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（物理）物理曲线运动试题类型及其解题技巧及解析

一、高中物理精讲专题测试曲线运动

1．如图所示，倾角为45的粗糙平直导轨与半径为r 的光滑圆环轨道相切，切点为

b，整个轨道处在竖直平面内 . 一质量为速下滑进入圆环轨道，接着小滑块从最高点m的小滑块从导轨上离地面高为H=3r

a 水平飞出，恰好击中导轨上与圆心

的d 处无初

O 等高的

c 点 . 已知圆环最低点为 e 点，重力加速度为g，不计空气阻力. 求：（1）小滑块在 a 点飞出的动能；

（）小滑块在 e 点对圆环轨道压力的大小；

（3）小滑块与斜轨之间的动摩擦因数. （计算结果可以保留根号）

【答案】（ 1）142 mgr ；（）′；（）

2=6mg

2F314

【解析】

【分析】

【详解】

（1）小滑块从 a 点飞出后做平拋运动：

水平方向： 2r v a t

竖直方向： r1gt 2

2

解得：v a gr

小滑块在 a 点飞出的动能E k1mv a21mgr

22

（2）设小滑块在 e 点时速度为v m，由机械能守恒定律得：

1

mv m

21

mv a

2mg 2r

22

在最低点由牛顿第二定律：F mg mv m2

r

由牛顿第三定律得：F′=F

解得： F′ =6mg

（3） bd 之间长度为L，由几何关系得：L 2 2 1 r

从 d 到最低点 e 过程中，由动能定理mgHmg cos L1mv m 2

2

解得42

14

2．如图所示， BC为半径 r 2

2 m竖直放置的细圆管，O为细圆管的圆心，在圆管的末5

端 C 连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ＝ 0.6 的足够长粗糙斜面，一质量为m＝ 0.5kg 的小球从 O 点正上方某处 A 点以 v0水平抛出，恰好能垂直 OB 从 B 点进入细圆管，小球过 C 点时速度大小不变，小球冲出 C 点后经过9s再次回到 C点。（ g＝ 10m/s2）求：

8

（1）小球从O 点的正上方某处 A 点水平抛出的初速度v0为多大？

（2）小球第一次过 C 点时轨道对小球的支持力大小为多少？

（3）若将 BC段换成光滑细圆管，其他不变，仍将小球从 A 点以 v0水平抛出，且从小球进

入圆管开始对小球施加了一竖直向上大小为5N 的恒力，试判断小球在BC段的运动是否为

匀速圆周运动，若是匀速圆周运动，求出小球对细管作用力大小；若不是匀速圆周运动则

说明理由。

【答案】（ 1） 2m/s （2） 20.9N（ 3） 5 2 N

【解析】

【详解】

（1）小球从 A 运动到 B 为平抛运动，有：rsin45 °＝ v0t

gt

在B 点有： tan45 °

v0

解以上两式得：v0＝ 2m/s

（2）由牛顿第二定律得：

小球沿斜面向上滑动的加速度：

mgsin45mgcos452

m/s 2

a1gsin45 +°μg cos45 ＝° 8

m

小球沿斜面向下滑动的加速度：

mgsin45mgcos452

m/s 2

a2gsin45 ﹣°μg cos45 °＝2

m

设小球沿斜面向上和向下滑动的时间分别为t 1、 t 2，

由位移关系得：1

2

1

2 a1t1a2t2 22

又因为： t1+t 29

s 8

解得： t133 s， t 2s 84

小球从 C 点冲出的速度：v C＝ a1t1＝ 3 2 m/s 在 C 点由牛顿第二定律得：N﹣ mg ＝m

v C2

r

解得： N＝ 20.9N

（3）在 B点由运动的合成与分解有： v B

v0

22 m/s sin45

因为恒力为5N 与重力恰好平衡，小球在圆管中做匀速圆周运动。设细管对小球作用力大小为 F

由牛顿第二定律得：F＝m v B2 r

解得： F＝ 5 2 N

由牛顿第三定律知小球对细管作用力大小为 5

2 N，

3．如图所示，水平长直轨道AB 与半径为R=0.8m 的光滑1 竖直圆轨道

BC 相切于B， BC 4

与半径为r=0.4m 的光滑1 竖直圆轨道

CD相切

于

C，质量m=1kg 的小球静止在 A 点，现用4

F=18N 的水平恒力向右拉小球，在到达AB 中点时撤去拉力，小球恰能通过

球与水平面的动摩擦因数μ=0.2，取 g=10m/s 2．求：

D 点．已知小（1）小球在 D 点的速度 v D大小；

（2）小球在 B 点对圆轨道的压力 N B大小；

（3） A、B 两点间的距离 x．

【答案】 (1) v D2m / s（ 2）45N (3)2m

【解析】

【分析】

【详解】

（1）小球恰好过最高点D，有：

mg m v D 2

r

解得： v D

2m/s

（2）从 B 到 D ，由动能定理：

mg(R r )

