2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第三章第4讲幂函数
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高考数学一轮复习 13课时 幂函数
③ 如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是坐
标原点.
④ 的正负： 0 时，图像过 0, 0 和 1,1 ，在第一
象限的图像上升； 0 时，图像不过原点，在第一象限
的图像下降；
⑤曲线在第一象限的凹凸性： 1 时，曲线下凹；
不会学会，会的做对.
79
没有不会做，只有没努力！
Go the distance
函数
y x
y x2
y x3
1
y x2
是常数，如 .
y x1
y
y
y
y
y
图像
Ox
Ox
Ox
Ox
Ox
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
3. 同一坐标系中五种幂函数的图像（右下图）：
4. 幂函数的特点：
① 幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出
现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函
数的奇偶性；
② 幂函数的图像最多只能出现在两个象限内；
问题 3． 1 下列说法正确的是
A. 幂函数一定是奇函数或偶函数 B. 任意两个幂函数的图像都有两个以上交点； C. 如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同
D. 图像不经过 1,1 的幂函数一定不是偶函数
2 已知幂函数 f (x) 的图象过点
2,2
,幂函数
g(
x)
的图象过点
2,
1 4
，
求它们的解析式，并比较它们的大小.
不会学会，会的做对.
81
没有不会做，只有没努力！
Go the distance
问题 4． 1 幂函数的图象过点 3, 3 ，则它的单调增区间是
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
高三数学一轮复习之幂函数课件
A．d c b a C．b d c a
B．d b c a D．b c d a
考点探究
3
5
（3）已知点（3，28）在函数 （f x）＝xn+1 的图象上，设 a f 3 ，b＝（f lnπ），c f 4 ，
则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
幂函数
方法点拨
1．幂函数的概念 一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α为常数．
方法点拨
2．五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性
质
y＝x
y＝x2
图象
定义域 值域 奇偶性
单调性
公共点
R
R
R
{y|y≥0}
奇
偶
增
(－∞，0)减，
(0，＋∞)增
y＝x3
R R 奇 增 (1，1)
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
（4）已知幂函数 y xa 的图像满足，当 x (0,1) 时，在直线 y x 的上方；当x (1, ) 时，
在直线 y x 的下方，则实数a 的取值范围是_______________.
考点探究
考点四：幂函数综合问题
例 4（. 1）已知函数 y axa b 1是幂函数，直线mx ny 2 0(m 0,n 0) 过点(a, b) ，
b f log2 5 ，c f m ，则a,b, c 的大小关系为（ ）
A．a b c
B．a c b
C．c a b
D．c b a
考点探究
（2）已知幂函数 f x x m2m 1 m N* ，经过点 2, 2 ，试确定m 的值，并求满足
条件 f 2 a f a 1 的实数 a 的取值范围.
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第4节幂函数、对勾函数及一次分式函数
{x|x≥0}
{y|y≥0}
奇函数
非奇非
偶函数
单调
性
在(-∞,0)上单调
在(-∞,0)和
在R上单
在R上单调 在[0,+∞)上
递减,在(0,+∞)
(0,+∞)上单
调递增
递增
单调递增
上单调递增
调递减
偶函数
y=
y=x-1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
函数
y=x
图象
过定点
(1,1)
y=x2
y=x3
y=
3
y=x+在区间[
3+x+x 2
y= 1+x 的最小值为(
C )
D.4
1+x=t,因为 x∈[2,5],所以 t∈[3,6],
3,+∞)上单调递增,所以函数
区间[3,6]上单调递增,因此函数在 t=3 时取最小值
3
3+3-1=3,故选
3
y=t+ -1
C.
在
(2)函数
+
f(x)= 2+5 在[0,2 ]上的值域为
1
2
y=x-1
微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?
提示 不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,
且一定不经过第四象限.
