专题09 基本不等式的应用(解析版)

高中数学资料分享群：1073631656
当 a=1, b=4 时，满足 ab 4 ，但此时 a + b=5>4 ，必要性不成立，综上所述，“ a b 4 ”是“ ab 4 ”
的充分不必要条件.
4、【2018
年高考天津卷文数】（2018
天津文科）已知
a
,
b R ，且
a
3b
6
0
，则
2a
1 8b
高中数学资料分享群：1073631656
专题 09 基本不等式的应用
1、【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x 4 (x 0) 上的一个动点，则点 P 到直 x
线 x+y=0 的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【解析】设
，则
x x x P( , 1 ) x x x 0
2
x＋3y x－y m
1，所以
4t≥
2 ＋1 mn
(m＋n)＝3＋2n＋m≥3＋2
2.即 t≥3＋2
2，当且仅当2n＝m，即 m＝
2n 时取等号．
n
mn
4
mn
解后反思 本题所给条件为 x，y 的和的不等式，所求的为与 x，y 相关的倒数和最值问题，可以先对分母进
行还原处理后，再结合“1”的代换技巧来处理，这里要说明的时候条件 “x＋y≤2”改为“x＋y＝2”答
y x
4 y
y x
4(x y
y)
y x
4x y
4
2
y 4x 4 4 4 8 ，当且仅当 y 4x ，即 y 2x ，又
xy
xy
x
y
1 ，即
x
1, 3
y
2 3
，等号成立，即
y x
4 y
取得最小值 8 .
例 5、（2013 徐州、宿迁三检）若 a 0,b 0 ，且 1 + 1 1，则 a + 2b 的最小值为 ． 2a + b b +1
x 1－x
2
xy
例 2、(2017 苏北四市期末）
若实数 x，y 满足 xy＋3x＝3
0＜x＜1 2
，则3＋
1
的最小值为________．
x y－3
【答案】. 8
【解析】解法 1
因为实数 x，y 满足 xy＋3x＝3
0＜x＜1 2
，所以 y＝3－3(y＞3)，
x
所以3＋ 1 ＝y＋3＋ 1 ＝y－3＋ 1 ＋6≥2 y－3· 1 ＋6＝8，当且仅当 y－3＝ 1 ，即 y＝4
x0
d
1
0
0
2
1
0
0
0 4
2
2
2、【2019 年高考天津卷文数】设 x 0,
y 0,
x
2
y
4
，则
(
x
1)(2 xy
y
1)
的最小值为__________.
9
【答案】
2
(x 1)(2 y 1)
【解析】
xy
2xy 2 y x 1 xy
2xy 5 xy
2
5 xy
.
因为 x 0, y 0, x 2 y 4 ，
2
均数不小于它们的几何平均数.
三、.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)
p2 (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是 .(简记：和定积最大)
4
四、对于 f(x)＝x＋a， x
题型一 运用消参法解决基本不等式中的最值问题
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题
过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
例 1、(2019 常州期末）已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则1＋x的最小值为________．
x
xy
【答案】 4
题型三 、运用双换元解决基本不等式中的最值问题 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的
分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系。
例 6、(2017 苏州期末） 已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 4 ＋ 1 的最小值为________． x＋2 y＋1
案不会变化．
题型四、基本不等式中多元问题的处理 多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何 意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：(1)多元最值首选消元：三元问题→二元问题→一元问题．(2) 二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元．策略二：不好消元——用基本不等式及其变形式， 线性规划，三角换元．（3）多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式——同 除减元．策略二：整体思想——代入消元或者减元．
2
xy
解法 2(直接消元) 由 x＋y＝1 得y＝1－x，故1＋x＝1＋ 1 ，以下同解法 1.
x
x
x y x 1－x
解法 3(消元，分离常数凑定值) 同解法 1，2 得1＋x＝1＋ 1 ＝1－x＋x＋1－x＋x＝2＋1－x＋ x ≥4，
x y x 1－x x
1－x
x 1－x
当且仅当1－x＝ x ，即 x＝1时取“＝”．故1＋x的最小值为 4.
x y－3
y－3
y－3
y－3
y－3
时取等号，此时 x＝3，所以3＋ 1 的最小值为 8.
7
x y－3
解法 2
因为实数 x，y 满足 xy＋3x＝3
0＜x＜1 2
，所以 y＝3－3(y＞3)，y－3＝3－6＞0，
x
x
高中数学资料分享群：1073631656
所以3x＋y－1 3＝3x＋3－1 6＝3x－6＋3－1 6＋6≥2
交 AC 于点 D，且 BD 1，则 4a c 的最小值为___________． 【答案】9
【解析】由题意可知， 뜸ࢃ 曥 뜸ࢃ ʄ 뜸ࢃࢃ,由角平分线性质和三角形面积公式得 sin 츐 曥
sin悔츐 ʄ
sin悔츐 ，化简得 曥 ʄ ʄ 曥 ，
因此 ʄ 曥 ʄ ʄ 曥 ⸱ ʄ ʄ ⸱ ʄ
曥⸴
当且仅当 曥 曥 Ꮇ 时取等号，则 ʄ 的最小值为 ⸴.
高中数学资料分享群：1073631656
例 8、(2019 南京、盐城一模） 若正实数 a，b，c 满足 ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则 c 的最大值为________．
例 7、(2015 苏锡常镇、宿迁一调）已知实数 x，y 满足 x>y>0，且 x＋y≤2，则 2 ＋ 1 的最小值为________． x＋3y x－y
【答案】3＋2 2 4
x＋3y＝m， 【解析】设
x－y＝n.
x＝m＋3n， 4
解得 y＝m－n. 4
所以 x＋y＝m＋n≤2，即 m＋n≤4.设 t＝ 2 ＋ 1 ＝ 2 ＋
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要 求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则
高中数学资料分享群：1073631656
会出现错误. 六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。
6、【2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总
存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是___________．
【答案】30
【解析】总费用为 4x 600 6 4(x 900) 4 2 900 240 ，当且仅当 x 900 ，即 x 30 时等
x
x
取等号，此时 y＝4，所以3＋ 1 的最小值为 8. x y－3
3－6 x
·3－1 6＋6＝8，当且仅当3x－6＝3－1 6，即
x＝3时 7
x
x
题型二、运用 1 的代换解决基本不等式中的最值问题
1 的代换就是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程
中要特别注意等价变形。
所以 x 2 y 4 2 x 2 y ，
即 2xy 2, 0 xy 2 ，当且仅当 x 2 y 2 时取等号成立.
又因为 2 5 2 5 1 = 9 ，
xy
22
所以
(x
1)(2 xy
y
1)
的最小值为
9 2
.
3、【2019 年高考浙江卷】若 a 0,b 0 ，则“ a b 4 ”是 “ ab 4 ”的（ ）
x
x
x
高中数学资料分享群：1073631656
号成立．
一、三个不等式关系：
(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取等号．
(2)a，b∈R＋，a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时取等号．
(3)a，b∈R，a2＋b2≤(a＋b)2，当且仅当 a＝b 时取等号．
2
2
上述三个不等关系揭示了 a2＋b2 ，ab ，a＋b 三者间的不等关系．
4＋1 xy
＝4y＋x＋
xy
xy
5≥2 4y·x＋5＝9，当且仅当 x＝6，y＝3 时，等号成立，即 x＋y 的最小值是 9，故 m≤9. xy
例
4、（2019
年苏州学情调研）若正实数
x
，y
满足
x
y
1 ，则