1

mv D 2

1

mv B 2

2 2

设小球在 B 点受到轨道支持力为 N ，由牛顿定律有：

2 N mg

m

v B

R

N B =N

联解③④⑤得： N=45N

（3）小球从 A 到 B ，由动能定理：

F

x

mgx

1

mv B 2

2

2

解得： x 2m

故本题答案是： (1) v D 2m / s （ 2） 45N (3)2m 【点睛】

利用牛顿第二定律求出速度，在利用动能定理求出加速阶段的位移，

4． 如图所示，在光滑的圆锥体顶部用长为

的细线悬挂一质量为 的小球， 因锥体固定在水平面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为

，物体绕轴

线在水平面内做匀速圆周运动，小球静止时细线与母线给好平行，已知

，

重力加速度 g 取 若北小球运动的角速度

，求此时细线对小球的拉力大小。

【答案】

【解析】

【分析】

根据牛顿第二定律求出支持力为零时，小球的线速度的大小，从而确定小球有无离开圆锥

体的斜面，若离开锥面，根据竖直方向上合力为零，水平方向合力提供向心力求出线对小

球的拉力大小。

【详解】

若小球刚好离开圆锥面，则小球所受重力与细线拉力的合力提供向心力，有：

此时小球做圆周运动的半径为： 解得小球运动的角速度大小

为：代入数据得：

若小球运动的角速度为：

小球对圆锥体有压力，设此时细线的拉力大小为F，小球受圆锥面的支持力为，则

水平方向上有：

竖直方向上有：

联立方程求得：

【点睛】

解决本题的关键知道小球圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，根据牛顿

第二定律求出临界速度是解决本题的关键。

5．如图所示，一质量M =4kg 的小车静置于光滑水平地面上，左侧用固定在地面上的销钉

挡住。小车上表面由光滑圆弧轨道BC和水平粗糙轨道CD组成， BC与 CD相切于 C，圆弧BC 所对圆心角θ＝ 37°，圆弧半径 R=2.25m，滑动摩擦因数μ=0.48。质量 m=1kg 的小物块从某一高度处的 A 点以 v0＝ 4m/s 的速度水平抛出，恰好沿切线方向自 B 点进入圆弧轨道，最终与小车保持相对静止。取g＝ 10m/s 2， sin37 °=0.6，忽略空气阻力，求 :

（1） A、B 间的水平距离；

（2）物块通过 C 点时，轨道对物体的支持力；

（3）物块与小车因摩擦产生的热量。

【答案】（1） 1.2m （2）F N25.1N （3）13.6J

【解析】

【详解】

（1）物块从 A到 B由平抛运动的规律得:

tanθ= x= v0t gt v0

得x=1.2m

v0（2）物块在 B 点时，由平抛运动的规律得：v B

cos

1物块在小车上 BC段滑动过程中，由动能定理得：mgR(1－ cosθ)＝

2

2

mv C－

1

2

2

mv B

在 C 点对滑块由牛顿第二定律得F N mg m v C 2

R

联立以上各式解得： F N 25.1N

（3）根据牛顿第二定律，对滑块有μmg＝ ma1，对

小车有μmg＝Ma 2

当滑块相对小车静止时，两者速度相等，即v C－ a1t 1＝ a2t 1

由以上各式解得t134

s，6

此时小车的速度为v＝a2t 1＝34

m / s

5

1212

物块在 CD段滑动过程中由能量守恒定律得：mv C＝（ M＋ m） v + Q

22

解得： Q=13.6J

6．如图所示，竖直平面内的光滑3/4 的圆周轨道半径为R， A 点与圆心O 等高， B 点在 O

的正上方， AD 为与水平方向成θ =45°角的斜面，AD长为72 R．一个质量为m的小球（视为质点）在 A 点正上方 h 处由静止释放，自由下落至 A 点后进入圆形轨道，并能沿圆