微点拨1.幂函数在(0,+∞)上都有定义;
2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
3.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
《幂函数》PPT课件
m2 m 1 1
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
高考数学总复习课件第三单元 第四节 幂函数
(2)指同底不同，可以利用幂函数单调性进行比较；
(3)底不同指不同，常利用一个中间值，通过比较两个幂 值与中间值的大小来确定两幂值的大小．
2 1 变式训练３ 若 a 1.22 3 ,b 1,13 , c 0.92 ，则它们
的大小关系是________．
【解析】a 1.2 1.2 1.1 1 0.9 ,
即c b a.
【答案】
2 3
2 3
2 3
1 2
c<b<a
幂函数的综合应用 (12分) 已知对任意的 x1 , x2 0,
且 x1 x2 ，幂函数 f x x p
＝0.
2
2 p3
pZ 满
足 f x1 f x2 ，且对任意的x∈R，f(x)－f(－x)
又n Z , n 0,1,2.
幂函数的图象及应用
已知幂函数 y xm6 m Z 和y x2m m Z 的图象与x、y轴都没有公共点，且 y x m2 m Z
的图象关于y轴对称，求m的值．
分析 幂函数 y x a 的图象与x、y轴都没有公共点，由幂函数
性质可知α ＜0，由此确定m的取值范围，再利用函数 y xm2 3 的奇偶性求出具体整数．
第四节
幂函数
分析 利用幂函数的定义，知 t 3 t 1 1 ，求得t，再利用t
值判定是否满足f(x)的单调性和奇偶性．
解
因为f(x)是幂函数，由幂函数的概念可得： 解得 t ＝－ 1,1 t3 t 1 1或0. 当t＝0时，f x x 是奇函数，不合题意； 当t＝－1时， f x x 是偶函数，在(0，＋∞)上为增函 数； 当t＝1时，f x x 是偶函数，在(0，＋∞)上为增函 数． 综上可得， f x x 或f x x
高考数学 3.3 幂函数复习课件 理
解析：如图甲，当0 a 1时，对于x (1，+)，y xa 的图象在直线y x的下方； 如图乙，当a 0，x (1，+)时，y xa的图象也在直 线y x的下方； 如图丙，当a 0，x (1，+)时，y xa的图象也在直 线y x的下方．
解析：综上所述，a的取值范围是(，1)．
2.画幂函数图象的方法：
(1)列表、描点、连线法，
(2)先画出第一象限的图形，再利用幂函数的 性质作其余的图象.
二、幂函数的图象和性质
1
1.常见幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y x2
的图象：
1
2.幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y x2 的性
质
函数
y=x y=x2 y=x3
定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
3.幂函数的性质归纳
(1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且 图象都过点 (1,1)；
(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在 区间［0,+∞)上是增函数.特别地，当α>1时， 幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的 图象上凸；
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上是 减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点 时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴， 当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
解析：①当k 2 k 0时，即k 0或k 1. 若k 2 2k 1 0，得1 2 k 1+ 2，此时，y随x增 大而减小． 故当0 k 1+ 2，且x 0时，随x增大其函数值减小． 若k 2 2k 1 0，得k 1+ 2，或k 1 2，此时，y 随x增大而增大． 故当k 1+ 2，或k 1，且x 0时，随x增大其函数 值增大．
解析：综上所述，a的取值范围是(，1)．
2.画幂函数图象的方法：
(1)列表、描点、连线法，
(2)先画出第一象限的图形，再利用幂函数的 性质作其余的图象.
