
在新人教版八年级数学(上)中，我们学习到等边三角形的性质是三个内角都是60°。
1.2 等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形。
根据新人教版八年级数学(上)的知识，等腰三角形的性质是底角相等。
1.3 直角三角形直角三角形是指其中一个角是直角（即90°）的三角形。
在教材中，我们学到直角三角形的性质是勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 三角形的角关系三角形的角也有特定的关系，包括对应角、内错角、外错角等。
下面我们来逐一介绍。
2.1 对应角对应角是指两条平行线被一条截线所切割时，所形成的相同位置的角。
新人教版八年级数学(上)中明确了对应角是相等的性质。
2.2 内错角内错角是指两条平行线被一条截线所切割时，所形成的同一侧内角。
根据教材的内容，内错角互补，即两个内错角的和为180°。
2.3 外错角外错角是指两条平行线被一条截线所切割时，所形成的同一侧外角。
教材中提到外错角互补，即两个外错角的和为180°。
3. 有关三角形的证明证明是数学中重要的思维训练方式，在确定了关系的基础上，我们可以通过证明来验证这些关系。
3.1 等边三角形三个内角都是60°的证明我们可以通过构造等边三角形来证明这个结论。
首先，我们以一个边为定边，然后在其中一边上构造一个等边的三角形，将两个三角形合并在一起，再通过运用角的外错角等于180°的性质，可证明等边三角形的三个内角都是60°。
中考数学真题分类汇编之第二十三章等腰三角形及参考答案
第23章 等腰三角形一、选择题1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）36【答案】B2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个MECA【答案】D3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有 （第7题）A BCD EA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A =30∘，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为何？A ． 45B ． 52．5C ． 67．5D ． 75 【答案】Ｃ5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC 、DEF ，且D 、A 分别为△ABC 、△DEF 的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE 上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A ．2：1B ． 3：2C ． 4：3D ． 5：4 【答案】Ｃ6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A ．15cmB ．16cm ABCDEF GC ．17cmD ．16cm 或17cm 【答案】D7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ）A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513【答案】C二、填空题1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 【答案】4或63. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为【答案】80º5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．【答案】1106. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。
【史上最全】2011中考数学真题解析76_等腰三角形的性质和判定(含答案)
2011全国中考真题解析120考点汇编等腰三角形的性质和判定一、选择题1.（2011•铜仁地区7,3分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A、等腰三角形两底角相等B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C、等腰三角形是中心对称图形D、等腰三角形是轴对称图形考点：等腰三角形的性质；轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，即可求得答案．解答：解：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的性质．注意等边对等角，三线合一，以及其对称性的应用．2.（2011内蒙古呼和浩特，7，3）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．解答：解：当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为5+5+3=13；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．故选D．点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．3.（2011辽宁沈阳，7，3）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A、2个B、4个C、6个D、8个考点：等腰三角形的判定；矩形的性质。
初中数学命题与证明的真题汇编附答案
初中数学命题与证明的真题汇编附答案一、选择题1．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（ ）A ．该命题为假命题B ．该命题为真命题C ．该命题的逆命题为真命题D ．该命题没有逆命题【答案】B【解析】分析：首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．详解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选：B ．点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题，难度不大．2．下列命题中:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③若ABC V 与'''A B C V 成轴对称，则ABC V 一定与'''A B C V 全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；正确； ②等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；不正确: ③若ABC V 与'''A B C V 成轴对称，则ABC V 一定与'''A B C V 全等；正确； ④有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；不正确；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，不正确．正确命题为:2①③，个； 故选：A【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．3．下列定理中，逆命题是假命题的是（ ）A ．在一个三角形中，等角对等边B．全等三角形对应角相等C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形D．等腰三角形两个底角相等【答案】B【解析】【分析】先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；C、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．4．下列命题是假命题的是（）A．有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形B．等角的余角相等C．钝角三角形一定有一个角大于90︒D．同位角相等【答案】D【解析】【分析】【详解】解：选项A、B、C都是真命题；选项D，两直线平行，同位角相等，选项D错误，是假命题，故选：D．5．