巩固练习不等式的解法高三理科
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《不等式的解法》
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《不等式的解法》【题型一】：一元二次不等式的解法 【题型二】：高次不等式的解法 【题型三】：无理不等式的解法 【题型四】：指对不等式的解法 【题型一】：一元二次不等式的解法【例1】. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。
【解析】由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x =由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<(41)(51)0x x ++<，解得1145x -<<-，故不等式210nx mx +->的解集为11(,)45--.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
【变式训练】：【变式1】已知220ax x c ++>的解为1132x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.【解析】由韦达定理有：11232a -+=-，1132ca-⋅=，∴12a =-,2c =.∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>， 即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.【变式2】已知关于x 的不等式20x a x b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.【解析】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式210bx ax ++>得22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得12x <或1x >. ∴210bx ax ++>的解集为：1(,)(1,)2-∞+∞.【例2】．已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
高三第一轮复习不等式的解法课件
cx 2
bx
a
0的解集为x
1
x
1
2.若集合A x ax2 ax 1 0 ,则求实数a的取值范围?
解析 若a=0时符合题意，1<0此时解集为空集，成立。
若a>0时，相应二次方程中的Δ =a2-4a≤0,解得0<a≤4,
综上得
{a|0≤a≤4}.
⑤指数对数不等式要考虑对数的真数>0,指数对数的互化.
⑥高次分式不等式的解法
随堂小测：
"x1,2,使x2 2x a 0"为真命题,求a的取值范围?
课后作业： 第一阶梯：《师说》P63---P64：剩余的题全部做 第二阶梯：《师说》P63---P64：除13题外剩余的题全部做 第三阶梯：《师说》P63：剩余的填空选择题+14题
a 1时loga x b x ab ;loga x b 0 x ab
0 a 1时loga x b x ab ;loga x b 0 x ab
1·函数 y log 0.1 (2x 1) 的定义域是_____
解
:
函数有意义则
思考：根据题意能不能确定二次项系数a的正负？
拓展：已知不等式 ax2 bx c 0的解为0 x ,
求不等式cx2 bx a 0的解集?
解 : ax2 bx c 0的解为0 x
a 0且ax2 bx c 0的解为x1 , x2
不等式的解法
要点梳理
1、不等式的分类:
一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、 指数不等式和对数不等式的解法。
【高三】高三数学精品复习12不等式的解法及其综合应用
【关键字】高三2014届高三数学精品复习之不等式的解法及其综合应用1．解分式不等式不能轻意去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；[特别关注] 求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。
[举例1]关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式的解集是（）A．(-∞,-1)∪(2,+∞) B．(-1,2) C．(1,2) D．(-∞,1)∪(2,+∞)解析：不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)a>0且a=b，则不等式等价于：(x+1)(x-2)>0x>2或x<-1,选A。
[举例2] 解关于的不等式：解析：以下不等式两边同除以a-1，需讨论其正负；①若a>1，等价于：此时需知不等式相应的方程的两根与=2的大小，比差：=，可见a>1时，<,∴不等式的解为：(-∞，)∪（2，+∞)②若a<1，不等式等价于：，（ⅰ）若0<a<1, >,不等式的解为：（2,）；（ⅱ）若a<0，<,不等式的解为：（,2）；(ⅲ) 若a=0, 不等式等价于：，不等式的解为；综上所述：当a>1时不等式的解为(-∞，)∪（2，+∞)；当0<a<1时不等式的解为（2,）；当a=0时不等式的解为；当a<0时不等式的解为：（,2）。
[巩固1]若不等式的解为，则的取值范围是[巩固2]解关于x的不等式：[迁移] 已知（），则数列最大项为第项。
2．解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质：若M>0则|f(x)|>Mf(x)>M或f(x)<-M；②平方（不等式两边同正）；③讨论（绝对值内的式子为0）。
高考理科数学第一轮复习第六章不等式 不等式 (4)不等式的解法(一)
不等式的解法一、内容归纳:1、知识精讲：①一元一次不等式（略）②一元二次不等式,与二次函数、二次不等式结合。