形轨道到达 B 点，且到达 B 处时小球对圆轨道的压力大小为mg，重力加速度为g，求：

(1)小球到 B 点时的速度大小v B

(2)小球第一次落到斜面上 C 点时的速度大小v

(3)改变 h，为了保证小球通过 B 点后落到斜面上，h 应满足的条件

3

【答案】 (1)2gR (2)10gR (3)R h 3R

2

【解析】

【分析】

【详解】

(1)小球经过 B 点时，由牛顿第二定律及向心力公式，有

2

v B

mg mg m

R

解得

v B2gR

(2)设小球离开 B 点做平抛运动，经时间 t ，下落高度 y，落到 C 点，则

y1gt 2

2

y cot v B t

两式联立，得

2v B24gR

4R

y

g

g

对小球下落由机械能守恒定律，有

1

mv B2mgy 1 mv2

22

解得

vv22gy2gR8gR 10gR

B

(3)设小球恰好能通过 B 点，过 B 点时速度为 v1，由牛顿第二定律及向心力公式，有

mg m v12

R

又

mg (h R)1mv12

2

得

h 3 R

2

可以证明小球经过 B 点后一定能落到斜面上

设小球恰好落到 D 点，小球通过 B 点时速度为v2，飞行时间为t ，

(72R2R)sin1gt 2

2

(72R2R)cos v2t

解得

v2 2 gR

又

mg (h R)1mv22

2

可得

h 3R

故 h 应满足的条件为

3 R h 3R

2

【点睛】

小球的运动过程可以分为三部分，第一段是自由落体运动，第二段是圆周运动，此时机械能

守恒，第三段是平抛运动，分析清楚各部分的运动特点，采用相应的规律求解即可．

7．如图所示，半径为 R 的四分之三光滑圆轨道竖直放置，CB是竖直直径， A 点与圆心等高，有小球 b 静止在轨道底部，小球 a 自轨道上方某一高度处由静止释放自 A 点与轨道相切进入竖直圆轨道，a、 b 小球直径相等、质量之比为3∶ 1，两小球在轨道底部发生弹性正碰后小球 b 经过 C点水平抛出落在离 C 点水平距离为

22R 的地面上，重力加速度为g，小球均可视为质点。求

(1)小球 b 碰后瞬间的速度；

(2)小球 a 碰后在轨道中能上升的最大高度。

【答案】 (1)6gR (2)1 R 3

【解析】

【详解】

(1)b 小球从 C 点抛出做平抛运动，有： 1 gt22R

2

4R

解得 t

g

小球 b 做平抛运动的水平位移：x v C t22R 解得

v C2gR

根据机械能守恒有：1

m b v b

2

1

m b v C

2

2m b gR 22

可知小球 b 在碰后瞬间的速度：v b6gR

(2)a、b 两小球相碰，由动量守恒得：m a v a m a v a ' m b v b

1

2

1

2

1

2

a 、

b 两小球发生弹性碰撞，由机械能守恒得： 2 m a v a

2 m a v a '

2 m b v b

又 m a ＝ 3m b

2 1 1 解得： v a

v b v a 'v a

v b

3

2

3

可得：

v a '