下列命题是假命题的是()A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【答案】C【解析】试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C ．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C 选项符合题意；D ．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D 选项不符合题意．故选C ．考点：命题与定理．6．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【解析】【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B ≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.7．下列命题中是真命题的是（ ）A ．多边形的内角和为180°B ．矩形的对角线平分每一组对角C ．全等三角形的对应边相等D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A 进行判定；根据矩形的性质可对B 进行判定；根据全等三角形的性质可对C 进行判定；根据平行线的性质可对D 进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．8．下列命题是真命题的个数是（ ）．①64的平方根是8±；②22a b =，则a b =；③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；④三角形三边的垂直平分线交于一点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.【详解】①64的平方根是8±，正确，是真命题；②22a b =，则不一定a b =，可能=-a b ；故错误；③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；故选：C【点睛】考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.9．下列命题是真命题的是（ ）A ．中位数就是一组数据中最中间的一个数B ．一组数据的众数可以不唯一C ．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根D ．已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三条边，则a 2+b 2＝c 2【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据定义判断即可.解：A 、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误； B 、一组数据的众数可以不唯一，故正确；C 、一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，故此选项错误；D 、已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三条边，当∠C ＝90°时，则a 2+b 2＝c 2，故此选项错误； 故选：B ．【点睛】此题考查真命题的定义，掌握定义，准确理解各事件的正确与否是解题的关键.10．以下说法中：（1）多边形的外角和是360︒；（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（3）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角.其中真命题的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】利用多边形的外角和定理、平行线的性质及三角形的内角和定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：（1）多边形的外角和是360°，正确，是真命题；（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故错误，是假命题；（3）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角，正确，是真命题，真命题有2个，故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和定理、平行线的性质及三角形的内角和定理，难度不大．11．下面说法正确的个数有（ ）①方程329x y +=的非负整数解只有13x y ==，；②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；③如果1122A B C ∠=∠=∠，那么ABC V 是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】【分析】根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断；根据三角形的定义对②进行判断；根据直角三角形的判定对③进行判断；根据正多边形的定义对④进行判断；根据钝角三角形的定义对⑤进行判断．【详解】解：①二元一次方程329x y +=的非负整数解是x=3，y=0或x=1，y=3，原来的说法错误；②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，原来的说法错误；③如果3672=72A B C ∠=︒∠=︒∠︒，，，那么ABC V 不是直角三角形，故错误； ④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故错误．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故错误，故选A.【点睛】此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解二元一次方程的解的定义、三角形的定义、直角三角形的判定、正多边形的定义及钝角三角形的定义等知识，难度不大．12．下列命题中是真命题的是（ ）A ．两个锐角的和是锐角B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．点(3,2)-到x 轴的距离是2D ．若a b >，则a b ->-【答案】C【解析】【分析】根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断，即可得解．【详解】A. 两个锐角的和是锐角是假命题，例如80°+80°=160°，是钝角，不是锐角，故本选项错误；B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项错误；C. 点(3,2)-到x 轴的距离是2是真命题，故本选项正确；D. 若a b >，则a b ->-是假命题，正确结果应为a b -<-，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查真假命题的判断，解题关键是认真判断由条件是否能推出结论，如果能举出一个反例，或由条件推出的结论与题干结论不一致，则为假命题．13．用三个不等式,0,a b ab a b >>>中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【解析】【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假.【详解】若,0a b ab >>，则a b >为假命题.反例：a=-1,b=-2 若,a b a b >>，则0ab >为假命题.反例：a=2,b=-1 若0,ab a b >>，则a b >为假命题.反例:a=-2,b=-1 故选：A【点睛】本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假.14．下列命题为真命题的是（）A ．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．垂直于同一直线的两直线互相垂直D ．三角形的外角和为180o【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可．