③高次不等式的解法：a ）降次化作不等式组求解；f （x ）·g （x ）＞0 ⇔ f(x) ＞0 或 f(x)＜0g(x) ＞0 g(x)＜0f(x) ＞0 f(x)＜0f （x ）·g （x ）＜0⇔ g(x)＜0 或 g(x) ＞0b)数轴标根法求解.：④分式不等式的解法:记f(x),g(x)为x 的整式函数,分式不等式0)()(>x g x f 与f(x)·g(x)>0同解;0)()(<x g x f 与f(x)·g(x)<0同解.一般形式的分式不等式可先化为上述形式.2、重点、难点：一元一次不等式（组）、一元二次不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法。
3、思维方法：归类、转化。
数形结合。
4、特别提示：解分式不等式时，注意先移项，使右边为０。
二、题型剖析[一元一次不等式]【例1】 已知关于x 的不等式（a+b ）x+（2a-3b ）＜0解为（-∞，-1/3），求关于x 的不等式（a-3b ）x+（b-2a ）＞0的解集。
〖解〗由（a+b ）x ＜（2a-3b ）解集为（-∞，-1/3），所以有a+b ＞0，且3123=+-b a a b 从而a=2b ，又a+b=3b ＞0，∴b ＞0，将a=2b 代入（a-3b ）x+（b-2a ）＞0得-bx-3b ＞0，x ＜-3，所求解集为（-∞，-3）。
思维点拨：挖掘隐含条件a+b>0很重要。
[可转化为一元二次不等式]：例3P92若不等式2)1(122≤->-m x m x 对满足的所有m 都成立。
求m 的取值范围。
〖解〗原不等式化为（x 2-1）m-（2x-1）＜0记f （m ）=（x 2-1）m-（2x-1）（-2≤m ≤2），根据题意有 f （-2）=-2（x 2-1）-（2X-1）＜0f （2）=2（x 2-1）-（2X-1）＜0即 2x 2+2x-3＞02x 2-2x-1＜0 解之，x 的取值范围为231271+<<+-x [思维点拨]从表面上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，实际上是一个关于m 的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2，2]，求参数x 的取值范围。
第04讲 一元二次不等式及其解法(解析版)
第4讲 一元二次不等式及其解法【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）不等式2280x x --≤的解集为（ ） A ．2{|}4x x -≤≤ B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|4x x ≥或}2x ≤- D ．{|2x x ≤或}4x ≤-【答案】B【解析】由2280x x --，得(4)(2)0x x -+，所以24x -. 故选：B.2．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式250x x a -+<的解集是{}2x x b <<，则实数=a （ ） A ．14- B ．3- C ．3 D ．6【答案】D【解析】250x x a -+<的解集是{}2x x b <<，2∴和b 是方程250x x a -+=的解.由根与系数的关系知25,2,b b a +=⎧⎨=⎩，解得3,6.b a =⎧⎨=⎩. 故选：D.3．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13xx <<∣，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（ ） A ．1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⋃⎪⎝⎭D ．()1,4,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<∣， 所以0a <，1,3是方程20ax bx c ++=的两个根， 所以13ba+=-，13c a⨯=， 即4b a =-，3c a =，则()()4403131a x axb x cx a a x x -+-==>+++， 可知其解集为1,(4,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⋃⎭，故选：C ．4．（2021·山东省郓城第一中学高三阶段练习）若不等式ax 2+ax ﹣1≤0的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0≤a≤4 B ．﹣4＜a ＜0C ．﹣4≤a ＜0D ．﹣4≤a≤0【答案】D【解析】0a =时，不等式210ax ax +-化为10-，解集为实数集R ；0a ≠时，应满足00a <⎧⎨⎩，所以2040a a a <⎧⎨+⎩，解得40a -<；综上，实数a 的取值范围是40a -． 故选D ．5．（2022·北京·高三专题练习）若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（ ） A ．22k -≤≤ B ．2k ≤-，或2k ≥ C ．22k -<< D ．2k <-，或2k >【答案】A【解析】∵不等式210x kx ++<的解集为空集， ∵240k ∆=-≤， ∵22k -≤≤. 故选：A.6．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式20ax x c -->的解集为1{|1}2x x -<<，则函数2y cx x a =--的图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得1-和12是方程20ax x c --=的两个根，且0a <， 1112112a c a ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得2,1a c =-=-，则()()22221y cx x a x x x x =--=--+=-+-，则函数图象开口向下，与x 轴交于()()2,01,0，-. 故选：C.7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式260x x a ++≤的解集中有且仅有5个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,5 B ．[)0,5 C ．[]0,5 D ．