6gR

，小球 a 在轨道内运动，不能到达圆心高度，所以小球

a 不会脱离轨

3

道，只能在轨道内来回滚动，根据机械能守恒可得：

1

m a v a '2 m a gh

2

R 解得： h

3

8． 游乐场正在设计一个全新的过山车项目，设计模型如图所示，

AB 是一段光滑的半径为

R 的四分之一圆弧轨道，后接一个竖直光滑圆轨道，从圆轨道滑下后进入一段长度为

L 的

粗糙水平直轨道 BD ，最后滑上半径为 R 圆心角

60 的光滑圆弧轨道 DE ．现将质量为 m

的滑块从 A 点静止释放，通过安装在竖直圆轨道最高点 C 点处的传感器测出滑块对轨道压

力为 mg ，求 ：

（ 1）竖直圆轨道的半径 r ．

（ 2）滑块在竖直光滑圆弧轨道最低点B 时对轨道的压力． （3）若要求滑块能滑上 DE 圆弧轨道并最终停在平直轨道上（不再进入竖直圆轨道

），平

直轨道 BD 的动摩擦因数 需满足的条件．

【答案】 （1） R

（ 2）7mg （ 3） R

R

3

2L

L

【解析】

(1) 对滑块，从 A 到 C 的过程，由机械能守恒可得：

mg( R 2r ) 1 m v C 2

2 2mg

m v C 2

r

R ； 解得： r

3

(2) 对滑块，从 A 到 B 的过程，由机械能守恒可得：

mgR1mv B2

2

在 B 点，有：

N mg m v B2 r

可得：滑块在 B 点受到的支持力

N=7mg；

由牛顿第三定律可得，滑块在 B 点对轨道的压力

N N 7mg ，方向竖直向下；

(3)若滑块恰好停在 D 点，从 B 到 D 的过程，由动能定理可得：

mgL 1 mv2

12B

可得：

1R L

若滑块恰好不会从 E 点飞出轨道，从 B 到 E 的过程，由动能定理可得：

2 mgL mgR(1 cos )1mv B2

2

可得：

R

2

2L

若滑块恰好滑回并停在 B 点，对于这个过程，由动能定理可得：

3mg·2L 1

mv B2 2

综上所述，

R R 需满足的条件：．

2L L

9．如图所示，A B

两球质量均为

m

，用一长为

l

的轻绳相连，

A

球中间有孔套在光滑的足、

够长的水平横杆上，两球处于静止状态．现给 B 球水平向右的初速度v0，经一段时间后B 球第一次到达最高点，此时小球位于水平横杆下方l/2 处．（忽略轻绳形变）求：

(1)B 球刚开始运动时，绳子对小球 B 的拉力大小T；

(2)B 球第一次到达最高点时， A 球的速度大小v1；

(3)从开始到 B 球第一次到达最高点的过程中，轻绳对 B 球做的功W．

【答案】（ 1） mg+m v02v02gl

（ 3）

mgl mv02

（2） v

1

24

l

【解析】

【详解】

（1） B 球刚开始运动时， A 球静止，所以 B 球做圆周运动

对B 球： T-mg=m v 02 l

得： T=mg+m v 02 l

（2） B 球第一次到达最高点时，A、 B 速度大小、方向均相同，均为v1

以 A、B 系统为研究对象，以水平横杆为零势能参考平面，从开始到

点，根据机械能守恒定律，

B 球第一次到达最高

1

mv02mgl 1

mv12

1

mv12mg

l

2222

得：

v1v02gl

2

（3）从开始到 B 球第一次到达最高点的过程，对 B 球应用动能定理

W-mg l1

mv12

1

mv02 222

得： W= mgl

mv02

4

10．如图所示，在竖直平面内有一“”管道装置，它是由两个完全相同的圆弧管道和两直

管道组成。直管道和圆弧管道分别相切于A1、A2、B1、B2， D1、 D2分别是两圆弧管道的最高点， C1、 C2分别是两圆弧管道的最低点，C1、 C2固定在同一水平地面上。两直管道略微错开，其中圆弧管道光滑，直管道粗糙，管道的粗细可忽略。圆弧管道的半径均

为 R，B1O1D1AO1 1C1B2O2 D 2A2O2C2。一质量为 m 的小物块以水平向左的速度 v0从C1点出发沿管道运动，小物块与直管道间的动摩擦因数为。设

v0 12m / s ，m=1kg，R=1.5m，0.5，37（sin37 °=0.6，cos37°=0.8）。求：

（1）小物块从C1点出发时对管道的作用力；（2）小物块第一次经过C2点时的速度大小；（3）小物块在直管道B1A2上经过的总路程。

【答案】（ 1） 106N，方向向下（2）4

53 7 m/s（3）m

4

【解析】

【详解】

(1)物块在 C1点做圆周运动，由牛顿第二定律有：

N mg m v02 R

可得：N mg m v02106N

R

由牛顿第三定律可知，小物块对管道的作用力大小为106N，方向向下

(2)由几何知识易有：l A2 B1

2Rcos

4m A1 B2sin

从C

1 到C

2 由动能定理可得：mglcos

1

mv22

1

mv02

22

可得：

v2v022glcos47m / s

(3)以 C1C2水平线作为重力势能的参考平面，则小物块越过D1、 D2点时的机械能需满足：

E E02mgR 30J

由于直管道的摩擦，物块每完整经历直管道一次，机械能的减少量满足：

E W f mglcos16J

设 n 为从第一次经过D1后，翻越 D1和 D2的总次数，则有：

1

mv02n E E0，

2

1

mv02 - n1E E0

2

可得： n=2，表明小物块在第二次经过D1后就到不了 D2，之后在 D1B1A2C2D2之间往复运动

直至稳定，最后在A

2 及C2 右侧与A2 等高处之间往复稳定运动。

由开始到稳定运动到达A2点，由动能定理有：

mgscos mgR 1 cos01

mv02 2

69

m

可得： s=

4

53故在 B1A2直管道上经过的路程为s'=s－ l=m

4