【详解】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A 是真命题；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B 是假命题；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C 是假命题；三角形的外角和为360°，D 是假命题；故选A ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．15．下列命题中是假命题的是( )A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的补角相等aD．如果a为实数，那么0【答案】D【解析】A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；C. 同角的补角相等，是真命题；D. 如果a为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D是假命题；故选：D.16．下列命题是假命题的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；B．正确．等边三角形有3条对称轴；C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．17．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．直角都相等 B．钝角都小于180° C．如果x2+y2=0，那么x=y=0 D．对顶角相等【答案】C【解析】【分析】根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.【详解】相等的角不都是直角，故A选项不符合题意，小于180°的角不都是钝角，故B选项不符合题意，如果x=y=0，那么x2+y2=0，正确，是真命题，符合题意，相等的角不一定都是对顶角，故D选项不符合题意，故选C【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．18．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是()A．两直线平行，同位角相等B．相等的角是对顶角C．所有的直角都是相等的D．若a=b，则a﹣3=b﹣3【答案】C【解析】【分析】写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．【详解】解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是同位角相等，两直线平行是真命题；交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等是真命题；交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题；交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a-3=b-3，则a=b是真命题，故选C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．19．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.20．下列命题中是假命题的是（）A．一个锐角的补角大于这个角B．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．相反数等于它本身的数是0【答案】C【解析】试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．A、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；B、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；D、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意考点：命题与定理．。
2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题05 等腰三角形的判定和性质(含详解)
2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题05 等腰三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一 二 三 总分得分评卷人得 分 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD 是等腰三角形 △ABC 底边上的中线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，AC ＝8，DE ＝2，则 △ BCE 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．122．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 70︒ ，则它底角的度数是（ ） A ．70︒B ．70︒ 或 40︒C ．70︒ 或 55︒D ．55︒ 3．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP 中， 60P ∠=︒ ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ 周长是（ ） A ．8＋2m B ．8＋m C ．6＋2m D ．6＋m4．（2分）（2020八上·东海期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，作△BCE ，点A 在△BCE 内，点D 在BE上，AD 垂直平分BE ，且∠BAC ＝m°，则∠BEC ＝（ ）A ．90°﹣ 12m° B ．180°﹣2m° C ．30°+ 12 m° D ．12m° 5．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，若αBAD ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 6．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC =40°，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在AB 上，且满足DF =DE ，求∠DFB 的度数．”小贤的解答：以D 为圆心，DE 长为半径画圆交AB 于点F ，连接DF ，则DE =DF ，由图形的对称性可得∠DFB =∠DEB ．结合平行线的性质可求得∠DFB =140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB 还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）A ．小军说的对，且∠DFB 的另一个值是40°B ．小军说的不对，∠DFB 只有140°一个值C ．小贤求的结果不对，∠DFB 应该是20°D ．两人都不对，∠DFB 应有3个不同值7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD ＝CD ，∠DBC ＝∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE ＝AB+AE ；③∠BDC ＝∠BAC ；④∠DAF ＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．48．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝46°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF.将∠C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则∠OEC 的度数（ ）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98°9．（2分）（2021八上·崇阳期中）如图，已知 30MON ∠=︒ ，点 1A 、 2A 、 3A 、…在射线ON 上，点 1B 、 2B 、 3B 、…在射线OM 上， 112A B A ∆ 、 223A B A ∆ 、 334A B A ∆ …均为等边三角形，若 11OA = ，则 889A B A ∆ 的边长为( )A ．16B ．