(]0,5【答案】D【解析】原不等式变形为2(3)9x a +≤-，9a ≤时，原不等式才有解． 且解为3939a x a --≤--要使其中只有5个整数，则293a ≤-，解得05a <≤． 故选：D ．8．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】B【解析】解：令2()42f x x x a =---，则函数的图象为开口朝上且以直线2x =为对称轴的抛物线， 故在区间(1,4)上，()f x f <（4）2a =--， 若不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 则20a -->， 解得2a <-，即实数a 的取值范围是(,2)-∞-. 故选：B ．9．（多选）（2022·辽宁丹东·一模）如果关于x 的不等式2210x ax b -+->的解集为{}xx a ≠∣，那么下列数值中，b 可取到的数为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】CD【解析】由题设知，221y x ax b =-+-对应的0=，即()2410a b -+=，故211b a =+≥，所以数值1,012-,,中，b 可取到的数为1，2. 故选：CD .10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确； 且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确. 故选：ABD .11．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分不必要条件可以是（ ） A ．a >4 B ．5a ≤ C ．4a ≤ D ．5a ≥【答案】AD【解析】由[]1,2x ∈，则[]21,4x ∈，要使20x a -≤在[]1,2x ∈上恒成立， 则2x a ≤，所以4a ≥，根据题意可得所求对应得集合是[)4,+∞的真子集， 根据选项AD 符合题意． 故选：AD ．12．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）已知不等式2210x ax b ++->的解集是{}x x d ≠，则b 的值可能是（ ）A ．1-B ．3C ．2D ．0【答案】BC【解析】解：因为不等式2210x ax b ++->的解集是{}x x d ≠， 所以()()24210b a ∆=--=，解得2+11b a =≥， 故选：BC.13．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式()22log 362ax x -+>的解集为()(),1,+b -∞∞，则=a ___，b =________．【答案】 1 2【解析】解：所解不等式即()22222360log 36log 4364ax x ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⇒-+>⎪⎩，即22360320ax x ax x ⎧-+>⎨-+>⎩，观察可得只要x 让第二个不等式成立，则第一个一定成立，所以只需解2320ax x -+>，由已知可得此不等式的解集为()(),1,+b -∞∞，则1,x x b ==为2320ax x -+=的两根，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，故答案为：1；2；14．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________. 【答案】{}23x x <<【解析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，，故6a =，则不等式303x ax -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<， 不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<， 则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<，故答案为：{}23x x <<.15．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）若命题p ：x ∀∈R ，2240ax x -+为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】1,)4∞⎡+⎢⎣【解析】当0a =时，240x -+≥不满足题意；∵x ∀∈R ，2240ax x -+，则0a >且4160a ∆=-≤，解得14a ≥. 故答案为：[14，+∞）.16．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2(2)20x m x m -++<的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】(5，]6【解析】2(2)20x m x m -++<可化为2(0)()x m x --<， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{|2}x x m <<，且56m <； 故答案为：(5，]6．17．（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）若不等式20ax bx c ++≥的解集是{}123x x -≤≤，求不等式20cx bx a ++<的解集．【解】由20ax bx c ++≥的解集为{}123x x ≤≤，知0a <，且13-，2为方程20ax bx c ++=的两个根，∵53b a -=，23c a =-，∵53b a =-，23c a =-．∵不等式20cx bx a ++<变为225033a x a x a ⎛⎫⎛⎫-+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22530ax ax a +->，又0a <，∵22530x x +-<，解得132x -<<， ∵所求不等式的解集为{132x x ⎫-<<⎬⎭．故答案为：{132x x ⎫-<<⎬⎭.18．