交替

也就是经济在时期 t 的劳动雇用量(即就业量)。
在时期 t， 企业雇用青壮年劳动力 Lt 和租用老年人持有的 资本 K t ，生产出 Yt 个单位的总产品，于是 Yt F ( K t , A t L t ) 。 经济进入下一时期 t+1 后，前一时期的生产运作模式依然 继续，但前一时期向社会生产提供劳动的青壮年已经变成 只会提供资本的老年人， 前一时期的老年人已经不在人世， 而 劳 动 的 提 供 要 靠 新 生 的 一 代 ， 所 以
经济学含义： (1) 当 1 时，即当消费者的相对风险规避倾向较小 时，边际消费倾向是实际利率的递减函数，储蓄率 s 是实际利率 r 的递增函数。 (2) 当 1 时，即当消费者的相对风险规避倾向较大
时， 边际消费倾向 c 是实际利率 r 的递增函数， 储蓄 率 s 是实际利率 r 的递减函数。 (3) 当 1 时，即当消费者的相对风险规避倾向适中 时，边际消费倾向 c 和储蓄率 s 都是常数，仅仅取 决于效用贴现率 这一外部因素，而与资本的实际 利率 r 无关。
第3章
世代交替理论
本章继续使用最优化的思想和方法来讨论经济增长问题， 对索 洛模型进行进一步修正。 同建立拉姆齐-卡斯-库普曼模型的做法 一样， 我们仍然在完全竞争的条件下， 从微观的角度分析宏观经 济总量的运动。所不同的是，本章将放弃无限生命假设，转而假 定经济中不断有新家庭出现， 表现为世代交替， 这正是本章标题 的含义所在。在这种经济中，消费(与储蓄)由世代交替的家庭决 定，是家庭的无限期决策(infinite horizon decision)。家庭持有资 本和提供劳动， 然后进行消费与储蓄。 企业租用家庭持有的资本， 雇用家庭提供的劳动， 去生产家庭消费的商品。 从无限生命到世 代交替， 经济增长理论向现实接近一步。 我们将以戴蒙德模型为 典范，建立经济增长的世代交替理论。
假设：生存期假设 青年期 老年期 青年期 老年期 青年期 老年期 青年期 老年期 时期t
青年期：工作、消费和储蓄 老年期：消费和负储蓄 在时期t ，青年数量为 Lt ，人口增长率 为 n ，老年（前一时期里的青年）数量 Lt 为 Lt 1 n 1 2n 总人口为： TL t L t L t 1 (2 n) L t 1 1 n L t
个人的优化行为： 在时期 t ，青年计划自己在两个时期里 的消费数量， 在收入约束下最大化自己 的效用。
效用函数： C 1 C Ut , 0, 1 1 1 1 0 1 0 1
既然生命有限， 我们就不再需要假定 n (1 ) g 去保证终 生效用收敛，其中 g 为知识增长率。但是，效用贴现率的正 负具有特殊涵义。 0 表示，老年期的一单位效用不值青壮 年期的一单位效用， 因而个人会给青壮年期的消费以更大的权 重。相反， 0 则表示，青壮年期的一单位效用不值老年期 的一单位效用，因而个人会给老年期的消费以更大的权重。 如 果我们以青壮年期效用的权重为标准， 即把青壮年期效用的权 重视为 1 的话， 那么终生效用表达式第二项的系数 1 (1 ) 就 表示老年期效用的权重。于是，条件 1 是说老年期效用 的权重为正。显然，这个条件是符合实际事实的。
一阶条件：
C1t 1 C2t 1 1 rt 1 1 1 C2t 1 C1t 1 1 1 rt 1 1 C1t C2t 1 wt At 1 rt 1
解：
(1 )1 A t wt C1, t 1 (1 ) (1 ) (1 rt 1 ) 1 ( 1 r ) t 1 C 2 , t 1 (1 )1 (1 r ) (1 ) A t wt t 1
个人决策： C 1 C Ut C1t , C2t 1 1 1 1 1 s.t.：C1t C2t 1 wt At 1 rt 1 max
1 1t 1 2 t 1
构造拉格朗日函数，并根据一阶条件可以得到最优化条件。
1 C 11t 1 C2 1 t 1 L [ At w t ( C 1t C 2 t 1 )] 1 1 1 1 rt 1
如何理解：
首先，实际利率的上升意味着老年时期的收入增加，从而消费 将会增加， 这是收入效应。 但这并不意味着消费者在做终生消费
安排时， 会把实际利率增加所带来的收入增加全部用于增加老年 时期的消费， 这里还有一个替代效应问题。 消费者要把他的终生 收入在青壮年时期和老年时期之间加以分配， 但分配时要权衡得 失， 以使终生效用达到最大。 如果他(她)觉得把老年时期的消费 支出向青壮年时期调整一些，会感到更大的满足，那么他(她) 就会做这样调整。 同样， 如果他(她)觉得老年时期多消费一点会 更值得，那么他(她)就会把青壮年时期的消费向老年时作些调 整。只有考虑了青壮年期消费与老年期消费之间的替代效应， 消 费者才能真正实现终生效用的最大化。
k 0 k
再设知识 A 的增长率为 g ， 即 A t 1 (1 g ) A t (t 0,1,2, ) ， 并假定 g 是 一个外生变量，不随时间的变化而变化。同上一章一样，本章继 续假定资本的折旧率为零，既不考虑折旧。 市场的完全竞争性保证了企业按照要素的边际生产率向要 素支付报酬。资本的实际利率 r 就是资本的边际报酬：r f ( k ) ； 劳动者的效率工资率 w ， w f ( k ) k f ( k ) ；劳动者的 ( 效率) 工资则为 W A w ，这也就是一个劳动者的劳动收入。