64C ．128D ．25610．（2分）（2018八上·北京月考）若（a ﹣2）2+|b ﹣3|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．7或8评卷人得 分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·长沙期末）如图， ABC ∠ 、 ACB ∠ 的平分线相交于点F ，过F 作 //DE BC ，交 AB 于点D ，交 AC 于点E ， 3cm BD = ， 2cm EC = ，则 DE = cm .12．（2分）（2021八上·句容期末）如图， 35MON ∠=︒ ，点P 在 MON ∠的边 ON 上，以点P 为圆心， PO 为半径画弧，交 OM 于点A ，连接 AP ，则 APN ∠= ︒ .13．（2分）（2021八上·句容期末）如图，AOB ∠ 是一角度为 α 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 EF 、 FG 、 GH …，且OE EF FG GH === …，在 OA 、 OB 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 α 的范围为 .14．（2分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 的中点，连接AD ，E 是AB 上的一点，P 是AD 上一点，连接EP 、BP ，AC=10，BC=12，则EP+BP 的最小值是 .15．（2分）（2021八上·宁波期末）如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝1，D是斜边AB 上一点（与点A ，B 不重合），将△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ，连结DE 交AC 于点F ，若△AFD 是等腰三角形，则AF 的长为 .16．（2分）（2021八上·中山期末）如图，5AB AC ==，110BAC ∠=︒，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD ∠=︒，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是 ．17．（2分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ， 50BAC ∠=︒ ， BAC ∠ 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点C 沿直线EF 折叠后与点O 重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①50OEF ∠=︒ ；②图中没有60°的角；③D 、O 、C 三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：18．（2分）（2021八上·铁西月考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝12，点M在对角线BD 上，点N 为射线BC 上一动点，连接MN ，DN ，且∠DNM ＝∠DBC ，当DMN 是等腰三角形时，线段BN 的长为 ．19．（2分）（2021八上·沈阳期中）已知长方形ABCD ，AB ＝6，BC ＝10，M 为线段AD 上一点且AM ＝8，点P 从B 出发以每秒2个单位的速度沿线段BC ﹣CD 的方向运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒，当 AMP 为等腰三角形时，t 的值为 ．20．（2分）（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC 中，OE 、OF 分别是AB 、AC 的垂直平分线，∠OBC ，∠OCB 的平分线相交于点I ，有如下结论：①AO ＝CI ；②∠ABC+∠ACO ＝90°；③∠BOI ＝∠COI ；④OI ⊥BC.其中正确的结论是 .评卷人得 分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（5分）（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA ，PB 组成，两根棒在P 点相连并可绕点P 旋转，C 点是棒PA 上的一个固定点，点A ，O 可在棒PA ，PB 内的槽中滑动，且始终保持OA ＝OC ＝PC ．∠AOB 为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝13∠AOB ． 我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O ，C 分别在∠APB 的边PB ，PA 上，且OA ＝OC ＝PC ． 求证：∠APB ＝13∠AOB ．22．（5分）（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC 和等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE 且C 、E 、D 三点共线，作AM ⊥CD 于M ．若BD ＝5，DE ＝4，求CM ．23．（7分）（2021八上·松桃期末）如图，在ABC 中， 30BAC ∠=︒ ，AB 边的垂直平分线分别交AB 于点E ，交AC 于点F ，点D 在EF 上，且 BD CD = ，G 是AC 的中点，连接DG.；（1）（3分）求证：DG AC（2）（4分）判断BCD是否是等边三角形，并说明理由.24．（9分）（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.（1）（3分）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）（3分）当点D在BC （点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）（3分）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.25．（7分）（2020八上·松北期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）（4分）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）（3分）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABF ACF SS 的值．26．（10分）（2021八上·淳安期末）如图 （1）（5分）如图①，在△ABC 中，D 为△ABC 外一点，若AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，∠B+∠ADC ＝180°，求证：BC ＝CD ；琮琮同学：我的思路是在AB 上取一点F ，使得AD=AF ，连结CF ，先证明△ADC ≌△AFC 得到DC ＝FC ，再证明CB ＝CF ，从而得出结论；宸宸同学：我觉得也可以过点C 作边AD 的高线CG ，由角平分线的性质得出CG=CE ，再证明△GDC ≌△EBC ，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.（2）（5分）如图②，D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边BC 、AB 、 AC 上的点， AD 平分∠FDE ， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.27．（10分）（2021八上·包河期末）在等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上，且AB=AE ，AF 平分∠CAE 交DE 于点F ，连接FC ．（1）（3分）如图1，求证：∠ABE=∠ACF ；（2）（3分）如图2，当∠ABC=60°时，在BE 上取点M ，使BM=EF ，连接AM ．求证：△AFM 是等边三角形；（3）（4分）如图3，当∠ABC=45°，且AE BC 时，求证：BD=2EF ．28．