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于x 的不等式23208kx kx +-<，0k ≠（1）若18k =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．【解】（1）将18k =代入不等式，可得21130488x x +-<，即2230x x +-<所以32-和1是方程2230x x +-=的两个实数根，所以不等式的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭即不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ．因为0k ≠所以220,30k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<， 故k 的取值范围为(3,0)-．19．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）求下列关于x 的不等式的解集： （1）211x x ->+；（2）()22210ax a x -++≤．【解】（1）当12x ≥时，不等式为2112x x x ->+⇒>. 当12x <时，不等式为()211,300x x x x -->+<⇒<， 所以不等式的解集为()(),02,-∞+∞.（2）当0a =时，不等式为1210,2x x ⎡⎫-+≤⇒∈+∞⎪⎢⎣⎭.当0a ≠时，由()()()22212110ax a x x ax -++=--=解得1211,2x x a ==.当0a <时，不等式的解集为11,,2a ⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，当02a <<时， 不等式的解集为11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当2a =时，不等式的解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.当2a >时，不等式的解集为11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【素养提升】1．（2021·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ） A ．()()5,34,5-⋃ B ．[)(]5,34,5-⋃ C ．(][)5,34,5-⋃ D ．[][]5,34,5-⋃【答案】B【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得172x ，2x k =- （1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若不等式组的解集中仅有一个整数，则54k -≤-<-，即45k <≤； （2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若不等式组的解集中仅有一个整数，则35k -<-≤，即53k -≤<； 综上，可知k 的取值范围为[)(]5,34,5-⋃ 故选：B2．（2022·浙江·高三专题练习）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+-<，且A B R =，则实数k 的取值范围是（ ）A ．6446,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．6422,,5335⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．6422,,5335⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得213x ≤-<，解得213x ≤-<或 312x -<-≤-， 所以34x ≤<或21x -<≤-， 所以(][)2,13,4A =--⋃{}{}()(){}22222111502111502530B x x kx k x x kx k x x k x k =-+-<=-+>=-->， 当0k >时，()5,3,2k B k ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，由A B R =，则53342k k ≤<<，解得6453k ≤<； 当0k =时，{}0B x R x =∈≠，此时A B R =不成立，故0k =不取； 当0k <时，()5,3,2k B k ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，则52312k k -<<≤-，解得2235k -<≤-， 综上所述，实数k 的取值范围是6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（R m ∈）． （1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[]1,1D -⊆，求m 的取值范围． 【解】（1）∵101m m +=⇒=-时，()2f x x =-，不合题意，舍去； ∵101m m +≠⇒≠-时，()()22101234110340m m m m m m m +>>-⎧⎧⇒⇒⎨⎨∆=-+-≤-≥⎩⎩. 综上：23m ≥. （2）()f x m ≥即2(1)10m x mx +--≥，所以[]()(1)110m x x ++-≥， ∵1m =-时，解集为：[1,)+∞； ∵1m >-时，()1()101x x m +-≥+，因为1011m -<<+，所以解集为：1(,1,)1][m -∞-⋃+∞+； ∵21m -<<-时，()1()101x x m +-≤+， 因为111m ->+，所以解集为：11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦.（3）因为不等式()0f x ≥的解集为D ，且[]1,1D -⊆， 即对任意的[]1,1x ∈-，不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+恒成立，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以22212111x xm x x x x -+-≥=-+-+-+，设[]21,3,2t x x t =-∈=-， 所以222123331333233323x t x x t t t t t t-+==≤=-+-+-+-⋅-， 当且仅当323t x ==时取“=”. 所以2211x x x --+-+的最大值为：233231+-=， 所以23m ≥.。
