2019中考数学冲刺讲义：第3讲函数图象的分析与作图(含答案)

第3讲、函数图象的分析与作图（讲义）1.已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2，2)，对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连接AM，用含m的代数式表示∠AMB 的正切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．2.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，1)，取一点B(b，0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上．①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1，d2，求d1+d2的范围，当d1+d2=8时，求点P的坐标；③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．图13.已知二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点79()24，，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点，请直接写出t的取值．4. 如图，抛物线L ：1()(4)2y x t x t =---+（常数t ＞0）与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线ky x=（k ＞0，x ＞0）于点P ，且12OA MP ⋅=．（1）求k 的值；（2）当t=1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；（3）把L 在直线MP 左侧部分的图象（含与直线MP 的交点）记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标； （4）设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．【参考答案】1. （1）抛物线的表达式为y=-x 2+2x+2；点B(1，3)；（2）tan ∠AMB=12m -；（3）点Q 的坐标为3)2-，3)2-． 2. （1）作图略；（2）①21122y x =+，曲线L 是抛物线； ②d 1+d 2≥12；P 1(3，5)，P 2(-3，5)；③k 的取值范围为k <<． 3. （1）二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3；顶点D(1，4)；（2）|PC-PD|，对应的点P 坐标为(-3，0)； （3）32≤t ＜3，72t =或t ≤-3．4. （1）k 的值为6；（2）直线MP 与L 对称轴之间的距离为32； （3）图象G 最高点的坐标为2()28t t t -+，；（4）t 的取值范围为5≤t ≤8，7≤t ≤8．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某市6月份中连续8天的最高气温如下（单位：℃）：32，30，34，36，36，33，37，38．这组数据的中位数、众数分别为（）A．34，36 B．34，34 C．36，36 D．35，362．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，交BC于D，交⊙O于E，若AB、AC的长是方程x2-ax+12=0的两实根，AD=2，则AE的长为（）A.5B.6C.7D.83．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在x 轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D¢处，则点C的对应点C'的坐标为（）A．()2B．()4,2C．(4,D．(2,4．一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．四棱锥B．圆锥C．三棱柱D．四棱柱5．如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象的一支交于C（1，4），E两点，CA⊥y轴于点A，EB⊥x轴于点B，则以下结论：①k的值为4；②△BED是等腰直角三角形；③S△ACO＝S△BEO；④S△CEO ＝15；⑤点D的坐标为（5，0）．其中正确的是（）A ．①②③B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②③⑤6．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ）A.12πB.6πC.12π+D.6π+7．如图,将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落在AB 边中点E 处,点C 落在点Q 处,折痕为FH,则线段AF 的长是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm8．如图所示，E 是边长为的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A ．2B ．12C ．2D ．239．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①点17(,)2y -，23(,)2y -，35(,)4y 是该抛物线上的点，则123y y y <<；②320b c +<；③()t at b a b +≤-（t 为任意实数）.其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3101的值在( ) A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间11．下列运算正确的是（ ） A ．()336x x =B ．325x x x ?C ．33x x -=D ．426x x x +=12．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D 二、填空题13．方程20x =的根是_____．14．如图，AB ∥CD ，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E 的度数是_____．15．函数y =x 的取值范围是______．16．二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是________.17．如图，等腰△ABC 中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，给出下列结论： ①CD=CP=CQ ； ②∠PCQ 的大小不变；③△PCQ ； ④当点D 在AB 的中点时，△PDQ 是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 ．18．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为（1，2），点B 与点D 在反比例函数6(0)y x x=>的图象上，则点C的坐标为．三、解答题19．已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的☉O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.（1）求证:点D是AB的中点;（2）判断DE与☉O的位置关系,并证明你的结论;（3）若☉O的直径为18,cosB=13,求DE的长.20．观察下面的变形规律：11=1122-⨯；111=2323-⨯；111=3434-⨯；…．