（7分）（2021八上·虎林期末）在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D ，E 在射线BA 上，BD ＝DE ，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：（1）（3分）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）（2）（4分）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题05 等腰三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD 是等腰三角形 △ABC 底边上的中线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，AC ＝8，DE ＝2，则 △ BCE 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【完整解答】解：过点E 作EF ⊥BC 于F ，∵AC ＝BC ＝8，CD 是等腰三角形△ABC 底边上的中线，∴CD ⊥AB ，∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF ＝DE ＝2，∴△BCE 的面积＝12×BC×EF ＝12×8×2=8. 故答案为：C.【思路引导】过点E 作EF ⊥BC 于F ，利用等腰三角形的性质可证得CD ⊥AB ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF 的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE 的面积.2．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 70︒ ，则它底角的度数是（ ） A ．70︒B ．70︒ 或 40︒C ．70︒ 或 55︒D ．55︒ 【答案】C【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ()118070552︒-︒=︒ ，当70°角为底角时，它底角的度数是70°故答案为：C.【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.3．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP 中， 60P ∠=︒ ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ 周长是（ ） A ．8＋2m B ．8＋m C ．6＋2m D ．6＋m【答案】C【完整解答】解：∵60P ∠=︒ ， MN NP = ，∴△PMN 是等边三角形，∵MQ PN ⊥ ，∴QN=PQ= 12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°， ∵NG NQ = ，∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= 12MN ， ∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG ， ∵MNP 的周长为12， MQ m = ，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，∴MGQ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形，得QN=PQ=12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=12MN ，推出QM=QG ，根据△MNP 的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，据此求解.4．（2分）（2020八上·东海期末）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（）A．90°﹣12m°B．180°﹣2m°C．30°+ 12m°D．12m°【答案】D【完整解答】解：∵AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵AB＝AC，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，∵∠BAC＝m°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，∴∠BEC＝12（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝12[180°﹣（180°﹣m°）]＝12m°，故答案为：D.【思路引导】由AD垂直平分BE可得AB＝AE，从而得出AB＝AE=AC，利用等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，∠AEC＝∠ACE，即得∠BEC＝∠BEA+∠ACE，由三角形内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，由∠BEC＝12（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）即可求解.5．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD 上，若αBAD ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 【答案】D【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，∵点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，∴AC 垂直平分BB′，∴AB ＝AB′，∴∠BAC ＝∠B′AC ，∵AB ＝AD ，∴AD ＝AB′，又∵AE ⊥CD ，∴∠DAE ＝∠B'AE ，∴∠CAE ＝12∠BAD ＝12α， 又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，∴四边形AOB′E 中，∠EB′O ＝180°−12α， ∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−12α−90°＝90°−12α， ∴∠ACB ＝∠ACB′＝90°−12α， 故答案为：D.【思路引导】连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，利用轴对称的性质可证得AC 垂直平分BB′，∠BAC ＝∠B′AC ，利用垂直平分线的性质可推出AB ＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE ，由此可表示出∠CAE 及∠EB′O ；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.6．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值【答案】A【完整解答】解：=='，如图，以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，F'，连接DF，DF'，则DE DF DF '，∠∴∠='DFF DF F∠，BD平分ABC∠=∠，由图形的对称性可知：DFB DEBDE AB，40∠=︒，ABC∴∠=︒-︒=︒，DEB18040140∴∠=︒，140DFB当点F位于点F'处时，='，DF DF'︒．∴∠=∠='︒-︒=18014040DF B DFF故答案为：A．