高次不等式的解法完整版
高次不等式的解法标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4(2)变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为{xx< 13或12≤x≤1或x>2}.【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于．．．．．．．．．．偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．注意．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如图．．．．．(5．．－．2)．．．．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)
“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论： 当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。
跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（ ） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（ ） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（ ） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是 （ ） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（ ） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（ ）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1） 同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 （2） 转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3） 换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围 （4） 数形结合 基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为 巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式） 例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。
高考一轮复习之不等式的解法(1)
课时7 不等式的解法(1)复习目标：1、在熟练掌握一元一次不等式和一元二次不等式解法的基础上，掌握高次不等式、分式不等式的解法；2、掌握利用数轴、函数图象讨论不等式（组）解集的方法。
知识要点：1、一元一次不等式的解法：经过不等式的同解变形后，化为ax>b (或<b )（a ≠0）的形式，特别要注意a 的正负符号对不等号方向的影响．2、一元二次不等式的解法：设不等式)0(02<>++c bx ax （a >0），判别式ac b 42-=∆，则有 0>∆ 0=∆ 0<∆02>++c bx ax ：1x x <或2x x > ab x 2-≠ R 02<++c bx ax ： 21x x x << φ φ3、高次不等式的解法：常用“数轴标根法”（“穿针引线法”），其一般步骤是：（1）将最高次项的系数化为正数；（2）分解为若干个一次因式或二次不可分因式之积；（3）将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线：（4）根据曲线显现出的值的符号变化规律，写出不等式的解集．4、分式不等式的解法：)0(0)()()0(0)()(<>⇔<>x g x f x g x f )0(0)()()0(0)()(≤≥⇔≤≥x g x f x g x f ，且0)(≠x g )0(0)()]()([)0(0)()()0)(()()(<>-⇔<>-⇔≠<>x g x ag x f a x g x f a a a x g x f 一、基础训练：1、设]1,0(∈x ，则02>+b a 是使0>+b ax 总成立的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2、关于x 的不等式022>-+bx ax 的解集是),31()21,(+∞⋃--∞，则ab 等于 （ ） A -24 B 24 C 14 D -143、下列不等式中与034≥--xx 同解的是 （ ） A 0)3)(4(≥--x x B 043≥--x x C 0)3lg(≤-x D 0)3)(4(>--x x 4、关于x 的不等式a xb c >-（其中0,0,0<>>c b a ）的解集是 。
高考数学冲刺攻略不等式的解法与证明
高考数学冲刺攻略不等式的解法与证明高考数学冲刺攻略：不等式的解法与证明高考数学中，不等式是一个重要的考点，其解法与证明在解题中常常发挥关键作用。
在高考冲刺阶段，掌握不等式的解法与证明技巧，对于提高数学成绩至关重要。
一、不等式的基本性质在学习不等式的解法之前，我们先来回顾一下不等式的基本性质：1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
3、加法性质：若 a ＞ b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