二、幂函数的图象和性质
1
1.常见幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y x2
的图象：
1
2.幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y x2 的性
质
函数
y=x y=x2 y=x3
定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
3.幂函数的性质归纳
(1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且 图象都过点 (1,1)；
(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在 区间［0,+∞)上是增函数.特别地，当α>1时， 幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的 图象上凸；
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上是 减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点 时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴， 当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
解析：①当k 2 k 0时，即k 0或k 1. 若k 2 2k 1 0，得1 2 k 1+ 2，此时，y随x增 大而减小． 故当0 k 1+ 2，且x 0时，随x增大其函数值减小． 若k 2 2k 1 0，得k 1+ 2，或k 1 2，此时，y 随x增大而增大． 故当k 1+ 2，或k 1，且x 0时，随x增大其函数 值增大．
高考复习课件：幂函数
α
2．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式
形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论．
3．对于幂函数y＝xa，我们首先应该分析函数的定义域、
值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定 曲线的类型，即a<0,0<a<1和a>1三种情况下曲线的基本形状， 还要注意a＝0，±1三个曲线的形状．
幂函数
1． 幂函数的定义： 形如 y＝xα 的函数叫幂函数(α 为常数) 1 要重点掌握 α＝1,2,3，2，－1 时的幂函数． 2．幂函数的图象：(只做出第一象限图象)
幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对 n 称性做出．α＝ (其中 m∈N*，n∈Z 且 m，n 互质)． m (1)当 n 为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称． (2)当 m，n 都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点 对称． (3)当 m 为偶数，n 为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其 图象只能在第一象限．
1 4．幂函数当 α＝1,2,3， ，－1 时的图象与性质． 2 (1)图象(如图所示)
(2)性质(见下表)
y＝x 定义域 值域 R R y＝x2 R [0，＋∞) y＝x3 R R y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) y＝x－1
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
奇偶性
奇函数
3．幂函数的性质
(1)当α>0时，幂函数图象都过 (0,0) 点和 (1,1) 点 ； 且 在
[0，＋∞)上都是 增函数；当0<α<1时曲线 上凸 ； 当 α>1 时 ， (0,0) 曲线 下凹 ；α＝1时为过 点和 (1,1) 点的直线．
(2)当α<0时，幂函数图象总经过 (1,1) 点，且在(0，＋∞) 上为减函数． (1,1) (3)α＝0时y＝xα＝x0，表示过 点平行于x轴的直线(除(0,1) 点)．
2．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式
形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论．
3．对于幂函数y＝xa，我们首先应该分析函数的定义域、
值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定 曲线的类型，即a<0,0<a<1和a>1三种情况下曲线的基本形状， 还要注意a＝0，±1三个曲线的形状．
幂函数
1． 幂函数的定义： 形如 y＝xα 的函数叫幂函数(α 为常数) 1 要重点掌握 α＝1,2,3，2，－1 时的幂函数． 2．幂函数的图象：(只做出第一象限图象)
幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对 n 称性做出．α＝ (其中 m∈N*，n∈Z 且 m，n 互质)． m (1)当 n 为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称． (2)当 m，n 都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点 对称． (3)当 m 为偶数，n 为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其 图象只能在第一象限．
1 4．幂函数当 α＝1,2,3， ，－1 时的图象与性质． 2 (1)图象(如图所示)
(2)性质(见下表)
y＝x 定义域 值域 R R y＝x2 R [0，＋∞) y＝x3 R R y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) y＝x－1
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
奇偶性
奇函数
3．幂函数的性质
(1)当α>0时，幂函数图象都过 (0,0) 点和 (1,1) 点 ； 且 在
[0，＋∞)上都是 增函数；当0<α<1时曲线 上凸 ； 当 α>1 时 ， (0,0) 曲线 下凹 ；α＝1时为过 点和 (1,1) 点的直线．
(2)当α<0时，幂函数图象总经过 (1,1) 点，且在(0，＋∞) 上为减函数． (1,1) (3)α＝0时y＝xα＝x0，表示过 点平行于x轴的直线(除(0,1) 点)．
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x
2 3
1 3
2 3
1 1 1 D. 5 2 2
2 3
2 3
2 3
1 3
1 1 1 解析：由 y＝ 在(－∞，＋∞)递减知： . 2 2 2
1 3
1 1 由 y＝ x 在(0，＋∞)递增知： . 5 2
(1)幂函数在区间(0，＋∞)上是单调增函数得幂
指数－m2＋2m＋3>0，幂函数为偶函数，得幂指数－m2＋2m＋3
为偶数． (2)若函数g(x)仅在 x＝0 处有极值，抓住关键字“仅”，意味 着函数没有其他极值点，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，则x2＋3ax＋9≥0 恒成立，这样就将导数、极值问题转化成一个二次不等式恒成立 的常规问题．
2 3
2 3
2 3
比较两个幂的大小，①如果指数相同而底数不同 (即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；②如果底
数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单调性来
比较大小；③如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间
变量，常用的中间变量有0,1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数
2
1 2
－
y＝x R R 奇 增
3
R [0，＋∞) 偶 (－∞，0)减 (0，＋∞)增
y＝ x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 增
1 2
y＝x
－1
(－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0)减 (0，＋∞)减 (1,1)
(0,0)，(1,1)
1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( C ) A．(0,0) B．(0,1)
指数函数相结合的比较大小.