【思路引导】以点D 为圆心， DE 长为半径画圆交 AB 于点F ，F ' ，连接 DF ，DF ' ，则 DE DF DF ==' ，由图形的对称性可知DFB DEB ∠=∠ ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F 位于点 F ' 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B 的度数.7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD ＝CD ，∠DBC ＝∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE ＝AB+AE ；③∠BDC ＝∠BAC ；④∠DAF ＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D 【完整解答】解：∵AD 平分 CAF ∠ ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴DE DF = ，在 Rt CDE 和 Rt BDF 中，BD CDDE DF =⎧⎨=⎩ ，∴Rt CDE Rt BDF ≅ ，故①正确；∴CE AF = ，在 t ADE R 和 Rt ADF 中，AD ADDE DF =⎧⎨=⎩ ，∴Rt ADE Rt ADF ≅ ，∴AE AF = ，∴CE AB AF AB AE =+=+ ，故②正确；∵Rt CDE Rt BDF ≅ ，∴DBF DCE ∠=∠ ，又∵AOB DOC ∠=∠ ，∴∠BDC ＝∠BAC ，故③正确；∵AD 平分 CAF ∠ ，∴DAF DAE ∠=∠ ，∵BD CD = ，∴DBC DCB ∠=∠ ，∵180BAC DAF DAE ∠+∠+∠=︒ ， 180BDC DBC DCB ∠+∠+∠=︒ ，∠BDC ＝∠BAC ， ∴DAF DAE DBC DCB ∠+∠=∠+∠ ，∴∠DAF ＝∠CBD ，故④正确；综上所述，正确的有①②③④；故答案为：D.【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF ，根据HL 证明Rt CDE Rt BDF ≅，可得CE=AF ， DBF DCE ∠=∠ ，根据HL 证明Rt ADE Rt ADF ≅，可得AE AF =，从而得出CE AB AF AB AE =+=+，据此判断①②；在△AOB 和△DOC 中，DBF DCE ∠=∠，∠AOB=∠DOC ，可得∠BDC ＝∠BAC ，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB，从而得出∠DAF ＝∠CBD ，据此判断④.8．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝46°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF.将∠C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则∠OEC 的度数（ ）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98°【答案】B【完整解答】解：连接BO ，CO ，∵∠BAC=46°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，∴∠OAB=∠OAC=23°，∵OD 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∵OA=OB ，∠OAB=23°，∴∠OAB=∠ABO=23°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠OBC=∠ABC -∠ABO=67°-23°=44°，∵AB=AC ，∠OAB=∠OAC ，AO=AO ，∴△ABO ≌△ACO （SAS ），∴BO=CO ，∴∠OBC=∠OCB=44°，∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO=EC ，∴∠EOC=∠OCE=44°，∴∠OEC=180°-∠EOC -∠OCE=180°-2×44°=92°.故答案为：B.【思路引导】连接BO ，CO ，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB ，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC 的度数，证明△ABO ≌△ACO ，得到BO=CO ，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC ，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC 中，应用内角和定理进行求解.9．（2分）（2021八上·崇阳期中）如图，已知 30MON ∠=︒ ，点 1A 、 2A 、 3A 、…在射线ON 上，点 1B 、 2B 、 3B 、…在射线OM 上， 112A B A ∆ 、 223A B A ∆ 、 334A B A ∆ …均为等边三角形，若 11OA = ，则 889A B A ∆ 的边长为( )A．16B．64C．128D．256【答案】C【完整解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A8B8=27B1A2=27=128.故答案为：C.【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，根据邻补角的性质可得∠2=120°，由内角和定理可得∠1的度数，然后由平角的概念求出∠5的度数，推出OA 1=A 1B 1=A 2B 1=1，根据等边三角形的性质以及角之间的关系可得A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，由平行线的性质可得∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质可得A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，进而求出A 3B 3，A 4B 4，A 5B 5的值，据此解答.10．（2分）（2018八上·北京月考）若（a ﹣2）2+|b ﹣3|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．7或8【答案】D【完整解答】解：∵（a ﹣2）2+|b ﹣3|=0，∴a ﹣2=0，b ﹣3=0，解得a=2，b=3，①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是2+2+3=7；②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是3+3+2=8．故答案为：D ．【思路引导】首先根据非负数的性质可以得到a,b 的长度，再分类讨论:腰为2，底为3；和腰为3，底为2，分别求出即可二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·长沙期末）如图， ABC ∠ 、 ACB ∠ 的平分线相交于点F ，过F 作 //DE BC ，交 AB 于点D ，交 AC 于点E ， 3cm BD = ， 2cm EC = ，则 DE = cm . 【答案】5【完整解答】解： BF 是 ABC ∠ 的平分线，DBF CBF ∴∠=∠ ，//DE BC ，DFB CBF ∴∠=∠ ，DBF DFB ∴∠=∠ ，3cm DF BD ∴== ，同理可得： 2cm EF EC == ，5cm DE DF EF ∴=+= ，故答案为：5.【思路引导】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB ，根据等角对等边得出DF=DB=3cm ，同里得出EF=EC=2cm ， 利用DE=DF+EF 计算即可.12．（2分）（2021八上·句容期末）如图， 35MON ∠=︒ ，点P 在 MON ∠ 的边 ON 上，以点P 为圆心， PO 为半径画弧，交 OM 于点A ，连接 AP ，则 APN ∠= ︒ .【答案】70【完整解答】解：由作图可知，PO=PA ，∴∠PAO=∠O=35°，∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.故答案为：70.【思路引导】由作图可知：PO=PA ，根据等边对等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO ，据此计算.13．（2分）（2021八上·句容期末）如图， AOB ∠ 是一角度为 α 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 EF 、 FG 、 GH …，且 OE EF FG GH === …，在 OA 、OB 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 α 的范围为 .【答案】0°＜α＜ 907⎛⎫︒⎪⎝⎭ 【完整解答】解：∵OE=EF ，∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加这样的钢管6根，∴7α＜90°，∴0°＜α＜907⎛⎫︒⎪⎝⎭，故答案为：0°＜α＜907⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.