4、乘法性质：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
这些基本性质是我们解决不等式问题的基础，必须牢记于心。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式的一般形式为 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中 a ≠ 0 ）。
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但需要注意不等式两边乘以或除以负数时，不等号方向要改变。
例如，解不等式 2x 5 ＞ 7 ，首先将常数项移到右边得到 2x ＞ 12 ，然后两边同时除以 2 ，得到 x ＞ 6 。
再比如，解不等式－3x ＋ 4 ＜ 10 ，先移项得到－3x ＜ 6 ，由于系数－3 为负数，所以两边同时除以－3 时，不等号方向改变，得到 x ＞－2 。
三、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。
解一元二次不等式的关键是求出对应的一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c＝ 0 的根。
我们可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断方程根的情况：当Δ ＞ 0 时，方程有两个不同的实根 x₁和 x₂，此时不等式的解集在“两根之外”或“两根之间”，具体取决于不等式的符号。
当Δ ＝ 0 时，方程有一个重根 x₀，不等式的解集为x ≠ x₀。
不等式的解法(一)
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时 才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把 二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后 的解要 求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
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【巩固练习】一 、选择题1. 不等式 错误！未找到引用源。
的解集为 ( )A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
2. 不等式 错误！未找到引用源。
的解集是 ( )A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
3. 若二次不等式 错误！未找到引用源。
的解集是 错误！未找到引用源。
，则 错误！未找到引用源。
( )A. 错误！未找到引用源。
B . 错误！未找到引用源。
C . 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
4. 定义在 错误！未找到引用源。
上的偶函数 错误！未找到引用源。
，当 错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，则不等式 错误！未找到引用源。
的解集是 ( )A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
5. 已知 错误！未找到引用源。
，则使得 错误！未找到引用源。
都成立的 错误！未找到引用源。
取值范围是 ( )A. 错误！未找到引用源。
B . 错误！未找到引用源。
C . 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
6. 不等式 错误！未找到引用源。
的解集为 ( )A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
7.若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为11,23⎛⎫-⎪⎝⎭，其中,a b 为常数，则不等式220x bx a ++<的解集是( )A. ()3,2-B. ()2,3-C. ()3,3-D. ()2,2-8.(2015 红桥区一模)已知函数()1f x x =，()12x x g x +-=，若()()f x g x <，则实数x 的取值范围是( )A.()(),22,-∞-+∞B. ()117,24⎛⎫+-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ C.12,4⎛- ⎝⎭ D. ()(),21,2-∞-二、填空题9. 若不等式 错误！未找到引用源。
的解集中的整数有且仅有 错误！未找到引用源。
，则 错误！未找到引用源。
的取值范围为 ．10. 不等式 错误！未找到引用源。
的解集是 ．11. 若不等式 错误！未找到引用源。
的解集为 错误！未找到引用源。
，则实数 错误！未找到引用源。
．12.(2015 西安模拟)已知函数()213,1log ,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的不等式()234f x m m ≥-有解，则实数m 的取值范围为 .三、解答题13. 已知函数 错误！未找到引用源。
．(1)当 错误！未找到引用源。
时，求不等式 错误！未找到引用源。
的解集；(2)若 错误！未找到引用源。
的解集包含 错误！未找到引用源。
，求 错误！未找到引用源。
的取值范围．14. 若抛物线 错误！未找到引用源。
的顶点在第二象限，求实数 错误！未找到引用源。