1．幂函数定义
y＝xα 一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自 变量，α是常数．
2．幂函数的图象：五个常用幂函数
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x ，y＝x 1 的图
1 2
－
象，如图 3－4－1. 图 3－4－1
3．幂函数y＝xα的图象，在第一象限内
由小到大 直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α___________；
由小到大 y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α________．
4．五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x ，y＝x 1 的性质
幂函数 y＝x 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 R R 奇 增 y＝x
幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等， 只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作 出幂函数在定义域内完整的图象．
1．幂函数 y＝xα(α∈R)的幂指数α为常数，底数 x 是自变量， 而指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的底数 a 为常数，指数 x 是自变量．
①系数必须为1；②指数必须为常数．
(2)幂函数的单调性：①α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函 数；②α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
【互动探究】
1．已知函数 f(x)＝(m ＋2m)· x
2
m2 m1
，；(2)正比例函数；(3)反比例函数；(4)二次函数．
c4，c2，c3，c1 图象依次为：___________________.
图 3－4－2
5．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2， 2)，y＝f(x)的解析式
y＝ 为_________.
1 x2
1 解析：由幂函数的定义：y＝x 可知， 2＝2 ，∴α＝2，
α α
∴y＝
1 x2
.
考点1
*
幂函数的概念
m2 2 m3
(m∈Z)
1 9 2 3 (2)设函数 g(x)＝4f(x)＋ax ＋2x －b(x∈R)，其中 a，b∈R.
若函数 g(x)仅在 x＝0 处有极值，求 a 的取值范围．
解析：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数， ∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0. ∴－1<m<3，又m∈Z，∴m＝0,1,2 而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数．
图 3－4－3
A．①y＝x ，②y＝x2，③y＝x ，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x ，④y＝x
2 3
1 2
1 2
－1
1 3
1 2
C．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x ，④y＝x－1 D．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x2，④y＝x
1 3
1 2
－1
考点3 比较大小 例3：下列各不等式中正确的是( D )
组成的幂． 【互动探究】
3．已知a＞b＞0，那么2a,2b,3a的大小关系是( B )
A．2a＞2b＞3a C．2b＜3a＜2a B．2b＜2a＜3a D．2a＜3a＜2b
思想与方法 3．转化与化归思想在幂函数中的应用
例题：(2011 年皖北大联考)已知幂函数 f(x)＝ x
为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数． (1)求函数 f(x)的解析式；
4 3
C．(1,1)
D．(－1，－1)
2．函数 y＝ x 的图象是( A )
1 3．在函数 y＝x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x 中，幂函数的个
数为( B ) A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图 3－4－2，曲线是幂函数
y＝xα在第一象限内的图象，
1 已知 α 分别取－1,1，2，2 四个值，则相应
1 1 1 A. 2 5 2
2 3 2 3 1 3
1 1 1 B. 2 2 5
1 3
2 3
2 3
1 1 1 C. 5 2 2
2
2 m2 3m2
例 1：已知 m∈N ，函数 f(x)＝(2m－m )· x
上是增函数，判断函数 f(x)的奇偶性．
在(0，＋∞)
解析：由函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
2m2＋3m－2>0， 得 2 2m－m >0， 2m2＋3m－2<0， 或 2 2m－m <0，
解：(1)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2. (2)若
m2＋m－1＝1， f(x)为正比例函数，则 2 m ＋2m≠0
⇒m＝1. ⇒m＝－1.