【思路引导】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α，由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可得7α＜90°，求解即可.14．（2分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是.【答案】9.6【完整解答】解：连接PC，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵D为BC的中点，∴AD垂直平分BC，BD=12BC=6∴BP=CP，22221068AD AB BD=-=-=∴EP+BP=EP+CP要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE ⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；∵1122ABCS AB CE CB AD=⋅=⋅，∴10CE=12×8解之：CE=9.6.故答案为：9.6.【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP 的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP 的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.15．（2分）（2021八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B 不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为.【答案】12或21【完整解答】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，∴∠CAB=∠B=45°，∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，①AF=FD时，∠FDA=∠FAD=45°，∴∠AFD=90°，∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，∵EC=CD，∴四边形ADCE是正方形，∴AD=DC，∴AF= 12AC=12×1=12；②AF=AD时，∠ADF=∠AFD=67.5°，∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB，∴BD=CB=1，∴AD=AB -BD=1，∴AF=AD=1，故答案为： 12或 1.【思路引导】Rt △ABC 中，AC=BC=1，可得∠CAB=∠B=45°，由旋转的性质可得∠ECD=90°，∠CDE =∠CED=45°，分两种情况①AF=FD 时，②AF=AD 时，根据等腰三角形的性质分别解答即可. 16．（2分）（2021八上·中山期末）如图，5AB AC ==，110BAC ∠=︒，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD ∠=︒，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是 ．【答案】5【完整解答】解：如图，作点B 关于射线AD 的对称点B '，连接AB '、CB '，B'P ．则AB AB ='，PB PB '=，25B AD BAD ∠=∠='︒，110252560B AC BAC BAB ∠=∠-∠=︒-︒-︒=''︒． ∵5AB AC ==，∴5AB AC '==，∴AB C '是等边三角形，∴5B C '=，在PB C '中，PB PC B C -'≤'，当P 、B '、C 在同一直线上时，PB PC '-取最大值B C '，即为5． ∴PB PC '-的最大值是5．故答案为：5．【思路引导】作点B 关于射线AD 的对称点B '，连接AB '、CB '，B'P ．易证 AB C '是等边三角形，可得5B C '=，在PB C '中，由于PB PC B C -'≤'，所以当P 、B '、C 在同一直线上时，PB PC '-取最大值，即为B C '的长.17．（2分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ， 50BAC ∠=︒ ， BAC ∠ 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点C 沿直线EF 折叠后与点O 重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①50OEF ∠=︒ ；②图中没有60°的角；③D 、O 、C 三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：【答案】①【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO= 12 ∠BAC= 12×50°=25°． 又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC -∠ABO=65°-25°=40°．∵AO 为∠BAC 的平分线，AB=AC ，∴直线AO 垂直平分BC ，∴OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE=CE ．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE 中，∠OEC=180°-∠COE -∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF= 12∠CEO=50°，①符合题意；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°，②不符合题意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.故答案为：①．【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
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《等腰三角形》练习题
1、如图，AB=AC，BD=CD，AD=AE，∠BAD=26°，则∠AED=_______________
2、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=___________
3、如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，则∠EDC=__________
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DC=BC，求∠A的度数．
5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明．
6、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．
7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，试求∠DEC的度数．
8、已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC．
9、如图，D是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交点，过D作与BC平行的直线，分别交AB、AC于E、F，求证：EB+FC=EF．
10、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．
《等边三角形》练习题
1、已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．求证：△DEF为等边三角形的理由；
2、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
3、如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中点，Q 是CM中点．求证：△BPQ是正三角形．
4、如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．。