叠代模型 Peter Diamond， 1965， National Debt in a Neoclassical Growth Model，AER
与 Ramsey 增长模型的区别：
如果我们把人的生命期看成 100 年的话， 就可以这样来划分少 年、青壮年和老年。20 岁前为少年，过了 20 岁后到 60 岁前为 青壮年，过了 60 岁以后直到 100 岁为老年。一个人年龄不过 20 岁，就不算作经济人，因为他(她)既无资本，又无向社会提供劳 动的能力，他(她)正处于成长和学习阶段，靠父母抚养。所以， 经济人的生命只有两个时期：青壮年时期(前 40 年)和老年时期 (后 40 年)。 既然经济人的生命只有两个时期，为了说起来方便起见，干脆 假定人的生命只有两个时期：青壮年和老年。这就是说，我们所 谈的“人” ，都指经济人。另外，青壮年时期和老年时期的时间 长短一样，都为 40 年。这样，我们就可以以 40 年为一期来划分 时间段，无限的时间就可用 t 0,1,2,3, 来表示。 t 0 表示初始时 期，即刚开始的那 40 年。
其次，我们需要考虑影响消费者权衡青壮年消费和老年期消 费的因素， 该因素就是消费者的相对风险规避倾向。 尽管我们没 有考虑未来的不确定因素， 但事实上未来是不确定的。 资本的高 利率意味着未来的风险大、不确定程度高。这种情况下，那些相
储蓄＝收入－消费 1 rt 1 save 1 1 1 1 rt 1 储蓄率： 1 rt 1 s , , rt 1 1 1 1 1 rt 1
1 1
At wt
消费：C1t 1 s , , rt 1 At wt
由于消费贴现率 是既定的外生因素，而资本的实际 利率 rt 1 是由经济系统本身决定的，是内生变量，因此 上面的式子表明：边际消费倾向和储蓄率都由实际利 率 r 决定：
1 (1 ) c c(r ) 1 (1 ) (1 ) (1 r ) (1 ) ( 1 r ) s s (r ) 1 (1 ) (1 ) (1 r )
1 1t
1 2 t 1
假定企业的生产函数具有规模报酬不变性质。企业的生产函数
Y F ( K , AL) 。设 y f (k ) 是生产函数 Y F ( K , AL) 的有效人均
生产函数，并假定满足伊纳达条件：
边际收益递减 : 伊 纳 达 条 件 : f (0) 0, f (k ) 0, f (k ) 0 lim f (k ) , lim f (k ) 0
Yt 1 F ( K t 1 , A t 1 L t 1 ) 。生产就是这样一代又一代地进行
下去，但随着世代的交替，人口在以速度 n 增长，知识在以 速度 g 增长，于是总产出的增长情况就主要取决于资本的增 长速度。但资本是通过储蓄而形成的，储蓄的多少取决于 消费和收入，从而取决于消费者的行为和决策。可见，消 费者的行为表现对经济增长具有至关重要的影响和作用。
由于我们是在完全竞争的情况下讨论世代交替问题， 我们可以 使用相同人假定，它包括以下三层含义： (a) 每一个时期 t ，(b) 每一个时期 t ，任何两个青壮年都相同，即拥有相同的财富， 并提供相同的劳动和资本。 (c) 每一个时期 t ，任何两个老年都相同，即他们在青壮年时期积 蓄下来的财富相同，拥有的资本利息也相同。 使用这个假定， 是为了分析上的方便。 假如我们能够找出个人代 表(即消费者代表)，那么就可用个人代表来分析问题，从而可不 使用“相同人假定” 。
1 的资
1 的资本总额 K t 1 就等于时期 t 的所有青壮年的储蓄之总和， 即 等 于 时 期 t 的 单 个 青 壮 年 的 储 蓄 A t w t C1, t 乘 以 时 期 t 的 青 壮 年 人 数 L t ：
K t 1 L t ( A t wt C1, t ) ，这个 L t
在初始时期 t 0 ，每一位老年人都持有相同数量的资本，所有老年人持有的这些资 本的总和 K 0 ， 构成了经济的初始资本。 假定每个人在老年时期都要将他(她)的储蓄花完。 于是任何时期内，青壮年都不拥有资本，他们只是向企业提供劳动以获得收入，并把收 入在当期消费与储蓄之间加以分配。 设在时期 t， 经济中的诸企业总共雇用了 K t 个单位 的资本和 L t 个单位的劳动，生产出 Yt 个单位的总产品。则 Yt F ( K t , A t L t ) ， y t f (k t ) ， rt f (k t ) ， wt f ( k t ) k t f ( k t ) y t rt k t ，每个青壮年的劳动收入为 Wt A t wt 。既然完全 竞争，经济中的总供给就等于总需求，因而经济处于充分就业状态，劳动需求也就等于 劳动供给。这样，生产 Yt 个单位的总产品所雇用的劳动数量 L t 就等于全社会的劳动人 口数，即等于时期的青壮年总人数。 在任何时期 t，每个青壮年要把他(她)本时期的劳动收入在消费与储蓄之间进行分配， 并把本时期的储蓄带到下一时期 t 1 去消费。在时期 t，每个青壮年的消费为 C1, t ，从 而储蓄为 A t w t C1, t 。本时期的储蓄 A t w t C1, t 将成为该青壮年在下一时期 t 本，于是经济在时期 t