(3)若
m2＋m－1＝－1， f(x)为反比例函数，则 2 m ＋2m≠0 m2＋m－1＝2， f(x)为二次函数，则 2 m ＋2m≠0
(4)若
－1± 13 ⇒m＝ . 2
考点2
幂函数的图象
1 3
例 2：(2011 年陕西)函数y＝x 的图象是( B )
解析：因为 y＝ x ，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则只 1 剩 B，C.因为 y＝x 中 α＝3，图象靠近 x 轴，故答案为 B.
α
1 3
【互动探究】 2．图 3－4－3 给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致 对应是( B )
m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4.
(2)g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)， 显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根． 为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立， 即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]．
这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2]．
第4讲
考纲要求
幂函数
考纲研读 结合幂函数的定义及性质，以幂
1.了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2， 1 3，y＝ 1 ，y＝x 2 的图 y＝x x 象，了解它们的变化情况.
函数为载体可考查求参数值或 参数范围．对于幂函数的图象， 只需掌握五种常见函数的图象， 理解不同图象间的关系；掌握与
2．在比较大小时要特别注意是利用指数函数的单调性还是利
用幂函数的单调性，指数函数 a>1 时单调递增，0<a<1 时单调递 减；而幂函数α>0 时在第一象限单调递增，α<0 时在第一象限 单调递减．
m>1或m<－2， －2<m<1， 2 即 2 或 0<m<2， m>2或m<0，
1 ∴2<m<2 或－2<m<0. ∵m∈N*，∴m＝1.此时 f(x)＝x3，x∈R. ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故函数 f(x)为奇函数．
(1)幂函数y＝xα的特点：
1．幂函数 y＝xα的性质是分α>0 和α<0 两种情况来讨论的． 2．要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区 别：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数
是自变量，底数是常数．
3．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第
四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性，作
2 3
1 3
2 3
1 1 1 D. 5 2 2
2 3
2 3
2 3
1 3
1 1 1 解析：由 y＝ 在(－∞，＋∞)递减知： . 2 2 2
1 3
1 1 由 y＝ x 在(0，＋∞)递增知： . 5 2
(1)幂函数在区间(0，＋∞)上是单调增函数得幂
指数－m2＋2m＋3>0，幂函数为偶函数，得幂指数－m2＋2m＋3
为偶数． (2)若函数g(x)仅在 x＝0 处有极值，抓住关键字“仅”，意味 着函数没有其他极值点，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，则x2＋3ax＋9≥0 恒成立，这样就将导数、极值问题转化成一个二次不等式恒成立 的常规问题．
2 3
2 3
2 3
比较两个幂的大小，①如果指数相同而底数不同 (即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；②如果底
数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单调性来
比较大小；③如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间
变量，常用的中间变量有0,1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数
2
1 2
－
y＝x R R 奇 增
3
R [0，＋∞) 偶 (－∞，0)减 (0，＋∞)增
y＝ x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 增
1 2
y＝x
－1
(－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0)减 (0，＋∞)减 (1,1)
(0,0)，(1,1)
1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( C ) A．(0,0) B．(0,1)
指数函数相结合的比较大小.
1．幂函数定义
y＝xα 一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自 变量，α是常数．
2．幂函数的图象：五个常用幂函数
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x ，y＝x 1 的图
1 2
－
象，如图 3－4－1. 图 3－4－1
3．幂函数y＝xα的图象，在第一象限内
由小到大 直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α___________；
由小到大 y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α________．
4．五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x ，y＝x 1 的性质
幂函数 y＝x 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 R R 奇 增 y＝x
幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等， 只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作 出幂函数在定义域内完整的图象．
1．幂函数 y＝xα(α∈R)的幂指数α为常数，底数 x 是自变量， 而指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的底数 a 为常数，指数 x 是自变量．
①系数必须为1；②指数必须为常数．
(2)幂函数的单调性：①α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函 数；②α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
【互动探究】
1．已知函数 f(x)＝(m ＋2m)· x
2
m2 m1
，；(2)正比例函数；(3)反比例函数；(4)二次函数．
c4，c2，c3，c1 图象依次为：___________________.
图 3－4－2
5．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2， 2)，y＝f(x)的解析式
y＝ 为_________.