的取值范围．15.(2015 绍兴县校级模拟)设二次函数()()20f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<. (1)当()10,x x ∈时，证明()1x f x x <<(2)设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明102x x <.【参考答案与解析】1. D 【解析】11111x x x x +<⇔+<--，且()()22111x x x ≠⇔+<-解得0x <故选D. 2. Cx <的解为不等式组222404x x x x x⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩的解，不等式组的解为24x <≤ 所以不等式的解集为(]2,4.3. A 【解析】依题意有23623b a a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⋅⎪⎩解得a =-1,b =1故ab =-1故选A4. B【解析】当0x ≥时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又函数()f x 是R 上的偶函数，所以函数()()f x f x =，且()f x 在()0,+∞上单调递减. ()()123f x f ->，由函数的性质可得123x -<解得()1,2x ∈-故选B.5. B 【解析】由()11i a x -<解得111i a x -<-<，解得20ix a << 1230a a a >>>123222a a a ∴<<120x a ∴<<故选B.6. D 【解析】21,2213,212+11x x x x x x x --≤-⎧⎪++-=--<<⎨⎪≥⎩，所以不等式214x x ++-<的解集为53|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选D.7. B 【解析】依题意，知12-和13是一元二次方程220ax bx ++=的两根，且0a <则 112311223b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩解得122a b =-⎧⎨=-⎩于是，不等式220x bx a ++< 即260x x --<解得23x -<<故选B.8.B【解析】()()f x g x <()1102x x x x +-∴<≠即+112x x x -⋅> (1)当1x >时，原不等式可化为112x x x +-⋅>即2220x x -->解得14x +>或14x <(舍去) (2)当0x <时，厡不等式式可化为()()112x x x --⋅->即112x ->则2x <- (3)若01x <≤则原不等式可化为()112x x x --⋅>解得2x >，此时不等式无解. 综上，不等式的解集为()117,2⎛⎫+-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭故选B. 9. 错误！未找到引用源。
【解析】由34x b -<解得4433b b x -+<< 40134343b b -⎧≤<⎪⎪∴⎨+⎪<≤⎪⎩解得57b <<10. 错误！未找到引用源。
{}|02x x ≤≤1x ≤1x ≤+即()2210211x x x +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩解得102x x ≥-⎧⎨≤≤⎩即02x ≤≤故原不等式的解集为{}|02x x ≤≤. 11. 2【解析】由于242kx -≤-≤即26kx ≤≤，由于解集为[]1,3，故必有0k >即26kx ≤≤的解集为26,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故有21k=，63k =解得2k = 12. 1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】关于x 的不等式()234f x m m ≥-有解.即()2max 34f x m m ≥-⎡⎤⎣⎦ 由函数()213,1log ,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ 则1x >时，()f x 递减，即有()0f x <当1x ≤时，2y x x =-+的对称轴12x =则由()11112244f x f ⎛⎫≤=-= ⎪⎝⎭则()f x 在R 上的最大值为14 则21344m m ≥-解得114m -≤≤故答案为1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13. (1) 当 错误！未找到引用源。
时，原函数可化为当 错误！未找到引用源。
时，由 错误！未找到引用源。
得 错误！未找到引用源。
，解得 错误！未找到引用源。
；当 错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
无解；当 错误！未找到引用源。
时，由 错误！未找到引用源。
得 错误！未找到引用源。
，解得 错误！未找到引用源。
．所以 错误！未找到引用源。
的解集为 错误！未找到引用源。
．(2) 由题意可知 错误！未找到引用源。
，所以因此，错误！未找到引用源。
的解集包含 错误！未找到引用源。
等价于，当 错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
恒成立．经过求解可得 错误！未找到引用源。
，由条件得 错误！未找到引用源。
且 错误！未找到引用源。
，即 错误！未找到引用源。
，故满足条件的 的取值范围为 错误！未找到引用源。
．14. (1) 抛物线 错误！未找到引用源。
的顶点坐标为 错误！未找到引用源。
． 依题意得解得15.【证明】(1)令()()F x f x x =-因为12,x x 是方程()0f x x -=的根， 所以()()()12F x a x x x x =--当()10,x x ∈时，由于12x x <，得()()120x x x x -->又0a >()()()120F x a x x x x ∴=-->即()x f x <()()()()()()11112121x f x x x F x x x a x x x x x x a x x -=-+⎡⎤⎣⎦=-+--=-+-⎡⎤⎣⎦1210x x x a<<<<10x x ∴->，()2221110a x x ax ax ax +-=+->-> ()10x f x ∴->()1f x x ∴<(2)依题意值02b x a=- 12,x x 是方程()0f x x -=的根，即12,x x 是方程()210ax b x c +-+=的根 121b x x a-+=-，()1212011222a x x ax ax b x a a a +-+-=-== 21ax <11022ax x x a ∴<=.。