解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想1(1)n n+＝；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：112⨯+123⨯+134⨯+…+120092010⨯.21．某水果店经销一批柑橘，每斤进货价是3元．试销期间发现每天的销售量y（斤）与销售単价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用800元．（1）请求出y与x之间的函数表达式；（2）如果每天获得1600元的利润，销售单价为多少元？（3）当销售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？22．如图，点D是以AB为直径的半圆O上一点，连接BD，点C是»AD的中点，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E．求证：（1）CE 是半圆O 的切线； （2）BC 2＝AB•BE．23．已知：二次函数C 1：y 1＝ax 2+2ax+a ﹣1(a≠0)(1)把二次函数C 1的表达式化成y ＝a(x ﹣h)2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标； (2)已知二次函数C 1的图象经过点A(﹣3，1)． ①求a 的值；②点B 在二次函数C 1的图象上，点A ，B 关于对称轴对称，连接AB ．二次函数C 2：y 2＝kx 2+kx(k≠0)的图象，与线段AB 只有一个交点，求k 的取值范围．24．如图所示，将矩形纸片OABC 放置在直角坐标系中，点A(3，0)，点C(0). (I).如图，经过点O 、B 折叠纸片，得折痕OB ，点A 的对应点为1A ,求1A OC 的度数；(Ⅱ)如图，点M 、N 分别为边OA 、BC 上的动点，经过点M 、N 折叠纸片，得折痕MN ，点B 的对应点为1B ①当点B 的坐标为(-1，0)时，请你判断四边形1MBNB 的形状，并求出它的周长； ②若点N 与点C 重合，当点1B 落在坐标轴上时，直接写出点M 的坐标.25．已知抛物线y ＝ax 2+bx+2经过A （﹣1，0），B （2，0），C 三点．直线y ＝mx+12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交AQ 于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P 运动到什么位置时，线段PN ＝2NF ，求出此时点P 的坐标；（3）如图②，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，点M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．120,x x ==． 14．70° 15．x≥-3 16．y=(x-1)2+3 17．①②④． 18．（3，6）． 三、解答题19．（1）见解析；（2）DE是☉O的切线，见解析；（3）.【解析】【分析】1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=13，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=13，可求AE，利用勾股定理求DE．【详解】解：(1)证明:连接CD,∵BC为☉O的直径,∴CD⊥AB,又∵AC=BC,∴AD=BD,即点D是AB的中点.(2)DE是☉O的切线.证明:如上图，连接OD,则DO是△ABC的中位线, ∴DO∥AC,又∵DE⊥AC,∴DE⊥DO,即DE是☉O的切线.(3)∵AC=BC,∴∠B=∠A,∴cosB=cosA=13,∵cosB=BDBC=13,BC=18,∴BD=6, ∴AD=6,∵cosA=AEAD=13,∴AE=2,在Rt△AED中【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题20．（1）111=(1)1n n n n-++；（2）见解析；（3）20092010．【解析】【分析】（1）观察规律可得：111 (1)1n n n n=-++；（2）根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性；（3）利用上面的结论，首先原式可化为：111111112233420092010-+-+-++-继而可求得答案．【详解】（1）由111111111;;121223233434=-=-=-⨯⨯⨯，…则：111(1)1n n n n=-++；（2）111111(1)(1)(1)(1)n n n nn n n n n n n n n n++--=-==+++++；（3）1111 12233420092010 ++++⨯⨯⨯⨯＝1111111 12233420092010 -+-+-+-＝1﹣1 2010＝2009 2010．【点睛】此题考查了分式的加减运算法则，解题的关键是仔细观察，得到规律：111(1)1n n n n=-++，然后利用规律求解．21．（1）y＝﹣800x+5600；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是2400元．【解析】【分析】（1）设y＝kx+b，将两组数据代入即可求解（2）设销售单价为x元，用销售量×每斤利润-其他各项费用=总利润即可得出（x﹣3）（﹣800x+5600）﹣800＝1600，求解即可得到答案（3）由题意可得w＝（x﹣3）（﹣800x+5600）﹣800，整理一下，在x范围内用二次函数的最值公式即可求解【详解】（1）设y＝kx+b，将x＝3.5，y＝2800；x＝5.5，y＝1200代入，得3.52800 5.51200k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得8005600kb=-⎧⎨=⎩，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣800x+5600；（2）由题意，得（x﹣3）（﹣800x+5600）﹣800＝1600，整理，得x2﹣10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6．∵3.5≤x≤5.5，∴x＝4．答：如果每天获得1600元的利润，销售单价为4元；（3）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣800x+5600）﹣800＝﹣800x2+8000x﹣17600＝﹣800（x﹣5）2+2400，∵3.5≤x≤5.5，∴当x＝5时，w有最大值为2400．故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是2400元．【点睛】此题主要考查二次函数的实际应用，熟练运用待定系数法是解题关键22．（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠DBC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠OCB＝∠CBD，推出OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；（2）连接AC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）连接OC，∵点C是AD的中点，∴AC CD=，∴∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∵CE⊥BE，∴OC⊥CE，∴CE是半圆O的切线；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ACB，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBE，∴AB BC BC BE，∴BC2＝AB•BE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．