1 x2
1 解析：由幂函数的定义：y＝x 可知， 2＝2 ，∴α＝2，
α α
∴y＝
1 x2
.
考点1
*
幂函数的概念
m2 2 m3
(m∈Z)
1 9 2 3 (2)设函数 g(x)＝4f(x)＋ax ＋2x －b(x∈R)，其中 a，b∈R.
若函数 g(x)仅在 x＝0 处有极值，求 a 的取值范围．
解析：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数， ∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0. ∴－1<m<3，又m∈Z，∴m＝0,1,2 而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数．
图 3－4－3
A．①y＝x ，②y＝x2，③y＝x ，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x ，④y＝x
2 3
1 2
1 2
－1
1 3
1 2
C．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x ，④y＝x－1 D．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x2，④y＝x
1 3
1 2
－1
考点3 比较大小 例3：下列各不等式中正确的是( D )
组成的幂． 【互动探究】
3．已知a＞b＞0，那么2a,2b,3a的大小关系是( B )
A．2a＞2b＞3a C．2b＜3a＜2a B．2b＜2a＜3a D．2a＜3a＜2b
思想与方法 3．转化与化归思想在幂函数中的应用
例题：(2011 年皖北大联考)已知幂函数 f(x)＝ x
为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数． (1)求函数 f(x)的解析式；
4 3
C．(1,1)
D．(－1，－1)
2．函数 y＝ x 的图象是( A )
1 3．在函数 y＝x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x 中，幂函数的个
数为( B ) A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图 3－4－2，曲线是幂函数
y＝xα在第一象限内的图象，
1 已知 α 分别取－1,1，2，2 四个值，则相应
1 1 1 A. 2 5 2
2 3 2 3 1 3
1 1 1 B. 2 2 5
1 3
2 3
2 3
1 1 1 C. 5 2 2
2
2 m2 3m2
例 1：已知 m∈N ，函数 f(x)＝(2m－m )· x
上是增函数，判断函数 f(x)的奇偶性．
在(0，＋∞)
解析：由函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
2m2＋3m－2>0， 得 2 2m－m >0， 2m2＋3m－2<0， 或 2 2m－m <0，
解：(1)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2. (2)若
m2＋m－1＝1， f(x)为正比例函数，则 2 m ＋2m≠0
⇒m＝1. ⇒m＝－1.
(3)若
m2＋m－1＝－1， f(x)为反比例函数，则 2 m ＋2m≠0 m2＋m－1＝2， f(x)为二次函数，则 2 m ＋2m≠0
(4)若
－1± 13 ⇒m＝ . 2
考点2
幂函数的图象
1 3
例 2：(2011 年陕西)函数y＝x 的图象是( B )
解析：因为 y＝ x ，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则只 1 剩 B，C.因为 y＝x 中 α＝3，图象靠近 x 轴，故答案为 B.
α
1 3
【互动探究】 2．图 3－4－3 给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致 对应是( B )
m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4.
(2)g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)， 显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根． 为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立， 即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]．
这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2]．
第4讲
考纲要求
幂函数
考纲研读 结合幂函数的定义及性质，以幂
1.了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2， 1 3，y＝ 1 ，y＝x 2 的图 y＝x x 象，了解它们的变化情况.
函数为载体可考查求参数值或 参数范围．对于幂函数的图象， 只需掌握五种常见函数的图象， 理解不同图象间的关系；掌握与
2．在比较大小时要特别注意是利用指数函数的单调性还是利
用幂函数的单调性，指数函数 a>1 时单调递增，0<a<1 时单调递 减；而幂函数α>0 时在第一象限单调递增，α<0 时在第一象限 单调递减．
m>1或m<－2， －2<m<1， 2 即 2 或 0<m<2， m>2或m<0，
1 ∴2<m<2 或－2<m<0. ∵m∈N*，∴m＝1.此时 f(x)＝x3，x∈R. ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故函数 f(x)为奇函数．
(1)幂函数y＝xα的特点：
1．幂函数 y＝xα的性质是分α>0 和α<0 两种情况来讨论的． 2．要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区 别：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数
是自变量，底数是常数．
3．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第
四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性，作