(1)y1＝a(x+1)2﹣1，顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①12；②k的取值范围是16≤k≤12或k＝﹣4．【解析】【分析】(1)化成顶点式即可求得；(2)①把点A(﹣3，1)代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值；②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；【详解】(1)y1＝ax2+2ax+a﹣1＝a(x+1)2﹣1，∴顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①∵二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)，∴a(﹣3+1)2﹣1＝1，∴a＝12；②∵A(﹣3，1)，对称轴为直线x＝﹣1，∴B(1，1)，当k＞0时，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过A(﹣3，1)时，1＝9k﹣3k，解得k＝16，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过B(1，1)时，1＝k+k，解得k＝12，∴16≤k≤12，当k ＜0时，∵二次函数C 2：y 2＝kx 2+kx ＝k(x+12)2﹣14k ， ∴﹣14k ＝1， ∴k ＝﹣4， 综上，二次函数C 2：y 2＝kx 2+kx(k≠0)的图象，与线段AB 只有一个交点，k 的取值范围是16≤k≤12或k ＝﹣4．【点睛】本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键．24．(Ⅰ)30°；(Ⅱ)①四边形1B MBN 为菱形，周长为192；②，0)或，0). 【解析】【分析】（Ⅰ）由点A 、C 的坐标可得出OA 、AB 的长，即可求出tan ∠BOA 的值，根据特殊角的三角函数值可得∠BOA 的度数，根据折叠的性质利用角的和差关系即可得答案；（Ⅱ）①连接1BB ，交MN 与点E ．点B ，1B 关于MN 对称可得MN 是BB 1的垂直平分线，即可得出1BE B E =，190BEN B EM ∠∠==，BN=B 1N ，BM=B 1M ，根据矩形的性质可得1BNE B ME ∠∠=．即可证明1BNE B ME ∆∆≌，进而可得1BN B M =，即可证明四边形B 1MBN 是菱形，过N 作NF OA ⊥，垂足为F ，设NB x =，在Rt △NFB 1中，利用勾股定理列方程求出x 的值即可得出答案；②分别讨论B 1在y 轴和x 轴两种情况，根据折叠的性质即可得答案.【详解】（Ⅰ）∵矩形OABC ，∴90OAB ∠=．3BA tan BOA OA ∠==， ∴30BOA ∠=．∵点A 的对应点为A 1，∴130A OB AOB ∠∠==．∴190303030A OC ∠=--=．（Ⅱ）①连接1BB ，交MN 与点E ．∵点B ，1B 关于MN 对称，∴MN 垂直平分1BB ，∴BN=B 1N ，BM=B 1M ，1BE B E =，190BEN B EM ∠∠==．∵//BC OA ，∴1BNE B ME ∠∠=．∴1BNE B ME ∆∆≌．∴1BN B M =．∴BN=B 1N=B 1M=BM ，∴四边形1B MBN 为菱形．过N 作NF OA ⊥，垂足为F ．设NB x =，则3OF CN x ==-，14B F x =-．在1Rt NFB ∆中，22211NF B F B N +=，∴()2224x x +-=， 解得198x =． ∴菱形1B MBN 的周长为192．②如图，当B 1在y 轴上时，CM 是BB 1的垂直平分线，∴BC=B 1C ，∵∠BCB 1=90°，∴∠B 1CM=45°，∴∴点M 0）.如图，当B1在x轴上时，CM是BB1的垂直平分线，∴B1C=BC=3，∴OB1，∵∠BCD=∠B1MD，∠B1DM=∠BDC=90°，BD=B1D，∴△BCD≌△B1MD，∴B1M=BC=3，∴OM=OB1+B1，∴点M的坐标为（，0）综上所述：点M的坐标为（，0，0）.【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定及全等三角形的判定与性质，折叠前后的两个图形对应边相等，对应角相等，熟练掌握相关定理及性质是解题关键.25．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（12，94）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．【解析】【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后求得a，b的值，从而得到问题的答案；（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+12求得m的值，可得到直线AQ的解析式，设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），然后用含n的式子表示出PN、NF的长，然后依据PN＝2NF列方程求解即可；（3）连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小，先求得点M的坐标，然后求得AM 和DE的解析式，最后在求得两直线的交点坐标即可．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴将点A和点B的坐标代入得：204220a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a＝﹣1，b＝1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）直线y＝mx+12交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝12，∴直线AQ的解析式为y＝12x+12．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），∴PN＝﹣n2+n+2﹣（12n+12）＝﹣n2+12n+32，NF＝12n+12．∵PN＝2NF，即﹣n2+12n+32＝2×（12n+12），解得：n＝﹣1或12．当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．∴点P的坐标为（12，94）．（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣12）2+94，∴M（12，94）．如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（12，94）．根据题意得：1924k bk b-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3232kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线AM的函数解析式为y＝32x+32．∵D为AC的中点，∴D（﹣12，1）．设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，∴AC的解析式为y＝2x+2．设直线DE的解析式为y＝﹣12x+c，将点D的坐标代入得：14+c＝1，解得c＝34，∴直线DE的解析式为y＝﹣12x+34．将y＝﹣12x+34与y＝32x+32联立，解得：x＝﹣38，y＝1516．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质，用含n的式子表示出PN、NF的长是解答问题（2）的关键；明确相互垂直的两直线的一次项系数乘积为﹣1是解答问题（3）的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m+2＜n+2B ．m ﹣2＜n ﹣2C ．﹣2m ＜﹣2nD ．m 2＞n 22．为落实“垃圾分类”，换位部门将某住宅小区的垃圾箱设置为,,A B C 三类。